年高考真题-空间几何体
空间几何体和三视图、表面积及体积１棱柱的体积公式: V=Sｈ，其中S是棱柱的底面积,ｈ为
2棱锥的体积公式:V＝
1
3Ｓh,
其中S是棱锥的底面积，h为高．
1．（20１6全国一卷（７)）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是＼F（２8π,3),则它的表面积是
(A）17π (B)１8π （Ｃ)20π （D）28π
2.(2016全国三卷１0）如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
18365
+（B）54185
+(C)90（D）８1
3.（２０1６全国二卷(7)) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
(A）2０π(Ｂ）２4π(C）2８π(D)32π
4.（20１6浙江9).某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是___＿__cm２，体积是＿_____ｃm3.
５.（2０16天津（3)）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧（左)视图为
6．(2０16四川)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积是。
侧视图
俯视图
7.（2０16山东5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π33
(B）
12
+π
33(C）
12
+π
36(D）
2
1+π
6 8．（2016北京11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为＿___＿__＿＿__.
1．[２０１5·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1０-１所示.若该几何体的表面积为16+２0π,则r＝___＿＿___．
图１0-1
2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是_____＿＿_.
图1０-2
3．[2014·浙江卷改编]某几何体的三视图（单位:cm)如图10-３所示，则此几何体的表面
积是____＿___．
图１０-3
４.[201５·浙江卷改编] 某几何体的三视图如图1０-4所示(单位：cm),则该几何体的体积是_＿______．
图10-4
５.[2015·重庆卷改编] 某几何体的三视图如图10-５所示，则该几何体的体积为___＿___＿．
图10-5
６.[2015·天津卷]一个几何体的三视图如图１0-6所示（单位:m)，则该几何体的体积为＿_______ｍ３．
图10-6
７.[2015·山东卷改编］在梯形AＢCD中，∠ABＣ＝错误!,AD∥ＢC,BC=2AD＝2AB＝2,将梯形ABCD绕ＡD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_＿_＿＿＿_＿．
8.［2０1５·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为５、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____＿_＿＿．
9.［2０1５·上海卷] 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为_____＿__．
10.［2015·全国卷Ⅱ改编]已知A，B是球O的球面上两点,∠AＯB=90°，Ｃ为该球面上的动点．若三棱锥O -ＡBC体积的最大值为36,则球O的表面积为_＿______.
考点一三视图与直观图
图1０-7
在如图10-7所示的空间直角坐标系O-xｙz中，一个四面体的顶点坐标分别是(０，0，2),(２，2,0),(1，2,１），(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图1０-8
A.①和②B．③和①
Ｃ．③和④Ｄ．④和②
[小结]找空间几何体的三视图,关键要抓住空间几何体的顶点在投影面上的正投影,再看各棱在投影面上的正投影；根据三视图判断空间几何体的形状，基本方法是根据三视图的画法进
行逆向思维，借助已知的空间几何体的结构特点、结合题目要求进行肯定或者否定．要特别注意三视图中“眼见为实、不见为虚”的画法规则.
若某几何体的三视图如图1０-9所示，则此几何体的直观图是( )
图1０-9
图１0-10
考点二几何体的表面积与体积
图１0-11
一个简单几何体的三视图如图1０-１1所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__＿____＿，表面积为________.
[小结] 高考试题中求体积和表面积的试题往往与空间几何体的三视图结合,此时要根据空间几何体的三视图还原空间几何体,弄清楚空间几何体的结构再进行计算．体积的计算需要空间几何体的底面积和高，表面积的计算需要把各个面的结构弄清楚，分别计算各个面的面积,再求和.
已知某几何体的三视图如图10-12所示，则该几何体的体积是__＿_＿____＿，表面积是_＿＿_＿___．
图10-1２
高考易失分题11三视图、直观图、体积问题的综合
范例某篮球架的底座的三视图如图10-13所示,则其体积为()
图１０-１３
A.错误!
B.１75
C．180 Ｄ．295+1０错误!
失分分析该类试题容易把空间几何体的结构弄错,求体积时不能准确割补、求表面积时出现遗漏或重复等错误．
高考预测某几何体的三视图如图10-14所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()
图10-１4
A.２
B. 3 C．３ 3 D．3
考点三多面体与球
图10-1５
如图10-1５所示,在等腰梯形ＡＢCD中,ＡB＝2CD＝2，∠DAB=60°,E为AB的中点．将△AＤE与△BＥＣ分别沿ＥD，EC
向上折起，使A,Ｂ重合于点P，则三棱锥Ｐ-DCE的外接球的体积为（）
A.错误!
B.错误!Ｃ．错误! D.错误!
[小结] 球中内接一个多面体是高考的一个重要命题点．如果一个多面体内接于一个球，那么它的各个多边形都是圆的内接多边形,球心到各个顶点的距离都等于球的半径．
已知球的直径SＣ＝4,A，B是该球球面上的两点,且AB=＼r（３),∠ASC=∠BSC=３０°，则棱锥S-ABＣ的体积为( )
Ａ．3 错误! B.2 错误!
C.＼r(3)
D.１
?参考答案
■核心知识聚焦
1.2 [解析] 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为２r的半圆柱(水平放置),后半部分是一个半径为r的半球,其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合,所以此几何体的表面积为２r·2r＋错误!πr2＋错误!πr2+πr·2ｒ＋２πr2=4r２＋５πｒ2＝16+2０π,解得r=2．
2．2+错误![解析] 四面体的直观图如图所示，设O是AC的中点,则OＰ=OＢ＝1，因此PB＝错误!，于是S△PＡB＝S△PBＣ＝错误!×(错误!)２＝错误!,Ｓ△PＡC＝S△ABC＝错误!×2×１=1,故四面体的表面积S＝２×１+2×＼ｆ（＼r(3),2)=2＋错误!．
3．1３８cm2[解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图,
所以该几何体的表面积为2×（4×3+6×3＋6×4)＋２×错误!×3×4＋4×3＋３×5－３×３＝138(cｍ２）．
４.３２
3ｃm
3［解析]该几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合体，故该几何体的体
积V=23＋错误!×2×2×2＝错误!(cm3)．
5.1
3＋π[解析] 由三视图知,该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱的
底面圆的半径为１、高为2,三棱锥的底面为一个等腰直角三角形,斜边上的高为1，所以该几何体的体积V=＼ｆ(1，3)×错误!×２×１×1+错误!π×1２×２＝错误!＋π．
6.8
3π[解析]根据三视图可知几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积V＝π×1
2×2＋
2×错误!×π×1２×1=错误!π(m３).
7.错误![解析] 旋转后的几何体为一个底面半径为１,高为2的圆柱挖去一个底面半径为１,
高为１的圆锥，所求几何体的体积为π×１2×2－＼f(1,3）π×12×１＝５
3π.
8.错误![解析] 设新的底面半径为r，则错误!π×52×4+π×22×８＝错误!πｒ２×4+πr2
×8 ,即２8
3πr
２=错误!π+３２π，解得ｒ＝错误!.
9．60°[解析]设圆锥的底面半径为r,高为ｈ,母线为l，则其侧面积为πrl,过轴的截面面积为ｒｈ．由题意可知，错误!＝2π，得错误!＝错误!，故圆锥的母线与轴的夹角为60°.
1０.144π [解析] 如图所示,当O Ｃ⊥平面ＡOB 时，三棱锥Ｏ -A ＢＣ的体积最大,此时V 三棱锥O -A ＢＣ=V 三棱锥C -AOB =错误!Ｓ△ＡOB ·R ＝错误!R ３＝3６,所以R =６,所以Ｓ球=4πR ２
＝14４π.
■ 考点考向探究 例１ D [解析] 由题意，在正方体中还原四面体的直观图如图所示.故选Ｄ.
变式题 A [解析] 该几何体是正方体的一部分，易知选项A 正确.
例2 错误! 错误!＋错误!＋１ [解析] 易知，该几何体是一个三棱锥，且该三棱锥的高为错误!,底面为底边边长为2，高为1的等腰直角三角形,故易求得该几何体的体积和表面积分别为错误!和错误!＋错误!+１．
变式题 84 21９+3
4１2 [解析] 原几何体为一个长、宽、高分别为6，３，5的长方体
砍去一个高为３，底面为直角边分别为3，4的直角三角形的三棱锥，因此该几何体的体积为3×
６×5-13
×错误!×3×4×3＝９0－6=8４,表面积为２×(6×3+５×3+５×６）－错误!×3×4×2-1２
×３×3+12×3 ＼r (2)×错误!＝错误!.
高考易失分题１1
范例 B [解析] 其直观图如图所示，
故所求体积为10×错误!=错误!×１０=175.
高考预测 B [解析] 该几何体的直观图如图所示,其体积为
错误!×错误!×(1＋２)×2×错误!＝错误!.
例3 A ［解析] 折起后的图形是棱长为1的正四面体，将其放在正方体中，其直观图如图所示.它可以看作是一个棱长为＼f (＼r （2),2)的正方体被截去四个角后得到的几何体，可求得该几何体的外接球的半径为错误!×错误!＝错误!，故所求球的体积为错误!×错误!错误!=错误!．
变式题 C [解析］如图,设球心为O，△ABC的外心为Ｏ′．根据球的性质可知,OＯ′⊥平面ABC,且∠SBＣ=∠SAC=90°,所以BC＝ＡC＝2.在△ABC中,根据余弦定理得ｃos∠ACB＝４+4-3
＝错误!,所以sｉn∠ACB=错误!.根据正弦定理得错误!＝2r(ｒ为△ABC外接圆半径),所2×2×2
以r＝错误!,所以ＯO′=错误!＝错误!＝错误!.所以棱锥S-ABC的体积为错误!×错误!×2×2×错误!×错误!=错误!．
■教师备用例题
例1（配例1使用)［2015·全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ）
A.错误!Ｂ.错误! C.错误!Ｄ.错误!
［解析] D几何体的直观图为正方体ＡＢCD-A1B1C1D1截去了一个三棱锥A-A１B1Ｄ1,如图所示.易知V三棱锥A-A１B1D1＝错误!V正方体，所以错误!=错误!，故选D.
例2(配例2使用)[2015·陕西卷] 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3πB．４π
C.2π＋4D．3π＋4
[解析］D 该几何体是底面半径为1、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱,其表面积为错误!×２π×１×2+2×错误!×π×１2+2×2=3π+4.
例3(配例2使用)[2０15·全国卷Ⅰ］《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为８尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6２立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（)
A.14斛B．２2斛 C.3６斛 D.66斛
[解析] B由题意，题中图形为四分之一圆锥,设圆锥的底面半径为Ｒ，则由错误!＝8得Ｒ＝错误!,所以Ｖ米＝错误!Ｖ圆锥＝错误!×错误!×π×错误!错误!×5＝错误!≈错误!(立方尺),所以＼f(３20,9)÷1.６2≈21.9５≈22（斛)．
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
空间几何体的表面积和体积高考试题汇编
1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（） （A）1 （B）（C）（D）3 [解析] 1. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接, 2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（） （A） （B） （C） （D） [解析] 2. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.
3.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得 这个几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 12 [解析] 3. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为. 4. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC， PA＝2AB＝6，则该球的体积为( ) [解析] 4. 三棱锥P－ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即
可把三棱锥P－ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=3，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为. 5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析] 5. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以 其体积为，解得x=2.
2018高考数学空间几何高考真题
2017 年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（） A． C D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．π B．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为棱CD的中点，则（） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A． +1 B． +3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，= =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R， D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（） A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） 2．已知直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB 1与 BC 1所成角的余弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 5 小题） 8．已知三棱锥 S ﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平 面 SCA ⊥平面 SCB ， SA=AC ， SB=BC ，三棱锥 S ﹣ ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面 积为 ． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球O 的 表面积为 ． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ． 11．由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 体积为 ． D ．16
高考立体几何大题及答案理
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ． 32 B ． 155 C ． 105 D ． 33 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ，o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
2017年高考立体几何大题
2017年高考立体几何大题（文科） 1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积.
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; （Ⅰ）证明： 1 （Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
空间几何体立体几何经典高考大题汇编(含答案)16
空间几何体立体几何经典高考大题汇编（含答案)16 未命名 一、解答题 1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.已知3AB =， 2AD =，2PA =， PD = 60PAB ∠=. (Ⅰ) 证明: AD ⊥平面PAB ； (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成角的正切值. 2．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π ∠=，点,D E 在 线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且EF BC ∥. （1）证明：AB ⊥平面PFE ； （2）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长. 3．如图， 是正方形 的 边的中点，将 与 分别沿 、 折起，使得点 与点 重合，记为点 ，得到三棱锥 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 4．如图，底面 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ，
与平面 所成角为 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 5．如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥, EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====. （1）求证：BD ⊥平面ADE ； （2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由. 6．如图，在多面体 中，四边形是正方形，是等边三角 形，． （I ）求证：； （II ）求多面体111ABC A B C -的体积.
空间向量与立体几何高考题汇编62478
1.（2009北京卷）（本小题共14分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==u u u r u u u r u u u r ， ∴ 0,0AC DP AC DB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，() 1120,0,2,,,22P a E a a a ?? ? ?? ?， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ???? =--=- ? ? ? ???? ?u u u r u u u r ， ∴2 cos 2EA EO AEO EA EO ?∠== ?u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45? . 2.(2009山东卷)（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
高考真题空间几何体
空间几何体和三视图、表面积及体积1棱柱的体积公式：V=Sh，其中S是棱柱的底面积，h为 2棱锥的体积公式：V= 1 3Sh，其中S是棱锥的底面积，h为高. 1．（2016全国一卷（7））如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 2.（2016全国三卷10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A ）18+（B ） 54+（C）90 （D）81 3.（2016全国二卷(7)）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 4.（2016浙江9）.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3. 5.（2016天津（3））将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 6.（2016四川）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。 侧视图 俯视图 7.（2016山东5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π 33（B ） 1 +π 33（C ） 1 +π 36（D ） 1+π 6 8．（2016北京11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ___________. 1．[2015·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图10-1所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________． 图10-1 2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是________．
2018年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB． C．D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（） A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（） A．B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
高考真题第四篇空间几何体
高考真题第四篇空间几何体 空间几何体的三视图、表面积和体积 2019年 1.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 2.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 3.（2019天津理1125若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 4.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．6π C ．6π D 6π 5.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”
称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A．158 B．162 C．182 D．32 6.（2019北京11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 俯视图 侧(左)视图 正(主)视图 12 2 1 A．1 B．2 C．3 D．4
立体几何 高考真题全国卷
（2018 文 I ）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ； ⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP - 的体积．（2018 文 I I ）如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． ABCD A CD M A CD C D ⑴证明：平面平面； AMD⊥BMC ⑵在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． AM P MC∥PBD
（2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90 BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积. 90APD ∠= 8 3（2017 文 II ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面, P ABCD -PAD ABCD 1 ,2AB BC AD BAD == ∠90. ABC =∠=?
（1）证明：直线平面; BC ∥PAD （2）若△的面积为，求四棱锥的体积. PCD P ABCD （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ．（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
年高考真题-空间几何体
空间几何体和三视图、表面积及体积１棱柱的体积公式: V=Sｈ，其中S是棱柱的底面积,ｈ为 2棱锥的体积公式:V＝ 1 3Ｓh, 其中S是棱锥的底面积，h为高． 1．（20１6全国一卷（７)）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是＼F（２8π,3),则它的表面积是 (A）17π (B)１8π （Ｃ)20π （D）28π 2.(2016全国三卷１0）如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A） 18365 +（B）54185 +(C)90（D）８1 3.（２０1６全国二卷(7)) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (A）2０π(Ｂ）２4π(C）2８π(D)32π
4.（20１6浙江9).某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是___＿__cm２，体积是＿_____ｃm3. ５.（2０16天津（3)）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧（左)视图为 6．(2０16四川)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积是。 侧视图 俯视图 7.（2０16山东5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π33 (B） 12 +π 33(C） 12 +π 36(D） 2 1+π 6 8．（2016北京11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为＿___＿__＿＿__. 1．[２０１5·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1０-１所示.若该几何体的表面积为16+２0π,则r＝___＿＿___． 图１0-1 2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是_____＿＿_.
2020年高考数学 空间几何体解答题 专练(含答案)
2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。
3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD．
5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
空间立体几何高考知识点汇总及经典题目
空间立体几何高考知识点汇总及经典题目
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空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 （1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 （2） 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2.一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3.空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S rl r ππ=+ 圆台的表面积： 22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π= 4．空间几何体的体积公式 柱体的体积 ：V S h =?底 锥体的体积 ：13 V S h =?底 台体的体积 ： 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上（ 球体的体积： 343 V R π= 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
立体几何高考真题汇编
高中数学立体几何专题训练 1、（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线 为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小． 2、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 3、（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
4、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 5、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=1 2 AC ==BC.求二面角F BC A --的余弦值 . 7（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5 AB=，6 AC=，点E，F 分别在AD，CD上， 5 4 AE CF ==，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D EF ' 的位置OD'=（I）证明：D H'⊥平面ABCD； （II）求二面角B D A C ' --的正弦值 . 8.（15年山东理科）如图，在三棱台DEF ABC -中，2, AB DE = （Ⅰ）求证：// BD平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC,,,45, AB BC CF DE BAC ⊥=∠= 求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小.
2015高考数学(理)一轮题组训练：8-1空间几何体及其表面积与体积
第八篇立体几何 第1讲空间几何体及其表面积与体积 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数是________． 解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题 ②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行 于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 1 2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个 面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．
答案 ①③④⑤ 3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×1 2×a 2＝3，底面积为 34 ×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 3 4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则??? πrl ＝2π， πr 2＝π，∴ ??? r ＝1，l ＝2. ∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝3 3π. 答案 3 3π 5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝4 3π(3)3＝43π.