椭圆第二定义教学设计
椭圆第二定义教学设计
一、背景分析：
本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想.
二、教材的地位和作用：
圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用.
三、学法指导：
以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.
四、教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：
1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2、了解离心率的几何意义；
3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.
五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程；
六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；
七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.
八、教学过程
（一）、引入课题(上一节的例题得出的结果) 例、椭圆的方程为116
252
2=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：202)34(||y MF +-=且1162542
02=+y 代入消去20y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆122
22=+b
y a x 上任一点),(y x M 到焦点)0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？
解：?????=++-=1)(||22
222
2b y a
x y c x MF 代入消去2y 得 2222
2
22)(2||a x a c x a b b c cx x MF -=-++-= ||||||2
2c
a x e c a x a c a x a c -=-=-= 问题：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点M 到右焦点)0,(c F 的距离与它到定直线c a x 2=的距离的比等于离心率a
c 例4：已知动点M 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线c
a x 2
=的距离的比等于常数)(c a a
c >求动点点的轨迹。
（请学生自己探索，并引导学生从以前学的求曲线方程的方法进行证明）
证明过程：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
||
|
MF c P M
a
??
==?
?
||
c
a
x
c
=
-
，
将上式两边平方，并化简，得()()
22222222
a c x a y a a c
-+=-
设222
a c b
-=，就可以化成
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2a、2b的椭圆。（如图所示）【设计目的】
通过“前节课的例题”一方面引导学生注意对前面学过的知识的反思和巩固。另一方面想通过数学符号与文字语言的互译让学生自己注意命题“椭圆上的一点到焦点的距离可以表示成横坐标的函数”然后再由这个函数关系推导出椭圆的标准方程，这样对于学生来说可能就不会那么突然地给出那么多巧合的数据了。
（三）、引出课题【椭圆的第二定义】
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)
e e
<<时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
对于椭圆1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
，相应于焦点)0,
(c
F的准线方程是
c
a
x
2
=．根据对称性，相应于焦点)0,
(c
F-
'的准线方程是
c
a
x
2
-
=．
同理对于椭圆
22
22
1(0)
y x
a b
a b
+=>>的准线方程是
c
a
y
2
±
=．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
（四）、典型例题
例1、①求椭圆22
936
x y
+=的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
②椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是52
，求M 到左焦点的距离为 .
变式：求M 到右焦点的距离为 .
解：①由题意可知右焦点)0,(c F 右准线c a x 2=；左焦点)0,(c F -和左准线c
a x 2
-= 椭圆可化为标准方程为：22
1364
x y +=
，其中22236,4,32,a b c c ====
所以，右焦点为
，右准线为22
a x c ==
左焦点为(-
，左准线为22
a x c ==- 【小结】求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出； ②记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：e d MF =||53||11===a c e d MF 11353||522MF ed ∴==?=13||2
MF ∴= 又由椭的第一定义可知：12217||||210||2
MF MF a MF +==∴= 变式：点M 到左准线的距离是52
，所以点M 到右准线的距离为255058522326a c -=-= 2222||38517||562
MF e MF ed d =∴==?= 【小结】椭圆第二定义的应用和第一定义的应用；注意椭圆中的几个定值的灵活使用，
12||||2MF MF a +=，e d
MF =||，焦距=2c ，两准线之间的距离=22a c 。 例2：已知椭圆的两条准线的方程为253x =±，离心率为35
，求此椭圆的标准方程。 解： 253
x =±准线方程为 2253a x c ∴=且焦点在轴上 222355,3,16c e a a c b a c ==∴===-=又
22
12516x y +=故椭圆的标准方程为
【小结】注意准线方程给出的信息，焦点的位置和2a c 的值； 例3：（备用）已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1:3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标。
【考查内容】椭圆第二定义的应用：到焦点的距离与到准线的距离的互化
解：设(),P x y ，左、右焦点分别为1F 、2F
由已知的椭圆的方程可得12410,6,8,,||||205c a b c e PF PF a ====
=+= 又123||||,PF PF = 12||5,||15PF PF ∴==。
设P 到两准线的距离分别为12,d d ，111||54,5
PF e d d ==， 1254d ∴=，同理2754d =，而21||a d x c =+，即2525||24x =+，则25||4
x =， 254
x ∴=-，代入椭圆方程，得3394y =±， 故点P 的坐标为25339,44??
- ? ???
。
【设计目的】通过例题教学，使学生掌握椭圆标准位置时准线方程的两种形式，能根据标准方程写出其准线方程，能结合第一定义与第二定义解题，并能将第二定义应用到与距离有关的问题中，灵活进行距离的转化，深刻体会数学中的数形结合、转化与化归的思想。
（五）、课堂练习
1．已知 是椭圆
上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到右焦点
的距离为_____________． 2．已知椭圆的两条准线方程为9y =±，离心率为13
，求此椭圆的标准方程。 答案：1．345
2． 22189x y +=