数域的基本概念
数域f的概念
数域f的概念引言在代数学中，数域（field）是一个具有特定代数结构的数学对象，它是一种满足一些特定性质的集合。
数域的概念是代数学中的基础概念之一，它在数论、代数几何、代数拓扑等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数域f的概念，探讨它的性质和应用。
什么是数域f？数域f是一个非空集合，其中包含了加法运算和乘法运算，并且满足一定的性质。
具体来说，数域f需要满足以下四个性质：1.加法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a + b) + c = a+ (b + c)。
2.加法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a + b = b + a。
3.存在加法单位元：数域f中存在一个特殊元素0，使得对于任意的元素a，有a + 0 = 0 + a = a。
4.存在加法逆元：对于数域f中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0。
另外，数域f中的乘法也需要满足类似的性质：1.乘法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a * b) * c = a* (b * c)。
2.乘法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a * b = b * a。
3.存在乘法单位元：数域f中存在一个特殊元素1，使得对于任意的元素a，有a * 1 = 1 * a = a，并且1不等于0。
4.存在乘法逆元：对于数域f中的任意非零元素a，存在一个元素a的逆元素a^(-1)，使得a * a^(-1) = a^(-1) * a = 1。
根据以上定义和性质，我们可以看出，数域f中的加法和乘法都满足结合律和交换律，并且有单位元和逆元。
这些性质使得数域f成为一个具有代数结构的数学对象。
数域f的例子数域f的例子有很多，其中最为常见的是有理数域（Q）、实数域（R）和复数域（C）。
1.有理数域（Q）：有理数包括整数和分数，其中分母不为0。
有理数域中的加法和乘法的定义和性质都符合数域的要求，因此有理数域是一个数域。
1.1线性空间
Ⅱ 求 （1）基I到基II的过渡矩阵； （2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间 定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的 非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的 线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子 集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它 子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘 都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个 实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数 的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法 与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘 两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间； 注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下 不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组 表示。
1,2 ,L ,m
唯一 线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定 线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
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§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
第一节 数域
§1 数域（number field ）教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念.教学重点：数域概念及其证明.教学难点：数域概念.数的发展过程复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−1.数域的概念关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad ba bd acb a b a b a dc b ad c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q ba bc ad Qb a bd ac ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.例2 所有可以表成形式m m n n b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域.证明 ,,P b a ∈∀有P ba Pb a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P ba ab b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.所以P 为一数域.2.数域的性质性质1：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.证明: 设P 是任意一个数域，则有P ∈1,0。
数域_精品文档
数域1. 引言数域是数学中一个重要的概念，它在代数学、数论和几何学等多个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将首先介绍数域的定义和基本性质，然后探讨数域的扩张和剖分，最后讨论数域在几何学中的应用。
2. 数域的定义和基本性质数域是一个满足特定性质的集合，它包含了加法、减法、乘法和除法四种基本运算，并且满足一些基本的公理，如交换律、结合律和分配律等。
常见的数域包括有理数域、实数域和复数域。
数域具有以下基本性质：•封闭性：对于数域中的任意两个元素进行基本运算，结果仍然属于该数域。
•存在唯一性：数域中存在一个称为零元的数，它对于加法具有零元素性质，即对于任意数域中的元素a，都有a+0=0+a=a。
•存在唯一逆元：数域中的每个非零元素都存在一个唯一的逆元，它对于乘法具有逆元素性质，即对于任意数域中的非零元素a，都存在一个元素b，使得a\b=b\a=1。
•分配律：数域中的乘法对于加法具有分配律，即对于任意数域中的元素a、b和c，有a\(b+c)=a\b+a\*c。
3. 数域的扩张和剖分在代数学中，对于一个数域K，如果存在一个包含K的数域L，且L中的元素在加法、减法、乘法和除法运算下仍然满足数域的定义和基本性质，则称L为K的扩张数域。
对于一个有理数域Q，我们可以通过引入一个无理数如根号2来扩张成实数域R，而实数域又可以通过引入一个复数单位i来扩张成复数域C。
这样的扩张数域关系被称为代数扩张。
相反地，对于一个数域L，如果存在一个包含L的子集K，且K在加法、减法、乘法和除法运算下仍然满足数域的定义和基本性质，则称K为L的剖分数域。
剖分数域是扩张数域的逆过程。
4. 数域在几何学中的应用数域在几何学中有广泛的应用。
以复数域为例，复数可以表示平面上的点，并且复数的加法和乘法可以对应于平面上的向量的加法和旋转。
通过将平面上的点与复数建立一一对应关系，我们可以将平面上的几何问题转化为复数域中的运算问题，并可以通过数学方法进行解析和计算。
高等代数教案1
《高等代数》教案一、课程性质与目的各种数学理论在代数中取得了整合与统一，而高等代数是代数学的最基础部分。
高等代数是数学与应用数学、计算机科学、信息与计算等专业的重点基础课程，是这些专业硕士研究生入学考试的必考科目。
这是因为，它不仅是后续课程必备的数学基础，在理论和实际中有着广泛的应用背景，更重要的是这门课程的学习，对提高学生的抽象思维能力，掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，对数学思想、数学思维品质的形成，对培养数学感、数学基本功提高数学修养、数学素质，以及训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力都有着特殊而重要的作用。
二、教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算。
通过课程教学及大量的习题训练等教学环节，使学生做到概念清晰、推理严密及运算准确，以及提高运用已掌握的知识分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容、学时分配及要求授课章节 §1.1 数域 §1.2 一元多项式 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1． 掌握数域的概念。
2． 掌握一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质。
教学重点、难点：一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质 教学内容：§1.1 数域一、引言我们在处理一个数字问题时，往往要用到一些数。
按照所研究的问题，我们常常要明确规定所考虑的数的范围。
例如，求方程440x -=的根。
在有理数范围内此方程无根，在实数范围内，在复数范围内，这个方程有四个根：。
由此可见，同一问题在不同的数的范围内可能有不同的结论。
因此，在这种情况下，要明确规定所考虑的数的范围。
某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。
另外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。
因此所考虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。
根据以上的需要，人们引进了如下所谓数域的概念。
二、数域的定义定义1. 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。
数域知识点总结
数域知识点总结一、数域的基本概念1.1 数域的定义数域是一个满足一定性质的数集合，其中包括了加法、减法、乘法和除法运算。
形式化地，一个数域K是一个集合，其中定义了两个二元运算“+”和“·”，满足以下性质：加法运算“+”满足交换律、结合律、存在零元素和存在相反元素；乘法运算“·”满足交换律、结合律、存在单位元素和对每个非零元素存在乘法逆元素；加法和乘法满足分配律。
在数域中，零元素和单位元素通常分别表示为0和1，非零元素的乘法逆元素通常表示为a^-1。
1.2 数域的例子常见的数域包括有理数域Q、实数域R、复数域C等。
有理数域Q是所有可以表示为分数的数的集合，包括正整数、负整数、分数等；实数域R包括了所有实数的集合，包括有理数和无理数；复数域C包括了所有形式为a+bi的复数的集合，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.3 有限域和无限域根据数域中元素的个数，可以将数域分为有限域和无限域。
有限域是指其元素个数是有限的数域，通常表示为GF(q)，其中q是素数幂。
无限域则是指其元素个数是无限的数域，如实数域R和复数域C。
二、数域的性质和定理2.1 数域的加法和乘法性质在数域中，加法和乘法满足一系列性质，包括交换律、结合律、分配律等。
其中，最重要的性质之一是加法和乘法的交换律和结合律。
交换律表示对于任意的a和b，a+b=b+a，a·b=b·a；结合律表示对于任意的a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)，(a·b)·c=a·(b·c)。
2.2 数域的单位元素和逆元素在数域中，加法单位元素通常表示为0，乘法单位元素通常表示为1。
对于任意非零元素a，其乘法逆元素表示为a^-1，满足a·a^-1=1。
有关单位元素和逆元素的性质和存在性有一系列相关定理和推论，这些是数域中非常重要的内容。
2.3 数域的子域在数域中还有一个重要的概念是子域。
第12讲 域的概念和例子
1 2
设齐次线性方程组
H4×15X15×1 = 0 的解集为A，
用A中的向量作为要传递的信息的编码，称A为码集合。 设x∈F15×1是接收到的一个码字，若正确，则 x∈A。 即有 Hx=0。 现在假设受到干扰, x 有一个分量是错的, 譬如第 i 位。 令 则 ei=(0,…,0,1,0,…,0)T, 第i位 x+ei 是正确的， 即有 H(x+ei )=0, 从而 Hx=Hei ,
♥2.1
域的例子及典型应用
有运算的系统, 就能应用代数的理论和方法.
♥2.1
域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个 运算的代数系统 (F,+, · 其 ), 运算满足:
(I) (F,+)是加群, 单位元叫零元， 记0; a的逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 乘法对加法有分配律;
已知F2={0，1}做成一个二元域。 把 n 元 0 1 序列看作域F2上 n 维向量。 需要考察：研究线性空间的基本手段----数域上 的线性方程组理论和矩阵理论对F2是否还成立。 检验结果：全部有效！ 下面先看一个最简单的纠错方案。令
0 0 H= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z F Q ＝{a/b : a∈Z, b ∈N+ } F 。 所以，理数域是最小的数域。■
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域的例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及典型应用
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定义1，设P是由一些复数组成的集合，其中包 括0与1。如果P中任意两个数（这两个数可以 相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是 P中的数，那么P就称为一个数域。
例：全体有理数组成的集合、全体实数组成的 集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个 数域分别用字母Q、R、C来代表。全体整数组 成的集合（用Z来表示）就不是数域，因为不 是任意两个整数的商都是整数。
1．数域的基本概念
数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论 就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一 个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整 数、有理数、然后是实数、再到复数。这个过 程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所 考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问 题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解 就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知
性质通常称为数的代数性质。代数所研究的问 题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性 质是有理数、实数、复数的全体所共有的。有 时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方 便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑 时，常称它为一个数的集合，简称数集。有些 数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共 有的代数性质。为了讨论中能够把它们统一起 来，我们引入一个一般的概念。
量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就 是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可 以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做 的。因此，在数的不同的范围内同一个问题的 回答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范 围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它 们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有 很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性 质的对象统一进行讨论。关于数的加、减、乘、 除等运算的
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