常微分方程作业(四)

《常微分方程》第四次作业

第4章 n 阶线性微分方程

1．试求下列各方程的通解

（1）0209=+'+''y y y （2）02=+'-''y y y

（3）0=-''y y （4）0)4(=''-y y

（5）0)4(=+y y （6）0=+'-''-'''y y y y

（7）022)4()6(=+''--y y y y

2．试求下述各方程满足给定的初始条件的解：

（1）023=+'-''y y y ，2)0(=y ，3)0(-='y ；

（2）044=+'+''y y y ，4)2(=y ，0)2(='y ；

（3）0='+''y y ，2)0(=y ，5)0(='y ．

3．求下列各方程的通解：

（1）5127=+'-''y y y （2）x y y y 2e 3=+'+''

（3）873782++=+'-''x x y y y （4）)25(e 1362+-=++t t x x x t

（4）x x y y y 2cos 102=+'-''

4．一拉紧弹簧所受到的拉力与它的长度成正比，当弹簧受到9.8N （1kg 力）拉力时，其长度增长1cm 。今有重2kg 的物体挂在弹簧下端，保持平衡。假若将它稍向下拉，然后再放开，试求由此所产生振动的周期。

5．一质量为m 的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。

6．有一LRC 电器，其中LC 并联。再与R 及电器E = t v ωsin 串联，试求：（1）通过电阻R 的电流强度；（2）在解频率等于何值时，电流强度最大或最小？

第5章 定性和稳定性理论简介

1．设0)0,(=t f 用δε-语言叙述微分方程),(d d x t f t

x =的零解不稳定的定义。 2．考虑纯量方程x t a t

x )(d d =，)(t a 是),0[∞+上的连续函数。证明： （1）零解x = 0是稳定的充分必要条件是存在0)(0>t M ，使得⎰≤t

t t M ds s a 0)()(0对一切00≥≥t t 成立。

（2）零解0=x 是渐近稳定的充分必要条件是-∞=⎰∞→t

t t ds s a 0)(lim 。 3．证明方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=)(d d )(d d 2222y x ay x t

y y x ax y t x 的零解是渐近稳定的（其中0>a ）。

4．试研究单摆的运动方程

0sin =+θθl

g

零解稳定性。（提示：把原方程化为方程组ωθ= ，θωsin l

g -= 。构造V 函数),(ωθV = ))cos 1(212θω-+l

g 。 5．对方程组

⎩⎨⎧+-=+=)

()(y x y x y x ψϕ 假设)(x ϕ和)(y ψ分别是x 和y 的连续可微函数，且满足

,0)(0,0)(≠<≠

6．通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y t

y t x d d 2d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x t y x t x 3d d 3d d （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x t y y t x d d d d （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t

y y x t x 3d d 32d d 7．确定下列各方程的奇点类型，轨线分布以及稳定性：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x t y y x t x 43d d 3d d （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x t

y y x t x 4d d 2d d

（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=y x t y y x t x 23d d 2d d （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=y t

y y x t x d d 2d d 8．确定下列方程原点的奇点类型及稳定性：

（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=by x a x t

y y t x )(d d d d 22，0,≠b a 且0422≠-a b ；

（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==x b ay t

y y t x sin d d d d ，0>b 。

参考答案

第4章 n 阶线性微分方程

1．（1）x x C C y 5241e e --+= （2）)(e 21x C C y x +=

（3）)2

3sin 23cos (e e 32211x C x C C y x x ++=-- （4）x x C C x C C y -+++=e e 2321 （5）)2

2sin 22cos (e )2

2sin 22cos (e 43222122x C x C x C x C y x x +++=- （6）)(e e 321C x C C y x x ++=- （7）x C x C C C C C y x x x x sin cos e e e e 65432221+++++=--

2．（1）x x y e 7e 52+-= （2）)2(2)2(2e 8e 12----+-=x x x y

（3）x y --=e 57

3．（1）12

5e e 4231++=x

x C C y （2）x x x C x C y 22121e 73)23sin 23cos (e ++=- （3）343

1126499773e e 2271++++=x x C C y x x （4）)32

12181(e )2sin 2cos (e 2213--++=t t t C t C x t t （5）)3sin 3cos (e 2sin )169

1131(2cos )33829263(21x C x C x x x x y x +++-+= 4．s g

T 22π= 5．)e 1(t m k k mg v --= 6．（1）)sin()(ϕω-=t A t I ，22)1(C

L R V A ωω-+=，R L ωϕarctan = （2）当LC 12=ω时，R

V I =max 第5章 定性和稳定性理论简介

1．（略）

2．提示：写出方程的通解，再根据稳定性定义证明。

3．取)(2

1),(22y x y x V +=证明。 4．稳定 5．取)(2

1),(22y x y x V +=证明。 6．（1）稳定结点 （2）不稳定退化结点

（3）中心 （4）不稳定结点

7．（1）稳定焦点 （2）不稳定焦点

（3）鞍点 （4）鞍点

8．（1）0422≥-a b ，0>b 不稳定结点；0422≥-a b ，0b 不稳定焦点；0422<-a b ，0

（2）鞍点

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