材料力学第四章平面弯曲讲解
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
剪力图和弯矩图(史上最全面)解析
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
材料力学第四章 平面弯曲1
RAx
横截面上的内力如图。
RA
QD
x
N
MD
X0
N RAx 0
Y 0
QDRAqx8020 x
MD(F)0
M DR A xqx/2 80x10x2
13
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
3
§4. 2梁的简化
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
6
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座
1个约束，2 个自由度。 如：桥梁下 的辊轴支座， 滚珠轴承等
7
固定端约束
FAx FAy
游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
2 载荷的简化
集中力
集中力偶
(y)dd y
d
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
62
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有:
E
E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
63
3 静力关系
对横截面上的内力系，有:
方程，并作剪力图和
弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA
Pb l
,
RB
Pa l
(2) 求剪力方程和弯矩方程
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
第四章 弯曲内力 材料力学教学课件
Q (x)x d1 2q(x)(x)d 2M (x)[M (x)dM (x)]0
dM(x) dx
Q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y M(x) Q(x)
q(x) Q(x)+d Q(x) A dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM2(x) dx2
q(x)
24
二、剪力、弯矩与外力间的关系
m XA A
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
C
1. 弯矩：M
YA
Q
构件受弯时，横截面上其作
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
15
2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定: ①剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
Q(+)
Q(–)
MO
L
P 解：①求支反力
YO Q(x) –PL M(x)
M(x) Q(x) x
P x
x
YOP; M OPL
②写出内力方程
Q(x)YOP M( x) YOxMO
P(xL)
③根据方程画内力图
20
q 解：①写出内力方程
M(x) L Q(x) x Q(x)
x
– qL
qL 2 2
Q(x)qx
M(x)12qx2 ②根据方程画内力图
解：
q — 均布力
12
q L m g V L gA 1 L1 g L A 2 L2 gA11gA22g
D 1g t [R 21 2R 2( si)n ]2g
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
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FN=∫
AσdA =
E ρ
∫
A
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴
M
z
M y
zdA
A
的面积矩为零，
中性轴过形心。
dA y z σdA
E
A
yzdA
0
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
Mz=∫ AσdA·y
=
E∫ ρ
A
y2dA
=
E ρ
Iz
1 ρ
=
Mz E Iz
中性层曲率公式
50103 186.56 106
972103 109 1012 60103
Pa
4.34MPa
2.腹板上切应力分布
FQ
S
* z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
S
* z1
70
60
220
924
103
mm
3
1
FQ
S
* z1
Izd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
例 将直径d=1mm的钢丝绕在直径D=2m的卷筒上，试求 钢丝中产生的最大正应力。已知钢丝的弹性模量E=200GPa。
D d
§4-4 梁的强度计算
一、梁的强度计算
对等直梁，最大弯矩截面和最大剪力截面均为危险截面。
中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。 中性轴：中性层与横截面的交线。
中性层
横截面绕中性轴转动
找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变
化规律：
dq
取微段梁dx
1
2
1
2
dx
O1
y
O2
O1'
O2'
a
b
1
2
a'
b'
dx
1
2
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
变形'2=ρdθ =O1O2
M Iz
∫
A*
y'dA
M FN1= Iz Sz*
M FN1= Iz Sz*
FN2=∫ A*σ"dA=
∫
A*
(M +dM)y' Iz dA
(M +dM)
=
Iz
∫ y'dA
A*
(M +dM)
FN2=
Iz
Sz*
y'τ′
FN2 -FN1 = τ bdx
σ'
σ"
dM FN2 -FN1= Iz Sz* = τ bdx
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
280
60
y
解： 1. 作弯矩图 B、D截面为危险截面
MB=-40kN·m MD=22.5kN·m
q=20kN/m
220
A D
B
C
60
4m
2m
c
z
40
1.5m
-
+
22.5 M/kN·m
yc=180 x
max
FQ
S
* z max
Izd
S* z max
180 6090 972103 mm 3
Iz
1 12
220 603
702
220 60 1 12
60 2203
702
60 220
186.56106 mm 3
max
FQ
S
* z max
Izd
一、纯弯曲梁的正应力公式
1.变形几何关系
试件变形后
横线：保持为一条直线,与变形后 的纵线正交，相对原来位置转过 一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短， 下部纵线伸长。 横截面：上部略有扩展，下部略有收缩。
假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。
单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。
描述剪力和弯矩沿粱轴线变化规律的图象称为剪力图和弯矩图。 以平行于梁轴线的坐标轴为x轴,表示横截面的位置；以垂
直于梁轴线的坐标轴为FQ轴或M轴,FQ以向上为正，M以向下 为正，画出的图形称为剪力图或弯矩图。
作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据内力方程作图 （2）根据分布荷载集度与剪力、弯矩之间的微分关系作图 （3）用叠加法作图
FQ d
/
Iz S*
z max
2.翼缘部分切应力 有铅直切应力（很小），也有水平切应力
δ
u
h
δ
z
bu
（a）
dx
τ'1 A
τ1
FN2
FN1
u dx
（b）
dF FN2 FN1
dF 1dx
式中：FN1
dA M
A*
Iz
A*
ydA
M Iz
S
* z
FN2
这时
M(x)y
Iz
1
M(x) =
ρ(x) E Iz
max
Mmax Wz
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。
F=20kN
A
B
C
3m 3m
解： 1. 求最大弯矩Mmax
4
Wz
1 d 3
32
23.36104 mm 3
max
M max Wz
128.4MPa
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz 2080cm3
max
M max Wz
14.42MPa
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉 应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
Iz
21.7MPa
B c max
MB
yD c max
Iz
12.1MPa
D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
60
yc=180
220
c
z
280
60
D截面
y
§4-3 梁横截面上的切应力
切应力与横截面的形状有关 一、矩形截面梁
两个假设
1.切应力与横截面的侧边平行， 与剪力方向一致；
3 2
FQ bh
3ql 4bh
ql
单元体2:
FQ 2 +
ql
4
2
σ σ ＝
9ql 2 max 16bh2
ql2
32
-
3ql2
+
32
l/4
ql 4
- ql
2 ql2 32
-
z
b
单元体3: 3
单元体4:
4
σ My 3ql2 I z 32bh3
τ
FQ
S
* z
9ql
I zb 16bh
1 l/4
1
l/4
q
2 h/4 4
3
l
l/4
z b
解：
(1)求支座反力:
FRA
3 4
ql
FRB
3 ql 4
(2)画FQ图和M图
1 l/4
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
单元体1:
q
1
1
2 h/4 4 3
l/4
l
τ τ
max
z y σ"
（二）沿梁高的切应力分布
S
* z
b( h 2
y) [( h 2
y) /
2
y]
b 2
h2 (
4
y2)
3FQ 2bh
(1 4
y2 h2
)
二次抛物线分布
yh 2
y0
0
max
3 2
FQ bh
τ = FQ Sz* Iz b
剪切弯曲时，横截面上有切应变，横截面不再为平面。 纵向层间发生错动。
变形特点：杆的轴线在纵向对 称平面内弯成曲线。
Me q(x) F
若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不 作用在该面内，这种弯曲统 称为非对称弯曲。
二、弯曲杆件内力回顾
1.剪力和弯矩 计算方法：截面法