材料力学中的拉伸和弯曲
材料力学组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
材料力学第二章
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式 中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方 法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍 意义。
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用 非常广泛。
一些机器和结构中所用的各 种紧固螺栓，在紧固时，要对螺 栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉 力，将发生伸长变形。
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用 非常广泛。
FN F A A
0 , max p sin cos sin sin 2 45 , max 2
2
A A F F F cos F F F p cos cos A A A p 2 k
一 试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
材料压缩时的力学性能
二 塑 性 材 料 （ 低 碳 钢 ） 的 压 缩
p —
S —
比例极限
e —
弹性极限
屈服极限 E --- 弹性摸量
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
材料压缩时的力学性能
三 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全 相同 压缩时的强度极限远大于拉伸时的 强度极限 bc bt
观察变形：
横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴 线，只是分别平行移至a’b’、c’d’。
F
a b
a
b
c
d
c d
F
平面假设—变形前原为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。
直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
从平面假设可以判断： （1）所有纵向纤维伸长相等
（2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
材料力学中的拉伸与压缩性能分析
材料力学中的拉伸与压缩性能分析材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的学科，是现代工程学科的重要分支，具有广泛的应用前景。
在材料力学中，拉伸与压缩性能分析是研究材料强度和刚度的重要内容。
一、拉伸性能分析在材料力学中，桥梁、汽车、飞机等工程构件都要承受拉伸应力。
因此，对材料的拉伸强度进行分析是非常重要的。
拉伸性能分析的主要依据是拉伸试验，它是通过将试件铺在拉力试验机的压板上，载荷再逐渐增加，直到材料发生破坏。
在拉伸试验中，材料的应力为拉伸应力，而杆件的横截面积为受力面积。
因此，拉伸强度的计算公式为:σ = F/A其中，σ表示材料的拉伸应力，F表示施加于材料上的拉伸力，A表示杆件的横截面积。
由此可见，拉伸强度与杆件截面积成反比。
此外，还需要考虑拉伸应力引起的材料变形。
材料在受到拉伸载荷时，会发生形变，如图1所示。
当材料受到载荷时，会出现线性区、屈服点、硬化区等不同阶段的变形，这些阶段的变形特征对应不同的应力应变状态。
例如，屈服点就是达到应力最大值的点，之后材料发生残余形变。
因此，材料的拉伸强度应该包括塑性变形的影响。
图1 材料在拉伸过程中的应力应变曲线二、压缩性能分析与拉伸性能分析相似，压缩性能分析也是材料力学中的重要内容。
可以通过压缩试验来实现对材料压缩强度的分析。
压缩性能分析的公式为:σ = F/A其中，F表示受到的压力，A表示受力面积。
压缩强度与杆件横截面积成正比，直接影响杆件的承载能力。
压缩应力会引起材料的变形，抗压强度除了要考虑材料的承载能力，还必须考虑材料的稳定性。
许多材料在受到强压缩应力时容易发生失稳现象，这可能会导致杆件的严重变形，甚至破坏。
因此，在压缩信号中还必须考虑稳定性因素。
三、结论拉伸和压缩都是材料在外应力作用下的形变方式。
在材料力学中对材料的拉伸和压缩性能的准确分析具有重要意义。
拉伸和压缩试验可以通过一个标准进行，以便于比较不同材料之间的强度和刚度。
分析材料的拉伸和压缩性能可以为工程设计提供有效的参考，这也是材料力学研究的重要内容之一。
拉伸强度、拉伸模量、弯曲强度的单位
拉伸强度、拉伸模量、弯曲强度是材料力学性能的重要指标，它们可以评价材料的抗拉和抗弯能力。
在工程实践中，正确理解并使用这些指标对于材料选择和设计具有重要意义。
本文将分别介绍拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的单位以及其在工程中的应用。
1. 拉伸强度的单位拉伸强度是材料在拉伸过程中抵抗断裂的能力，它是材料的重要力学性能指标之一。
拉伸强度的单位通常使用帕斯卡（Pa）来表示，1Pa 等于1牛顿/平方米。
在工程中，常使用兆帕（MPa）作为拉伸强度的单位，1MPa等于10^6Pa。
2. 拉伸模量的单位拉伸模量是材料受拉力时的应变和应力之间的比值，它可以衡量材料的刚性和变形能力。
拉伸模量的单位通常也是帕斯卡（Pa），在工程中常使用兆帕（MPa）或千兆帕（GPa）作为拉伸模量的单位。
3. 弯曲强度的单位弯曲强度是材料在受弯曲作用时抵抗断裂的能力，它可以评价材料在弯曲应力下的表现。
弯曲强度的单位同样是帕斯卡（Pa），在工程中常使用兆帕（MPa）来表示。
以上是拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的单位，它们是描述材料力学性能的基本指标。
在工程设计和材料选择时，我们需要根据实际应用需求合理选择材料，并且理解和运用这些指标对于提高工程质量和安全性具有重要意义。
希望本文对于读者们加深对以上指标的理解有所帮助。
拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度作为材料力学性能的重要指标，在工程实践中扮演着至关重要的角色。
它们不仅在材料选择和设计中起着决定性作用，还对产品的质量和可靠性产生深远影响。
本文将继续深入探讨拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的相关知识，以便读者更全面地了解和运用这些指标。
4. 拉伸强度的应用拉伸强度是材料在拉伸过程中所能承受的最大应力，它直接影响材料的拉伸性能和断裂特性。
高拉伸强度的材料意味着在受拉力作用下具有更好的抗拉性能，能够更好地承受外部拉伸力的作用。
拉伸强度是评价材料抗拉性能的重要参数，广泛应用于航空航天、汽车制造、建筑结构等领域。
材料力学实验
同时受到弯曲和扭转两种载荷作用下，用应变仪
测定已知点在不同方向上的应变值，并计算出实
验的正应力，从而验证理论计算值。
理论值计算主应力公式
1, 2
1 2
(
x
( x )2 4(t xy)2 )
tg 2 2t xy x
实验六 弯扭组合变形主应力测试 实验
利用已知参数的材料和专用设备，在标准试件
选择测力度盘。调整指针，对准零点，并调整自 动绘图器。
实验二 金属材料的压缩实验
四、实验步骤
3）安装试件 将试件两端面涂以润滑剂，然后准确地放在试验
机球形承垫的中心处。 4）检查试件 5）进行试验
缓慢均匀地加载，注意观察测力指针的转动情况 和绘图纸上的压缩图，以便及时而正确地测定屈服载 荷，并记录下来。
4、记下试验中试样屈服时的扭矩Ts和破坏时的最大扭矩Tb。
5、试样扭断后，立即关机，取下试样，试验结束。
实验三 金属材料的扭转实验
五、思考题
1.铸铁试件扭转实验，从加载到破坏你看到哪些现象。 2.为什么铸铁试件在扭转时沿着与轴线大致成45°的斜截 面上破坏？ 3.低碳钢试件扭转实验，从加载到破坏你看到哪些现象。 4.分析两种材料的断口形状及产生原理。 5.铸铁在压缩和扭转破坏时，其断口方位均与轴线大致 成45°角，其破坏原因是否相同？
实验五 测定材料的剪切弹性模量
四、实验步骤
1.卡取试件直径，为了避免试件加工的锥度和椭圆度 影响，在标距 内选取3个卡点，3个卡点的位置分别选 在标距中间和接近标距的两端。
2.将已卡取直径为 、长为260mm的试件安装在NY— 4型测G扭转试验机上，并固紧。
3.调整两悬臂杆的位置。 4.调整设备加码进行试验。
材料力学拉伸实验报告
材料力学拉伸实验报告 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】材料的拉伸压缩实验徐浩 20 机械一班一、实验目的1.观察试件受力和变形之间的相互关系；2.观察低碳钢在拉伸过程中表现出的弹性、屈服、强化、颈缩、断裂等物理现象。
观察铸铁在压缩时的破坏现象。
3.测定拉伸时低碳钢的强度指标（s、b）和塑性指标（、）。
测定压缩时铸铁的强度极限b。
二、实验设备1.微机控制电子万能试验机；2.游标卡尺。
三、实验材料拉伸实验所用试件（材料：低碳钢）如图所示，四、实验原理低碳钢试件拉伸过程中，通过力传感器和位移传感器进行数据采集，A/D转换和处理，并输入计算机，得到F-l曲线，即低碳钢拉伸曲线，见图2。
对于低碳钢材料，由图2曲线中发现OA直线，说明F正比于l，此阶段称为弹性阶段。
屈服阶段（B-C）常呈锯齿形，表示载荷基本不变，变形增加很快，材料失去抵抗变形能力，这时产生两个屈服点。
其中，B 点为上屈服点，它受变形大小和试件等因素影响；B点为下屈服点。
下屈服点比较稳定，所以工程上均以下屈服点对应的载荷作为屈服载荷。
测定屈服载荷Fs时，必须缓慢而均匀地加载，并应用s=F s/ A0（A0为试件变形前的横截面积）计算屈服极限。
图2 低碳钢拉伸曲线屈服阶段终了后，要使试件继续变形，就必须增加载荷，材料进入强化阶段。
当载荷达到强度载荷F b后，在试件的某一局部发生显着变形，载荷逐渐减小，直至试件断裂。
应用公式b=F b/A0计算强度极限（A0为试件变形前的横截面积）。
根据拉伸前后试件的标距长度和横截面面积，计算出低碳钢的延伸率和端面收缩率，即%100001⨯-=l l l δ，%100010⨯-=A A A ψ 式中，l 0、l 1为试件拉伸前后的标距长度，A 1为颈缩处的横截面积。
五、实验步骤及注意事项 1、拉伸实验步骤（1）试件准备：在试件上划出长度为l 0的标距线，在标距的两端及中部三个位置上，沿两个相互垂直方向各测量一次直径取平均值，再从三个平均值中取最小值作为试件的直径d 0。
《材料力学》第八章组合变形
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)
C
②
30° No.10
A F
天津大学材料力学
型钢－型钢表
天津大学材料力学
解： （1）列平衡方程，计算轴力。
F FN 1 2F sin 30 FN 2 FN 1 cos 30 3F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。 FN2
FN1
30° C
F
A1 2 10.8cm 2 2.16 103 m 2 A2 2 12.748cm 2 2.55 103 m 2
① A 2m F
天津大学材料力学
② B 1m
解：
（1）取AB为研究对象，画 出受力图。 A （2）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN2 B 2m F 1m
M M
A
0, 3FN 2 2 F 0 0, 3FN 1 F 0
B
FN 1
F 2F , FN 2 3 3
1 2
5kN
4
10kN A
1
5kN B
2 10 kN 5 kN
C
3
D
4
E
FN图：
10 kN
天津大学材料力学
§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
FN lim A 0 A
应力符号： σ 应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
直径改变量：
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素 与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
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材料力学中的拉伸和弯曲
材料力学是研究物质受力作用下变形、破坏和失效等问题的学科，是机械设计、工程力学和材料科学等学科的基础之一。
在材料力学中，拉伸和弯曲是两个重要的变形形式，本文将主要介绍材料力学中的拉伸和弯曲。
一、拉伸
1.1 什么是拉伸
拉伸是指把物体受到的外力作用于其两端，在不断拉长的过程中，物体的截面积逐渐减小，同时导致其在某个位置发生破裂或变形等现象。
1.2 拉伸的应力与应变
假设一根长度为L、横截面积为A的棒材，在两端施加同向的拉力F，则其产生的应力σ=F/A。
与此同时，由于受力作用，物体会发生变形，其单位长度的伸长量ε=(L-L0)/L0，其中L0为物体原始长度，L为变形后的长度。
对于大多数材料来说，当应力超
越一定值后，材料就会发生塑性变形，这时其伸长量f不再是线性的，称为应变硬化效应。
1.3 拉伸的断裂
随着外力的不断增加，材料会出现两种断裂形式：韧性断裂和
脆性断裂。
韧性断裂发生在产生大变形后，材料出现明显的颈缩，此时应力集中于颈缩区域，造成无法承受外力而破裂。
脆性断裂
则是因为材料强度不足，无法承受外力，导致破裂。
这主要取决
于材料的机械性能和微观结构。
二、弯曲
2.1 什么是弯曲
弯曲是指把物体受到外力作用于其中间的某个位置，从而使物
体两端产生弯曲的变形。
在弯曲过程中，应力和应变的分布情况
与拉伸有所不同。
2.2 弯曲的应变与应力
在弯曲的过程中，截面经过变形从而产生了曲率。
假设截面收到一个外力F，则该截面上的单位面积应力σ=F/Z，其中Z为截面的截面矩，即Z=I/y，I为截面的截面面积、y为截面的距离中性轴距离。
与此同时，由于弯曲变形，单位长度上的侧向变形量
ey=x/R，其中x为距离中性轴的距离，R为曲率半径。
2.3 弯曲的断裂
与拉伸相似，弯曲也有韧性断裂和脆性断裂两种形式。
但相对于拉伸，弯曲的破坏形式属于韧性断裂，其破坏原因是截面所受的应力过大。
三、拉伸和弯曲的实际应用
拉伸和弯曲是材料力学中最基础、最常用的试验方法之一，广泛地应用于材料性能测试、产品设计以及工程实践中。
例如，通过拉伸实验可以评估材料的强度、塑性、韧性等性能，同时也为后续的制造工艺提供了指导；弯曲实验则可评估材料韧性和其耐用性，对于建筑和桥梁等结构工程中的材料和构件设计也具有重要意义。
总结：
拉伸和弯曲是材料力学的两个基本概念，是衡量材料性能和实现工程设计的必要手段。
了解力学基础理论，可以更好地应用于实际的材料分析和应用中，进而提高设计和制造的合理性，提高产品的品质和科技含量。