材料力学第7章-弯曲刚度
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
材料力学：第七章 弯曲变形
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学-第7章 弯曲变形
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
材料力学第六版答案第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+-3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJB y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l =()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤ 43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
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x
M(x)
FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
M (x) 1 ql x2
2
0 x l
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
解：2．建立梁的弯矩方程
M (x) 1 ql x2
梁的变形与梁的位移
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP x＋FP
x－ l 4
l 4
x
l
积分后，得
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠 度微分方程并分别积分
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
C ql3 , 6
D ql3 24
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
C ql3 , 6
D ql3 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l
4
材料力学 基础篇之六
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第6章 梁的变形分析与刚度问题
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第6章 梁的位移分析与刚度问题
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分
布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和
AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
1＝M
EI
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w 表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角（slope），用表示；
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
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第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性 的。尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中， 对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性 位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发 生刚度失效。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
wB
ql 4 8EI
max
B
ql 3 6EI
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
已知：简支梁受力如
图所示。FP、EI、l均为已
知。求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw
2
dx
1
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M dx2 EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负 号与w坐标的取向有关。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
EIw" M 1 q l x2
2
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
3． 建立微分方程并积分
EIw" M 1 q l x2
2 积分后，得到
EIw' EI 1 q l x3 C
2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 4． 利用约束条件和连续条 件确定积分常数
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
q 6EI
l
x3
l
3
ห้องสมุดไป่ตู้
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得
到：
wmax
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为