材料力学-第七章弯曲剪应力
合集下载
材料力学弯曲剪应力
,max
S
* z ,max
Izd
FS,max
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
第15页/共68页
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
第12页/共68页
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
3 2
FS bh
第4页/共68页
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
第5页/共68页
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
第6页/共68页
(2) 在腹板与翼缘交界处：
第10页/共68页
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
根据 d FS t可1 得d x出
《弯曲剪应力》课件
研究方法：目前，弯曲剪应力的研究方法主要包括理论分析、实验研究和数值模拟等。
研究趋势：未来，弯曲剪应力的研究将更加注重多学科交叉、多尺度研究，以及与工程实 践的结合。
应用前景：弯曲剪应力的研究在工程领域具有广泛的应用前景，如结构设计、材料选择、 疲劳寿命预测等。
弯曲剪应力研究的重要成果与突破
添加项标题
弯曲剪应力的应用：弯曲剪应力在工程设计中具有重要意义，如 桥梁、建筑等结构设计中需要考虑弯曲剪应力的影响。
03
弯曲剪应力的作用
弯曲剪应力对材料的影响
弯曲剪应力会导致材料产生变形和断裂 弯曲剪应力的大小和方向会影响材料的强度和刚度 弯曲剪应力对材料的疲劳寿命有重要影响 弯曲剪应力对材料的塑性变形和弹性变形有影响
单击此处添加副标题
弯曲剪应力
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 弯曲剪应力的概念 弯曲剪应力的作用 弯曲剪应力的应用 弯曲剪应力的研究进展 弯曲剪应力的未来展望
01
添加目录项标题
02
弯曲剪应力的概念
剪应力的定义
剪应力：物体在受到剪切力作 用时，在剪切面上产生的应力
剪切力：作用在物体表面上的 力，使物体产生剪切变形
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
20世纪初，英国科学家泰勒对弯 曲剪应力进行了深入研究，提出 了泰勒公式
21世纪初，中国科学家钱伟长对 弯曲剪应力进行了深入研究，提 出了钱伟长公式
弯曲剪应力研究的现状与趋势
研究现状：弯曲剪应力的研究已经取得了一定的成果，包括理论分析、实验研究和数值模 拟等方面。
弯曲剪应力在智能结构中的应用： 提高结构的稳定性和可靠性，降 低维护成本
研究趋势：未来，弯曲剪应力的研究将更加注重多学科交叉、多尺度研究，以及与工程实 践的结合。
应用前景：弯曲剪应力的研究在工程领域具有广泛的应用前景，如结构设计、材料选择、 疲劳寿命预测等。
弯曲剪应力研究的重要成果与突破
添加项标题
弯曲剪应力的应用：弯曲剪应力在工程设计中具有重要意义，如 桥梁、建筑等结构设计中需要考虑弯曲剪应力的影响。
03
弯曲剪应力的作用
弯曲剪应力对材料的影响
弯曲剪应力会导致材料产生变形和断裂 弯曲剪应力的大小和方向会影响材料的强度和刚度 弯曲剪应力对材料的疲劳寿命有重要影响 弯曲剪应力对材料的塑性变形和弹性变形有影响
单击此处添加副标题
弯曲剪应力
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 弯曲剪应力的概念 弯曲剪应力的作用 弯曲剪应力的应用 弯曲剪应力的研究进展 弯曲剪应力的未来展望
01
添加目录项标题
02
弯曲剪应力的概念
剪应力的定义
剪应力：物体在受到剪切力作 用时，在剪切面上产生的应力
剪切力：作用在物体表面上的 力，使物体产生剪切变形
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
20世纪初，英国科学家泰勒对弯 曲剪应力进行了深入研究，提出 了泰勒公式
21世纪初，中国科学家钱伟长对 弯曲剪应力进行了深入研究，提 出了钱伟长公式
弯曲剪应力研究的现状与趋势
研究现状：弯曲剪应力的研究已经取得了一定的成果，包括理论分析、实验研究和数值模 拟等方面。
弯曲剪应力在智能结构中的应用： 提高结构的稳定性和可靠性，降 低维护成本
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
材料力学课件第七章变曲应力(土木专业)
3
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解： 1）画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上，最大负弯 矩发生在截面 B 上，分
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯 曲 试 验
第七章
试验现象
弯曲应力
（纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关，故 通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲： 梁的剪力恒为零， 弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解： 1）画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上，最大负弯 矩发生在截面 B 上，分
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式－对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯 曲 试 验
第七章
试验现象
弯曲应力
（纯弯与正弯矩作用）
横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关，故 通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲： 梁的剪力恒为零， 弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
材料力学第七章 应力状态
主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析
A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
A
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
Байду номын сангаас
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
1.正应力
My
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
A
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
Байду номын сангаас
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
1.正应力
My
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.7 梁的切应力
2.公式推导 (1) 取微段dx
mn
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m dx n
s2
M
F x
1
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
s1 m dx n
s2
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
8.6106 Pa 8.6 MPa
17
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
18
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
4
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A
*
y* Cbhy yh 2
y
2
2
b 2
任意距离y的水平直线kk'上各
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
ty
FS Sz* I z bkk
求出kk'上各点的切应
力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。
24
圆截面梁横截面上的
t
t
y
FNⅠ
FNII
3
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* sⅠdA
A*
M y1 dA Iz
M Iz
A*
y1 dA
M Iz
Sz*
FNⅡ A* (s Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz
M
dM Iz
A*
y1 dA
M
dM Iz
S* z
FN II FN I t bdx
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
19
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
20
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其
h2 4
y2
Iz
bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
5
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
6
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
9
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
10
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
13
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
14
例题 4-13
解: 1. 求tmax
形心离中性轴的距离(图b)为2r0 ，故求tmax时有
S
* z
π
r0
2r0 π
π
2r02
21
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
Ip
2
A
d
A
2π
r0
r02
2π
r03
及
Ip
2d A
A
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
面上必有由切d F应S 力 Ft1N*′2构成FN的*1 合力。
12.6 106 Pa 12.6 MPa
16
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz
1 2
Ip
π
r03
22
从而有
t max
FS
S
* z
Iz 2
FS 2r02 π r03 2
FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
23
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
如图a所示：认为离中性轴z为
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示， Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
15
例题 4-13
tmax
FS
,max
S
* z ,max
Izd
FS,max
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
7
(2) 在腹板与翼缘交界处：
t min
FS Izd
b
2
h
在中性轴处：
t max
FS
S
* z ,max
Izd
FS Izd
b
2
h
d 2
h 2
2
8
对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。
11
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
根据 d FS t可1 得d x出
t1
FS
S
* z
I z
FS
I z
u
h 2
2
FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u
处有平行于翼缘横截面边长的
切应力t1，而且它是随u按线性
规律变化的。
12
思考题: 试通过分析说明，图a中
2.公式推导 (1) 取微段dx
mn
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m dx n
s2
M
F x
1
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
s1 m dx n
s2
2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
8.6106 Pa 8.6 MPa
17
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
18
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
4
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS ( h 2 y 2 )
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A
*
y* Cbhy yh 2
y
2
2
b 2
任意距离y的水平直线kk'上各
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
ty
FS Sz* I z bkk
求出kk'上各点的切应
力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。
24
圆截面梁横截面上的
t
t
y
FNⅠ
FNII
3
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* sⅠdA
A*
M y1 dA Iz
M Iz
A*
y1 dA
M Iz
Sz*
FNⅡ A* (s Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz
M
dM Iz
A*
y1 dA
M
dM Iz
S* z
FN II FN I t bdx
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
19
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
20
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其
h2 4
y2
Iz
bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
5
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
6
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
9
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
10
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
13
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
14
例题 4-13
解: 1. 求tmax
形心离中性轴的距离(图b)为2r0 ，故求tmax时有
S
* z
π
r0
2r0 π
π
2r02
21
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
Ip
2
A
d
A
2π
r0
r02
2π
r03
及
Ip
2d A
A
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
面上必有由切d F应S 力 Ft1N*′2构成FN的*1 合力。
12.6 106 Pa 12.6 MPa
16
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：
FS
,max
S
* za
Izd
S
* za
166
mm
21
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz
1 2
Ip
π
r03
22
从而有
t max
FS
S
* z
Iz 2
FS 2r02 π r03 2
FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
23
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
如图a所示：认为离中性轴z为
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示， Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
15
例题 4-13
tmax
FS
,max
S
* z ,max
Izd
FS,max
Iz S*
z ,max
d
75103 N 47.73 102m 12.5 103m
7
(2) 在腹板与翼缘交界处：
t min
FS Izd
b
2
h
在中性轴处：
t max
FS
S
* z ,max
Izd
FS Izd
b
2
h
d 2
h 2
2
8
对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。
11
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
根据 d FS t可1 得d x出
t1
FS
S
* z
I z
FS
I z
u
h 2
2
FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u
处有平行于翼缘横截面边长的
切应力t1，而且它是随u按线性
规律变化的。
12
思考题: 试通过分析说明，图a中