三对角线型行列式的求法
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
三对角行列式计算公式推导
三对角行列式计算公式推导要推导三对角行列式的计算公式，我们首先需要定义三对角矩阵。
一个n×n的矩阵A是三对角的，如果它的非零元素只在主对角线上以及位于主对角线上方和下方的相邻两条对角线上。
一个三对角矩阵的一般形式如下：a1b10c2a2b200c3a3b3...0 0 cn an bn其中，ai, bi 和 ci 分别表示第i个主对角线和位于主对角线上方和下方的对角线元素。
det(A) = a1 * a2 * a3 * ... * an - 1 * an - (b1 * c2 * a2 * a3 * ... * an - 1) - (b2 * c3 * a3 * a4 * ... * an - 1) - ... - (bn - 2 * cn - 1 * an - 1 * an)推导过程如下：设三对角矩阵A的行列式为det(A)。
我们可以通过对A的第一列使用行列式展开式来推导det(A)的计算公式。
根据行列式的定义，展开式如下：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12其中，M11是去除A的第一行和第一列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式，M12是去除A的第一行和第二列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式。
我们可以继续展开M11 和 M12 的行列式，直到展开到1×1 的子矩阵。
在展开的过程中，我们会发现只有b1 * c2 * ... *bn - 1 * an - 1 这一项才会保留下来。
通过这个过程，我们可以得到以下递推关系：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12=a1*(a2*M21-b2*M22)-b1*(c2*M21-a2*M23)=a1*a2*M21-a1*b2*M22-b1*c2*M21+b1*a2*M23=a1*a2*M21-a1*b2*M22+a2*b1*M23-b1*c2*M21继续展开，我们得到：det(A) = a1 * a2 * M21 - a1 * b2 * (a3 * M31 - b3 * M32) + a2 * b1 * (c3 * M32 - a3 * M33) - b1 * c2 * M21-a1*b2*a3*M31+a1*b2*b3*M32-a2*b1*c3*M33这一过程可以继续下去，直到展开到最后一个(n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式，此时我们只剩下最后一个主对角线上的元素an。
三对角行列式计算方法和结论
三对角行列式计算方法和结论1. 什么是三对角行列式？说到三对角行列式，很多人可能会一脸懵，觉得这名字听起来就像是数学界的“外星人”。
别担心，咱们慢慢来，轻松搞懂它。
首先，三对角行列式其实就是一个特别的矩阵，只有主对角线及其上下相邻的两条对角线上有数字，其他位置全是零。
这就好比在一块棋盘上，只有“国王”和“王后”能活动，而其他棋子都乖乖待在原地，不打扰他们。
1.1 三对角行列式的形状想象一下，一个三对角行列式像极了一个阶梯，越往下走，越显得整齐划一。
比如说，一个 4x4 的三对角行列式，它的样子大致是这样的：begin{vmatrixa_1 & b_1 & 0 & 0c_1 & a_2 & b_2 & 0 。
0 & c_2 & a_3 & b_3 。
0 & 0 & c_3 & a_4end{vmatrix看到这个形式，你是不是想到了“家有一老，如有一宝”？没错，这个行列式的结构，简洁而有力，绝对是数学界的宝贝。
1.2 计算的重要性三对角行列式的计算可不是随便来玩的，它在数值分析、工程计算以及物理建模中可谓是不可或缺。
想象一下，如果你的计算机程序因为一个行列式出错，那可真是“哎呀，我的老天爷”了！所以，搞清楚如何计算它，简直就像掌握了一门“绝世武功”。
2. 计算方法好啦，接下来我们来聊聊如何计算这个“宝贝”。
其实，计算三对角行列式有个简单而高效的方法，叫做“递推法”。
不如就像做饭，一步一步来，越做越好。
2.1 递推公式我们可以用一个简单的公式来表示它：D_n = a_n D_{n1 b_{n1c_{n1 D_{n2。
听起来有点复杂，其实它的意思就是：当前的行列式等于当前主对角线元素乘以前一个行列式减去上一个主对角线元素和次对角线元素的乘积乘以前前一个行列式。
听起来是不是就像在讲“家族传承”的故事？2.2 计算实例假如我们有一个 3x3 的三对角行列式：begin{vmatrixa_1 & b_1 & 0c_1 & a_2 & b_20 & c_2 & a_3end{vmatrix那我们的计算过程就能这样展开：1. 先算 (D_1 = a_1)。
三对角行列式的计算
Ｄ ＝
以上结果 可作为 公式应 用 。
２ 差分法
首 先 由行 列 式 Ｄ 得 到 一 个 一 般 的 递 推 公 式 Ｄ ＝ ｐ ＋ Ｄ ， 把该关 系式看 作一个 差分方 程 ， 然后 求出特
１ ２ ｏｏ ｃ ｓｌ １
０ １
… …
Ｄ ＝ａ Ｄ
一
Ｉ—
ｂ Ｄ ２ ｃ
一
（ ３ ｎ ）
（） １
数、 组合数学、 计算数学以及工程技术中都有广泛的应用 ，
因而三 对角行 列式 的计算 一直受 到人 们 的关 注
形 如
设 ， Ｊ Ｂ为一 元二 次方程 一仳 ＋ｂ ＝０的根 ， ｃ 则
。
ａ： ＋ ／ － － ａ Ｔ ￣－ － ａ －
０ ０
ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １７ －８ ４ ２ １ ．２ ０ ３ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ６ １７ ６ ．０ ０ ０ ． ２ ｓ
Ｏ
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Ｏ Ｏ
● ● ● ● ● ●
三对 角行 列式 的计 算
１ 递 推法
递推 法可分 为 直 接递 推 和 间接 递 推 。用直 接 递 推 法 计算 行列 式 Ｄ 的关 键 是 找 出一 个 关 于 的代 数 式 来 表示 Ｄ ， 次从 Ｄ — ： 一 —一 …—一Ｄ 逐 级递 推便 可 依 。 Ｄ— 以求 出 Ｄ 的值 ； 间接 递推 的做法 是 ， 借助 于行列 式 中元 素
Ｄ
＿￣”４４ ｛（ 一ｂ 号口ａ （ ） ２ （－ 。 ２一 ｃ ＋ ）６ ）Ｕ ，一 。 ｃ ￣
，
３ 数 学归 纳法
利用 数学 归 纳法 来计 算 三对 角行 列 式 ， 两步 进行 ： 分
利用对角线法则计算三阶行列式
利用对角线法则计算三阶行列式行列式，听起来是不是很高深？别担心，今天我们要聊的就是这东西的计算法。
你也许觉得这名字很陌生，但其实在我们日常生活中，很多数学问题都离不开它。
就像吃饭的时候离不开筷子一样，行列式在数学中也有着它的独特地位。
今天咱们就来聊聊怎么用“对角线法则”来计算三阶行列式，保证让你听了之后感觉像是学会了一招绝世武功一样。
1. 什么是三阶行列式？首先，别被“行列式”这词吓到。
行列式其实就是一个数字，它能够告诉我们一个矩阵的很多有用信息。
而三阶行列式，顾名思义，就是处理一个3×3的矩阵的行列式。
想象一下，你有一个3x3的方阵，比如说：begin{vmatrixa &b & cd &e & fg & h & iend{vmatrix这就是你需要计算的三阶行列式。
简单来说，它就是一个由9个数构成的方阵，咱们的目标就是算出这个矩阵的值。
听起来是不是有点头大？别急，我们要用的是对角线法则，这个方法可以让你一瞬间就能搞定。
2. 对角线法则的步骤2.1. 画出对角线首先，拿出你的铅笔或者是想象中的笔，准备开始动手了。
对角线法则的关键就是“对角线”，也就是说，我们要在这个矩阵里画出几条对角线。
具体的，咱们需要画出两条从左上角到右下角的对角线，和两条从右上角到左下角的对角线。
这样一来，整个方阵就被划分成了许多小块。
2.2. 计算对角线上的乘积接着，就是计算这些对角线上的乘积了。
简单来说，就是把每条对角线上的数字都乘起来，然后把结果加在一起。
比如说，第一条从左上到右下的对角线是：a、e、i，我们就计算a×e×i。
第二条对角线是：b、f、g，这样我们就计算b×f×g。
然后我们加上这些结果。
2.3. 计算另一组对角线上的乘积然后呢，我们也需要计算从右上到左下的对角线的乘积。
第一条对角线是：c、e、g，我们就计算c×e×g。
三对角行列式的计算及应用
13届分类号：单位代码:10452毕业论文（设计）三对角行列式的计算及应用2013年04月10日摘要线性代数作为现代代数的重要组成部分,其中最重要的内容是矩阵和行列式。
它们不仅活跃在数学的各个分支，同时也是现代物理及其他一些科学技术领域中不可缺少的工具.行列式是方阵的一个重要数值特性，在矩阵理论、计算数学和解析几何中都起着重要作用。
本文将利用行列式的性质及组合计算技巧，介绍三对角行列式的计算方法及其应用。
具体内容如下:1。
介绍行列式的定义与性质，尤其对拉普拉斯定理进行了较详细的论证。
2. 阐述三对角行列式的定义及其相关的性质定理，并着重讨论三对角行列式的应用,同时给出相关例题.3. 通过用求解带有不同边界条件的差分方程的办法来求解特殊三对角矩阵的特征值，并将三对角矩阵的特殊性归结为边界条件的不同，由此给出这类特殊三对角矩阵特征值的计算公式.关键词：行列式;三对角行列式;差分方程；特征值ABSTRACTLinear algebra as an important part of modern algebra，one of the most important elements of it matrix and determinant.They active in various branches of mathematics，but also a number of modern physics and other fields of science and technology an indispensable tool。
An important determinant is the square value of properties.In matrix theory, computational mathematics and play an important role in analytic geometry.This article will use the determinant of the nature and combination of computational techniques, give several special calculating methods of it and its applications。
三对角线型行列式的求法
三 对 角 线 型 行 列 式 Ⅲ是 ｎ阶 行 列 式 中 一 种 常 见 的 行 列 式 ，此 行 列 式 的 特 点 是 ，除 主对 角线 及 其 上 下 两 条 次对 角线 的元素外 ．其余的元素都为零 。对于此类行列 式 ．我 们 需 要 寻 找 其 所 具 有 的具 体 特 点 ．进 而 确 定 具 体 的计算方 法 ．得 到一般的计算公式 。下 面我们 通过举 例 的方式对 三对 角线型行 列式 的计算 方法 进行 探讨 ．进 而 对不同特点 的此类 行列式我们得 到一般 的计算方 法 与计算公 式。
所 以 ．
…＝
等 。 ２＿４ 。）
Ｉ（ｎ＋１）Ｘｎ ｘ＝ｙ（ｂＥ－４ａｃ＝Ｏ）
（１５）
由 于 ｘ，ｙ是 方 程 ２－６ ＋ ＝０的两 个 实 根 ．所 以在 具 体 计 算 时 ，只 需 将 口，ｂ，ｃ代 人 方 程 ，得 到方 程 的实 根 ，再代人公式 （１５），即可求得到三对角线 型行 列式 的值 。
如 行 列 式陶：
７ ５ ０
２ ７ ５
０ ２ ７ Ｄ，ｌ＝
０ ０ ０ ０ ０ ０
● ● ●
● ●
０ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ
７ ５ ２ ７
此 行 列 式 中 ａ＝５，ｂ＝７，ｃ＝２，满 足 ｂ２－４ａｃ＝４９—４０＝９＞ ０，求 解 方 程 ｗ２－７ｗ＋１０＝０得 到 实 根 ｘ＝２，ｙ＝５，所 以套 用
０ ０
Ｄ ， （Ｄ ｔ叫Ｄ ）＝ （Ｄ —姬 ）
＝…＝ｙ－－２（Ｄ２－ｘＤ，）＝ｙｎ－２（ｘ
）
由 （３）式 反 复利 用低 阶代 替 高 阶 ，可 得 ： Ｄ．－ｙＤ ｌ＝ｘ（Ｄ １－ｙＤａ＿２）＝ｘ （Ｄ， 厂ｙＪＤ ） ＝…＝ｘ￣－２（Ｄ２－ ｌ１＝Ｘｎ－２（Ｘ２＋ 产 ｒ） 将 （４）、（５）两 式 联 立 ，即 ：
三对角行列式公式
三对角行列式公式三对角行列式公式是线性代数中的一个重要概念，它在解决许多数学问题时都有着关键的作用。
咱先来说说啥是三对角行列式。
简单来讲，就是主对角线以及与其相邻的两条对角线上有非零元素，其他位置都是零的行列式。
比如说，像下面这个样子：\[\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\0 & c_2 & a_3 & b_3 & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n\end{vmatrix}\]这就是一个典型的三对角行列式。
那三对角行列式公式到底是啥呢？其实它的公式有点复杂，不过别怕，咱们一点点来。
假设我们有一个 n 阶的三对角行列式 \(D_n\) ，那么它可以通过递推的方式来求解。
咱就拿一个具体的例子来说吧。
有一次我给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，一直皱着眉头。
我就问他：“咋啦，没听懂？”他怯生生地点点头。
然后我就重新给他一步一步地讲。
比如说，我们有个三阶的三对角行列式：\[\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & 2 & 1 \\0 & 3 & 2\end{vmatrix}\]我们先按照一般的行列式展开法则来算。
第一步，把第一行展开：\[\begin{align*}&2\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\3 & 2\end{vmatrix} - 3\times\begin{vmatrix}1 & 0 \\3 & 2\end{vmatrix} \\=&2\times(2\times 2 - 1\times 3) - 3\times(1\times 2 - 0\times 3) \\=&2\times 1 - 3\times 2 \\=& -4\end{align*}\]这就是具体的计算过程。