必修5第二章《数列》基础知识总结

数列基础知识总结

一、要点透视

数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切。

在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。

由于数列可以看成是正整数集*

N或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。

二、知识复习

（1）有关概念：

1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。

2°数列的通项公式：如果数列{a

n }的第n项a

n

与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数

列的通项公式。

3°数列的递推公式：如果已知数列{a

n }的第一项（或前n项，且任一项a

n

与它的前一项a

n-1

（或前n项）

间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

4°若数列{a

n }的前n项和为S

n

则

a

S S n

S n

n

n n

=

-≥

=

⎧

⎨

⎩

-1

1

2

1

（）

（）

（2）等差与等比数列

1．数列求通项与和

（1）求通项常用方法：观察，归纳，叠加，叠乘，数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--1

1

s s s n n

1

2

=≥n n 。 （2）数列前n 项和

①重要公式：1+2+…+n=21n(n+1)；12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=4

1

n 2(n+1)2；

②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；

③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ；

④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

)11(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

、

)1(1+n n =n 1－11+n 等。 ⑤错位相减法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。

n n n c b a ⋅=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则

1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++，… 例如：求这个数列的前n 项和：,...21)

12,...(4

13,21

1n

n -⋅

⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。 ⑦通项分解法 n n n c b a ±= （4）数列有关结论 1.由S n 求a n ，a n ={

)

,2()

1(*

11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列

出。一般已知条件中含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑用上述公式；

2.等差数列 *),2(2(111N n n a a a d d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-为常数）｝｛Bn An s b an a n n +=⇔+=⇔2；

3.等比数列

;q a a N)n 2,(n a a a }a 1-n 1n 1n 1-n 2

n n ⋅=⇔∈≥⋅=⇔+｛ 4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.

5.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或解决；或者由n d a n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质来确定n 的值，进而求出前n 项

和最值。

6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；

7.等差数列中, a m =a n + (n －m)d,

n

m a a d n m --=

; 等比数列中，a n =a m q n-m ; q=m

n m

n a a -;

8.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N ＊）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ； 9.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 、a 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；

10.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；

11.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶—S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N*）； 12.若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1

(1

1-+=-+-k b a k k b a n n (n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

三、典型例题

例1．数列{}n a 中11=a ，)2(12

1

1≥+=-n a a n n ，求该数列的通项公式n a 。 解：由)2(1211≥+=

-n a a n n 有：)2(2

1

21-=--n n a a )2(21221≥=--∴-n a a n n

故数列{}2-n a 是以21为公比的等比数列，且首项为121-=-a n n a --=∴122

评注：一般地，形如q p q pa a n n ,(1+=-为非零常数，)1≠p ，可变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，其中

1-=

p q λ，则⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-+1p q a n 是一个公比为p 的等比数列。 例2．设{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(*1221N n a a na a n n n n n ∈=⋅+-+++，则其的通项公式

=n a 。

解：0)1(12

21=⋅+-+++n n n n a a na a n Θ，

即0)(])1[(11=+⋅-+++n n n n a a na a n {}n a Θ是各项为正的数列，01>+∴+n n a a 0

)1(=⋅-+∴n n a n a n 1

1+=∴

+n n

a a n n ,

n

n a a a a a a a a n n 1

4332211342312-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅-