支路电流法例题
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如图示电路用支路电流法求各支路电流
余元件。
2.实际电源的等效分析
电压源或电流源向同一个负载电阻供电，若能产生相 同的供电效果，即负载电阻上的电压和电流分别相 同，则这两个电源是等效的。
I
I
+
+
+
E-
U
IS
R'0 U
R0
¯
¯
I
+
+
E-
U
R0
¯
（a）
I
+
IS
R'0 U
¯
（b）
由图（a）可知， U E IR0
由图（ｂ）可知
两者等效，因此
例1：如图示电路用支路电流法求各支路电流。
I1 a I2
R1
I3
R2
+
Ⅰ R3 Ⅱ +
E1
E2
－
－
b
①设各支路电流的方向，选定网孔回路的绕行方向；
②根据KCL可列出节点电流方程式；
I1 I2 I3 0
③ 根据KVL可列出KVL方程式；
I1R1 I3R3 E1
I2R2 I3R3 E2
第2章 电路的基本分析方法
2.1 简单电阻电路分析 2.2 复杂电阻电路分析 2.3 电压源与电流源的等效变换 2.4 电路定理 2.5 含受控源 电阻电路分析 2.6 非线性电阻电路的分析
2.1 简单电阻电路分析
2.1.1 电阻I 的串联
+
+
I
+
R1
R1
+U1 U－1 －+
UU
RR22 +U－U－22
2、分类及表示方法
第4章 支路电流法
支路电流法说明：这是电工学课程直流电路章节中的一小节，故所用例题均为直流电路。
但支路电路法其实适用于任何电路的分析，是电路分析的基本方法。
一、引言（问题的引出）图1所示为一简单电路，它有三条支路，如果要求求出这三条支路的电流I 1、I 2、I 3，应该怎么办？(请学生思考并回答。
)图1 图2这个电路可通过欧姆定律及电阻串并联等效化简的方法方便地求解，如果电路变成图2，则又如何求解呢？是否可用同样方法求解呢？答案是否定的。
象这类仅仅用欧姆定律及电阻串并联等效化简的方法不能求解的电路称为复杂电路。
而支路电流法是求解复杂电路的最基本方法之一。
在支路电流法中，除了欧姆定律外，还要用到电路分析中的另一个重要定律：克希荷夫定律（或基尔霍夫定律）。
此时适当复习一下该定律。
二、支路电流法支路电流法：以电路中的支路电流作为待求量，应用基尔霍夫电流定律（KCL ）和基尔霍夫电压定律（KVL ）分别对节点和回路列出所需要的方程电流。
支路电流求出后，其它电量就很容易得到。
下面用支路电流法计算图2电路的电流I 1、I 2、I 3。
1、 为了求解图2电路的3个支路电流I 1、I2、I 3，首先标出各个电流的正方 向，并明确应该列出3个互相独立的方程才能求解。
问题是这三个方程怎么列？2、 用克希荷夫定律列方程(1)先用 KCL 对节点列出方程（称节点电流方程）。
该电路有2个节点，设为A 、B 。
对节点A 有： I 1+I 2-I 3=0 (1) 对节点B 有： -I 1-I 2+I 3=0 (2)显然两式不独立，所以用KVL 可列出1个独立方程，现选（1）式。
一般地，对于有n 个节点的电路，只能列出n-1个独立电流方程。
RR 2 I 2U R2 U(2)然后用KVL 列出所需要的另二个方程（注意是独立方程），称回路电压方程。
选择二个回路，并设定其绕行方向如图所示。
（该电路共有三个回路） 对回路1应用KVL ，得：I 1R 1+I 3R 3-U S 1=0 (3) 对回路2应用KVL ，得：-I 2R 2-I 3R 3+U S 2=0 (4) 若再对回路3列方程：U S 1-I 1R 1+I 2R 2-U S 2=0 (5)很显然，该式是前二式的线性组合，不是独立方程，这样，用KVL 列出了2个相互独立的方程（3）和（4），当然也可以是（4）、（5）或（3）、（5）。
3.3.1支路电流法 - 支路电流法——【江苏大学 电路原理】
3.3 支路电流法
支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路 方程并进行电路分析的方法，称 为支路电流法。
例3
R2 i2 1
2
R4
i3
i4
R3
3
对n个结点、b条 支路的电路，未知量 共 有 2b 个 。 列 出 2b 个 独立的电路方程，求
R1 i1 R6
4 R5 i5 + uS –
解2b个变量。
i6 此例中 b = 6， n = 4 独立方程数为2b = 12个。
2
R2
i2
i3
R4 (a) 标定各支路方向，则：
i4
u1 =R1i1， u2 =R2i2，
1
R3
3 u3 =R3i3， u4 =R4i4， (1)
R1 i1
4 R5 i5
u5 =R5i5，
R6 + uS –
i6
u6 = – uS+R6i6
（b=6，6个方程，取关联参考方向）
例3
2
R2
i2
i3
R4 (b) 选结点④为参考结点，
例5
R4
+
u2–
i4 a
3 R3
i3
b i6
补充方程：
i1 R1 uS +
i2 +
1R2 u2 –
2 R5
i5 +
4 u i1
–
i6 = i1
u2= – R2i2
(7) (8)
–
c R1i1 – R2i2 = uS
(3)
KVL方程：
R2i2+ R3i3 +R5i5 = 0 (4)
–R3i3+R4i4 = –µu2
支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路 方程并进行电路分析的方法，称 为支路电流法。
例3
R2 i2 1
2
R4
i3
i4
R3
3
对n个结点、b条 支路的电路，未知量 共 有 2b 个 。 列 出 2b 个 独立的电路方程，求
R1 i1 R6
4 R5 i5 + uS –
解2b个变量。
i6 此例中 b = 6， n = 4 独立方程数为2b = 12个。
2
R2
i2
i3
R4 (a) 标定各支路方向，则：
i4
u1 =R1i1， u2 =R2i2，
1
R3
3 u3 =R3i3， u4 =R4i4， (1)
R1 i1
4 R5 i5
u5 =R5i5，
R6 + uS –
i6
u6 = – uS+R6i6
（b=6，6个方程，取关联参考方向）
例3
2
R2
i2
i3
R4 (b) 选结点④为参考结点，
例5
R4
+
u2–
i4 a
3 R3
i3
b i6
补充方程：
i1 R1 uS +
i2 +
1R2 u2 –
2 R5
i5 +
4 u i1
–
i6 = i1
u2= – R2i2
(7) (8)
–
c R1i1 – R2i2 = uS
(3)
KVL方程：
R2i2+ R3i3 +R5i5 = 0 (4)
–R3i3+R4i4 = –µu2
移动互联应用技术《1.4支路电流法》
第三页，共三页。
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14支路电流法
例题2：如下图电路，R1＝R2＝1Ω，R3＝2Ω，US1＝4V，US2＝2V，US3＝ 。试求各支路电流。
解：①此题电路中有2个节点a和b，4个支路电流I1、I2、I3和I4，3个 网孔Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。设电流参考、网孔绕向方向如下图。
②根据CL、VL分别列出节点a和网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ方程组
I1−I2−I3−I4＝0 R1I1 R3I3＝US1 R3I3＝US2 R2I2＝US2 −US1
③将数据代入得
I1−I2−I3−I4＝0 I1 2I3＝4 4I3＝2 I2＝2−28 ＝ −08
④联立求解方程组得 I1＝2A I2＝− I3＝1A I4＝
I2＝−。
第二页，共三页。
内容总结
14支路电流法。列网孔ⅠVL R1I1 R3I3＝US1。③求解方程得 I1 ＝ 4A。I2 ＝ − 2A。〔1〕设定各支路电流的参考方向和网孔〔回路〕的绕 行方向。〔2〕当电路有个n节点时，那么列出〔n－1〕个节点的CL电流方程。〔3〕当电路有个m个网孔时，那么列出m个网孔的VL电压方程。 ②根据CL、VL分别列出节点a和网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ方程组。I1＝2A I2＝− I3＝1A I4＝。I2＝−
列网〔孔3Ⅰ〕V当L电R路1I有1 R个3mI3个＝网US孔1时，那么列出m个网孔的VL电压方程；
列网孔ⅡVL − R3I3 − R2I2＝− US2 ②代〔入4〕条联件立得求I解1I方2＝程I组3 ，得出各支路电流。
I1 4I3＝12 − 4I3 − I2＝− 6
③求解方程得 I1 ＝ 4A I2 ＝− 2A I3 ＝2A。
14支路电流法
例题从1例：题电可路得如支下路图电，流R1法=R的2解=1题Ω步，骤R3：=4Ω，US1=12V，US2=6V ，求I1、I2和I3。
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14支路电流法
例题2：如下图电路，R1＝R2＝1Ω，R3＝2Ω，US1＝4V，US2＝2V，US3＝ 。试求各支路电流。
解：①此题电路中有2个节点a和b，4个支路电流I1、I2、I3和I4，3个 网孔Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。设电流参考、网孔绕向方向如下图。
②根据CL、VL分别列出节点a和网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ方程组
I1−I2−I3−I4＝0 R1I1 R3I3＝US1 R3I3＝US2 R2I2＝US2 −US1
③将数据代入得
I1−I2−I3−I4＝0 I1 2I3＝4 4I3＝2 I2＝2−28 ＝ −08
④联立求解方程组得 I1＝2A I2＝− I3＝1A I4＝
I2＝−。
第二页，共三页。
内容总结
14支路电流法。列网孔ⅠVL R1I1 R3I3＝US1。③求解方程得 I1 ＝ 4A。I2 ＝ − 2A。〔1〕设定各支路电流的参考方向和网孔〔回路〕的绕 行方向。〔2〕当电路有个n节点时，那么列出〔n－1〕个节点的CL电流方程。〔3〕当电路有个m个网孔时，那么列出m个网孔的VL电压方程。 ②根据CL、VL分别列出节点a和网孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ方程组。I1＝2A I2＝− I3＝1A I4＝。I2＝−
列网〔孔3Ⅰ〕V当L电R路1I有1 R个3mI3个＝网US孔1时，那么列出m个网孔的VL电压方程；
列网孔ⅡVL − R3I3 − R2I2＝− US2 ②代〔入4〕条联件立得求I解1I方2＝程I组3 ，得出各支路电流。
I1 4I3＝12 − 4I3 − I2＝− 6
③求解方程得 I1 ＝ 4A I2 ＝− 2A I3 ＝2A。
14支路电流法
例题从1例：题电可路得如支下路图电，流R1法=R的2解=1题Ω步，骤R3：=4Ω，US1=12V，US2=6V ，求I1、I2和I3。
第03章支路电流法、回路电流法例题讲解
(0.05+0.025+0.1)UA-0.1UB= 6 -0.1UA+(0.1+0.05+0.025)UB= -6
(2) 解方程，得： UA=21.8V， UB= -21.82V
(3) 各支路电流： I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I5= UB /20=-1.09mA
U I / 2
对2回路列写KVL方程得 2U U Us 0
Us U I / 2
端口输入电阻 Req Us / 2I I / 4I 1 / 4
例5. 求图中的电流i1与i3
解：用电源等效变换求解此题，变换过程如图a,b,c所示
a
I4
6 1 3
1.5A
b
c
解：
I1 5 / 1 5A
I2 4 / 2 2A
I3
5
3
4
3A
I5 I1 I3 8A
I4 I2 I3 5A
例4. 求图示电路的端口输入电阻
解： 对a点列写KCL方程得 I1 I 2I I 对1回路列写KVL方程得 2U I1 0
I5
-240V
40k
20k
1
3. 试列写下图含理想电压源 电路的结点电压方程。
+ U_
G1 G3 G2
2
3
s
G4
G5
练习答案：
1. 列写下图含VCCS电路的 结点电压方程。
iS1
1 R2
+ uR2 _
R1
R3
gmuR2
解：
第二章(三) 支路电流法
支路电流法
回顾：
1.基尔霍夫电流定律（KCL）
在任一瞬时，流入任一节点的电流之和必定等 于从该节点流出的电流之和。
如图：
i ＝ i1 ＋ i2
+ u －
i i1
R1
i2
R2
2 . 基尔霍夫电压定律（KVL）
在任一瞬时，沿任一回路电压的代数和恒 等于零。
u 0
回路I
电压参考方向与回路绕行方向一致时 取正号，相反时取负号。
i2 R2 i3 R3 us 2
二. 用支路电流法解题的步骤
1.假定各支路电流的方向和回路方向。 2.用基尔霍夫电流定律列出独立节点方程。 3.用基尔霍夫电压定律列出独立回路方程。 4.代入已知数,解联立方程式,求出各支路的电流。 5.确定各支路电流的实际方向。当支路电流计算结果 为正值时，其方向和假设方向相同；当支路电流计算 结果为负值时，其方向和假设方向相反。 6.根据电路的要求,求出其它待求量。如支路或元件上 的电压、功率等。
例题：如图，已知电源电动势Ｅ１＝４２ Ｖ,Ｅ２＝２１ Ｖ电阻 Ｒ１＝１２，Ｒ２＝３ ，Ｒ３＝６ ，求各电阻中的电流。
解：(1) 设各支路电流方向、回路绕行方向如图。
(2)列出节点电流方程式： Ｉ１＝Ｉ２＋Ｉ３ ①
(3)列出回路电压方程式： －Ｅ２+Ｉ２Ｒ２－Ｅ１＋Ｉ１Ｒ１＝０ ②
Ｉ１
Ｒ１
Ｉ２
图示电路 （1）电路的支路 数b=3，支路电流 有i1 、i2、 i3三个。 （2）节点数n=2， 可列出2－1=1个独 立的KCL方程。 节点a
i1
R1 + us1 － Ⅰ
a
i2 i3
R3 Ⅱ R2 + us2 －
回顾：
1.基尔霍夫电流定律（KCL）
在任一瞬时，流入任一节点的电流之和必定等 于从该节点流出的电流之和。
如图：
i ＝ i1 ＋ i2
+ u －
i i1
R1
i2
R2
2 . 基尔霍夫电压定律（KVL）
在任一瞬时，沿任一回路电压的代数和恒 等于零。
u 0
回路I
电压参考方向与回路绕行方向一致时 取正号，相反时取负号。
i2 R2 i3 R3 us 2
二. 用支路电流法解题的步骤
1.假定各支路电流的方向和回路方向。 2.用基尔霍夫电流定律列出独立节点方程。 3.用基尔霍夫电压定律列出独立回路方程。 4.代入已知数,解联立方程式,求出各支路的电流。 5.确定各支路电流的实际方向。当支路电流计算结果 为正值时，其方向和假设方向相同；当支路电流计算 结果为负值时，其方向和假设方向相反。 6.根据电路的要求,求出其它待求量。如支路或元件上 的电压、功率等。
例题：如图，已知电源电动势Ｅ１＝４２ Ｖ,Ｅ２＝２１ Ｖ电阻 Ｒ１＝１２，Ｒ２＝３ ，Ｒ３＝６ ，求各电阻中的电流。
解：(1) 设各支路电流方向、回路绕行方向如图。
(2)列出节点电流方程式： Ｉ１＝Ｉ２＋Ｉ３ ①
(3)列出回路电压方程式： －Ｅ２+Ｉ２Ｒ２－Ｅ１＋Ｉ１Ｒ１＝０ ②
Ｉ１
Ｒ１
Ｉ２
图示电路 （1）电路的支路 数b=3，支路电流 有i1 、i2、 i3三个。 （2）节点数n=2， 可列出2－1=1个独 立的KCL方程。 节点a
i1
R1 + us1 － Ⅰ
a
i2 i3
R3 Ⅱ R2 + us2 －
节点电压法经典例题
I2= (VA- VB)/10k= 4.36mA
I3= VB-U= (VB +240)/40k= 5.45mA I4= VB /40=0.546mA
I5= VB /20=-1.09mA
节点电压法的习题
（类型1：支路含有电压源与电阻串联）
例2. 用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω， R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V，is=1A。 解：
（5）将各支路电流代入，得结点方程 （6）解方程组
R5 i5 + US -
i1=(Va-Vb)/R1 =(Va-Vb)G1
Va
R1 Vb R3 Vc
i2=(Vb-0)/R2 =VbG2
iS
i1
i3
R2
i2
i4 R4
i3=(Vb-Vc)/R3 =(Vb-Vc)G3 i4=(Vc-0)/R4 =VcG4
Gkk:自电导(为正) ，k=1,2,…m
Gjk:互电导(为负），j≠k
isk : k=1,2,…m ，流进结点k的全部电流源电流的代数和
UskGk : k=1,2,…m ，与结点k相联的电压源串联电阻支路转换 成等效电流源后流入结点k的源电流的代数和
从上式可以看出节点方程有以下的规律性：
（1）G11 = G1＋G5，是连于节点1的所有电导之和。 （2）G22 = G1＋G2＋G3，是连于节点2的所有电导之和。 （3）G33 = G3 ＋ G4＋G5，是连于节点3的所有电导之和。 （4）G11、G22和G33称为自电导，恒取正。其余元素是独立
(1 R1
1 R2
1 R3
)Va
（ 1 R2
+
1 R3
）Vb
is
uS R2
练习题网络线图如图所示,已知部分支路电流,求电流_OK
i1+i5-i7-i8-i9=0再由欧姆定律得 U1/10+u5/20-u7/50-u8/25-u9/100=0 将(1)中求出的各电压代入上式得：u1=6V
13
练习题007：
电路如图所示，选一树，求出电流i。
14
练习题007解答：
选择如图所示的树，由基本割案上的KCL求得树支 电流为
i1=15A+i+5A=20A+i；i2=15A+5A+10A+i=30A+i； i3=5A+i；i4=10A+5A=15A
11
练习题006：
电路如图所示。 (1)选一树，使得各连支电压均可用电压u1表示；
(2)取一割集，列一方程，求出u1。
12
练习题006解答：
(1)选择如图实线所示的树。则由基本回路上的KVL 得各连支电压为
基本回路135：u5=u1+u3=u1+50V 基本回路246：u6=u4-u2=100V-1.5u1 基本回路13724：u7=-u3-u1+u4-u2=50V-2.5u1 基本问路1384：u8=-u3-u1+u4=50V-u1 基本回赂149：u9=-u1+u4=-u1+100V (2)取如图所示的基本割集，对其列KCL方程
9
练习题005：
网络线图如图所示。 (1)任选一组独立的支路电压，并用以表达其它支路
电压。 (2)任选一组独立的支路电流，并用以表达其它支路
电流。
10
练习题005解答：
任选一树，例如1、3、4支路，则 (I)树支电压u1、u3、u4是一组独立的支路电压，借 助基本回路上的KVL，其它支路电压可表示成：
13
练习题007：
电路如图所示，选一树，求出电流i。
14
练习题007解答：
选择如图所示的树，由基本割案上的KCL求得树支 电流为
i1=15A+i+5A=20A+i；i2=15A+5A+10A+i=30A+i； i3=5A+i；i4=10A+5A=15A
11
练习题006：
电路如图所示。 (1)选一树，使得各连支电压均可用电压u1表示；
(2)取一割集，列一方程，求出u1。
12
练习题006解答：
(1)选择如图实线所示的树。则由基本回路上的KVL 得各连支电压为
基本回路135：u5=u1+u3=u1+50V 基本回路246：u6=u4-u2=100V-1.5u1 基本回路13724：u7=-u3-u1+u4-u2=50V-2.5u1 基本问路1384：u8=-u3-u1+u4=50V-u1 基本回赂149：u9=-u1+u4=-u1+100V (2)取如图所示的基本割集，对其列KCL方程
9
练习题005：
网络线图如图所示。 (1)任选一组独立的支路电压，并用以表达其它支路
电压。 (2)任选一组独立的支路电流，并用以表达其它支路
电流。
10
练习题005解答：
任选一树，例如1、3、4支路，则 (I)树支电压u1、u3、u4是一组独立的支路电压，借 助基本回路上的KVL，其它支路电压可表示成：
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节点a： 节点 ：–I1+I3=6
避开电流源支路取回路： 避开电流源支路取回路：
b
7I1＋7I3=70
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例3.
I1 7Ω Ω + 70V –
列写支路电流方程.(电路中含有受控源） 列写支路电流方程 电路中含有受控源） 电路中含有受控源 a I2 1 +
5U
解 I3 11Ω Ω 2 + 7Ω Ω _ U
例 i2 1 R1 R2
1
2 i3 R3
个支路电流， 个方程。 有6个支路电流，需列写 个方程。 个支路电流 需列写6个方程 KCL方程 方程: 方程 1 i +i −i =0
R4
2
i4 3
2 3
−i2 +i3 +i4 =0 −i4 −i5 +i6 =0
1
2
6
i1 3 4 R5
i5
取网孔为基本回路， 取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程 写方程: 针方向绕行列 写方程
I =1 1 2 3=6 P =− × =− 2 28 0 A 6 2 6 1W 1 − 1 1 ∆ = 6 − 1 0 =1 1 I =−4 6 2 3=−2 4 1 28 2 0 0 A 1 6 1 7 1 I =I +I =6−2=4 A
0
3 1 2
b 1 1 1 − − 1 − 0 1 ∑U=∑US ∑ 1 0 4 46 ∆= 7 − 1 0 =2 3 ∆ = 7 6 0 =− 0 2 P0 =6× 0=4 0 7 2W 0 1 7 1 0 6 7 7
节点a： 节点 ：–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程： 增补方程：U=7I3
_ b
有受控源的电路，方程列写分两步： 有受控源的电路，方程列写分两步： 先将受控源看作独立源列方程； (1) 先将受控源看作独立源列方程； 将控制量用未知量表示，并代入( (2) 将控制量用未知量表示 ， 并代入 (1) 中所列的 方程，消去中间变量。 方程，消去中间变量。
节点a： 节点 ：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程： 方程： 个 方程
2
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U 增补方程： 增补方程：I2=6A
I3 7Ω Ω
_
解2. I1 7Ω Ω + 70V – I2 1 6A
a 11Ω Ω
由于I 已知， 由于 2已知，故只列写两个方程
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例1.
I1 7Ω Ω + 70V –
求各支路电流及电压源各自发出的功率。 求各支路电流及电压源各自发出的功率。 a 解 I2 1 6V + – 2 11Ω Ω I3 7Ω Ω (1) n–1=1个KCL方程： 个 方程： 方程
节点a： 节点 ：–I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程： 方程： 个 方程
i6 回路 回路1
回路2 回路
R6
+ u – S
回路3 回路 结合元件特性消去支路电压得： 结合元件特性消去支路电压得：
u +u −u =0 2 3 1 u −u −u =0 4 5 3 u +u +u =u 1 5 6 S
Ri2 +Ri3 −R 1 =0 i 2 3 1 Ri4 −Ri5 −Ri3 =0 4 5 3
R1 +Ri5 +Ri6 =u i 1 5 6 S
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支路电流法的一般步骤： 支路电流法的一般步骤：
标定各支路电流（电压）的参考方向； (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； 选定( 1)个节点，列写其KCL方程； 1)个节点 方程； (2) 选定(n–1)个节点，列写其 方程 1)个独立回路 方程； ( 1)个独立回路，列写其KVL方程； 方程 (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其 元件特性代入) (元件特性代入) 求解上述方程， 个支路电流； (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； 进一步计算支路电压和进行其它分析。 (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 支路电流法的特点： 支路电流法的特点： 方程， 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列 和 方程 写方便、直观，但方程数较多， 写方便 、 直观 ， 但方程数较多 ， 宜于在支路数不多的 情况下使用。 情况下使用。
7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3= 6
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例2.
I1 7Ω Байду номын сангаас + 70V –
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） 列写支路电流方程 电路中含有理想电流源） 电路中含有理想电流源 a I2 1 6A b 11Ω Ω +
U
解1. I3 7Ω Ω
(1) n–1=1个KCL方程： 个 方程： 方程
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