常系数线性方程组基解矩阵的计算解析
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。
在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一个注记
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一
个注记
微分方程是一门学科中重要的概念之一，它能够描述物体
的动态变化特性，其中一类特别重要的是常系数线性微分方程组。
它能够用来描述定义域上的函数变化趋势，也能够描述物
理系统的运动变化特性。
关于常系数线性微分方程组，有一种
求解解析解的方法就是基解矩阵法。
基解矩阵法是一种有效求解常系数线性微分方程组的方法。
他能够有效快速地求解它们的解析解，其操作过程是一种非常
完善的矩阵表示技术。
对于计算量复杂的系统，根据其系统的
特征，首先通过μ（s）这个特征方程，使微分方程组求出μ（s）的特征多项式，然后将这个特征多项式展开，求出特征
根以及相应的特征矢，最后将特征根和特征矢作为基解矩阵的
元素，建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。
基本步骤是，首先求出系统的特征方程μ（s），将它写
成矩阵形式，然后根据其系统特征，将其求解为特征多项式；
接着将特征多项式展开，将其求解为特征根μ1，μ2……μn
以及特征矢α1，α2……αn；最后将特征根和特征矢作为基
解矩阵的元素建立起基解矩阵，从而求出微分方程组的解析解。
它是一个非常有效率的求解常系数线性微分方程组的方法，由于其计算简便、操作快速，它在物理学、数学、计算机、工
程等多个领域都受到广泛使用。
基解矩阵法将极大地改善系统
计算的效率，为科学家解决复杂问题提供了一种得力的方法。
二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
于是 方程 组 （ ） １ 化为
丢 ＝￣ （ ：口 口 （ ， （ Ｐ尸 。 ： ） ） －ｙ 一。 １ ： Ａ ：０ ） 。 ＋
，
ｆ 玺＝， ｌ （口 ＝ｎ
一
ｎ
ｙ （ ： ｌ ） ＋ ） ， ２
＋（ 。 ： 。 ＿０ ０
一
般 的教材 中 ，求 常系数 齐次 线性 微分 方程 组 的基解 矩 阵 的方法 大致 有 ： （ ） 求基 解 矩 阵 ｅ （ ） １ ｍ； ２
利用 系数矩 阵 的特征 根 和特征 向量 求基解 矩 阵 ； （ ） 利 用若 尔 当标 准 形 计算 基 解 矩 阵 ； （ ３ ４）利 用 哈 密顿 一凯莱 定理 计算基 解 矩阵 ｅ． 其 中常用 的是第 二种 方法 。
本文讨论 的是二元常系数齐次线性微分方程组 ，我们给出一种变换 ，将二元常系数齐次线性微分 方 程组 化为 一个 与之 等价 的二 阶常 系数齐 次 线性微 分 方程 ，然后 利用 矩 阵 Ａ的特征 根 给 出二 元 常系 数
齐次线性微分方程组的基解矩阵的表达式 ，同时也给出求二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵
第３ １卷 第 ３期 ２ １ 年 ９ 月 ００
渤海大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ａ Ｕ ｉｅｓｙ （ ａ ｒ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｂ ｉ ｕｌ ｅ ｉ
Ｖ０ ． ３１ Ｎｏ ３ １ ． Ｓｅ ｐ． ２ ０ ０１
中图分 类号 ： ７ ． ０１５ １ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ３— ５ ９ ２ １ ） ３— ２ １一 ４ １７ ０ ６ （ ０ ０ ０ ０ ４ ｏ
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量
线性方程组的解法与矩阵的特征值与特征向量线性方程组是数学中的重要概念，它描述了线性关系的一种形式。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决各种实际问题，并且在数学和工程等领域有着广泛的应用。
而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的重要内容，它们与线性方程组之间有着密切的联系。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵的特征值与特征向量的相关知识。
一、线性方程组的解法1.1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
它通过消元操作将线性方程组化为最简形式，从而求出方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：写出线性方程组的增广矩阵。
步骤二：利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形式。
步骤三：从最后一个非零行开始，利用回代法求解方程组的解。
1.2. 矩阵的逆另一种解决线性方程组的方法是使用矩阵的逆。
如果矩阵A可逆，那么我们可以通过左乘矩阵A的逆来求解线性方程组Ax=b，即x=A^(-1)b。
1.3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解。
具体步骤如下：步骤一：计算系数矩阵A的行列式D。
步骤二：计算替换掉系数矩阵A的第i列为常数向量b后的行列式D_i。
步骤三：方程组的解为x_i=D_i/D。
二、矩阵的特征值与特征向量2.1. 特征值与特征向量的定义给定n阶矩阵A，如果存在非零向量x使得Ax=λx，其中λ为常数，那么向量x称为矩阵A的特征向量，常数λ称为矩阵A的特征值。
2.2. 特征值与特征向量的计算要计算矩阵A的特征值与特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤一：求解矩阵A-λI的零空间，其中I为单位矩阵。
步骤二：将零空间中的向量标准化，得到单位特征向量。
步骤三：通过将特征向量代入矩阵A-λI的定义式，计算对应的特征值。
2.3. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在矩阵理论中有着广泛的应用。
例如，它们可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵的计算；它们还可以用于解决微分方程和差分方程等应用问题。
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法
初中数学知识点线性方程组的矩阵表示与解法线性方程组是初中数学中一个重要的知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
在解决线性方程组的过程中，矩阵的表示和解法是常用的工具和方法。
下面将介绍线性方程组的矩阵表示以及一些解法。
一、线性方程组的矩阵表示线性方程组可以用矩阵表示，这样能够简化计算过程，使得问题更加清晰。
假设有一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组，可以用如下形式表示：A · X = B其中，A是一个m行n列的矩阵，称为系数矩阵；X是一个n行1列的矩阵，称为未知数矩阵；B是一个m行1列的矩阵，称为常数矩阵。
二、线性方程组的解法解线性方程组的方法有很多种，常见的有高斯消元法、逆矩阵法和克拉默法则。
1. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将系数矩阵A化为一个上三角矩阵R，进而求得未知数矩阵X的解。
具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵形式，即[A | B]。
（2）选取第一个非零元素a11为主元素，将第1行整行乘以1/a11，使主元素成为1。
（3）利用第一个方程的倍数和减去其他方程的相应倍数，使得第1列的其他元素变为0。
（4）选取第2列第2个非零元素a22为主元素，重复步骤（2）和（3），依此类推，直到完成将A化为上三角矩阵R。
（5）通过回代法求解未知数矩阵X。
2. 逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆来求解线性方程组的方法。
当系数矩阵A可逆时，可以通过以下公式求解未知数矩阵X：X = A⁻¹ · B其中，A⁻¹表示矩阵A的逆矩阵。
但需要注意的是，当系数矩阵A不可逆时，逆矩阵法无法使用。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
对于一个n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵A的行列式不等于0，则可以通过以下公式求解未知数矩阵X：Xi = |Ai| / |A|其中，Xi表示未知数矩阵X的第i个元素；|Ai|表示将第i列的元素替换为常数矩阵B后，系数矩阵A的行列式；|A|表示系数矩阵A本身的行列式。
关于常系数线性微分方程组特解的求法
…, bn) Tf ( x) , 在 (3) 中的第一个独立方程组如写成算子的形
式 ,则为
( D - λ1) z1 = z2 + b1 f
( D - λ1) z2 = z3 + b2 f
…
(4)
( D - λ1) zs1 - 1 = zs1 + bs1 - 1 f
( D - λ1) zs1 = bs1 f
1 考虑常系数线性非齐次方程组
dY dx
=
AY( x)
+
F( x)
,
(1)
其中 Y ( x ) = ( y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) ) T , A =
( ai , j) n ×n , F ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f n ( x) ) T , f i ( x) ∈C[ a , b ]. 大家知道 ,如果已经求得了 (1) 对应齐次
Φ- 1 ( x) 时 ,由于 Φ( x) 是函数矩阵 , 故即使在 n = 2
时 ,也将导致十分繁复的计算 , 如 [ 1 ]. 而我们知道 ,
在一定的条件下 , (1) 可以用消元法将它化为某个分
量 ,例如 y1 ( x) 的 n 阶线性微分方程. 而对于高阶非 线性微分方程来说 ,当自由项为某类特殊函数时 ,就
J1
T- 1AT =
J 2 ω
,
J r
Ξ 收稿日期 :2001 - 04 - 16 作者简介 :吴顺唐 (1938 —) ,男 ,教授.
10
常熟高专学报 2001 年
λ1 1
其中
λ2 1 J i = ω
λi si ×si 为 Jordan 块. 注意 ,当 F ( x) = ( f ( x) , 0 , …, 0) T 时 ,
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
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董治军
（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）
摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数 t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.
注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解
（t）=（ t）C 这里C打、是一个常数向量.
例1：如果A是一个对角矩阵A= （其中未写出的元均为零）
试找出 =Ax的基解矩阵.
解：由（1.0）可得 t=E+ + + +…=
根据定理1，这就是一个基解矩阵.
例2：试求 = x的基解矩阵.
解：因为A= = + 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到
3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题
定1：矩阵 （t）= t （1.1）
是★的基解矩阵，且 （0）=E.
证明：由定义易知 （0）=E，将（1.1）对t求导，得 （t）= =A+ t+ +…+ +…=A t = A （t）
这就表明， （t）是★的解矩阵，又 （0）= =1 因此 （t）是★的解矩阵.证毕.
=exp t exp t=
但是 =
所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是 t= .
二．基解矩阵的计算
1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵
类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如 的解，其中 为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到 ，即有 （1.2）
要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有
一．矩阵指数 的定义和性质：
1.矩阵范数的定义和性质
定义：对于 矩阵A＝ n×n 和n维向量X＝
定义A的范数为 ＝ ， =
设A，B是n×n矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质：
（1） ≤ ， ≤ ；
（2） ≤ + ， ≤ + .
2.矩阵指数 的定义和性质：
(!)定义：如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数 为下面的矩阵级数的和： = =E+A+ +…+ +… （1.0）
事实上，对于一切正整数k，当 ≤c（c是某一整数）时，有 ≤ ≤ ，而数值级数 是收敛的，因而 t= 是一致收敛的.
（2）矩阵指数 的性质：
①若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则
（A+B）= ；
②对于任何矩阵A， 存在，且 =exp（-A）；
③如果T是非奇异矩阵，则
exp（ AT）= （ ）T .
其中E为n阶单位矩阵， 是A的m次幂，这里我们规定 =E，0！=1 这个级数对于所有的A都是收敛的.因次 是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.
事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有 ≤ ，
又因对于任一矩阵A， 是一个确定的实数，所以数值级数 + + +…+ +… 是收敛的.进一步指出，级数 t= 在t的任何有限区间上是一致收敛的.
Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.
Keyword:linearhomogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent
引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX★ 的基解矩阵的计算问题，这里A是 常数矩阵.
（1.3）
称式（1.3）为方程组★的特征方程，称 为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值 的特征向量.
关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数
Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant Coefficients
Zhijun Dong
(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu)