工科数学分析7-8常系数线性微分方程组
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。
这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。
它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。
为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。
1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。
我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。
2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。
它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。
3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。
高数下册 第七章 第八节 常系数线性齐次微分方程
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C 2e
r2 x
2
2. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e r x [ ( u 2 r1u r12 u ) p( u r1u ) q u 0
这时需分如下三种情况进行讨论:
小阻尼: n < k
解的特征
大阻尼: n > k 临界阻尼: n = k
解的特征 解的特征
10
例4.
的通解.
r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根: 解: 特征方程 r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为 e x ( C 3 cos 2 x C4 sin 2 x ) y C1 C2 x 例5. 解方程 y ( 5 ) y ( 4 ) 0 .
4
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
r1 x
y C1e
C 2e
r2 x r1 x
y ( C1 C2 x ) e
y e x (C1 cos x C 2 sin x )
6
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 , 解: 特征方程 因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
ds ds 2 s0 2 dt dt ds s t 0 4 , 2 dt t 0
7-8 常系数非齐次线性微分方程
等式两边取共轭 : y1 p y1 q y1 Pm ( x) e ( i ) x
这说明 y1 为方程
③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 ~ x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 原方程 y p y q y e
于是 y x ( x 1)e 2
设 y x( Ax B)e 2 x , 2 是单根，
原方程通解为 y C1e C 2e
x
2x
1 2x x ( x 1)e . 2
二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx] 型
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
第一步 将 f (x) 转化为 f ( x ) Pm ( x )e( i ) x Pm ( x) e( i ) x
f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ] 利用欧拉公式
பைடு நூலகம்
Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:
y*
y1
Qm ei x Qm e i x x k e x Qm (cos x i sin x)
x e
(1) (2) xk e x Rm cos x Rm sin x
例4 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 :
(2) y(4) y x e x 3sin x
解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常系数线性微分方程组
§5.3 常系数线性微分方程组本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组x Ax '= （5.33）的基解矩阵的结构，这里A 是n n ⨯常数矩阵。
我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。
最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。
5.3.1 矩阵指数exp A 的定义和性质为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数exp A （或写作Ae ），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。
如果A 是一个n n ⨯常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和20exp !2!!k mA k A A A A e E A k m ∞===+++++∑ （5.34）其中E 为n 阶单位矩阵，mA 是矩阵A 的m 次幂。
这里我们规定0A E =，0!1=。
这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的矩阵。
事实上，由5.1.2中的性质1，易知对于一切正整数k ，有!!kkA A k k ≤ 又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数22!!mAA E A A m +++++是收敛的（注意，它的和是1An e-+）。
由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵A 都是绝对收敛的。
级数0exp !k kk A t At k ∞==∑ （5.35）在t 的任何有限区间上是一致收敛的。
事实上，对于一切正整数k ，当t c ≤（c 是某一正常数）时，有!!!k k kk k kA t A c A t k k k ≤≤ 而数值级数()0!kk A c k ∞=∑是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。
矩阵指数exp A 有如下性质：1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB BA =，则exp()exp exp A B A B +=+ （5.36）事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。
同济版大一高数下第七章第八节常系数齐次线性微分方程
r3 −r 2 = 0
则三阶的齐次方程为 y′′′ − y′′ = 0
13
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为常数) 特征根: r1 , r2
r1 ≠ r2 时, 通解为 Y = C1 er1 x + C2 er2 x (1) 当
(2) 当 r = r1 = r2 时, 通解为 Y = (C1 + C2 x ) e
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
1
二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y = er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r 2 + pr + q ) er x = 0 r 2 + pr + q = 0
特征方程:
r n + a1 r n−1 +L+ an−1r + an = 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项
则其通解中必含
6
例1.
求方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
解: 特征方程 r 2 − 2 r − 3= 0, 特征根: r = −1, r2 = 3 , 1 因此原方程的通解为
7
于是所求初值问题的解为
例3： 求 ：
y′′ + 2y′ + 5y = 0 的通解
解; 特征方程为
r2 + 2r + 5 = 0 2 r1,2 = −1± 2i （共轭复根） (r +1) + 4 = 0
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程- Introduction微积分学是数学的重要分支之一，常系数线性微分方程是微积分学的一个重要内容。
在工程、物理、化学、经济等学科中，常系数线性微分方程都有着重要的应用价值。
因此，本文将从数学基础、概念定义、解析方法、应用等方面，探讨常系数线性微分方程的相关知识。
- 数学基础为了理解常系数线性微分方程的概念和解析方法，我们需要先了解一些数学基础知识。
微互分学中的微分方程是一类关于未知函数及其导数的方程，它是一个重要的数学工具，用来描述一些自然、社会现象等。
一般来说，微分方程可分为常系数和变系数两类。
常系数是指微分方程中参数系数是常数，变系数是指微分方程中参数系数是函数。
在常系数线性微分方程中，方程的系数都是常数。
- 概念定义在微分方程中，有一个重要的类别称为“线性”。
所谓线性，指的是未知函数及其导数只出现一次，并且系数可以是常数、函数或常数和函数的乘积。
若未知函数y(x)的n阶导数出现在方程中，且系数都是常数，则称其为“n阶常系数线性微分方程”，简称“n阶常微分方程”。
n阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$$其中，$a_1,a_2,...,a_n$均为常数，$f(x)$是已知函数。
- 解析方法n阶常微分方程的解法一般包括“常数变易”法、“齐次线性微分方程”法、“非齐次线性微分方程”法等。
其中，“齐次线性微分方程”法与“非齐次线性微分方程”法最为常用。
1. 齐次线性微分方程法齐次线性微分方程指的是非齐次线性微分方程中的$f(x)=0$。
在这种情况下，我们通常采用以下步骤来解方程：（1）找出$n$次齐次方程的通解$y_h(x)$；（2）设非齐次方程的特解为$y_p(x)$；（3）得出非齐次方程的通解$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$。
2. 非齐次线性微分方程法非齐次线性微分方程指的是$f(x)≠0$。
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d d33 xtd d22 yt3d d22 xt0
(3)
(3 ) ( 1 ) 式 得 ： d d 3 tx 3 4 d d 2 tx 2 5 d d x t 0 (4 )
r 3 4 r 2 5 r 0 ,r 1 0 ,r 2 ,3 2 i . (4 ) 的通 x (t) C 解 1 e 2 t(C 为 2 cto C ： 3 s sti)n
(1)
.
其中 y1,y2,,yn 为n个未知函 aij(x数 ), ， i,j1,2,,n以及 fi(x),i1,2,,n都是某区 间I上的已知连续函数。
若fi(x)0,i1,2, ,n，则方程组为
.
dy1 dx
a11(
x)
y1
a12(
x)
y2
a1n(
x)
yn
dy2 dx
a21( x) y1
.
y1 y2 y2 y3
y
n
1
yn
F ( x , y1 , y2 , , yn , yn ) 0
.
一阶线性微分方程组：
ddyx1 a11(x)y1
a12(x)y2
a1n(x)yn
f1(x)
ddyx2 a21(x)y1 a22(x)y2 a2n(x)yn f2(x)
ddyxn an1(x)y1 an2(x)y2 ann(x)yn fn(x)
若A是对角阵 , 即xi aiixi，x icea iit,i 1 ,2 , n .
若 A 是上三角阵，x 1 a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n
总可以写出解.
x 2 a 2 2 x 2 a 2 n x n
x n
a n x n n
.
对一般矩阵逆 ，线 若性 存 T,变 X 在 T 换 可 Y ,则 X TY, TYAT YY (T1A)T Y T1AT为约当标准. 型eAX 是X AX 的.解 eAX IA X 1(A)2 X 级.数解
§9 常系数线性微分方程组
微分方程组 常系数微分方程组的解法
.
一. 微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组．
注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数．
.
一般n阶方程可以化为一程阶组方 .
F (x ,y ,y ,y , ,y (n )) 0 记yy1, 再引进 n1个新的未知 , 函数 y 2 y 1 ,y 3 y 1 , ,y n y 1 ( n 1 ) 于是高阶方为 程含 就 n个 有 可未 以知 化函数 阶方程 : 组
1dy 2 dt
5 2
ydd2t2y5y
0
.
r2 5 0 , r 1 ,25 i y ( t) C 1 co 5 t C s 2 si5 tn x (t) 1 2 [5 C 1 si5 n t5 C 1 co 5 t]s
1 2C 1co5ts1 2C 2sin 5t 1 2 ( C 1 5 C 2 ) co 5 t 1 2 s ( C 2 5 C 1 ) si5 tn
.
dd22yt 2ddyty2cots
r2 2 r 10 , r1 ,2பைடு நூலகம்1 y (t) y * C 1 e t C 2 tte , y*Acot sBsitn
代入方 : 程得
2Asitn2Bcot s2cotsy*sint
y (t) e t(C 1 C 2 t) stin
x(t )
1(dy 2 dt
.
代入(2)式得： y(t)dx3xt
dt 3 C 1 t e 2 t [ C 1 ( C 2 ) c t o ( C 2 C s 3 ) st ] in
a22( x) y2
a2n(x)yn
ddyxn an1(x)y1 an2(x)y2 ann(x)yn
称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。
线性微分方程组解的存在唯一性定理
若aij(x), fi(x),i, j 1,2,,n都在区间 I上连续， 则对于任意给定的条 初件 始：
y1(x0) y10, y2(x0) y20,, yn(x0) yn0, 方程组(1)在区间I 上有一个解 y1 y1(x),y2 y2(x),, yn yn(x) 满足初始条件，且一 解。 唯
.
步骤:
１．从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数， 得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分 方程．
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经 过积分就可求出其余的未知函数．
.
一般常系数一阶线性齐次微分方程组，可用 矩阵形式写出。
X A ， X X { x 1 ,x 2 , ,x n }
y)
1 2 (ct o stis ) n e t(C 1 C 2 2 tC 2 )
将 x ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) 1 代: 入 C 1 1 ,C 2 解 1 . 得
.
例 3. 求解微分 方 dd22 xt程 dd22yt组 5ddxt0 ddxty3xt
解： 为了 y (t)可 ,消 (2 )两 对 去 t边 求 2 次 对 导，得
2
.
常系数一阶线性微分方程组一般形式：
dx dt
a xa y
11
12
f (t) 1
dy
a
xa
y f (t)
dt 21
22
2
.
例1. 求解微分方 dddxyt程 2xx组 3yy; dt
解： 从(2)中解出 x1(dyy), 2 dt
ddxt12(dd2t2yddyt) 1 2(d d22 ytd d)y t1 2(d d y ty)3y
.
dx3x2ycots dt
例2. 求解非齐次线性 xdd(0yt)方 20x,程 y(y0)组 1
解： 从(2)中解出
x1(dy
y),
2 dt
ddxt12(dd2t2yddyt)
1 2(d d22 ytd d)y t2 3(d d y ty)2yco t s
12dd22tyddyt12y cot s
x0 I
.
二.常系数微分方程组的解法
常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一 个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常 系数线性微分方程组．
dy1 dx
a11y1
a12y2
a1n yn
f1( x)
dy2
dx
a21y1 a22y2
a2n yn
f2 ( x)
ddyxn an1 y1 an2 y2 annyn fn(x)