常系数线性方程组
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
消元法求解常系数线性微分方程组
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一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析
本文探讨了一阶常系数线性齐次微分方程组的求解方法，以此为基础探讨了许多有关如何解决这一类问题的理论概念与实际应用等。
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一阶常系数线性齐次微分方程组是指形如$ax^{'}+bx=0$（$a,b$为常数）的无限维微分方程组，它的解可以用下面求解过程求得：
（1）当$a=0$时，
若$b\neq 0$，则原方程有唯一解，为$x(t)= \frac{C}{b}$；
若$b=0$，则原方程有无穷多解，为$x(t)=C$，其中$C$为任意常数；
（2）当$a\neq 0$时，
原方程有唯一解，为$x(t)=e^{-\frac{b}{a}t}C$，其中$C$为任意常数。
因此，一阶常系数线性齐次微分方程组的解存在唯一解或者无穷多解，
具体视系数而定。
要求解这类微分方程组，我们要简化原方程，一般可以先将原方程分拆成$ax^{'}=f(t)-bx$的形式，然后再用积分因子$u=e^{\int{-\frac{b}{a}}dt}$解之，最后求得它的解即可。
常系数线性非齐次微分方程组求特解的比较系数法
Ｖｏ ＿ ５ ＮＯ． ｌ２ ６
萍乡高 等专科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｇ ｉｎ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＰ ｎ ｘａ ｇ Ｃ ｌ ｅ ｅ
２０ ０ ８年 １ 月 ２
Ｄｅ ．２ ８ ｃ ００
常 系 数 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 组 求 特 解 的 比较 系数 法
为 已知常数 。则方 程有型如 ： （） Ｘ ｔ ＝Ｑ ｋｔｅ 的特 解 ， 中 Ｑ ｋｔ ＝Ｑｌ ＋ ＋Ｑ２ ＋ ’ ＋ （） 其 ＋ （） ｔ ｍ ｔ ＋… ＋Ｑｋ１ ＋Ｑｋ ２ ｍ ＋ｔ ＋ ｔ ＋Ｑ ｋ＋Ｑ ＋＋ ， 一（ Ｉ ｑ …ｑ ） ，ｉ ， ， ， 一 ＋ｔ ｋ ｌＱ。 ｑ１ ｉ ｉ （一１ ２ … ｍ＋ｋ Ｉ ＋ｋ ）ｑ 为 待定 常 数 ， ，２ ， Ｉ ＋１ ，ｉ Ｔ ｉ ｋ是 入为矩 阵 Ａ 的 特 征值 的重数 （ 入 是特征 值时 ， ｋ ， 入 单特征值 时 ， ＝１ 当 是重 特 征值是 ， 当 不 取 ＝０ 当 是 ｋ ， ｋ取重 数 ） 特解代 入 将 方程 ， 过 比较 系数可 以确定 ｘ （） 通 。 ｔ。
Ｏ
Ｏ
ｙｎ
Ｏ
Ｏ
注意到 ｙ 可 以解 出得 ： ｙ：
Ｙ１
，
．（ｔ：（ ｍ１多式 ｆｔ＋ Ｒ） ＋次 项 。 ｇ） ｃ ｔ ｄ 为
ｂ１ １ ｂ２ １
● ● ●
ｂｌ ２
ｂ２ ２
● ● ●
…
ｂ１ｈ— ｌ ． ｂ ２
． 一
ｙ１ Ｙ２
● ●
ｆｆ 三．ｌ１；ｇ次。 挲吝 。１『，，项 １ 釜 ｂｂ ＋１ 为 式 ： ａ 专其 ｍ １ 中 多 ｎ 一 －ｆ ］
Ｙｎ 一１
常系数线性微分方程组的解矩阵
常系数线性微分方程组的解矩阵
桑波;伊继金;刘文健
【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(28)3
【摘要】给出了常系数线性微分方程组新的求解方法.常系数线性微分方程组的求解通常有2种基本方法:复若当标准形法和指数矩阵法.尽管这2种方法在处理低维系统时是比较成功的,但在处理高维系统时,其效率将会明显降低.因此,有必要对基本方法作一些结构上的改进,以提高计算的效率.以广义特征向量链、指数矩阵和矩阵的秩为工具,分3种情形讨论了重根情形下常系数线性微分方程组的解矩阵表示,建立了统一的代数结构,并对后2种情形,给出了相应的实例,以说明方法的有效性.【总页数】4页(P343-346)
【作者】桑波;伊继金;刘文健
【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城,252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城,252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城,252059
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.特殊条件下常系数齐线性微分方程组基解矩阵的求解公式 [J], 吴凤玖
2.二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 [J], 宋燕
3.常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解 [J], 徐进
4.常系数线性微分方程组的基解矩阵的一种新求法 [J], 彭庆英
5.常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一个注记 [J], 邵孝湟
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常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，很多问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是分歧的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t ，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword:linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX ★的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ⨯常数矩阵.一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ⨯矩阵A ＝ij a ⎡⎤⎣⎦n×n 和n 维向量X ＝()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A ＝,1niji j a=∑ ，X =1nii x=∑设A ，B 是n×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质： （1）AB ≤A B ，AX ≤A X ； （2）A B +≤A +B ，X Y +≤X +Y .2.矩阵指数exp A 的定义和性质：(!)定义：如果A 是一个n×n 常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和：exp A =!kA k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!m A m +… （1.0）其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是A 的m 次幂，这里我们规定0A =E ，0！=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵，特此外，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k ，有!kA k ≤!k Ak ，又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数E +A +22!A +…+!mA m +… 是收敛的.进一步指出，级数exp A t=!0kkA k k t ∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的. 事实上，对于一切正整数k ，当t ≤c （c是某一整数）时，有!k k A k t ≤!k kA k t ≤!k A k k c ，而数值级数()!kA c k k ∞=∑是收敛的，因而exp A t=!k kA k k t ∞=∑是一致收敛的.（2）矩阵指数exp A 的性质：①若矩阵A ，B 是可交换的，即AB=BA ，则exp A （A+B ）=exp A exp B ；②对于任何矩阵A ，()1exp A -存在，且()1exp A -=exp （-A ）； ③如果T 是非奇异矩阵，则 exp （1T -AT ）=1T -（exp A ）T . 3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1：矩阵Φ（t ）=exp A t （1.1） 是★的基解矩阵，且Φ（0）=E.证明：由定义易知Φ（0）=E ，将（1.1）对t 求导，得'Φ（t ）=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ（t ） 这就标明，Φ（t ）是★的解矩阵，又det Φ（0）=det E =1 因此φ（t ）是★的解矩阵. 证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ（t ）=（exp A t ）C 这里C 打、是一个常数向量.例1：如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中未写出的元均为零） 试找出x '=Ax 的基解矩阵.解：由（ 1.0）可得exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12!k kk t k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据定理1，这就是一个基解矩阵. 例2：试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵. 解：因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦而且后面的两个矩阵是可交换的，得到 exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是exp A t= 2101t t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二．基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解，其中λ为待定的参数，C 为待定的n 维非零向量，将之代入方程组，得到 tte C Ae C λλλ=，即有 ()0E A C λ-= （1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有det()0E A λ-= （1.3）称式（1.3）为方程组★的特征方程，称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分需要条件是λ为A 的特征值，且C 为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1）设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v ，它们对应的特征向量分别为12,n λλλ（不必各不相同）易知矩阵1212()(,,)nt t t n t e v e v e v λλλΦ=t R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数i ti e v λ（1≤i ≤n ） 都是方程组★的一个解，因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠ 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2：当A 是n 个分歧的特征值时，就满足上述性质.注3：此处()t Φ纷歧定是尺度基解矩阵exp A t ，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n 个非奇异矩阵C ，有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0，得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时，则exp A t 为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵，它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C 线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a ta ta ta t a tna t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦这与例1 的计算结论一样.例4：试求方程组x Ax '=，其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个基解矩阵. 解：A 的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根，解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量，计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量，类似的，可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中,0αβ≠为任意常数，而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti tt ti t i te ie t e v e v ie e λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵. 再由注3，实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti ti ti tt i ti ti t i te ie i e ie i t t At t e i i t t iee iee -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）设A 有k 个分歧的特征值12,k λλλ它们的重数分别为12,,k n n n 其中12k n n n n +++=那么如何计算exp At ？回忆高等代数理论，对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0j nj E A u λ-= （1.4）的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤而且n 维欧几里得空间可暗示成12,k U U U 的直和，由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ，存在唯一组向量12,ku u u 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为12k u u u u =+++（1.5）因此，一方面 对于★的初始值0(0)x x =，应用式（1.5）知存在j j v U ∈有012kx v v v =+++注意到空间j U 的构造，即知j v 是式（1.4）的解，即有()0j nj j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-=,1j l n j k ≥≤≤ （1.6）另一方面，j E λ-为对角矩阵，因此由例1知exp()j j j ttj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj jAt e Et v λλ=-=(exp())j tj je A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n jj j n t t j j j n A E A E v λλ----++-所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++=()()1!110exp i i j in kkttj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ （1.7） 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp nAt At E At e At e At e ==其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===应用式（1.7）求得n 个解，然后以这n 个解作为列即得exp At .注4：当A 只有一个特征值时，即λ为n 重的，因此nv R ∀∈都有()0E A v λ-=这标明()nE A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp tAt AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑（1.8）注5：式（1.7）标明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5：若A 是例2中的矩阵，求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At . 解：本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一：易知1,22λ=是A 的二重特征值，此时，A 只有一个特征值，根据式（1.8）计算有exp At =()()()1222!12201i itttt i i t eA E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=（exp At ）0x .方法二：1,22λ=是A 的二重特征值，这时212,n R =只有一个子空间1U ，0x =12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不需要分解，根据式（1.7）有()t ϕ=()1222022t tx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中，则()()22121,01tt t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01t t At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6：考虑方程组x Ax '=，其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==的解，并求exp At .解：A 的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根，为了确定3R 的子空间12,U U 由式（1.4） 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011T u α=，其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间，其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解，有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是112121213210,x v x x v x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦根据式（ 1.7） 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦最后为了得到exp At ，依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ 于是()()()()()2222221232221exp 1tt t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t ee te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2：“哈密顿-凯莱”法：设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵，()p λ是A 的特征多项式，()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++特征方程为A 的()111nn n n p a a a λλλλ--=++++=0 （1.9）方程（ 1.9）的根12,n λλλ是矩阵A 的特征多项式，且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---哈密顿-凯莱定理：设()p λ是矩阵A 的特征多项式，则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=定理：设12,n λλλ是矩阵A 的n 个特征值（它们纷歧定不相等）则()()110exp n i i i At r t p -+==∑（2.0）其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---()1,2,i n =并有()()()12,n r t r t r t 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n = （2.1）的解.推论：若A 只有一个特征值λ，则()1!exp exp in it i i At tA E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At .例7：求常系数齐次线性方程组x Ax '=，其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解. 解：A 的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题：()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e e e-----==-=-++又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦则由公式：得()2222222221022222exp tt t t t t tt t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法： 其构造步调是：① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子暗示; ② 用算子法求解★的微分算子暗示的方程组得其通解：()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 代入上述通解，则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x ；④ 以()()()12,,n y x y x y x 为列作成的矩阵()()()()12n Y x y x y x y x =⎡⎤⎣⎦就是★的基解矩阵，且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：()()10Axe Y x Y -=.例8：试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.2） 的基解矩阵，并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解：①（2.2）的算子暗示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ （2.3）②求解（2.3）111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦即()2120D y -= （2.4） 于是（2.4）的通解为()2112xy C C x e=+12,C C 为任意常数 （2.5）（2.5）代入（2.3）的第一个方程得()()2221111221xx y D y Dy y C C x eC xe =--=-+=-+-故（2.3）的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe ⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩12(,C C 为任意常数） ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得（ 2.3）的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦； ④ 以12,y y 作列而成的矩阵：()[]()()2221221111xx x x x e xe Y x y y e x ex e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦ 就是（2.2）的一个基解矩阵. ⑤求（2.2）的基解矩阵Axe 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Axe =()22110111111xx x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语：关于基解矩阵exp At 的计算，还可以利用矩阵的约当尺度型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述. 参考文献：[]1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社； []2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社； []3肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； []4王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。