阻尼对振动的影响
力学系统阻尼对振动特性的影响研究

力学系统阻尼对振动特性的影响研究在我们的日常生活和工程实践中,振动现象无处不在。
从车辆的行驶过程中的颠簸,到建筑物在风中的摇晃,再到机械零件的运转,振动都扮演着重要的角色。
而在这些振动现象中,力学系统的阻尼起着至关重要的作用。
阻尼是指任何振动系统在振动中,由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性。
它就像是一个“阻力器”,影响着振动的强度、频率和持续时间等特性。
为了更好地理解阻尼对力学系统振动特性的影响,让我们首先来了解一下什么是力学系统的振动。
简单来说,振动就是物体在平衡位置附近做往复运动。
比如,一个悬挂在弹簧上的重物,当它被拉离平衡位置然后释放,就会在弹簧的作用下上下振动。
这种振动的特性可以用振幅、频率和相位等参数来描述。
振幅是指振动的最大位移量,它反映了振动的强度。
频率则是单位时间内振动的次数,决定了振动的快慢。
相位则描述了振动在时间上的起始点和相对关系。
那么,阻尼是如何影响这些振动特性的呢?当一个力学系统存在阻尼时,最明显的影响就是振幅的逐渐减小。
阻尼力会消耗振动系统的能量,使得振动的幅度越来越小,最终振动停止。
这就好比一个在粗糙地面上滚动的球,由于地面的摩擦力(相当于阻尼),球的滚动速度会逐渐减慢,最终停止。
阻尼对振动频率也有一定的影响。
在一些简单的力学系统中,如小阻尼情况下的单自由度线性振动系统,阻尼的存在会使振动频率略微降低。
但在复杂的系统中,阻尼对频率的影响可能会更加复杂,需要通过详细的数学分析来确定。
此外,阻尼还会改变振动的持续时间。
阻尼越大,振动衰减得越快,振动持续的时间就越短。
反之,阻尼越小,振动衰减得越慢,振动持续的时间就越长。
为了更深入地研究阻尼对振动特性的影响,我们可以通过建立数学模型来进行分析。
以一个简单的单自由度有阻尼振动系统为例,其运动方程可以表示为:$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$其中,$m$是物体的质量,$c$是阻尼系数,$k$是弹簧的刚度系数,$x$是物体的位移。
阻尼对振动的影响

9.8kN
例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm,振
动一周T=1.4s后,回摆1.6cm,求大梁的重量W及6周后的振幅。
解:(1)大梁的重量,
由 T 2 2 W 1.4s
kg
W=mg
W
1.4
2
2
k
g
0.0496
20 2
981
486.6kN
k 2
k 2
2
其中
A
y2
v
y r
tg 1 r y v y
(a)阻尼对频率和周期的影响
讨论:
y
r 1 2 , 随 而
2
T
r
当ξ<0.2,则存在0.96<ωr/ω<1。 0
在工程结构问题中,若0.01<ξ<0.1,
可近似取: r , Tr T
Aet
An
An+1
t
T 2 r
(b)阻尼对振幅的影响
振幅
Aet
阻尼使振幅不断衰减,结构在振动过程中为克服阻力而 作功,当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽,结构 停止振动。
相邻两个振幅的比: yk1 eT 常数 y yk
振幅按等比级数递减.
Aet
An
An+1
ln yk lneT T 2
0
y k 1
r
T 2
称为振幅的对数递减率.
r
如 0.2 则 r 1, 1 r ln yk 1 ln yk
§10-4 阻尼对振动的影响
本节主要内容 •阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定
了解阻尼对振动系统的影响及应对方法

了解阻尼对振动系统的影响及应对方法阻尼是振动系统中一个重要的参数,它对振动系统的影响不可忽视。
在本文中,我们将探讨阻尼对振动系统的影响以及应对方法。
一、阻尼对振动系统的影响阻尼是指振动系统中的能量损耗过程,它可以减小振动系统的振幅,并使其逐渐趋于稳定状态。
阻尼的存在可以消除振动系统的过渡过程,使其更加稳定和可靠。
1. 减小振幅阻尼的主要作用之一是减小振动系统的振幅。
当振动系统受到外界激励时,如果没有阻尼的存在,振动系统将会不断地振荡下去,振幅可能会越来越大,甚至导致系统失控。
而有了阻尼后,能量损耗将会使振幅逐渐减小,使系统保持在一个合适的范围内。
2. 调整振动频率阻尼还可以调整振动系统的频率。
在没有阻尼的情况下,振动系统的频率由其固有频率决定。
但是,当阻尼存在时,振动系统的频率将会发生变化。
具体来说,阻尼会使振动系统的固有频率减小,从而影响系统的振动特性。
二、应对方法在实际应用中,我们常常需要对振动系统进行控制和调节,以满足特定的需求。
下面是一些常用的应对方法:1. 增加阻尼如果振动系统的振幅过大或频率不稳定,可以考虑增加阻尼来控制振动。
增加阻尼的方法有很多种,例如增加阻尼材料的摩擦力、调整阻尼器的参数等。
通过增加阻尼,可以有效地减小振动系统的振幅,并使其更加稳定。
2. 优化结构设计在设计振动系统时,可以通过优化结构设计来减小振动的影响。
例如,在建筑物的设计中,可以合理选择材料、增加结构的刚度等,以减小振动系统的振幅。
此外,还可以采用隔振措施,如增加隔振垫、设置隔振支座等,来减小振动对周围环境的影响。
3. 使用控制器在一些需要精确控制振动的应用中,可以使用控制器来实现振动系统的控制。
控制器可以根据实际需求调整振动系统的参数,以实现对振动的精确控制。
例如,在飞机的自动驾驶系统中,控制器可以根据飞行状态和航线要求,调整飞机的姿态和振动,使其保持稳定和平稳。
总结起来,了解阻尼对振动系统的影响及应对方法对于设计和控制振动系统具有重要意义。
力学系统阻尼对振动特性的影响研究

力学系统阻尼对振动特性的影响研究引言:振动是力学系统中常见的现象,而阻尼是影响振动特性的重要因素之一。
在力学系统中,阻尼可以改变振动的幅度、频率和衰减时间等特性。
本文将探讨力学系统阻尼对振动特性的影响,并介绍相关研究进展。
一、阻尼的概念和分类阻尼是指力学系统中由于摩擦、粘滞等引起的能量损耗。
根据阻尼的特性,可以将其分为线性阻尼和非线性阻尼两类。
线性阻尼指的是阻尼力与速度成正比,而非线性阻尼则表示阻尼力与速度的关系不是简单的线性关系。
二、阻尼对振动特性的影响1. 幅度的影响阻尼可以减小振动的幅度。
在无阻尼的情况下,振动会一直持续下去,而引入适当的阻尼可以使振动逐渐衰减。
当阻尼增加时,振动的幅度逐渐减小,直到最终停止振动。
2. 频率的影响阻尼会改变振动的频率。
在无阻尼的情况下,振动的频率由系统的固有频率决定。
然而,当阻尼存在时,振动的频率会发生变化。
一般来说,阻尼越大,振动的频率越低。
3. 衰减时间的影响阻尼还可以影响振动的衰减时间。
在无阻尼的情况下,振动会持续一段时间后才逐渐停止。
而引入适当的阻尼可以加快振动的衰减过程,使系统迅速回到平衡状态。
三、阻尼的应用领域阻尼在许多领域的振动控制中起到重要作用。
以下是一些应用领域的例子:1. 汽车工程:阻尼系统可以减少汽车悬挂系统的振动,提高行驶的稳定性和舒适性。
2. 建筑工程:在高层建筑中,阻尼器可以减小建筑物受地震等外力影响时的振动,增加结构的稳定性。
3. 航空航天工程:阻尼器可以减小飞机和火箭等航空器在飞行过程中的振动,提高飞行的安全性和舒适性。
四、阻尼特性的优化研究为了更好地利用阻尼控制振动,研究人员进行了大量的优化研究。
以下是一些常见的优化方法:1. 阻尼材料的选择:不同的材料具有不同的阻尼特性,通过选择合适的阻尼材料可以实现更好的振动控制效果。
2. 阻尼器的设计:通过设计不同类型的阻尼器,如液体阻尼器、摩擦阻尼器等,可以实现对振动特性的精确控制。
阻尼实验研究阻尼对振动的影响

阻尼实验研究阻尼对振动的影响在物理学中,振动是一种对象周期性的来回运动。
在实际生活中,许多系统和设备都会受到振动的影响,其中阻尼是一种重要的现象。
本文将探讨阻尼对振动的影响,并介绍一种阻尼实验的研究方法。
一、引言振动是一个物体或系统围绕其平衡位置做周期性的运动。
在没有阻尼的情况下,振动将保持永恒的运动。
然而,在实际应用中,阻尼是难以避免的,并且会对振动产生重要影响。
二、阻尼对振动的影响1. 阻尼的定义与分类阻尼是指在振动过程中对振动物体的相对运动产生阻碍的力或现象。
根据阻尼的特性,可以将其分为以下几类:- 无阻尼振动:没有外界阻力的影响,系统能够永久地保持振动。
- 强迫振动:在周期性外力作用下,系统振动频率与外力频率相同。
- 欠阻尼振动:阻尼力较小,系统在振动后会经历一段减振过程,但最终回到平衡位置。
- 临界阻尼振动:当阻尼适中时,系统在振动后恢复到平衡位置需要的时间最短。
- 过阻尼振动:阻尼力较大,系统在振动后不能完全回到平衡位置。
2. 阻尼对振动的影响阻尼的存在会改变振动系统的特性,对振动的幅度、频率和周期等方面产生影响:- 阻尼会减小振动的幅度:振动会随时间减弱,直至停止运动。
- 阻尼会改变振动的频率:阻尼越大,振动频率越低。
- 阻尼会增加振动的周期:阻尼减弱了振动系统的回复速度。
三、阻尼实验研究方法为了研究阻尼对振动的影响,可以进行一种名为“阻尼实验”的实验。
以下是该实验的步骤:1. 实验材料和器材准备- 弹簧振子:用于模拟振动系统。
- 钟摆计时器:用于测量振动的周期。
- 阻尼装置:可调节振动的阻尼大小。
2. 实验步骤1)将弹簧振子悬挂在支架上,并保证其自由振荡无阻尼状态下。
2)调节阻尼装置,逐渐增加阻尼的大小,记录每次增加后的振动周期和振幅。
3)重复步骤2,直到观察到过阻尼的情况。
3. 实验结果分析根据实验数据,绘制阻尼大小与振动周期的关系图,并分析不同阻尼对振动的影响。
可以观察到阻尼越大,振动周期越长,振动幅度越小。
力学系统阻尼对振动特性的影响研究

力学系统阻尼对振动特性的影响研究在我们的日常生活和工程实践中,振动现象无处不在。
从桥梁的晃动到机械零件的微小振动,从建筑物在风中的摆动到电子设备的共振,振动既可能是有益的,也可能带来严重的问题。
而在研究振动现象时,力学系统中的阻尼是一个至关重要的因素。
阻尼能够有效地消耗振动能量,从而改变振动的特性。
首先,让我们来了解一下什么是阻尼。
简单来说,阻尼是一种阻碍物体运动、消耗能量的力。
在力学系统中,阻尼的存在使得振动的幅度逐渐减小,振动逐渐衰减。
阻尼可以分为多种类型,比如粘性阻尼、结构阻尼、库仑阻尼等。
粘性阻尼是最为常见的一种阻尼形式,它与物体的运动速度成正比。
想象一下,把一个物体放在粘稠的液体中,它在运动时会受到液体的阻力,这个阻力就类似于粘性阻尼。
结构阻尼则是由于材料内部的微观结构变化和能量耗散引起的,比如金属材料在反复受力时内部的位错运动就会产生结构阻尼。
库仑阻尼则常见于有干摩擦的情况,例如物体在粗糙表面上滑动时所受到的摩擦力。
那么,阻尼是如何影响振动特性的呢?阻尼对振动频率有着一定的影响。
在无阻尼的理想情况下,振动系统的固有频率是固定不变的。
然而,当存在阻尼时,系统的固有频率会略微降低。
这就好比一个无阻尼的弹簧振子振动得很欢快,而当有了阻尼的“束缚”,它的振动节奏就稍微慢了一些。
阻尼对振动幅度的影响更是显著。
在没有阻尼的情况下,振动的幅度将保持不变,这被称为等幅振动。
但在实际情况中,阻尼会使振动幅度逐渐减小,直至振动停止。
阻尼越大,振动衰减得就越快。
比如说,一辆汽车在减震器损坏(阻尼减小)的情况下,经过颠簸路段时车身的晃动会更加剧烈且持续时间更长;而正常的减震器(有合适的阻尼)能够快速衰减车身的振动,使乘坐更加平稳。
此外,阻尼还会影响振动的相位。
在无阻尼系统中,振动的位移和速度之间存在固定的相位关系。
但有阻尼时,这种相位关系会发生变化,导致振动的形态变得更加复杂。
在工程应用中,对阻尼的研究和控制具有重要意义。
机械振动学基础知识阻尼对振动行为的影响

机械振动学基础知识阻尼对振动行为的影响振动是一种普遍存在于工程和自然中的现象,而阻尼作为振动系统中重要的组成部分之一,对振动行为有着重要的影响。
在机械振动学的研究中,了解阻尼对振动行为的影响是至关重要的。
本文将从阻尼的基本概念、分类以及对振动行为的影响等方面展开讨论。
首先,我们来了解一下阻尼的基本概念。
阻尼是指在振动系统中消耗振动能量的现象,通过各种方式将振动系统的能量转化为其他形式的能量损失。
在振动系统中,阻尼的主要功能是减小振动幅值,稳定振动系统。
阻尼的存在可以有效地减小振动系统的共振现象,提高系统的稳定性和可靠性。
阻尼可以分为多种类型,常见的有粘性阻尼、干摩擦阻尼和涡流阻尼等。
粘性阻尼是指在振动系统中由于介质的黏性而产生的阻尼力,它与振动系统的速度成正比。
干摩擦阻尼是指由于两个固体之间的相对运动而产生的阻尼力,通常表现为与速度成正比的关系。
涡流阻尼则是指在导体中产生涡流时所产生的涡流耗散功率,通常与电磁感应的相关原理有关。
阻尼对振动行为的影响是多方面的。
首先,阻尼可以减小振动系统的共振现象。
共振是指当外界激励频率接近结构的固有频率时,结构振幅急剧增大的现象。
适当的阻尼可以减小振动系统的共振幅值,降低共振对结构的破坏性影响。
其次,阻尼可以提高振动系统的稳定性。
在没有阻尼的情况下,振动系统可能会出现无限增长的自由振动现象,而引入适当的阻尼可以使系统稳定下来,避免失控。
此外,阻尼还可以降低系统的振动能量损失,延长系统的使用寿命。
总的来说,阻尼在机械振动学中起着至关重要的作用。
通过了解阻尼的基本概念、分类以及对振动行为的影响,我们可以更好地设计和优化振动系统,提高系统的稳定性和可靠性。
在未来的工程实践中,我们应该充分重视阻尼对振动行为的影响,不断提升振动系统的性能,实现更好的工程效果。
12.5 阻尼对振动的影响解析

FC cy
my cy k11 y FP t
聊城大学建筑工程学院
式中,c为阻尼系数; y 为质点速度。负号表明 FC 的方向 的方向相反,它在振动时作负功,因而造 恒与质点速度 y 成能量耗散 。 一般运动方程为:
12.5.3 有阻尼的自由振动(单自由度体系)
研究有阻尼的自由振动,其目的在于: 1)求考虑阻尼的自振频率ω r或自振周期 Tr,更贴近实际情况
聊城大学建筑工程学院
y k 1 y k e
t k Tr
e
t k
e
Tr
对上式等号两边取倒数(分子与分母换位后)再取自然对数,
yk 2π Tr ln ln e Tr y k 1 r
yk 1 r 因此: ln 2 π yk 1
2πn
工程上通过实测yk 及yk+n来计算ξ 。
聊城大学建筑工程学院
关于求体系振动n周后的振幅
y 1 ln 0 2 π n yn
yn
,其计算式为:
T y y e 1 0
yn y0 e
T n
(当n=1)
当振动n周后
yn y1 y0 y0
t
其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质,但不具有 波动性质。
聊城大学建筑工程学院
综合以上的讨论可知:当ξ <1时,体系在自由反应中是会引 起振动的;而当阻尼增大到ξ =1时,体系在自由反应中即不 引起振动,这时的阻尼常数称为临界阻尼常数,用cr表示 c 在 中,令ζ =1,则 cr 2m 2 mk11 2m
12.5 阻尼对振动的影响
12.5.1 关于阻尼的定义 阻尼是使振动衰减的因素,或使能量耗散的因素。
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阻尼使振幅不断衰减,结构在振动过程中为克服阻力而 作功,当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽,结构 停止振动。
相邻两个振幅的比:
yk1
eT
y
常数
yk
振幅按等比级数递减.
Aet
An
An+1
ln yy kk 1ln eT T 2r
0
称为振幅的对数递减率.
T 2 r
如 0 .2 则 r 1 , 1r ln y k 1 ln y k 2 y k 12y k 1
结论:在简谐荷载作用下,无论是否计入阻尼的作用,纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动,称为平稳振动。
y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt -α)
y P A 2 B 2 y s t1 2 2 2 4 22 2 1 2 ,
t 1 g 1 2 ( ( ) ) 2
(2)θ>>ω,θ / ω → ∞, β很小。 体系振动很快,质点近似于作振幅很小的颤动。由于振
动很快,因此惯性力很大,动力荷载主要由惯性力平衡。 此时α →1800,位移与荷载反向。(y与FP反向)
(3)、θ ≈ ω,θ / ω → 1, β 增加很快 ,动力反应即振幅很
大。
此时α → 900 ,位移y(t)落后于荷载FP(t)大约900 ,即: FP(t)最大时,y(t)很小,所以FI(t)和Fs(t)都很小。 此时, FP(t)主要由阻尼力FD(t)来平衡。θ在ω附近时,阻尼 力FD(t)将起重大作用。动力系数明显受阻尼大小的影响。 在0.75< θ / ω< 1.25 之间,阻尼将大大减小简谐强迫
m
m
(1)振动方程的解
特征方程 2220 设解为:yBet
特征值 1,2(2 1),
一般解 y (t) B 1 e 1 t B 2 e 2 t
ξ是一个重要参数,ξ的大小,使体系的运动呈不同情况。
ξ >1
ξ =1
ξ<1
大阻尼 临界阻尼 小(弱)阻尼
1)低阻尼情形 ( <1 )
令 r 12
λi=-ωξ ± iωr
2
2
k 2
(2)自振频率
fT 111 .40.71(H 4)z2f4.41 8s
(3)阻尼特性 21ln12.60.03,55r 1 2(0 .9)9 1 2 9
(4)6周后的振幅
y0 y1
t0
ee (t0T)
eT
y y6 0ee ( t0 t 0 6T)
6
e6T y y1 0
y6 2 1 y y1 0l 6 n A A y nn 0 1 1 2 .2 6 1 m 6 l2 n A 0 A n. n 5 m 2 c4 m
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。(振与不振的分界点)
c2m
cr2m 2mk
ccr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼:不出现振动,实际问题不常见。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共,计加为一m水平力P=9.8kN,测得侧移A0=0.5cm, 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
④由y=yPsin(θt- α ) 可见,阻尼
体系的位移比荷载P=Fsin θt 后
一个相位角α ,
tg112(())2
弹性力FS,惯性力FI, 阻尼力FD分别为:
y y P s in (t ) , F S k y k y P s in (t ) , F I m y m 2 y P s in (t ) , F D c y c y P c o s (t )
Ck
平衡方程: m & y & c y & k P y ( t )
. F D ( t )
m
1、阻尼对自由振动
. FS(t) y
m
P(t)
m & y & c y & k y 0
P(t)
P(t)
& y &cy &ky0
FI(t)
mm
& y & 2y & 2 y 0(令2 c 及2 k )
尼大大减小了受迫振动的位移,
因此, 为了研究共振时的动力反 映, 阻尼的影响是不容忽略。在 2.0
共振区之外阻尼对β的影响较
小,可按无阻尼计算。
1.0
ξ=0 ξ=0.1
共振时 1
2
ξ=0.2 ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0
0
θ/ω
1.0
2.0
3.0
③βmax并不发生在共振θ/ω=1时,而发生在, 122 但因ξ很小,可近似地认为: 峰 1, max 121
个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解: 21 lnyykk121 ln0 0..4 50.0335
m EI=∞
9.8kN
224.18s 91
T 1.5
kP9.813019 164 0N/m A 0 0.005
c 2m 2m 2 2k
2 0 .03 15 9 14 5 6 0 33 N s 2 /m 2 3.2 0 3 N s 2 /cm 4 .189
§10-4 阻尼对振动的影响
本节主要内容 •阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定
•有阻尼的强迫振动
无阻尼振动内容回顾
1.无阻尼自由振动:
& y &2 y 0
y(t)ycost vsint A= y02 +v02 /ω2
y(t)A sin(t) α =1tan-1 (y0ω /v0 )
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
与无阻尼强迫振动相比,有阻尼强迫振动有以下特点:
(1)θ<<ω,θ / ω → 0,β→ 1。
由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要由
结构恢复力平衡.此时α →00,位移基本上与荷载同步。(y 与FP同步)
振幅:yp,
最大静力位移:yst=F/k=F/mω2
动力系数:
yP
y st
1 22242 2212
动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关
几点注意: ①随ξ增大β曲线渐趋平缓,
特别是在θ/ω=1附近β的
峰值下降的最为显著。
β
②当θ接近ω 时, β增加很快, 4.0
ξ对β的数值影响也很大。在
0.75< θ/ω <1.25(共振区)内,阻 3.0
•当θ=ω时,α→90°
F S k y P sin (t 9 0 0 ) F I m 2 y P s in (t 9 0 0 ) •
F D cy cy P c o s (t 9 0 0 ) 2 m yP sitn
2m
2
1
2
F m 2
sin t Fsintβ
yst
k=mω2=mθ2
振动的位移幅值。
方程的一般解为:
y ( t) e t( C 1 co r t C 2 s si r t) n
由初始条件确定C1和C2;
设
y(0)
y&(0)
y v
得 C1y C2v r y
y (t) e t( y co rt s v y sirtn ) r
( y ( t) e tA sir n t)
2.无阻尼受迫振动:
&y&
2
y
F m
sin
t
yys1 t2 12(sit n sin t)
平稳阶段:
yyst1212sint
[y]max 1 yst 12 2
§10-4 阻尼对振动的影响
一、阻尼理论
1、阻尼的两种定义或理解: 1)使振动衰减的作用; 2)使能量耗散。
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1)结构在变形过程中材料内部有摩擦,称“内摩擦”,耗散能量;
由此可见:共振时(θ=ω),FS与FI刚好互相平衡,
有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡,故运动呈现稳态故 不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时,因 不存在阻尼力与动荷载平衡,才出现位移为无限大的现象。
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性,与外因无关。
例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm,振
动一周T=1.4s后,回摆1.6cm,求大梁的重量W及6周后的振幅。
解:(1)大梁的重量,
由
T22
W1.4s kg
W=mg
W 1 .4 2 kg 0 .04 2 9 0 9 6 8 41 .6 8 k6 N k2
2、有阻尼强迫振动
简谐荷载P(t)=Fsinθt
y2y2yFsint
m
设特解为:y=Asinθt +Bcos θt代入上式得:
A m F (2 2 ) 2 2 4 2 222, B m F ( 2 2 ) 2 2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解:
y { e tC 1 co r t C 2 s si r t } n +{Asin θt +Bcos θt }
2
其中
A
y2
v
r
y
tg1 r y v y
(a)阻尼对频率和周期的影响
讨论:
y
r 1 2 ,随 而
T 2 r
当ξ<0.2,则存在0.96<ωr/ω<1。 0