圆中角的关系
第16讲 圆心角、圆周角定理
OABC第16讲 圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BACODC B ACA EFDO B例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠B例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >CDC ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．A ．AB=ACB ．AB=2AC C ．AB<2ACD ．AB>2ACOBA(5) 4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123D ．5二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BC21EDOBCOBACED(4) (5) (6)OA CDO BP 5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，∠A=•60°，则⊙O•半径为_______．三、解答题1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？OBAC D N M2．如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=65°，求BE 的度数和EF 的度数．BACEDF3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．HGIOEDABCF30°B ANOMP OBACy xM5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E,F 为BA 延长线上一点，连接EF,以EF 为直径的⊙O 经过点D,与CD 边交于点G.(1)求∠FDE; (2)判断四边形ACDF 是什么四边形，说明理由（3）若G 为CD 中点，①求证：FD=FI ②设AC =2m ，BD =2n ，求⊙O 的面积与菱形ABCD 的面积之比．ODBAC 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
圆心角弧长半径之间的关系
圆心角弧长半径之间的关系
角度是一个数学变量，有三个常用的单位制。
1）度、分、秒制。
一个圆周为360度，1度为60分，1分为60秒。
优势：真因数多，容易被整除，因此便于反映旋转的量，如二分之一圈、四分之一圈……都是简单的分数。
2）弧度制。
1弧度的圆心角所对应的弧长等于半径，记为1π。
优势：便于处理弧长与半径的关系和计算扇形的面积等，如圆周角的角度值为2π，平角的角度值为π。
3）密位制。
现在改为毫弧，1密位（毫弧）的正切近似等于1000。
优势：军事上便于测距，如军用望远镜中的标尺就是密位制的。
假如侦察兵在标尺中看到1密位正好卡住一辆坦克的车宽，他根据常识知道这型坦克的宽度是3米，就可以方便地算出到坦克的距离是3000米。
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)
圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升）【学习目标】1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【重点梳理】重点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．3.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．重点解说：(1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交.(2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外面．（以下列图）重点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° .BACOD重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC．【思路点拨】此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与分析】证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ．∴AB BD CD BD ，即AD BC ，∴AD ＝ BC．证法二：如图②，连OA、 OB、 OC、 OD，∵ AB ＝ CD，∴∠ AOB＝∠ COD．∴∠AOB－∠ DOB＝∠ COD－∠ DOB，即∠ AOD＝∠ BOC，∴AD ＝ BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等经常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，一定借助已知的等弦进行推理．贯通融会：【变式】以下图，已知AB 是⊙ O的直径， M、 N 分别是 AO、 BO的中点， CM⊥AB， DN⊥ AB．求证： AC BD ．【答案】证法一：如上图所示，连OC、 OD，则 OC＝ OD，1OA，ON1OB，∵ OA＝OB，且OM22∴OM＝ ON，而 CM⊥ AB， DN⊥ AB，∴Rt △ COM≌Rt △ DON，∴∠COM＝∠ DON，∴AC BD．证法二：以下列图，连AC、 BD、 OC、 OD．∵M 是 AO的中点，且 CM⊥ AB，∴ AC ＝OC，同理 BD＝ OD，又 OC＝OD．∴ AC ＝BD，∴AC BD．种类二、圆周角定理及应用2.（ 2015?南京二模）如图， OA 、 OB 是⊙ O 的半径且 OA ⊥OB ，作 OA 的垂直均分线交⊙ O 于点C、 D ，连结 CB、 AB ．求证：∠ ABC=2 ∠ CBO．【答案与分析】证明：连结OC、 AC ，如图，∵CD 垂直均分 OA ，∴ OC=AC ．∴OC=AC=OA ，∴△ OAC 是等边三角形，∴∠ AOC=60 °，∴∠ ABC=∠ AOC=30°，在△ BOC 中，∠ BOC= ∠AOC+ ∠AOB=150 °，∵OB=OC ，∴∠CBO=15 °，∴∠ABC=2 ∠ CBO．【总结升华】此题考察了圆周角定理以及线段垂直均分线的性质和等边三角形的判断与性质，娴熟的掌握所学知识点是解题的重点 .贯通融会：【变式】如图， AB 是⊙ O的弦，∠ AOB＝ 80°则弦 AB所对的圆周角是.【答案】 40°或 140° .3. 如图， AB是⊙ O的直径， C、 D、 E 都是⊙ O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】 90° .【分析】如图，连结OE，则【总结升华】把圆周角转变到圆心角.贯通融会：【变式】（2015?玄武区二模）如图，四边形∠ABO=30°，则∠ D=．ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC、 BO，已知∠ CAB=36°，【答案】 96°；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠ OBC=∠OCB，∴∠ OBC= （180°﹣∠ BOC） = （180°﹣ 72°） =54°，∴∠ ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠ D+∠ABC=180°，∴∠ D=180°﹣ 84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙ O上三点 A、 B、 C，∠ ACB=60°， AB=m，试求⊙ O的直径长 .【答案与分析】以下图，作⊙O的直径 AC′，连结C′ B，则∠ AC′ B=∠ C=60°又∵ AC′是⊙ O的直径，∴∠ ABC′ =90°即⊙ O的直径为.【总结升华】作出⊙ O的直径，将60°、直径与 m都转到一个直角三角形中求解 .贯通融会：【变式】如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ C＝ 45°， AB＝4，则⊙ O的半径为（）．A．2 2 B ． 4C．23D．5【答案】 A.种类三、圆内接四边形及应用5.已知，如图，∠ EAD是⊙ O的内接四边形 ABCD的一个外角，而且 BD=DC.求证： AD均分∠ EAC.E DAOB C【思路点拨】如图，由圆内接四边形的性质可证得∠EAD=∠ DCB，依据等腰三角形的性质获得∠DBC=∠ DCB，依据圆周角定理可得∠ DBC=∠ DAC，因此等量代换可求得∠EAD=∠ DAC，即 AD均分∠ EAC.【答案与分析】证明：∵∠ EAD与∠ DAB互为邻补角，E D ∴∠ EAD+∠ DAB=180° .A∵四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，∴∠ DAB+∠ DCB=180° .O∴∠ EAD=∠ DCB.又∵∠ DBC与∠ DAC是DC所对的圆周角，B C∴∠ DBC=∠ DAC,∴∠ EAD=∠ DAC.即 AD均分∠ EAC.【总结升华】此题考察圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题时要仔细审题，注意转变思想的合理运用 .贯通融会：【变式】如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE=85°，则∠AOC的度数为（） .A.150°B. 160 °C.170 °D.165 °DA OC【答案】 C.BE。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
平面几何中的圆与圆心角
平面几何中的圆与圆心角在平面几何中，圆是一种特殊的几何图形，它有着独特的性质和特征。
圆心角是圆与圆心的夹角，在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将详细介绍平面几何中的圆与圆心角的相关概念、性质及应用。
一、概述圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
在圆上可以定义各种角，其中圆心角是指由两条半径所夹的角。
通常用希腊字母θ（theta）来表示圆心角。
二、圆心角的性质1. 圆心角的定义在一个圆上，以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于所对圆弧的度数。
2. 圆心角的度数圆心角的度数范围从0°到360°。
当圆心角为0°时，即为顶点与圆上两点重合，此时两条半径相等；当圆心角为360°时，即为整个圆。
3. 圆心角与弧度的关系圆心角的弧度数等于所对圆弧的弧度数除以半径。
弧度是衡量角度大小的另一种单位，常用符号r表示。
三、圆心角的应用1. 圆心角的测量通过测量圆心角的度数或弧度，可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积。
具体计算公式如下：- 圆心角度数和弧长的关系：弧长 = （圆周长 ×圆心角度数）/ 360°- 圆心角弧度和弧长的关系：弧长 = 半径 ×圆心角弧度2. 圆心角在几何证明中的应用圆心角在几何证明中常常用于推导和证明等。
例如，基于圆心角的性质，可以证明两条互相垂直的弦所夹的圆心角相等，也可以通过圆心角的夹角定理证明两条平行弦所夹的圆心角相等。
3. 圆心角在实际生活中的应用圆心角的概念在实际生活中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，根据圆心角的测量可以确定建筑物的曲线形状和角度大小。
在航空航天领域，圆心角被广泛应用于飞行轨迹计算和飞机导航。
四、总结圆心角是平面几何中研究圆与圆心夹角的重要概念。
通过测量圆心角的度数或弧度，我们可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积，也可以应用于几何证明和实际生活中的各种问题。
熟练掌握圆心角的相关概念和性质对于理解和应用平面几何学的原理和方法非常重要。
圆中的角
圆中的角的知识点及应用
一、知识点
1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
2、弧、弦圆心角定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余两组量也相等。
3、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
5、圆周角定理的推论（一）：同弧或等弧所对的圆周角相等。
6、圆周角定理的推论（二）：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
7、圆内接四边形的对角互补。
二、练习巩固
1、如图1所示，点A ，B ，C ，D 在同一圆上，四边形ABCD 的 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些角是相等的角？ 哪些角互补？
2、如图2所示，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，已知 ∠BOC=700，AD ∥OC ，求证：D C C B 。
3、如图3，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，求证：△ADE ∽△CBE.
4、如图4，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠ABC=90°,AD=3，CD=2， 则⊙O 的直径的长是 。
5、.如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC=
C
D 图1
B 图2 图3 ·
O
A B D C E 图5。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
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圆中角的关系
1.同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半
2.同弧（或等弧）所对的圆周角相等
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径
4.弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
5.圆的切线垂直于经过切点的半径
6.过圆外一点引两条切线，连接该点与圆心的线段平分两条切线所成的角
7.圆内接四边形对角互补
2.如图，AC AB 、为圆O 的两条弦，延长CA 到点D ，使AB AD =，若 25=∠ADB ，则BO C ∠的度数
为__________
3.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 至点D ，使CB DC =，延长DA 与圆O 的另一个交点为E ，连接OC CE AC ,,，则下列判断正确的是（ ）
.A EAB ACE ∠=∠ .B BCE ACE ∠=∠ .C BCE AOC ∠=∠ .D EAB CAB ∠=∠
4.如图，长方形ABCD 内接于圆O ，3,1==BC AB ，K 是劣弧DC 上一点，则DCK ABK ∠-∠的度数为（ ）
.A 55 .B 60 .C 65 .D 70。