圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
DCBAO圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
（对圆内接四边形的性质的考查，在竞赛题目中出现较多。
等后面我们学习了直线和圆的相关知识后，还要学到圆的外切四边形及其性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等）。
三、圆中有关的角的应用根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，即弧把圆心角、圆周角联系起来。
能力提升类例1 已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝36°，作OE ⊥AB 交劣弧⋂AB 于点E ，连结EC 。
求∠OEC 的度数。
F H EABCO一点通：在圆中求角的大小，经常需要用到与圆有关的角的定理。
解：∵OE ⊥AB ，∴E 为劣弧⋂AB 的中点∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB又∵∠ABC ＝60°，∠BAC ＝36°， ∴∠BCA ＝180°―60°―36°＝84°。
∴∠BCE ＝42°。
由∠OEC ＋∠EHF ＝∠B ＋∠ECB ， 知∠OEC ＋90°＝60°＋42°， ∴∠OEC ＝12° 评析：（1）在三角形中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论。
（2）在圆中求角的到大小经常需要用与圆有关的角的定理。
例2 如图，⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP =PC ，试猜想AD 与CB 之间的关系，并证明你的猜想．一点通：连结OC ，OD ，设∠COP ＝α，则∠OPD ＝2α，∠AOD ＝3α＝3∠BOC ．解：连结OC、OD，设∠COP＝α，∵OP=PC，∴∠COP＝∠OCP＝α∴∠OPD＝∠COP＋∠OCP＝2α∵OC=OD，∴∠OCP＝∠ODC＝α。
∴∠AOD＝∠OPD＋∠ODC＝3α∴AD＝3CB。
综合运用类例3已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．一点通：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC即可．解：延长AO交⊙O于N，连结BN，∵∠ANB和∠ACB所对的弧都是AB，∴∠ANB＝∠ACB。
即∠ANB＝∠ACD。
∵AN为直径，∴∠ABN＝90°。
∵∠ANB＋∠BAN＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BAN＝∠DAC。
∵AM平分∠BAC交⊙O于点M，∴∠BAM＝∠CAM。
∴∠BAM－∠BAN＝∠CAM－∠DAC。
∴∠MAN＝∠MAD，即∠MAO＝∠MAD评析：去掉圆后，这是一道典型的三角形题，在三角形中曾多次见到，你还记得有哪些结论吗？例4 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．一点通：连结MB，证∠DMB＝∠CMB．解：证法一：连结MB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝∠FMB＝90°。
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，∴⋂⋂=DB CB。
∴∠DMB＝∠CMB。
∴∠AMB－∠DMB＝∠FMB－∠CMB。
∴∠AMD=∠FMC．证法二：连结MB，AD∵ADCM是圆内接四边形，∴∠FMC＝∠FDA。
∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°。
∴∠AMD＝90°－∠DMB。
∵AB⊥CD于E，∴∠FDA＝90°－∠DAB∵∠DMB和∠DAB所对的弧都是⋂BD，∴∠DMB＝∠DAB。
∴90°－∠DMB＝90°－∠DAB。
∴∠AMD=∠FMC．思维拓展类例5 已知：如图，在定圆⊙O 内有两条互相垂直的弦AC 、BD 。
求证：AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝定值。
O D ABC一点通：可设⊙O 的半径为R ，特殊地，AC 、BD 为两条互相垂直的直径时，显然有AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝ 2 R ，所以只需证明它们的平方和为定值8R 2即可。
证明：作直径DE ，连结BE 、EC ，并设⊙O 的半径为R 。
∵DE 是直径， ∴∠DBE ＝90° ∴BE ⊥DB 。
∵AC ⊥BD ， ∴AC ∥BE 。
∴⋂⋂=CE AB 。
∴AB ＝CE 。
∵DC 2＋CE 2＝DE 2， ∴DC 2＋AB 2＝（2R ）2。
同理AD 2＋BC 2＝（2R ）2。
∴AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝2·（2R ）2＝8R 2＝定值。
评析：在处理探索性问题时，除了常用特殊位置来探求结果外，还经常考虑一些极端情形，以求获得探求结果。
例6 已知如图所示，AD 是半圆的直径，AB=BC=1cm ，AD=4cm ，求CD 的长。
解：连结AC 、OB ，OB 交AC 于点P ，∵AB=BC ，∴⋂⋂=BC AB ，∴AP=CP ，BP ⊥AC 。
设BP 为xcm ，则OP=OB －BP=2－x在Rt △ABP 中，AB 2－BP 2=AP 2，在Rt △APO 中，AO 2－OP 2=AP 2，∴AB 2－BP 2=AO 2－OP 2，∴1－2x =4－（2－x ）2，解得：41=x ，即cm BP 41=， ∴),(415161122cm BP AB AP =-=-=∴cm AP AC 2152==。
∵AD 是直径，∴∠ACD=90°在Rt △ACD 中，由勾股定理，得)(274151622cm AC AD CD =-=-=， 故CD 长为cm 27评析：构造直径所对的圆周角，产生直角三角形，利用勾股定理（或后面学到的三角函数）等知识解题。
对于含平分弧的题目，经常连接分点和圆心，利用垂径定理或它的推论解题。
1. 由弧找角、由角找弧是证明相等或角相等的常用思想方法。
2. 应注意分类讨论的思想方法的运用，如求弦所对的圆周角度数问题，求圆内两条平行线之间的距离问题及同弧所对的圆周角与圆心角之间关系的得出等，都需要进行分类讨论。
3. “见直径，构造圆周角，必为直角”，这是圆中一种常见的作辅助线的方法。
问题1 如图所示，在⊙O 中，弦AB ＞CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M ，N 为垂足，那么OM ，ON 的关系是（ ）A. OM ＞ONB. OM=ONC. OM ＜OND. 无法确定答案：C评析：本题易错之处在于没有正确理解圆心角与弦之间的关系，在同圆或等圆中，弦越长，它所对的圆心角就越大。
我们连接OA ，OC ，根据勾股定理，得22AM AO OM -=，22CN OC ON -=。
因为OA=OC ，AM=MB=21AB ，CN=DN=21CD （垂直于弦的直径平分弦），且AB ＞CD ，即AM ＞CN ，所以2222CN OC AM OA -<-，所以OM ＜ON 。
问题2 圆的弦长等于半径，那么这条弦所对的弧所对的圆周角大小为 。
答案：30°或150°评析：本题易错在忽略了这条弦把圆分成的两条弧中的优弧所对的圆周角，因为AB=OA=OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以∠AOB=60°，劣弧⋂AB 所对的圆周角为21×60°=30°，而优弧⋂ACB 所对的圆周角为21×（360°－60°）=150°。
（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列说法错误的是（ ）A. 垂直于弦的直线平分弦，平分弦所对的两条弧B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧D. 过圆心，平分一条弧的直线平分弧所对的弦2. 一条直线经过圆心且平分弦所对的劣弧，那么这条直线（ ）①平分弦 ②平分弦所对的优弧 ③垂直于弦 ④是圆的对称轴A. ①③B. ①②③C. ④D. ①②③④3. 圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和5，则两条平行弦间的距离为（ ）A. 2B. 3C. 7D. 7或3二、填空题1. 已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。
（1）如果AB ＝CD ，那么_________________； （2）如果⋂⋂=CD AB ，那么_________________； （3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么__________；（4）如果OE ＝OF ，那么_________________。
圆形角度计算公式
圆形角度计算公式以圆形角度计算公式为标题，本文将介绍圆形角度的计算公式以及其应用。
一、圆形角度的定义在数学中，圆是一个平面上所有距离中心点相等的点的集合。
而圆形角度则是用来描述圆上的两条线段之间的夹角的度量。
圆形角度的单位通常为度（°）。
一个完整的圆形角度为360°，因为一个圆被认为是由360个等分弧组成的。
二、圆形角度的计算公式1. 弧度制在数学中，另一种常用的角度单位是弧度（rad）。
弧度制使用圆的半径作为单位，定义一个完整圆的角度为2π弧度。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 1802. 圆周角圆周角指的是从圆心所对应的角。
一个完整的圆周角为360°或2π弧度。
当我们知道圆周角的度数时，我们可以使用以下公式来计算对应的弧度：弧度 = 圆周角× π / 180三、圆形角度的应用圆形角度的计算公式在许多数学和物理问题中都有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景：1. 弧长计算当我们知道一个圆的半径和圆形角度时，可以使用以下公式来计算圆弧的长度：弧长 = 半径× 圆周角 / 3602. 扇形面积计算扇形是由圆心、两条半径和夹角所围成的图形。
当我们知道一个扇形的半径和圆形角度时，可以使用以下公式来计算扇形的面积：扇形面积= 0.5 × 半径² × 圆周角 / 3603. 弧度与角度的相互转换在一些数学问题中，我们需要在弧度和角度之间进行转换。
根据前面提到的公式，我们可以方便地进行转换。
4. 圆形角度的几何性质圆形角度的计算公式可以帮助我们研究圆的几何性质，如圆心角、相交弧的夹角等。
通过计算圆形角度，我们可以得到更多有关圆的信息。
圆形角度的计算公式在数学和物理领域中有着广泛的应用。
通过这些公式，我们可以计算圆弧的长度、扇形的面积，以及进行弧度和角度的转换等。
这些公式帮助我们更好地理解和研究圆的几何性质，为解决实际问题提供了便利。
人教版-数学-九年级上册-知识归纳：圆
知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆心角的性质
圆心角的表示方法
圆心角通常用希腊字母θ(theta)表示，也可以用大写字母K 表示。
表示圆心角的时候，需要标明它所在圆的半径和弧长或者 弧度。
圆心角与弧的关系
圆心角和弧是有密切关系的， 可以用公式表示：弧长=弧度×
半径。
一段弧的长度和它的圆心角的 大小是成正比的，也就是说， 圆心角越大，弧的长度也就越
05
圆心角的应用实例
圆心角在机械制图中的应用
机械制图是工程和技术领域中非常重要的一个方面，而圆心角的应用在其中扮演 了重要角色。
利用圆心角可以准确地标注和计算角度，例如在绘制齿轮、蜗轮、涡轮等复杂的 三维模型时就需要使用圆心角进行精确计算。
圆心角在机械制图中的应用还表现在对一些精密零件的设计和制造上，例如钟表 和精密机床等，这些都需要准确地计算和标注圆心角。
圆心角在作图中还被用于确定圆弧的起止点，如已知圆弧的起点、圆心和终点三 个点，可以通过圆心角的大小计算出圆弧的长度，从而进行绘制。
圆心角在解析几何中的应用
圆心角在解析几何中常被用于求解二次方程的实数根，如将 二次方程的曲线表达式转化为圆的标准式，然后通过求解圆 心角所对应的三角函数值，进而求解出二次方程的实数根。
圆心角在建筑设计中的应用
建筑设计是一项复杂的工作，需要考虑各种因素，而圆心角的应用在其中起到了关键作用 。
利用圆心角可以精确地计算和设计建筑物的角度和形状，例如在建造圆形建筑、半圆形建 筑或多边形建筑时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在建筑设计中的应用还表现在对建筑物内部结构的设计和规划上，例如在考虑采光 、通风、视野等因素时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在解析几何中还被用于计算曲线上的点到原点的距离 ，如已知一个圆的圆心和半径，可以通过计算圆心角的大小 来求解曲线上的点到原点的距离。
角与圆的关系
已知：如图直线ABP和CDP是自点P 引的⊙O的两条割线 求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都 对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠P=∠P ∴△ADP∽△CBP （如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相 似。）
对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC
的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角 形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
图2
∠COD=∠CAD+）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+
∠CAD)=2∠BAC
情况3：
角与圆的关系
顶点在圆内，由两 条弦在圆内相交所 成的角叫圆内角
顶点在圆周上，并 且两边都和圆相交 的角叫圆周角
顶点在圆外，由 圆的两条割线组 成的角叫圆外角
如右图，已知在⊙O中，弦AB、CD 交于点P。
连OA、OB、OC、OD和BC。 在⊙O中，∠BCD= 12∠BOD（圆周角 定理）； 同理，∠ABC= 12∠AOC。 ∵∠APC是△PCB的外角，
即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
图1
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边
的外角等于两个不相邻两个内角的和）
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆的有关性质——弧、弦、圆心角_PPT
∴ CD=AB
弦等
弧等
19
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
20
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：A△CO⌒=EBFD的⌒形状，并说明理由；
2）如果OAEB与=C⌒ODF，相⌒那等么吗？为A什B=，么CD？ AOB CO。D
3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB ，CD AB。=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等
知A E B
一 得
O· D
二三 C F 16
例1 如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C,∠ACB=60°,
一个角度．
30°
N
N′
15°
O
可以看出，点 N′在圆O上．
4
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一个角度．
60°
N′
N
30°
O
可以看出，点 N′也在圆O上．
5
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一°
O
可以看出，点 N′还在圆O上．
6
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
ED C B
O
弧等
圆心角等
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3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
关于圆的思维导图
一、圆的有 关概念和性 质
02 圆的性质
03 有关半径、弦、弦 弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h 心距、弓形高的计算 知道任意二个，可求其它二个
二、与圆有关的位置关系
01点与圆的位置关系 三种位置关系：点在圆外、圆上、圆内
02 确定圆的条件
①过一点有无数 ②过二点有无数，但这些圆心在这两点连线的平分线上 ③过同一直线上的三点无 ④过不同直线上的三点确定一个
弓形的面积
劣弧:S弓=S扇-S三角形 优弧:S弓=S扇+S三角形 半圆:
四、有关圆 的计算
05 圆柱
圆柱的基本特征 圆柱的侧面展开图：矩形 侧面积S侧=2π Rl 圆柱的表面积： S表=S侧+2S底=2π Rl +2π R2 圆锥的基本特征 圆锥的侧面展开图：扇形 侧面积S侧=π Rl 圆锥的表面积： S表=S侧+S底=π R（l +R）
03 尺规作图的基本步骤
五、尺规作 图
04 运用基本作图作三角形 05 探索过一点、两点和不 看例题练习 06 如何分析作图题 在同一直线上的三点作圆
①公式法 ②割补法 ③拼凑法
06 圆锥
07 不规则图形的面积计算 01 尺规作图的概念
④等积变形法 ⑤构造方程法 ⑥迁移变换法
02 五种基本作图
五、尺规作 图
㈠作一条线段与已知线段相等 ㈡作一个角等于已知角 ㈢作已知角的平分线 ㈣经过一点作已知直线的垂线 ㈤作线段的垂直平分线 ①已知 ②求作 ③作法 ④证明 ⑤讨论 ⑥结论
05正多边形的有关计算 归结为解直角三角形
06正多边形的画法 01 圆的周长与面积
先将一个圆n等分，然后顺次连接各等分点 面积S=π R2
圆周角的概念和圆周角定理
24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。
《圆周角》知识全解
圆周角概念定理推论满足两个条件计算与证明计算与证明《圆周角》知识全解课标要求1．理解圆周角的概念，让学生探索和掌握圆周角定理，并能灵活地应用圆周角定理解决圆的有关说理和计算问题；2．让学生在探究过程中体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想；3．培养学生观察、比较、分析、推理及小组合作交流的能力和创新能力，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣．知识结构内容解析一、圆心角、圆周角的定义及其度量1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．区别：(1)顶点的位置不同：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆周上．(2)与所对弧的关系不同：圆心角的度数与它所对弧的度数相等，圆周角的度数是它所对弧度数的一半．联系：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．二、圆周角与圆心角的关系1．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；它包含两层含义：（1）圆周角与圆周角的关系：同弧或等弧所对的圆周角相等．这是圆中论证角相等非常重要的依据．（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角和圆心角关系的纽带是“弧”，该“弧”确定了圆周角和圆心角的位置关系．2．半圆（或直径）所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；90°（直角）的圆周角所对的弦是直径．它包含两层含义：（1）这时圆中最特殊的弦（直径）产生了最特殊的角（直角），体现了特殊的位置确定特殊的结果；（2）这个结论为在圆中确立直角，构造垂直关系创造了条件．在圆中见直径应联想到直角，圆周角是直角联想到直径，简记为：直径对直角，直角对直径．重点难点本节的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程；教学重点的解决方法：为了突出重点，我设计了一系列的探究活动由浅入深，循序渐进．①一条弧对的圆心角有几个，圆周角有几个？②圆心与圆周角有几种位置关系? 当学生摆出三种位置关系时，教师提问是否还存在其他的位置关系，是否有遗漏？当确定只有这三种位置时，作出三个图中的圆心角，③同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC 的度数，你有什么发现等等．本节的难点是：了解圆周角的分类，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”．教学难点的解决方法：为突破难点，在学生验证猜想时，教师要给学生充分探索的时间和空间，因为难点处是学生互相学习互相交流思维的最佳时机，相信学生的思维闪光点也正是在学生互相讨论中挖掘出来的．若学生一时难以找到证明的途径，教师提示可把第二类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第一类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊．向学生有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想．教法导引根据教材本身探究性较强的特点，我以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合的教学模式实施教学，由浅入深，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方式，让学生经历数学知识的形成与应用过程．俗话说：“听不如看，看不如做”．在新课教学时，借助教具学具的演示，使学生非常直观地掌握圆周角的特征，并且为学生如何使用学具完成一系列的探究活动做了很好的示范．为了简便快捷地充分利用好学具，我将学具中的塑料棒改为皮筋．学具的使用不仅激发了学生兴趣，充分调动了学生的学习积极性，使学生乐于探索，还体现了自主、探索、合作与实践的学习方式，让学生成为了学习的主人，让学生的主体意识、能动性得到了发展．学法建议探究式学习和有意义接受式学习都是学生的重要学习方式，本课尝试做两者相结合的学习方式的指导．力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式．引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程．。