和圆有关的角(含答案)

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考点14 圆周角(解析版)

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点14圆周角【知识点梳理】圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，AC，若26OCA∠=︒，则BOC∠=（）A．60°B．56°C．52°D．48°【答案】C【分析】先说明OA=OC,进而得到⊙BAC=⊙OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上⊙OC =OA⊙⊙BAC =⊙OCA =26°⊙BOC ∠=2⊙BAC =52°．故选C ．【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆周角定理成为解答本题的关键． 2．如图，在Rt ⊙ACB 中，⊙ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝8，若以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，则CD 的长为（）A ．125B ．135C ．245D ．5【答案】C【分析】根据勾股定理求得AB 的长，然后根据直径所对圆周角为90︒得到90ADC ∠=︒，然后根据三角形面积即可求解．【详解】在Rt ⊙ACB 中，22226810ABAC BC ， ⊙AC 为O 的直径，⊙90ADC ∠=︒，⊙1122ABC S AC BC AB CD ==， ⊙6824105AC BC CD AB ⨯===，故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断90ADC ∠=︒．3．如图，AB 为O 的直径，AC 为O 的弦，D 是弧BC 的中点，E 是AC 的中点．若CD =6AC =，则DE =（）AB ．5CD ．【答案】A 【分析】连接OC 、BC 、OE 、BD ，OE 交O 于F ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，如图，先根据垂径定理得到OD BC ，OE AC ⊥，再计算出90DOF ∠=︒，设O 的半径为r ，则3DG r =-，利用勾股定理得到=5r ，然后利用勾股定理计算DE 的长．【详解】解：连接OC 、BC 、BD ，OD 交BC 于G ，连接OE 并延长交AC 于点F ，⊙D 是弧BC 的中点，⊙OD BC ，BD CD ==BOD COD ∠=∠，⊙E 是AC 的中点，⊙OE AC ⊥，AF CF =，⊙AOF COF ∠=∠， ⊙1180902DOF ∠=⨯︒=︒， ⊙OA OB =，BG CG =，⊙//OG AC ，132==OG AC ，设O 的半径为r ，则3DG r =-，在Rt OBG 中，2223BG r =-，在Rt DBG △中，(()2223BG r =--，⊙(()22293r r -=--，解得：12r =-（舍去），35r =，⊙5OD =，⊙4BG =，易得四边形OGCE 为矩形，⊙4OE CG BG ===，在Rt DOE 中，DE =故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．4．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得⊙D ＝⊙CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出⊙BCE ＝60°，可得⊙A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出⊙BDC ＝⊙CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，⊙ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙⊙CBE ＝⊙ADC ，⊙BCE ＝⊙A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=⊙:2:1ABC CBE ∠∠=⊙⊙CBE ＝⊙ADC=60°，⊙CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙⊙BCE ＝⊙A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙⊙CDB ＝⊙DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．5．如图，AB 为圆O 的直径，且AB =8，C 为圆上任意一点，连接AC 、BC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，以BC 为边作正方形BCEF ，连接DE ．若AC 为a ，BC 为b ，DE 为c ，则下列关系式成立的是（）A ．260ab c +=B ．2222a b c +=C ．2223a c b +=D ．264ab c +=【答案】D 【分析】延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，在⊙E CM 中，分别表示出EM 和CM ，得到DM ，在⊙DEM 中，利用勾股定理得到222a b ab c ++=，结合直径AB =8即可得到结果．【详解】解：延长DC ，过E 作DC 延长线的垂线，垂足为M ，⊙AB 为圆O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙四边形BCEF 为正方形，⊙⊙BCE =90°，即A ，C ，E 三点共线，⊙⊙ACD 为正三角形，⊙⊙ACD =60°，⊙⊙E CM=60°，在⊙E CM 中，EM =EC ·sin60°=2b ， CM=EC ·sin30°=12b ， ⊙DM =DC +CM=a +12b ，在⊙DEM 中，222DM EM DE +=，⊙22212a b c ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222a b ab c ++=，⊙AB =8，⊙222264AC BC a b +=+=，⊙264ab c +=，故选D ．【点睛】考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a ，b ，c 的关系式222a b ab c ++=．6．如图，AB 与CD 是O 的两条互相垂直的弦，交点为点P ，70ABC ∠=︒，点E 在圆上，则BED ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙AB CD ⊥，⊙90BPC ∠=︒，⊙70ABC ∠=︒，⊙180180709020BED BCP ABC BPC ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．如图，点A ，D ，B ，C 是圆O 上的四个点，连接AB ，CD 相交于点E ，若38BOD ∠=︒，132AOC ∠=︒，则AEC ∠的度数为（）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C【分析】首先连接BC ，根据⊙BOD 和⊙BCD 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙BCD 的度数，再根据⊙AOC 和⊙ABC 是同弧所对的圆心角和圆周角，得出⊙ABC 的度数，再根据三角形的外角，得出⊙AEC =⊙EBC +⊙ECB ,即可求出⊙AEC 的度数．【详解】连接BC ，⊙BOD ∠ 和BCD ∠ 是BD 所对的圆心角和圆周角， 11381922BCD BOD ,又AOC ∠ 和ABC ∠ 是AC 所对的圆心角和圆周角， 111326622ABC AOC ,又⊙⊙AEC 是⊙BEC 的外角，⊙196685AECEBC ECB , 故选：C ．【点睛】考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．8．如图，O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，则BOP ∠的度数为（）A ．25︒B ．90︒C ．92︒D ．109︒【答案】C【分析】根据圆周角定理可得2134AOB ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得出答案．【详解】解：O 中所对的圆周67ACB ∠=︒，2134AOB ACB ∴∠=∠=︒点P 在劣弧AB 上，42AOP ∠=︒，1344292BOP AOB AOP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，20ABC ∠=︒，则ACD ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出⊙CAD =90°，根据直角三角形两锐角互余得到⊙ACD 与⊙D 互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙D 的度数，继而求得⊙ACD 的度数．【详解】解：⊙CD 是⊙O 的直径， ⊙⊙CAD =90°， ⊙⊙ACD +⊙D =90°． ⊙⊙ADC =⊙ABC =20°， ⊙⊙ACD =90°-⊙ADC =70°．故选：D ．【点睛】考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，ABC 内接于O ，其外角BAE ∠的平分线交O 于点D ，点A 为弧CD 的中点．若28ABC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A ．84°B ．85°C ．86°D ．88°【答案】A连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，根据圆周角定理得出28AFC DFA ∠=∠=︒，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出BAF ∠度数，进一步计算可得ACB ∠的度数．【详解】解：连接AO 并延长与O 交于点F ，连接FC ，FD ，⊙AF 是直径，⊙90ACF ADF ∠=∠=︒，⊙点A 为弧CD 的中点，28ABC ∠=︒， ⊙=28DFA AFC ∠=∠︒， ⊙62FAD FAC ∠=∠=︒，⊙180626256DAE ∠=︒-︒-︒=︒， ⊙AD 平分BAE ∠， ⊙56DAB DAE ∠=∠=︒，⊙62566BAF FAD DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ⊙6BCF ∠=︒，⊙90684ACB ∠=︒-︒=︒，【点睛】考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．11．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点， ⊙⊙ACB =90°， ⊙⊙ABC =25°， ⊙⊙BAC =90°-25°=65°， ⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 12．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上．40OCA ∠=︒．则BOC ∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．50︒【答案】A【分析】先利用等腰三角形的性质得到⊙A ＝⊙OCA ＝40°，然后根据圆周角定理得到⊙BOC 的度数．【详解】解：⊙OC ＝OA ， ⊙⊙A ＝⊙OCA ＝40°， ⊙⊙BOC ＝2⊙A ＝80°．故选：A ．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二、填空题13．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3【分析】根据正方形的性质得到⊙ADC＝90°，推出⊙DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙ADC＝90°，⊙⊙ADF＋⊙CDF＝90°，∠∠，⊙ADF=DCF⊙⊙DCF＋⊙CDF＝90°，⊙⊙DFC＝90°，⊙点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，⊙⊙G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，⊙OG＝9，⊙OP=，⊙FP＝3，⊙BE＋FE的长度最小值为3，故答案为：3．【点睛】考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．14．如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，⊙CEB=60°，求⊙CAB的度数________.【答案】35°【分析】根据圆周角定理，可得：⊙A-⊙C=10°；根据三角形外角的性质，可得⊙CEB=⊙A+⊙C=60°；联立两式可求得⊙A的度数．【详解】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，⊙两弧所对圆心角相差20°，⊙2⊙A-2⊙C=20°，⊙⊙A-⊙C=10°…⊙；⊙⊙CEB是⊙AEC的外角，⊙⊙A +⊙C =⊙CEB =60°…⊙； ⊙+⊙，得：2⊙A =70°，即⊙A =35°．故答案为：35°．【点睛】考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．15．如图，点A ，B ，C 在O 上，50B C ∠+∠=︒，则BOC ∠的度数为______．【答案】100︒【分析】根据点A 、B 、C 在圆上，利用等腰三角形性质，可得⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．【详解】解：连结OA ，点、、A B C 在O 上， ⊙OA =OB =OC ，⊙⊙OAB =⊙B ，⊙OAC =⊙C ， ⊙50B C ∠+∠=︒，⊙50BAC OAB OAC B C ∠=∠+∠=∠+∠=︒，2100BOC BAC ∴∠∠︒＝＝．故答案为：100︒．【点睛】考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 16．如图，在O 中，55,15CBO CAO ∠=︒∠=︒，则AOB ∠的度数是______°．【答案】80【分析】首先连接OC ，由OA ＝OC ＝OB ，可得⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°，继而求得⊙ACB 的度数，然后由圆周角定理，求得⊙AOB 的度数．【详解】解：连接OC ， ⊙OA ＝OC ＝OB ，⊙⊙ACO ＝⊙CAO ＝15°，⊙BCO ＝⊙CBO ＝55°， ⊙⊙ACB ＝⊙BCO −⊙ACO ＝40°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝80°．故答案是：80．【点睛】考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD 内接于O ，则有______．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．（2）已知，如图2，四边形ABCD 内接于O ，BD 平分ABC ∠，120COD ∠=︒，求证：BD AB BC =+．【答案】（1）AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅；（2）见解析【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接AC ，通过证明⊙ACD 是等边三角形，可得AC =AD =CD ，由AC•BD=AB•CD+BC•AD ，可求解．【详解】解：（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接AC⊙120COD ∠=︒，⊙60CBD CAD ∠=∠=︒⊙BD 平分ABC ∠⊙60ABD CBD ∠=∠=︒⊙60ACD ∠=︒⊙ACD △是等边三角形⊙AC AD CD ==，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形⊙AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅⊙BD AB BC =+．【点睛】考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．18．如图，等边三角形ABC 内接于O ，D 是BC 上一动点，连接AD ，BD ，CD ，延长DC 到点E ，使CE BD =，连接AE ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）填空：⊙若1BD =，2CD =，则AD 的长为____________；⊙当BAD ∠的度数为_________时，四边形OBDC 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙3；⊙30°．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，根据圆周角定理可得⊙CBD =⊙CAD ，⊙ABC =⊙ADC ，根据角的和差关系及外角性质可得⊙ABD =⊙ACE ，利用SAS 可证明⊙ABD ⊙⊙ACE ，可得AD =AE ，即可得⊙ADE 是等边三角形；（2）⊙根据线段的和差关系可得DE 的长，由（1）可知⊙ADE 是等边三角形，可得AD =DE ，即可得答案；⊙如图，连接OB 、OC ，根据圆周角定理可知⊙BOC =2⊙BAC =120°，根据等腰三角形的性质可得⊙OCB =30°，根据菱形的性质可得⊙BCD =30°，根据圆周角定理可得⊙BAD =⊙BCD =30°，可得答案．【详解】（1）⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙AB =AC =BC ，⊙AB C=⊙ACB =⊙BAC =60°，⊙⊙CBD 与⊙CAD 是CD 所对的圆周角，⊙⊙CBD =⊙CAD ，同理可得：⊙ABC =⊙ADC =60°，⊙⊙ACE=⊙ABC+⊙CBD=⊙ABD，在⊙ABD和⊙ACE中，AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙ABD⊙⊙ACE，⊙AD=AE，⊙⊙ADE是等边三角形．（2）⊙⊙BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，⊙DE=3，⊙⊙ADE是等边三角形，⊙AD=DE=3．故答案为：3⊙如图，连接OB、OC，⊙⊙BAC和⊙BOC分别是BC所对的圆周角和圆心角，⊙⊙BOC=2⊙BAC=120°，⊙OB=OC，⊙⊙OCB=30°，⊙四边形OBDC为菱形，⊙⊙BCD=⊙OCB=30°，⊙⊙BAD和⊙BCD都是BD所对的圆周角，⊙当BAD ∠的度数为30°时，四边形OBDC 为菱形．故答案为：30°【点睛】考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19．小亮在学习中遇到如下一个问题：如图1，点C 是半圆AmB 上一动点，线段AB =6，CD 平分ACB ∠，过点A 作//AD BC 交CD 于点D ，连接BD ．当BCD △为等腰三角形时，求线段AC 的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC 的长度作为自变量x ，BC ，BD 和CD 的长度都是x 的函数，分别记为BC y ，BD y 和CD y ．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C 在半圆AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC ，BC ，BD 的长度，得到下表的几组对应值：⊙上表中a 的值是______⊙操作中发现，“无需测量线段CD 的长度即可得到CD y 关于x 的函数解析式”．请直接写出CD y 关于x 的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy 中画出了函数BD y 的图象，如图2所示．⊙请在同一个坐标系中画出函数BC y 和CD y 的图象；⊙结合图象直接写出当BCD △为等腰三角形时，线段AC 长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1）⊙4.0；⊙CD y；（2）⊙见解析；⊙2.7或4.2 【分析】（1）⊙根据直径所对的圆周角是直角，得到⊙ACB 是直角三角形，用勾股定理求出边长即可；⊙根据等腰直角三角形三角形的性质，再根据勾股定理求出即可；（2）⊙根据条件画出图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，利用勾股定理求出边长即可．【详解】解：（1）⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，由勾股定理得：BC=当AC=4.5时， 3.96BC=，⊙a≈4.0；⊙⊙AB是圆的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙CD平分ACB∠，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，AD BC，⊙//⊙⊙ADC=⊙BCD=45°，⊙AC=AD，⊙⊙CAD=180°-⊙ADC-⊙BCD=90°，⊙⊙ACD是等腰直角三角形，⊙CD，y=⊙CD（2）⊙如图所示．⊙当BC=BD时，BC与BD即为交点，AD BC，⊙⊙ACB=90°，//⊙⊙CAD=90°，⊙⊙ADC=⊙BCD，⊙CD平分ACB，⊙⊙ACD=⊙BCD，⊙⊙ACD=⊙ADC=45°，⊙AC=AD，⊙BC=CD，⊙BDC=⊙BCD=45°，⊙⊙ADB=90°，⊙四边形ABDC为矩形，⊙AC=AD，⊙AC=BC，⊙AB=6，⊙AC = 4.22AB =≈，当BC=CD 时，图象无交点，则BC ≠CD ，当BD =CD 时，⊙BDC =⊙BCD =45°，⊙⊙BDC =90°，则在等腰直角⊙ACD 中，CD ==，在等腰直角⊙BCD 中，2BC x ==，在Rt ⊙ABC 中，222AB AC BC =+，⊙x =⊙ 2.75AC =≈，故AC 的长为：2.7或4.2．【点睛】考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理，关键在于运用分类讨论的思想． 20．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．点D 为边AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，点G 为BD 上一点．连结CG 并延长与AB 相交于点F ，连结EG ．已知12∠=∠．（1）若BD 平分ABC ∠，求证：DBC △⊙DBE ．（2）若4BD =，求CG 的长．（3）若80EGF ∠=︒，求A ∠的读数．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）40°【分析】（1）利用角平分线的定义及AAS 定理证明三角形全等；（2）根据等腰三角形的判定和性质求解；（3）解法一：结合等边对等角，角平分线的定义及三角形内角和定理计算求解；解法二：利用圆周角定理求解．【详解】解：（1）证明：⊙DE AB ⊥，⊙90DEB ∠=︒，⊙90ACB ∠=︒，⊙DEB ACB ∠=∠．⊙BD 平分ABC ∠，⊙ABD CBD ∠=∠．又⊙BD BD =，⊙DBC △⊙DBE （AAS ）．（2）⊙在BDE 中，90DEB ∠=︒，⊙190DBE ∠+∠=°，290BEG ∠+∠=°．⊙12∠=∠，⊙DBE BEG ∠=∠，⊙DG EG BG ==．⊙在Rt DBC 中，122CG BD ==．（3）解法一：⊙80EGF ∠=︒，⊙180100EGC EGF ∠=-∠=°°．⊙DG EG CG ==， ⊙()()11118018022CDE CDG DGE DGC ∠=∠+∠=-∠+-∠°° ()11802DGC DGE =-∠+∠° 11801302EGC =-∠=°°． ⊙9040A CDE ∠=∠-=°°．解法二：⊙DG EG BG CG ===，⊙点C ，D ，E ，B 在以点G 为圆心的圆上， ⊙()111805022ABC EGC EGF ∠=∠=-∠=°°， ⊙9040A ABC ∠=-∠=°°．【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，也考查圆周角定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．。

初中数学圆形专题训练50题含(参考答案)

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且⊙ACB =35°，则⊙AOB 的度数是（）A ．35°B ．65°C ．70°D ．90°【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得．【详解】解：由圆周角定理得：223570AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．2．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，⊙然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（）A ．RB ．（12）RC ．（12）n －1RD ．n R3．如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分⊙BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：⊙AD平分⊙BAC，⊙BAD CAD∠=∠，故C正确；在⊙ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．4．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若⊙D＝40°，则⊙A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出⊙DOC =50°是解题关键．5．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，65∠=︒ABO ，则ACB ∠的度数是（）A ．50︒B ．25︒C ．35︒D ．20︒6．如图4，在Rt ABC △中，90C =∠，3AC =．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )AB ．3πC ．3πD ．3π 【答案】C 【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC 的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．【详解】解：圆环的面积为πAB 2-πBC 2，=π（AB 2-BC 2），=πAC 2，=32π，=9π．故选C．7．已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2，如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面O中阴影部分的弧长为（）A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，点A，B，C都在圆O上，若⊙C=34°，则⊙AOB为（）A．34⊙B．56⊙C．60⊙D．68⊙【答案】D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解．【详解】解：⊙⊙C=34°，⊙⊙AOB=2⊙C=68°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．下列命题中，真命题的个数是（）⊙同位角相等⊙经过一点有且只有一条直线与这条直线平行⊙长度相等的弧是等弧⊙顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】解：两直线平行，同位角相等，⊙错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，⊙错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，⊙错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，⊙正确．故选A．【点睛】本题考查命题与定理．10．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD AB∥，若PB＝AB＝10，则CD的长为（）A ．6B C ．D ．3 OCF CPE ，四边形12BE OF OF ==，【详解】解：过点⊙OCF CPE ， OF OC CE PC ＝， PB 、PC 分别切⊙O PB PC =，10PB AB ==，11．如图，AB 是O 的直径，ACD 是O 的内接三角形，若6AB =，105ADC ∠=︒，则BC 的长为（）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】C【分析】连接OC 、BC ，根据四边形ABCD 是圆的内接四边形和⊙D 的度数，即可求出303602π=，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识，根据圆12．将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B ，与直角三角板相切于点C ，且3AB =，则光盘的直径是（）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D13．如图，正五边形ABCDE，则⊙DAC的度数为()A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【分析】根据正五边形和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】⊙在正五边形ABCDE中，AE＝DE＝AB＝BC，⊙E＝⊙B＝⊙EAB＝108°，⊙⊙EAD＝⊙BAC＝36°，⊙⊙DAC＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：B.【点睛】此题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，然后根据等面积法得出斜边的高相等，这样问题就容易解决了.【详解】如图：⊙菱形对角线互相垂直平分，⊙AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA.⊙⊙ABO⊙⊙BCO⊙⊙CDO⊙⊙DAO.⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又⊙AB=BC=CD=DA，⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.⊙O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是画出图形进行分析.15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG ，CD ，则下列结论不一定成立的是（）A ．CE =DEB ．⊙ADG =⊙GABC ．⊙AGD =⊙ADC D ．⊙GDC =⊙BAD 【答案】D 【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙CE =DE ，A 成立；⊙G 是AB 的中点，⊙AG BG =，⊙⊙ADG =⊙GAB ，B 成立；⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙AC AD =，⊙⊙AGD =⊙ADC ，C 成立；⊙GDC =⊙BAD 不成立，D 不成立，故选D ．16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（）A ．24.25m πB ．23.25m πC ．23m πD ．22.25m π【答案】D 【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可．17．下列命题为真命题的是（）A ．同旁内角互补B ．三角形的外心是三条内角平分线的交点C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．若甲、乙两组数据中，20.8S =甲，2 1.4S =乙，则乙组数据较稳定【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差一一判断即可．【详解】解：A 、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；B 、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；D 、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S 甲2=0.8，S 乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差解答．18．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D ，E 两点，且⊙ACD=45°，DF⊙AB 于点F ，EG⊙AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )A．B．C．D．19．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE 的中点，连接DF.给出以下四个结论：⊙BD＝DC；⊙AD＝2DF；⊙BD DE；⊙DF是⊙O的切线.其中正确结论的个数是：（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【详解】连接AD，OD，⊙AB是直径，⊙⊙ADB=⊙AEB=90°，又⊙AB=AC，⊙BD=DC，故⊙正确；⊙F是CE中点，BD=CD，⊙BE//DF，BE=2DF，但没有办法证明AD与BE相等，故⊙错误；⊙AB=AC，BD=CD，⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙BD=DE，⊙BD=DE，故⊙正确；⊙⊙AEB=90°，⊙⊙BEC=180°-⊙AEB=90°，⊙BE//DF，⊙⊙DFC=⊙BEC=90°，⊙O为AB的中点，D为BC的中点，⊙OD//AC，⊙⊙ODF=⊙DFC=90°，⊙OD是半径，⊙DF是⊙O的切线，故⊙正确，所以正确的结论有3个，故选B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的中位线等，能根据具体的图形选择和灵活运用相关性质解题是关键.二、填空题20．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则⊙BAC＝_____．【答案】132°##132度【详解】解：⊙正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，⊙⊙BAC=360°－108°－120°=132°．故答案为132°．21．已知直角⊙ABC中，⊙C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.【答案】1【分析】O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：⊙ODC=⊙OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.【详解】解：如图所示，O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF⊙⊙ODC=⊙OEC=90°22．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，则BC ＝_______．【答案】10【分析】从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，据此分析解答．【详解】⊙AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，⊙BF ＝BE ＝4，CF ＝CG ＝6，⊙BC ＝BF ＋FC ＝10，故填：10．【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．23．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为26cm π，则这个扇形的弧长为__________ cm（结果保留π）24．如图，在O 中，弦AC =B 是圆上一点，且=45ABC ∠︒,则O 的半径R =_____．25．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，⊙A =45°，则⊙C 的度数 _____________ ．【答案】135°【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得结论．【详解】∵⊙O的内接四边形ABCD中，⊙A＝45°，⊙⊙C＝135°．故答案为135°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的度数是________°．【答案】105【详解】⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙DAB+⊙DCB=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DCB+⊙DCE=180°，⊙⊙DCE=⊙DAB=105°．故答案为10527．如图，圆O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是____cm．【答案】3【分析】由当OP⊙AB时，OP最短，根据垂径定理，可求得AP的长，然后由勾股定28．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB 沿着AP 翻折到⊙PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得⊙B CD 为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 __．为直径作O ，当点为直角三角形且唯一，在Rt ADO 中，根据22OD OA ，可得，计算可得答案．为直径作O ，当点到O 的最小距离等于得B CD '为直角三角形且唯一，Rt ADO 中，2AD OD +22211())22b a a +=+，整理得22b =，a>，∴=2b29．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：⊙将半径2的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；⊙分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；⊙连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案是_________2222OA，(23)222.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理解直角三30．半径为O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若⊙OBD是直角三角形，则弦BC的长为_______________．31．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上异于A、B的一点，若⊙P＝40°，则⊙ACB的度数为_________________.【答案】110°【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出⊙AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出⊙ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出⊙ACB的度数．【详解】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示：⊙PA、PB是⊙O的切线，⊙OA⊙AP，OB⊙BP，⊙⊙OAP=⊙OBP=90°，又⊙⊙P=40°，⊙⊙AOB=360°-（⊙OAP+⊙OBP+⊙P）=140°，32．如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =．将矩形沿EF 折叠，使点A 落在CD 边中点M 处，点B 落在N 处．连接EM ，以矩形对称中心O 为圆心的圆与EM 相切于点P ，则圆的半径为________．33．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．34．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，⊙ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则⊙ABD=_________ 度．【答案】45.【详解】试题解析：⊙CD 平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD=45°⊙⊙ABD=⊙ACD=45°．考点：圆周角定理．35．如图，在平面直接坐标系xOy 中，()40A ，，()03B ，，()43C ，，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点'I 的坐标为________．【答案】（-2，3）【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【详解】解：过点作IF⊙AC于点F，IE⊙OA于点E，⊙A（4，0），B（0，3），C（4，3），⊙BC=4，AC=3，则AB=5，⊙I是⊙ABC的内心，⊙I到⊙ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，⊙IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），⊙⊙ABC绕原点逆时针旋转90°，⊙I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故答案为：（-2，3）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．36．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2．S=ABC⊙内接正六边形的面积是故答案是：37．圆心角为40°，半径为2的扇形面积为________．38．如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为_____【答案】【详解】连接OC，过O点作BC垂线，设垂足为F，根据垂径定理、勾股定理可以得到OC=5，CF=4，OF=3，在等腰三角形CDE中，高=OF=3，底边长DE=10-8=2，根据勾股定理即可求出CE．解：连接OC，过O点作OF⊙BC，垂足为F，交半圆与点H，⊙OC=5，BC=8，⊙根据垂径定理CF=4，点H为弧BC的中点，且为半圆AE的中点，⊙由勾股定理得OF=3，且弧AB=弧CE⊙AB=CE，又⊙ABCD为平行四边形，⊙AB=CD，⊙CE=CD，⊙⊙CDE为等腰三角形，在等腰三角形CDE中，DE边上的高CM=OF=3，⊙DE=10-8=2，⊙由勾股定理得，CE2=OF2+（DE）2，⊙CE=，故答案为．本题考查了勾股定理和垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．39．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则⊙BAC的度数是_____．三、解答题40．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，交⊙O于点E.（1）求证：AC平分⊙DAB；（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.41．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使⊙ACD＝⊙B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．42．如图，已知、是⊙的切线，、为切点．直径的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号与）．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）连接，根据是⊙的切线，由切线长定理得到AP=BP,OP平分⊙APB，根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊙AB，再根据AC是⊙O的直径，得到⊙ABC=90°，即AB⊙BC，BC⊙OB，得到内错角相等，由等量代换得到结果.（2）根据切线长定理和三角形全等，S△OPA=S△OPB，通过解直角三角形得到OB,PB,再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论.试题解析：(1)证明：连接. 1分⊙是⊙的切线,⊙平分. 2分.⊙是⊙的直径,⊙, 即：. 3分⊙.⊙. 4分,⊙. 5分(2) 连接.⊙，⊙⊙、是⊙的切线，⊙，，又⊙⊙⊙⊙.⊙. 6分在中，,. 7分在中，,⊙. 8分⊙.⊙,.⊙. 9分⊙所求的阴影面积：. 10分考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.43．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知AB为O的直径，O过AC 的中点D．DE为O的切线．(1)求证：DE BC ⊥(2)王老师说：如果添加条件“1DE =，1tan 2C =”，则能求出O 的直径．请你写出求解过程．DE 为O 的切线，OD DE ∴⊥，即∠AB 为O 的直径，OA OB ∴=，即点点D 为AC 的中点，OD BC ∴∥，CED ODE ∴∠=∠=BC ．DE BC ⊥1tan DE CE ∴=O∴的直径为【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．44．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，⊙B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．45．如图，在O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD BC ，，25ADC ∠=︒．(1)求证：AD BC =；(2)求证：AE CE =；(3)若弦BD 经过点O ，求BEC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)65︒【分析】（1）由AB CD =，推出AB CD =，推出BC AD =；（2）证明AED CEB ≌可得结论；（3）先求出90BCD ︒∠=，再求出25CBE，即可得答案．【详解】（1）解：AB CD =，C ABD ∴=， AB AC CD AC ∴-=-，BC AD ∴=；（2）BC AD ，BC AD ∴=，ADE ∠和CBE ∠都是AC 的圆周角，ADE CBE ∴∠=∠，AED CEB ，AED CEB ∴≌，AE CE ∴=；（3）25ADC ，25CBE ，弦BD 经过点O ，BD ∴是O 的直径，90BCD ︒∴∠=，⊙在CEB 中，18065BEC BCD CBE ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是90︒，三角形的内角和，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．如图，在ABC 中，90ABC ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 交于点D ，连接DE 、DE 、OC ，且//DE OC ．()1求证：AC 是O 的切线；()2若8DE OC ⋅=，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）先由OD=OE ，利用等边对等角可得⊙2=⊙3，再利用DE⊙OC ；进而利用平行线的性质，可得⊙3=⊙4，⊙1=⊙2，等量代换可得⊙1=⊙4；再结合OB=OD ，OC=OC ，利用SAS 可证△DOC⊙⊙BOC ，那么⊙CDO=⊙CBO ，而⊙ABC=90°，于是⊙CDO=90°，即CD 是 O 的切线；（2）由（1）可知⊙2=⊙4，而⊙CDO=⊙BDE=90°，易证△CDO⊙⊙BDE ，可得比例线段，OD ：DE=OC ：BE ，又BE=2OD ，可求OD ．【详解】()1证明：连接OD ，⊙OE OD =，⊙23∠=∠，又⊙//DE OC ，⊙12∠=∠，34∠=∠，⊙14∠=∠；在DOC 和BOC 中，OD OB =，14∠=∠，OC OC =，⊙DOC BOC ≅，⊙CDO CBO ∠=∠；⊙90ABC ∠=，⊙90CDO ∠=，⊙CD 是O 的切线；()2⊙BE 是直径，⊙90BDE ∠=，在COD 和BED 中，24∠=∠，90EDB ODC ∠=∠=，⊙COD BED ∽，⊙::OD DE OC BE =；又⊙2BE OD =，⊙22OD DE OC =⋅，⊙2OD =．【点睛】考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质.综合性比较强，难度较大. 47．已知：对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ，O 的半径为4，交x 轴于点A ，B ，对于点P 给出如下定义：过点C 的直线与O 交于点M ，N ，点P 为线段MN 的中点，我们把这样的点P 叫做关于MN 的“折弦点”．(1)若()2,0C -⊙点()10,0P ，()21,1P -，()32,2P中是关于MN 的“折弦点”的是______；⊙若直线y kx =0k ≠）上只存在一个关于MN 的“折弦点”，求k 的值；(2)点C 在线段AB 上，直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”，直接写出b 的取值范围．与D相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出【详解】（1））与D相切，与D相交或相切，=+垂直直线y xy轴交于点重合时，b有最大值，此时48．如图1，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接CB ，过C 作CD AB ⊥于点D ，过点C 作BCE ∠，使BCE BCD ∠=∠，其中CE 交AB 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)如图2，点F 在O 上，且满足2FCE ABC ∠=∠，连接AF 并延长交EC 的延长线于点G ．若4CD =，3BD =，求线段FG 的长．CD OB ⊥DCB ∴∠+∠BCE ∠=∠OC OB=OCB∴∠=OCB∴∠+即：OC⊥CE∴是O的切线．（2）过点O作OHFCE∠=FCE∴∠=FCE∠=FCO∴∠OC CE⊥DCO∴∠+DCO∴∠=DCO∴∠=CDO∠=OCH∴∆≅CH CD∴=8CF∴=设OB OC=2OC OD=2(x x∴=解得：256 x．256OB OC∴==．CDB中，OC CG ⊥GCF ∴∠GCF ∴∠AFCB 是圆的内接四边形，GFC ∴∠GFC∴∆∽∴GF CF BC OC=GF =49．问题探究：（1）如图⊙，已知在⊙ABC 中，BC ＝4，⊙BAC ＝45°，则AB 的最大值是．（2）如图⊙，已知在Rt ⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为⊙ABC 内一点，且AD＝BD ＝2．，CD ＝6，请求出⊙ADB 的度数．问题解决：（3）如图⊙，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区⊙ABC ，且AB ＝A C ．⊙BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是⊙ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即⊙APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值．的外接圆O，连接）如图⊙，作⊙的外接圆O，连接BAC＝90°，OB是等腰直角三角形的外接圆O，连接AKC＝⊙APB 是等边三角形。

2020届中考数学几何专题：与圆有关的性质(含答案)

2020届中考数学几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1）连结AC ，如图。

中考复习--圆专题所有知识点和题型汇总,全

"圆"题型分类资料一．圆的有关概念：1.以下说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有〔〕A . 1个B .2个C .3个D .4个2．以下命题是假命题的是〔〕A ．直径是圆最长的弦B ．长度相等的弧是等弧C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D ．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

3.以下命题正确的选项是〔〕 A ．三点确定一个圆 B ．长度相等的两条弧是等弧C ．一个三角形有且只有一个外接圆D .一个圆只有一个外接三角形4.以下说确的是( )A ．相等的圆周角所对的弧相等B ．圆周角等于圆心角的一半C ．长度相等的弧所对的圆周角相等D ．直径所对的圆周角等于90°5.下面四个图中的角，为圆心角的是( )A ．B ．C ．D ．二．和圆有关的角：1. 如图1，点O 是△ABC 的心，∠A =50︒，则∠BOC =_________图1 图22.如图2，假设AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 的度数为( )A .116°B .64°C . 58°D .32°3. 如图3，点O 为优弧AB 所在圆的圆心，∠AOC =108°，点D 在AB 的延长线上，BD =BC ，则∠D 的度数为图3 图44. 如图4，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，∠BAC ＝80°，则∠BDC ＝_________度．5. 如图5，在⊙O 中， BC 是直径，弦BA ，CD 的延长线相交于点P ，假设∠P ＝50°，则∠AOD ＝．图5 图66. 如图6，A ，B ，C ，是⊙O 上的三个点，假设∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝°．7.圆的接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：7，则∠D 的度数为。

圆心角--知识讲解(基础)

圆心角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义.如下图，1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角的概念1. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．【答案与解析】解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置;②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心;③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心;④是，满足圆心角定义.【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论2.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE==，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．【答案】解：∵BC CD DE==，∠COD＝35°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°．3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．【答案与解析】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴=，∴﹣=﹣，即=∴AB=CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．【总结升华】本题考查了勾股定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦间的关系．注意过圆心作弦的垂线是圆中常见的辅助线．举一反三：【变式】已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B D C D B D -=-，即AD BC =，∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．4.如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD ，分别交⊙O 于点E 、F. 试证: =A E B F .【思路点拨】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE ＝∠BOF.【答案与解析】证明： ∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC.∵AO ＝OB ，∴∠A ＝∠B.∴∠OCD －∠A ＝∠ODC －∠B ，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.AE BF.∴=【总结升华】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．举一反三：=. 【变式】如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA. 求证：AC AEA【答案】证明：连接OE，∵BE∥OA，∴∠B=∠COA，∠E=∠AOE，∵OE=OB，∴∠B=∠E，∴∠COA=∠AOE，=.∴AC AE。

新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)

OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。

知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。

例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。

例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《圆周角》同步练习题(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。

考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)

考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。

关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。

2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。

2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。

解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。

2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。

切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。

3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

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OFE CBAOE DCBA和圆有关的角与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系.角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.•如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图1中所示的∠AEB 即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AE 、BE 分别交圆于C 、D 两点,再连结AD,•则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A 的度数等于12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠AEB 的度数等于12(•AB +CD ).即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角.E DCBAEDCBA（1） (2)如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,•如图2所示,∠AEB 即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结AD,则∠E=∠CAD-∠D,•∵∠CAD 的度数等于12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠E 的度数等于 12(CD -AB ).即圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半.圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。

例1 已知:如图,△ABC 内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E 是BC 上一点,F•是AC 的中点,求∠BEF 的度数.解析 ∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°, ∴∠AEB=40°. ∵AF FC ,∴∠ABF=12∠ABC=40°. 又∵∠AEF=∠ABF=40°. ∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°.点评若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、•内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设法转化为与圆有关的角去解决。

例2 如图,设P 为正三角形ABC 外接圆⊙O 的劣弧BC 上一点,AP 交BC 于点D.证明:PB 、PC 是方程x 2-PAx+PA ·PD=0的两个根.POFD C BAPOF ED CBA证明延长BP,作等边△PEC,在△APC 和△BFC 中, ∵ AC=BC,∠CAP=∠CBF,∠PCA=∠FCB, ∴△APC ≌△BFC. ∴PA=BF=BP+PF=BP+PC.∵∠BAP=∠PCD,∠APC=∠APB,∠ABP=∠CDP, ∴△ABP ∽△CDP.∴有PA PBPC PD=. ∴PB ·PC=PA ·PD.∴PB 、PC 是方程x 2-PAx+PA ·PD=0的两个根. 点评利用圆中的全等三角形,相似三角形证明几何命题,是最基石,•最重要的一种方法,应当引起重视,本题证明PA=PC+PB 时还可用托勒密定理证明.证明如下:∵四边形ABPC 是圆内接四边形, ∴AB ·PC=AC ·PB=BC ·PA∵AB=BC=CA,∴PC+PB=PA 得证.中考真题已知,如图13-7,C 为半圆上一点,AC EC =,过点C•作直径AB 的垂线CP,P 为垂足,弦AE 分别交PC,CB 于点D,F. (1)求证:AD=CD; (2)若DF=54,tan ∠ECB=34,求PB 的长. 解析 (1)证明:连结AC,∵AC EC =,∴∠CEA=∠CAE,∵∠CEA=∠CBA, ∴∠CBA=∠CAE,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∵CP ⊥AB,∴∠CBA=∠ACP. ∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD(2)解 ∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP, ∴∠DCF=∠CFD.∴AD=CD=DF=54, ∵∠ECB=∠DAP,tan ∠ECB=34,∴tan ∠DAP=DP PA =34,∵D P 2+PA 2=DA 2,∴DP=34,PA=1,∴CD=2.又∵∠ACB=90°,CP ⊥AB,∴△APC ∽△CPB. ∴PA PCPC PB= ,∴PB=4. 点评充分利用与圆有关的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解决问题.竞赛样题例1 (2001年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题)如图,•已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直,C 为优弧AMB 上的点,且BC 2=AB 2+OB 2.求∠OAC 的度数.解析设⊙O 的半径为r,则AB=2r,于是BC=22AB OB +=3r,以B 为圆心, 3r 为半径作圆,•与⊙O•交于两点C,C ′.连结BC,BC ′,AC,AC ′,延长OB 交⊙O 于点 D.连结CD,则CD=22BD BC -=r,即BD=•2CD,∴∠CBD=30°. ∵∠ACB=12∠AOB=45°, ∴∠OAC=180°-∠ACB-∠ABC-∠BAO=180°-45°-75°-45°=15°.∴∠OAC ′=∠OAC+∠CAC ′=∠OAC+∠CBC ′=15°+60°=75°. 综上可得,•∠OAC 为15°或75°.点评以B 为圆心,BC 长为半径画圆交⊙O 于C,C ′,C 点的位置确定了,•从而使条件与结论互相靠拢,为解题创造了条件.一般地,几何图形中有半径或直径这一条件,•常添加辅助线,使其构成直角三角形.例2 (2002年江苏省第17届数学竞赛题)如图,⊙O 为△ABC 的外接圆,•∠BAC=60°,H 为边AC 、AB 上的高BD,CE 的交点,在BD 上取点M,使BM=CH.(1)求证:∠BOC=∠BHC;(2)求证:△BOM ≌△COH;(3)求证:MH:OH 的值.证明 (1)∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∠BHC=∠DHE=360°-(90°+•90°+∠BAC)=120°,∴∠BOC=∠BHC;(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. 又∵∠BOC=120°,∴∠OBC=12(180°-120°)=30°. 而∠HBC=90°-∠BCA,∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°.又∵∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-12(180°-120°)=∠HCB-30°, 但∠HCA=90°-•∠BAC=90°-60°=30°,∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°, ∴∠OBM=∠OCH.又∵BM=CH,OB=OC,∴△BOM ≌△COH; (3)由(2)得OH=OM,且∠COH=∠BOM,C 'OMDCBA H P O M E DC B A从而有∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°,∠OHM=12(180°-120°)=30°.在△OMH中,作OP⊥MH,P为垂足,则OP=12OH,由勾股定理,得(12MH)2=OH2-OP2=OH2-(2OH)2;MH:OH=3.全能训练A卷1.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的⊙O,且AD=4cm,AB=BC=1cm,•求CD的长.O DC BA2.如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于H,求证:OA.AH=12AB·AC.HOCBA3.如图,△ABC的顶点A、B在⊙O上,⊙O的半径为R,⊙O与AC交于点D,•如果点D既是AB 的中点,又是AC的中点.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)求2ADBC的值.ODCBAB 卷1.如图,在△ABC 中,已知AB 为⊙O 的直径,AB 、CD 交于点P,P 是OB 的中点,求tanC ·tanD 的值.PODCBA2.如图,由△ABC 的顶点A 作高AD,以垂足D 为圆心,AD 长为半径作圆,分别交AB 、AC 于E 、F,若AE=2,AF=3,AB=5.求AC 的长.QF E DCBA3.如图,在半径为1的⊙O 中,PE 是直径,PC PB ,点A 在BP 的延长线上,CD•⊥AB,垂足为D,且AC.CE=PE.CD.(1)判断点P 是否为线段AB 的中点,并证明你的结论;(2)如果点B 是半圆CMF 上的动点(不与定点C 和F 重合),设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式,写出自变量x 的取值范围.POFED CBA4.如图,已知M 是⊙O 的半径OA 的中点,MB ⊥OA 交⊙O 于点B,弦AC ⊥OB 于N•点,交BM 于点D,连结DO 并延长交⊙O 于点F. (1)求∠CFD 的度数;(2)若⊙O 的半径为3cm,求CD 和CF 的长.O FN MD CBAA卷答案1..如图,连结OB、AC,设OB交AC于点H,∵AB=BC,OB⊥AC.设OH=x,则BH=2-x,•在Rt△OAH中,A H2=OA2-OH2=22-x2=4-x2,①在Rt△HAB中,AH2=AB2-BH2=12-(2-x)2,•②由①、②得4-x2=1-(2-x)2,∴x=74.∵OB⊥AC,DC⊥AC,∴OH∥CD.又∵OA=OD,∴CD=•2OH=2×74=72。

2.延长AO交⊙O于M,连结BM.∵AM为⊙O的直径, ∴∠ABM=90°.又∵∠M=∠C,•∴△ABM∽△ACH,∴ ,∴AB.AC=AM.AH. AB AM AH AC=，∵AM=2AO,∴OA·OH= 12 AB·AC.3.如图,(1)作直径DE,交⊙O于E,交AB于F. ∵D为BA的中点,∴AB⊥DE,AF=BF.•∵AD=DC,∴DF∥BC,即AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.(2)连结AE,∵DE为⊙O的直径,∴∠DAE=90°,而且AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA.•∴AD DF DE AD= ,∴AD2=DE·DF.∵DE=2R,DF=12BC,∴AD2=2R·12BC,∴AD2=R·BC,∴2ADBC=R.B卷答案1.连结BC,BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵∠ACD=∠ABD,∠ADC=•∠ABC,∴tanC·tanD=tan∠ABD·tan∠ABC=ADBD·AC AD ACBC BD BC= ,作AE⊥CD于E,作BF⊥CD于F,则△AEC•∽△ADB,HO DCBAOFEDCB AQF EDCBA∴AC ABAE AD=,∴AC ·AD=AE ·AB. 同理,BD ·BC=BF ·AB.∴tanC ·tanD=AE AB AEBF AB BF= ,∵△APE ∽△BPF,•∴AE APBF BP=, ∵P 为半径OB 的中点,∴31AP BP =,∴AEBF=3 , ∴tanC ·tanD=3.2.如图,连结EF,AQ,则△ADQ 为等腰三角形,∠AQD=45°, ∴∠C=45°-∠QAC=12(AQ-FQ)=∠AEF. 又∵∠BAC=∠FAE,∴△AEF ∽△ACB,∴AE AF AC AB = ,∴AC=103. 3.(1)如图,连结PC 、BC,BC 交EP 于Q.由CE BE =,CQ=BQ,PC=PB,EP ⊥BC,得∠1=•∠2. ∵AC CDPE CE= ,∠ECP=∠ADC=90°, ∴Rt △ACD ∽△Rt △PEC,得∠A=∠1,∴∠A=∠2,得PE•∥AC,而CQ=QB,故AP=PB. (2)由Rt △ABC ∽Rt △PEC,得AC ABPC PE=. ∵AB=2PB=2x,AC=y,PE=2,∴y=x 2(0<x<2). 4.(1)连OC,AB,证△BMO ≌△BMA,∴AB=BO, ∴△AOB 为正三角形,∠BOA=60°.•又∵AN ⊥OB,∴D 为正三角形AOB 的中心, ∴∠BOD=30°.又∵△CON ≌△AON,∴∠CON=∠AON=60°,∴∠DOC=∠BOD+∠CON=90°, ∴∠FOC=90°.∵OC=OF,∴∠CFD=45°.(2)Rt △COF 中,CF=22CO OF +=6 ;Rt △OCD 中,CD=22OD OC +=2223()(3)32⨯+=2.21QPOF ED CBA。