与圆有关的角

22.与圆有关的角知识考点：1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念；2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数；3、掌握圆周角定理及其推论；4、掌握弦切角定理及其推论；5、掌握各角之间的转化及其综合运用。

精典例题：【例1】如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

分析：注意条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，问题则得以解决。

解：∵AC ＝BC ，PC ＝BC∴A 、B 、P 三点在以C 为圆心，AC 为半径的圆上 若P 、C 在AB 的同侧，则∠APB ＝21∠ACB ∵∠ACB ＝1000，∴∠APB ＝500 若P 、C 在AB 的异侧，则∠APB ＝1800－50＝1300【例2】如图，在△ABC 中，∠B ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于E ，与AC 切于点D ，直线ED 交BC 的延长线于F ，若AD ∶AE ＝2∶1，求cot ∠F 的值。

分析：由AD ∶AE ＝2∶1和△ADE ∽△ABD 有DE ∶DB ＝1∶2，而∠F ＝∠EBD ，则cot ∠F ＝cot ∠EBD ＝DEBD，故结论得证。

解：连结BD∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2 ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABD∴DE BD AE AD=，即12=AE AD ∴212==DEDB ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝900∴∠2＋∠BEF ＝900，∵∠F ＋∠BEF ＝900，∴∠2＝∠F ∴cot ∠F ＝cot ∠2＝DEBD＝2 【例3】如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F 、G ，连结AF 并延长交△BGF 的外接圆于H ，连结GH 、BH 。

（1）求证：△DFA ∽△HBG ；（2）过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE ＝33，CF ∶FB ＝1∶2，求AB 的长； （3）在（2）的条件下，又知AD ＝6，求tan ∠HBG 的值。

分析：（1）证∠DAF ＝∠AFB ＝∠BGH ，∠DFA ＝∠HFG ＝∠HBG 即可； P '•例1图 P C BA•例2图21OEFD CBA（2）由DC ∥AG ，得CF ∶FB ＝CD ∶BG ＝1∶2，则AB ∶AG ＝1∶3，由切割线定理得AB ＝3；（3）由（2）知AB ＝3，AG ＝9，过A 作AQ ⊥DG 于Q 。

由AB AD AQ DG ⋅=⋅2121得131318=AQ 。

所以DF ＝31DG ＝13。

由DG DQ AD ⋅=2得131312=DQ ，所以1313=QF 。

故tan ∠HBG ＝tan ∠HFG ＝tan ∠QFA ＝FQAQ ＝18。

例3图HGQEFDCBA•问题一图O PDCBA探索与创新：【问题一】如图，已知，半圆的直径AB ＝6cm ，CD 是半圆上长为2cm 的弦，问：当弦CD 在半圆上滑动时，AC 和BD 延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。

分析：本题有一定难度，连结BC （或AD ）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。

解；连结BC∵CD 为定长，虽CD 滑动，但⋂CD 的度数不变，∴∠PBC 为定值 ∴∠P ＝∠ACP －∠PBC ＝900－∠PBC 为定值 ∵∠PCD ＝∠PBA ，∴△PCD ∽△PBA ∴3162===BA CD PB PC 在Rt △PBC 中，cos ∠P ＝31=PB PC ，∴sin ∠P ＝322)31(12=- 评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。

变式：如图，BC 与AD 交于E ，其它条件与上题一致，问∠P 与∠DEB 的大小关系？分析：∵AB 为直径，则∠PCB ＝∠ADB ＝900，而cos ∠P ＝ABCDPB PC =，又∵△CED ∽△AEB ，∴EBDEAB CD =＝cos ∠DEB 。

∴cos ∠P ＝cos ∠DEB ，故∠P 与∠DEB 的大小相等。

•问题一变式图EOPD CBAP '•问题二图OPDCBA【问题二】如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）CD ⊥AB ，P 是⊙O 上不同于C 、D 的任一点。

（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，∠APC 与∠APD 的关系如何？请证明你的结论； （2）当点P 在优弧CD 上运动时，∠APC 与∠APD 的关系如何？并证明你的结论（不讨论P 与A 重合的情形）。

分析：（1）P 在劣弧CD 上运动时，∠APC ＝∠APD ，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P 在优弧CD上运动时，∠APC ＋∠APD ＝1800，∠APC所对的弧是⋂ADC ，∠APD所对的弧是⋂AD ，而⋂⋂=AC AD ，⋂⋂+AD ADC 的度数和等于⋂⋂+AC ADC 的度数和，等于3600，由圆周角定理易证明得到结论。

跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中，正确的命题个数是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）A 、650B 、1150C 、650或1150D 、1300或5003、O 为锐角△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，则OD ∶OE ∶OF 为（ ）A 、a ∶b ∶cB 、a 1∶b 1∶c1 C 、cosA ∶cosB ∶cosC D 、sinA ∶sinB ∶sinC4、如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝250，则∠D 为（ ） A 、500 B 、550 C 、600 D 、650•第4题图EO CBA1O••第5题图ODCB A70x•第6题图OD CBA5、如图，⊙O 经过⊙O 1的圆心O 1，∠ADB ＝α，∠ACD ＝β，则α与β之间的关系是（ ） A 、β＝α B 、αβ21800-=C 、)90(210αβ-=D 、)180(210αβ-= 二、填空题：6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。

7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论 （任写一个）。

8、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝ 。

•第7题图 OC BA•第8题图 21DEOCB A•第9题图PDOCBA9、如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于C ，延长PO 交⊙O 于点B ，PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于点D ，则∠ADP ＝ 。

10、如图，已知直径AB ⊥CD 于E ，∠COB ＝α，则2sin2αBE AB ＝ 。

11、如图，⊙O 1与⊙O 2为两个等圆，O 1在⊙O 2上，O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B两点，过B 的直线交⊙O 1于C ，交⊙O 2于D ，过C 作⊙O 1的切线CE 与过D 作⊙O 2的切线DE 交于E ，则∠E ＝ 。

三、计算题或证明题：12、如图，已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，OP 与AB 相交于点M ，C 为⋂AB 上一点。

求证：∠OPC ＝∠OCM 。

第10题图EDOC BA2O 1O ••第11题图ED CBA•第12题图OM P C BA13、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦O 1C 交AB 、⊙O 1于D 、E 。

求证：（1）C O D O AO 1121⋅=； （2）E 为△ABC 的内心。

2O 1O ••第13题图D ECBA•第14题图OFGDECBA•第15题图PODCBA14、如图，已知AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC 。

（1）求证：FB ＝FC ；（2）FD FA FB ⋅=2；（3）若AB 是△ABC 的外接圆的直径，∠EAC ＝1200，BC ＝6cm ，求AD 的长。

15、如图，⊙O 的直径AB ＝6，P 为AB 上一点，过P 作⊙O 的弦CD ，连结AC 、BC ，设∠BCD ＝m ∠ACD ，当347+=APBP时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由。

16、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于F ，交AE 于点M ，且∠B ＝∠CAE ，EF ∶FD ＝4∶3。

（1）求证：AF ＝DF ； （2）求∠AED 的余弦值；（3）如果BD ＝10，求△ABC 的面积。

•第16题图FMED C B A跟踪训练参考答案一、选择题：ACCAD 二、填空题：6、1400；7、OC ∥AB 等；8、900；9、450；10、1；11、1200 三、计算题或证明题：12、提示：连结OA ，22OC OP OM OA =⋅=，∴OCOPOM OC =，又∠O 是公共角，△OCM ∽△OPC 。

13、略证：（1）连结，O 1B ，由O 1A ＝O 1B 可得∠O 1AD ＝∠O 1CA ，∠AO 1D 是公共角，∴△O 1AD ∽△O 1CA ；（2）连结AE 、BE ，由∠ABE ＝21∠AO 1C ＝21∠ABC ，∠BAE ＝21∠BO 1E ＝21∠BAC 。

14、（1）（2）略；（3）34cm 。

15、解：连结OD ，设存在正实数m ，则在⊙O 中过P 点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。

∴CP ⊥AB 于P 。

∵347+=APBP，设AP ＝k ，则BP ＝k )347(+，又AB ＝6 ∴6)1347(=++k ，解得2336-=k ∴OP ＝OA －AP ＝23363--＝233 在Rt △POD 中，cos ∠POD ＝23=OD OP ，∴∠POD ＝300，∠ACD ＝150 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝900∴∠BCD ＝900－150＝750 ∵∠BCD ＝m ∠ACD∴m ＝5，即存在正实数m ，使CD 弦最短。

16、（1）先证∠ADE ＝∠DAE ；（2）作AN ⊥BE 于N ，设FE ＝x 4，FD ＝x 3，可求DE ＝x 5，由AN DE EF AD ⋅=⋅得：AN ＝x 8.4，可得EN ＝x 4.1，cos ∠AED ＝257；（3）△CAE ∽△ABE ，72=∆ABC S 。