小学奥数：容斥原理之最值问题.专项练习
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学奥数：容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学五年级奥数题及答案3
小学五年级奥数题一、工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别须要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时翻开甲乙两水管，5小时后，再翻开排水管丙，问水池注满还须要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队须要20天完成，乙队须要30天完成。
假如两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的非常之九。
如今安排16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，则两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
如今先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮番做，则恰好用整数天完工；假如第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮番做，则完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，假如分给男女生栽，平均每人栽6棵；假如单份给女生栽，平均每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管。
甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。
如今先翻开甲管，当水池水刚溢出时，翻开乙,丙两管用了18分钟放完，当翻开甲管注满水是，再翻开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队须要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发觉粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？二．鸡兔同笼问题1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？三．数字数位问题1．把1至2019这2019个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2019,这个多位数除以9余数是多少2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
小学数学奥林匹克辅导及练习容斥原理含答案
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
101315251211++--⨯=（人）答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店分析与解：根据题意画图。
方法一：664310111110++-+-+-++=()()()（人） 方法二：664311210++---⨯=（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
281783--=（人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程：3020103149++---+=x y 整理后得：x y +=9由于x 、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
小学奥数之容斥原理
五．容斥原理问题1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )A 43,25B 32,25 C32,15 D 43,11解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。
做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。
小学奥数专题之容斥问题
小学奥数专题之容斥问题小学奥数专题之容斥问题1.47名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。
问：两门都得100分的有多少人？3.电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问：两个频道都没看过的有多少人？4.一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。
问：既划了船也爬了山的同学有多少？6.全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。
求两样都不会的人数。
10.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的`10人，同时订A、C报的12人，同时订B、C报的也是12人。
问：三种报都订的有多少人？11.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。
其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。
问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？13.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。
如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？14.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。
2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。
如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。
本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题【解析】 每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有864256⨯+⨯=（道）题目。
【答案】56题【例 2】 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.【答案】240【例 3】 如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 如下图，下图中“”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．的线段都在“”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．【答案】9960【例 4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 （法1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人，而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27334812+-=人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有1240484+-=人.该情况可以用线段图来构造和示意：40人33人游泳自行车总人数48人游泳（法2）设三项运动都会的人有x 人，只会两项的有y 人，只会一项的有z 人， 那么根据在统计中会n 项运动的学生被统计n 次的规律有以下等式：3227334048,,0x y z x y z x y z ++=++⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩由第一条方程可得到10032z x y =--，将其代入第二条式子得到：100248x y --≤，即252x y +≥①而第二条式子还能得到式子48x y +≤，即248x y x +≤+②联立①和②得到4852x +≥，即4x ≥．可行情况构造同上．【答案】4【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 人．【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35【巩固】60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x 人，只会打乒乓球和排球两项的有y 人，只会打羽毛球和排球两项的有z 人．由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x 、y 、z 有如下关系：()()()402204522048220x y x z y z ⎧-++≥⎪⎪-++≥⎨⎪-++≥⎪⎩将三条关系式相加，得到33x y z ++≤，而60人当中会至少一项运动的人数有()40454822256x y z ++-++-⨯≥人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x 、y 、z 分别取7、11、15时，不等式组成立）． 【答案】4【例 5】 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?C丙B乙A甲【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设甲借过的书组成集合A ，乙借过的书组成集合B ，丙借过的书组成集合C ．A =33,B =44，C =55，A B =29，A C =25，B C =36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可． AB C A B C A B A C B C A B C =++---+, 当AB C 最大时，A B C 有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多． 而AB C 最大不超过A 、B 、C 、A B 、B C 、A C 6个数中的最小值，所以A B C 最大为25．此时A B C =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【解析】 考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．【答案】12【例 6】某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。
在这次决赛中至少有____得满分。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136+125+118+104-160⨯3=3(人)。
【答案】3人【例 7】某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有人。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】不会骑车的6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一项的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都会的至少44人【答案】44人【例 8】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有-=盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单1003070的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506014015++-=盆．【答案】15【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．【答案】4【巩固】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆．【答案】27。