2006年江苏高考数学解析版
2006年江苏高考数学解析版
2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式： 一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 （2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= （7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A （8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.（5分）已知集合A={1.2.8}，B={-1.1.6.8}，则A∩B={1.8}。
2.（5分）若复数z满足i•z=1+2i（其中i是虚数单位），则z的实部为-2.3.（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.4.（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为20.5.（5分）函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。
3]。
6.（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为3/10.7.（5分）已知函数y=sin(2x+φ)（-π/4≤x≤π/4），则φ的值为π/6.8.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为1，则其离心率的值为c/a。
9.（5分）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间（-2，2]上，f(x)=|x|，则f(f(15))的值为1.10.（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为8.11.（5分）若函数f(x)=2x³-ax²+1（a∈R）在（-∞，+∞）内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为4.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。
若D的横坐标为4/3，则C的坐标为(7/3，14/3)。
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为3.14.（5分）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)1
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。
2006年全国数学题与评析
2006年全国高考数学试题Ⅲ的评析一、2005年高考全国卷数学试题的特点在《2005年高考数学大纲》中明确指出：数学科的考试将会按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，据此，教育部考试中心命制的全国卷1、全国卷2、全国卷3三套试卷，分文、理科共六份试题．试题的设计体现了数学学科的特点，突出了知识的基础性，注意了在知识网络交汇点设题，着力反映了概念性、思辩性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。
试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求。
相比之下，“全国卷1”比“全国卷2”和“全国卷3”要难些，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人。
既全面的考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的基本方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维能力的提升。
所有这些，对中学数学都具有很好的导向作用。
二、全国高考数学试题Ⅲ的评析2005年高考甘肃采用的高考数学试题模版是全国卷Ⅲ，试卷题量与2004年相同。
2005年高考数学试卷总体呈现平稳，没有出现难题、偏题和怪题。
命题凸现了高中数学的主干知识，以“死题”考知识，用“活题”考能力，加强了数学运算能力的考查。
文理科试卷的差异较往年缩小了。
从定量上看，此套试卷继续保持2004年在全国卷Ⅲ在文理差异上的风格，即减少相同题，减少姊妹题增加不同题，但不同题的数量较2004年有所减少，其中，选择题相异的有１道，填空题差异有２道，（而且这３道试题都是因为文理考试知识的不同要求命制的）解答题差异的有2.5道。
总体的感觉是：数学试题整体不难，应该说成绩优秀的学生得高分并不困难。
1、选择题：平淡中考知识，创新中考能力选择题都是容易题和中等题，大多数题属于“一捅就破”的题型，主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法。
2006江苏数学高考真题
2006江苏数学高考真题2006年江苏省高考数学试题是考生备考的重要资料之一，通过分析这套试题，可以帮助考生更好地了解高考数学考试的题型和命题风格，帮助考生提高解题能力，为高考备考提供有益帮助。
一、填空题1. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，那么f(1) + f(2) + f(3)的值为多少？解析：将f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1代入计算得f(1) = 0，f(2) = 1，f(3) = 10，所以f(1) + f(2) + f(3) = 0 + 1 + 10 = 11。
2. 某银行推出月存息的储蓄存款，每月存款100元，存12年，月利率为0.1%，则本息为多少？解析：本题可以用终值和现值的方法来求解，根据利息的计算公式：本息 = 本金×(1 + 利率)^存款月数= 100×(1 + 0.001)^12×12 ≈ 1615.04元。
二、选择题1. 函数y = x^3 + 3x^2 - 15x + 1的图象关于直线y = 2x + 3对称，则x的取值范围是（ ）A. x ≥ 3;B. -3 ≤ x ≤ 0;C. -5 ≤ x ≤ 3;D. -3 ≤ x < 0.解析：当函数的图象关于直线y = ax + b对称时，函数也对称于直线y = ax + b，即对称轴为x = -a/2，所以应该求解2x + 3 = -x/2，解得x = -6，故x的取值范围为-5 ≤ x ≤ 3。
2. 射线OB在第一象限出发，穿过一下几条线段后，它的位置与如图（如图略）所示相同的是（ ）A. EF；B. GH；C. IJ；D. KL.解析：通过对射线OB穿过每条线段的位置进行分析，可以得出答案为EF。
三、计算题1. 解方程组2cosx - 5cos^3x = 1,3sinx + 4sin^3x = 1.解析：将两个方程相加可得cosx + sinx = 1，从而x = π/4或x = 5π/4。
江苏省高考数学知识点总结精华版
江苏省高考数学知识点总结精华版我跟你说啊，这江苏省高考数学知识点啊，那可真是个事儿。
我瞅着那些知识点，就像瞅着一群调皮的小崽子，各有各的模样，各有各的脾气。
先说那函数吧。
函数这玩意儿，就像一个多变的魔术师。
有时候它是一条直线，规规矩矩的，那斜率就像是魔术师的指挥棒，指到哪儿，函数就变到哪儿。
我就想起我小时候看到的一个魔术师，穿得花里胡哨的，脸上带着神秘的笑，手那么一挥，就像函数的自变量一变，函数值就跟着变了。
函数还有什么奇偶性呢，奇函数就像个调皮捣蛋的小鬼，关于原点对称，偶函数呢，就像个文静的小姑娘，关于y轴对称。
我那时候学函数啊，就跟这魔术师较上劲了，我就想啊，我非得把你这把戏看穿了不可。
再讲讲数列。
数列啊，就像一排站得整整齐齐的士兵。
你看那等差数列，每个士兵之间的间距都一样，就像那步伐整齐的仪仗队。
我就想象啊，这些数字士兵，都板着个脸，严肃得很。
等比数列呢，就有点像那种按比例放大或者缩小的东西，就像我老家那盖房子，一块砖比一块砖大一点或者小一点，有个固定的比例。
我和我同桌讨论数列的时候啊，他那表情就像数列里的数一样刻板，一个劲儿地跟我说公式，我就跟他说，你能不能别这么死板，把数列想象成有生命的东西多好玩儿。
还有那立体几何啊。
立体几何可不得了，那些个几何体在我眼里就像一座座小城堡。
正方体就像那种方方正正的碉堡，规规矩矩的。
棱柱呢，就像那种长长的塔楼，三棱柱就像有三个棱的奇怪塔楼。
我每次看到立体几何的题目，就感觉自己像个将军，要攻打这些城堡一样。
我有个朋友，他立体几何学得可好了，我就去问他诀窍。
他就指着自己的脑袋，眼睛瞪得大大的，说：“你得在这儿把这些图形都给建起来，转起来。
”我当时就想，你说得倒轻巧，我这脑袋又不是加工厂。
解析几何也不是个善茬儿。
那曲线就像一条条弯弯曲曲的小路，椭圆就像个压扁了的圆，像那种被人踩得有点变形的小土坡路。
双曲线呢，就像两条永远不相交的轨道，我就想啊，这两条轨道上要是有两辆小火车，那肯定是互相瞅都不瞅一眼，各自跑各自的。
高中数学经典高考难题集锦(解析版)3
2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•绵阳模拟〕定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕满足f〔x〕=3f〔x+2〕，当x∈[0，2〕时，f〔x〕=﹣x2+2x，设f〔x〕在[2n﹣2，2n〕上的最大值为a n〔n∈N+〕且{a n}的前n项和为S n，那么=〔〕A．3 B．C．2 D．2．〔2021•安徽〕设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，那么以下等式中恒成立的是〔〕A．X+Z=2Y B．Y〔Y﹣X〕=Z〔Z﹣X〕C．Y2=XZ D．Y〔Y﹣X〕=X〔Z﹣X〕3．〔2005•广东〕数列{x n}满足x2=，x n=〔x n﹣1+x n﹣2〕，n=3，4，…．假设=2，那么x1=〔〕A．B．3 C．4 D．54．〔2021•上海〕设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是〔〕A．25 B．50 C．75 D．1005．〔2007•陕西〕给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，假设＞1，那么＜1；②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；③假设f〔x〕=log i x，那么f〔|x|〕是偶函数．其中正确命题的序号是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③6．〔2006•北京〕设f〔n〕=2+24+27+210+…+23n+10〔n∈N〕，那么f〔n〕等于〔〕A．B．C．D．7．〔2005•江西〕将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都可以成等差数列的概率为〔〕A．B．C．D．8．〔2005•黑龙江〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么〔〕A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a59．〔2004•湖南〕农民收入由工资性收入和其它收入两局部构成．2003年某地区农民人均收入为3150元〔其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元〕，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入介于〔〕A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元10．〔2002•北京〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔〕A．13项B．12项C．11项D．10项11．〔2000•北京〕设等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，那么有〔〕A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=5112．〔2021•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，那么该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．6313．〔2021•上海〕记椭圆围成的区域〔含边界〕为Ωn〔n=1，2，…〕，当点〔x，y〕分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，那么M n=〔〕A．0 B．C．2 D．214．〔2005•上海〕用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++〔﹣1〕n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于〔〕A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣72015．〔2001•北京〕根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n〔万件〕近似地满足关系式S n=〔21n﹣n2﹣5〕〔n=1，2，…，12〕，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是〔〕A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月二．填空题〔共15小题〕16．〔2021•江苏〕设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1〔n=1，2，…〕，假设数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么6q=．17．〔2021•四川〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4≥10，S5≤15，那么a4的最大值为．18．〔2021•福建〕商家通常依据“乐观系数准那么〞确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b〔b＞a〕以及常数x〔0＜x＜1〕确定实际销售价格c=a+x〔b﹣a〕，这里，x被称为乐观系数．经验说明，最正确乐观系数x恰好使得〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x的值等于．19．〔2021•江苏〕设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，那么q的最小值是．20．〔2021•北京〕{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*那么a2021=；a2021=．21．〔2021•宁夏〕等差数列{a n}的前n项和为S n，2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，那么m=．22．〔2021•四川〕设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，那么通项a n=．23．〔2007•海南〕{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，那么其公差d=．24．〔2006•广东〕在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥〞形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层〔第一层〕分别按以下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f〔n〕表示第n堆的乒乓球总数，那么f〔3〕=；f〔n〕=〔答案用n表示〕．25．〔2005•广东〕设平面内有n条直线〔n≥3〕，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，假设用f〔n〕表示这n条直线交点个数，那么f〔4〕=，当n＞4时f〔n〕=〔用n表示〕26．〔2004•上海〕假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量〞．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，以下{a n}的四组量中，一定能成为该数列“根本量〞的是第组．〔写出所有符合要求的组号〕①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．〔其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n 项和．〕27．〔2002•上海〕假设数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2〔n∈N*〕，那么数列的通项a n=．28．〔2021•上海〕点O〔0，0〕、Q0〔0，1〕和点R0〔3，1〕，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，那么=．29．〔2021•湖北〕数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=假设a6=1，那么m所有可能的取值为．30．〔2004•北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n项和S n的计算公式为．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•绵阳模拟〕定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕满足f〔x〕=3f〔x+2〕，当x∈[0，2〕时，f〔x〕=﹣x2+2x，设f〔x〕在[2n﹣2，2n〕上的最大值为a n〔n∈N+〕且{a n}的前n项和为S n，那么=〔〕A．3 B．C．2 D．考点：数列的求和；数列的极限．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可知，函数f〔x〕按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．解答：解：因为f〔x〕=3f〔x+2〕，所以f〔x+2〕=f〔x〕，就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f〔1〕=1，q=，所以a n=，S n=，==应选D点评：此题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．2．〔2021•安徽〕设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，那么以下等式中恒成立的是〔〕A．X+Z=2Y B．Y〔Y﹣X〕=Z〔Z﹣X〕C．Y2=XZ D．Y〔Y﹣X〕=X〔Z﹣X〕考点：等比数列．专题：压轴题．分析：取一个具体的等比数列验证即可．解答：解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．应选D点评：对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，假设能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；假设不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．3．〔2005•广东〕数列{x n}满足x2=，x n=〔x n﹣1+x n﹣2〕，n=3，4，…．假设=2，那么x1=〔〕A．B．3 C．4 D．5考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：压轴题．分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜想通项．并注意无穷递缩等比数列的极限解答：解：∵令n=3，得，令n=4，得，∴，…，，于是x n=x1+〔x2﹣x1〕+…+〔x n﹣x n﹣1〕=∴，x1=3．应选B点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．4．〔2021•上海〕设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是〔〕A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f〔n〕=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f〔n〕=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f〔n〕=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f〔n〕=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，应选D点评：此题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．5．〔2007•陕西〕给出如下三个命题：①设a，b∈R，且ab≠0，假设＞1，那么＜1；②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；③假设f〔x〕=log i x，那么f〔|x|〕是偶函数．其中正确命题的序号是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：等比数列；不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件〞．解答：解：①，所以＜1成立；②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；③由偶函数定义可得．应选C．点评：做这类题要细心，读清题干，对根本概念要掌握牢固．6．〔2006•北京〕设f〔n〕=2+24+27+210+…+23n+10〔n∈N〕，那么f〔n〕等于〔〕A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：压轴题．分析：首先根据题意分析出f〔n〕是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．解答：解：由题意知，f〔n〕是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f〔n〕==．应选D．点评：此题考查等比数列的定义及前n项和公式．7．〔2005•江西〕将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都可以成等差数列的概率为〔〕A．B．C．D．考点：等差关系确实定；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．解答：解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{〔1，2，3〕，〔4，5，6〕，〔7，8，9〕}、{〔1，2，3〕，〔4，6，8〕，〔5，7，9〕}、{〔1，3，5〕，〔2，4，6〕，〔7，8，9〕}、{〔1，4，7〕，〔2，5，8〕，〔3，6，9〕}、{〔1，5，9〕，〔2，3，4〕，〔6，7，8〕}，共5组．∴所求概率为．应选A点评：此题主要考查了等差关系确实定和概率的性质．对于数量比拟小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接．8．〔2005•黑龙江〕如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么〔〕A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．专题：压轴题；分析法．分析：先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．解答：解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；假设令a n=n，那么a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．应选B点评：此题主要考查等差数列的性质．属根底题．9．〔2004•湖南〕农民收入由工资性收入和其它收入两局部构成．2003年某地区农民人均收入为3150元〔其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元〕，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2021年该地区农民人均收入介于〔〕A．4200元～4400元B．4400元～4600元C．4600元～4800元D．4800元～5000元考点：数列的应用．专题：应用题；压轴题．分析：根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律得到2021年的农民收入，估算出范围即可．解答：解：由题知：2004年农民收入=1800×〔1+6%〕+〔1350+160〕；2005年农民收入=1800×〔1+6%〕2+〔1350+2×160〕；…所以2021年农民收入=1800×〔1+6%〕5+〔1350+5×160〕≈4559应选B点评：考查学生利用数列解决数学问题的能力，以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能力．10．〔2002•北京〕假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔〕A．13项B．12项C．11项D．10项考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13应选A点评：此题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．11．〔2000•北京〕设等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，那么有〔〕A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．解答：解：取满足题意的特殊数列a n=0，即可得到a3+a99=0选C．点评：此题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．12．〔2021•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，那么该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，要使a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕．那么满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．应选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．13．〔2021•上海〕记椭圆围成的区域〔含边界〕为Ωn〔n=1，2，…〕，当点〔x，y〕分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，那么M n=〔〕A．0 B．C．2 D．2考点：数列的极限；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：〔θ为参数〕，再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．解答：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：〔θ为参数〕，∴x+y=2cosθ+sinθ，∴〔x+y〕max==．∴M n==2．应选D．点评：此题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．14．〔2005•上海〕用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++〔﹣1〕n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于〔〕A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720考点：数列的求和；高阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意算出数阵的行数5！和每一列数字之和5!÷5×〔1+2+3+4+5〕，再根据b1+b2+…+b120=360×〔﹣1+2﹣3+4﹣5〕求得答案．解答：解：由题意可知数阵中行数5！=120，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是5!÷5×〔1+2+3+4+5〕=360，∴b1+b2+…+b120=360×〔﹣1+2﹣3+4﹣5〕=360×〔﹣3〕=﹣1080．应选C点评：此题主要考查了数列的求和问题．此题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台．15．〔2001•北京〕根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n〔万件〕近似地满足关系式S n=〔21n﹣n2﹣5〕〔n=1，2，…，12〕，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是〔〕A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月考点：数列的应用．专题：应用题；压轴题．分析：此题考查了数列的前n项和知识和二次不等式的求解问题．既可以直接求解二次不等式得到n的范围，再根据n∈Z找到满足题意的n；即可得到答案．解答：解：由S n解出a n=〔﹣n2+15n﹣9〕，再解不等式〔﹣n2+15n﹣9〕＞1.5，得6＜n＜9．答案：C点评：此题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．二．填空题〔共15小题〕16．〔2021•江苏〕设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1〔n=1，2，…〕，假设数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么6q=﹣9．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，那么可推知那么{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1那么{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项那么q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或q=﹣〔|q|＞1，∴此种情况应舍〕∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：此题主要考查了等比数列的性质．属根底题．17．〔2021•四川〕设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设S4≥10，S5≤15，那么a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；18．〔2021•福建〕商家通常依据“乐观系数准那么〞确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b〔b＞a〕以及常数x〔0＜x＜1〕确定实际销售价格c=a+x〔b ﹣a〕，这里，x被称为乐观系数．经验说明，最正确乐观系数x恰好使得〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x的值等于．考点：数列的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题设条件，由〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，知[x〔b﹣a〕]2=〔b ﹣a〕2﹣x〔b﹣a〕2，由此能求出最正确乐观系数x的值．解答：解：∵c﹣a=x〔b﹣a〕，b﹣c=〔b﹣a〕﹣x〔b﹣a〕，〔c﹣a〕是〔b﹣c〕和〔b﹣a〕的等比中项，∴[x〔b﹣a〕]2=〔b﹣a〕2﹣x〔b﹣a〕2，∴x2+x﹣1=0，解得，∵0＜x＜1，∴．故答案为：．点评：此题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．19．〔2021•江苏〕设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，那么q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即根本量法．20．〔2021•北京〕{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*那么a2021=1；a2021=0．考点：数列的概念及简单表示法．专题：压轴题．分析：由a4n=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项为哪一项1，第二项是1，第三项是0，第2021﹣3项的2021可写为503×4﹣3，故第2021项是1，第2021项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2021项是0．解答：解：∵2021=503×4﹣3，∴a2021=1，∵a2021=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2021=0，故答案为：1，0．点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．21．〔2021•宁夏〕等差数列{a n}的前n项和为S n，2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，那么m=10．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意先解出a m，再利用等差数列的前n项和与特殊项之间的关系S2m﹣1=〔2m﹣1〕a m，建立方程，求解即可．解答：解：∵2a m﹣a m2=0，解得a m=2或a m=0，∵S2m﹣1=38≠0，∴a m=2；∵S2m﹣1=×〔2m﹣1〕=a m×〔2m﹣1〕=2×〔2m﹣1〕=38，解得m=10．故答案为10．点评：此题主要考查了等差数列前n项和公式与等差数列性质的综合应用，熟练掌握公式是解题的关键．22．〔2021•四川〕设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，那么通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+〔n﹣1〕+1，a n﹣1=a n﹣2+〔n﹣2〕+1，a n﹣2=a n﹣3+〔n﹣3〕+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[〔n﹣1〕+〔n﹣2〕+〔n﹣3〕+…+2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；23．〔2007•海南〕{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，那么其公差d=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据a4+a6=2a5=求得a5的值，再根据，进而求得a1，进而根据求得d．解答：解：a4+a6=2a5=6∴a5=3，∴故答案为点评：此题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．24．〔2006•广东〕在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥〞形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层〔第一层〕分别按以下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f〔n〕表示第n堆的乒乓球总数，那么f〔3〕=10；f〔n〕=n〔n+1〕〔n+2〕〔答案用n表示〕．考点：数列的求和．专题：压轴题；规律型．分析：由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，1+2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数分别为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．解答：解：由题意知，f〔1〕=1，f〔2〕=1+1+2，f〔3〕=1+1+2+1+2+3，…，f〔n〕=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，分析可得：f〔n〕﹣f〔n﹣1〕=1+2+3+…+n==+；f〔n〕=[f〔n〕﹣f〔n﹣1〕]+[f〔n﹣1〕﹣f〔n﹣2〕]+[f〔n﹣2〕﹣f〔n﹣3〕]+…+f 〔2〕﹣f〔1〕+f〔1〕==n〔n+1〕〔2n+1〕+n〔n+1〕=n〔n+1〕〔n+2〕．故答案为：10；n〔n+1〕〔n+2〕．点评：此题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f〔1〕、f〔2〕、f〔3〕的值通过归纳推理得到f〔n〕的表达式，在求和时注意累加法的运用．25．〔2005•广东〕设平面内有n条直线〔n≥3〕，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，假设用f〔n〕表示这n条直线交点个数，那么f〔4〕=5，当n＞4时f〔n〕=〔用n表示〕考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：压轴题；规律型．分析：要想求出f〔4〕的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f〔n〕的值，我们要逐一给出f〔3〕，f〔4〕，…，f〔n﹣1〕，f〔n〕然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的方法进行求解．解答：解：如图，4条直线有5个交点，故f〔4〕=5，由f〔3〕=2，f〔4〕=f〔3〕+3…f〔n﹣1〕=f〔n﹣2〕+n﹣2f〔n〕=f〔n﹣1〕+n﹣1累加可得f〔n〕=2+3+…+〔n﹣2〕+〔n﹣1〕==故答案为5，点评：此题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f〔3〕，f〔4〕，…，f〔n﹣1〕，f〔n〕然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．26．〔2004•上海〕假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量〞．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，以下{a n}的四组量中，一定能成为该数列“根本量〞的是第①④组．〔写出所有符合要求的组号〕①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．〔其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n 项和．〕考点：等比数列．专题：计算题；压轴题．分析：由根据等差数列性质可知，利用S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“根本量〞；由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得把a1和S3代入整理得a2q2+〔a2﹣S3q〕+a2=0q不能确定，不一定是数列的根本量；由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；根据等比数列通项公式，数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个根本量．解答：解：〔1〕由S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“根本量〞，故①对；〔2〕由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2=a1q，a1=，S3=a1+a1q+a1q2，∴S3=+a2+a2q，∴a2q2+〔a2﹣S3q〕+a2=0；满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的根本量，②不对；〔3〕由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个根本量．〔4〕由q与a n由a n=a1q n﹣1，故数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个根本量；故答案为：①④．点评：此题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．27．〔2002•上海〕假设数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2〔n∈N*〕，那么数列的通项a n=32n﹣1．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：由递推公式a n+1=a n2屡次运用迭代可求出数列a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1解答：解：因为a1=3屡次运用迭代，可得a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，故答案为：点评：此题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键28．〔2021•上海〕点O〔0，0〕、Q0〔0，1〕和点R0〔3，1〕，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，那么=．考点：数列与解析几何的综合；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：由题意〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，那么Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在〔〕的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：〔〕，然后求出．解答：解：由题意〔|OQ1|﹣2〕〔|OR1|﹣2〕＜0，所以第一次只能取P1R0一条，〔|OQ2|﹣2〕〔|OR2|﹣2〕＜0．依次下去，那么Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在〔〕的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：〔〕，所以=|Q0P1|=，故答案为：．点评：此题是根底题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P n的规律是此题解答的关键，考查逻辑推理能力．29．〔2021•湖北〕数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=假设a6=1，那么m所有可能的取值为4，5，32．考点：数列递推式．专题：压轴题．分析：由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．解答：解：∵数列{a n}满足：a1=m〔m为正整数〕，a n+1=，a6=1，∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．故答案为：4，5，32．点评：此题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．30．〔2004•北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为3，这个数列的前n项和S n的计算公式为当n为偶数时，；当n为奇数时，．考点：数列的求和；数列的应用．专题：压轴题；创新题型．分析：由题意可知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a2=3，a3=2，a4=3，进而找出这个数列的奇数项为2，偶数项为3，所以a18的数值为3．由于该数列为2，3，2，3，2，3…所以求和时要看最后一项为哪一项2还是3，就需对n分奇数还是偶数进行讨论，解答：解：由题意知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…a17=2，a18=3，当n为偶数时s n=〔2+3〕+〔2+3〕+〔2+3〕+…+〔2+3〕=5×=当n为奇数时s n=〔2+3〕+〔2+3〕+…〔2+3〕+2=5×+2=故答案为：3；当n为偶数时S n=，当n为奇数时S n=点评：此题由新定义考查数列的求和，在求和时一定注意对n分奇数和偶数讨论。
2006年普通高等学校招生全国统一考试答案参考(江苏卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｄ 4．Ｃ 5．Ｂ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｄ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分30分． 11． 12．18 13．1260 14．2 15．122n +-16．({}331---+ 三、解答题17．本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力，满分12分．解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，其半焦距6c =．122a PF PF =+==a ∴=22245369b ac =-=-=． 所以所求椭圆的标准方程为221459x y +=． （II ）点()52P ，，()160F -，，()260F ，关于直线y x =的对称点分别为()25P '，，1(06)F '-，，()206F '，．设所求双曲线的标准方程为()22112211100y x a b a b -=>>，．由题意知，半焦距16c =，1122a P F P F ''''=-=1a ∴=222111362016b c a =-=-=．所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=． 18．本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．满分14分．解：设1OO 为m x ，则14x <<．由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m=．于是底面正六边形的面积为（单位：2m）)22682x x=+-．帐篷的体积为（单位：3m）())())231821116123V x x x x x x⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦．求导数，得())21232V x x'=-．令()0V x'=，解得2x=-（不合题意，舍去），2x=．当12x<<时，()0V x'>，()V x为增函数；当24x<<时，()0V x'<，()V x为减函数．所以当2x=时，()V x最大．答：当1OO为2m时，帐篷的体积最大．第18题注：若解题步骤正确，某处开始出现错误，则对该错误以后部分，无论是否再出现计算错误，一律按一半给分．19．本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分14分．解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3．（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF．::1:2AE EB CF FA==，2AF AD∴==，而60A=∠，ADF∴△是正三角形．又1AE DE==，EF AD∴⊥．在图2中，1A E EF⊥，BE EF⊥，1A EB∴∠为二面角1A EF B--的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，1A E BE∴⊥．CP图1AFCPBE图2Ｑ又BE EF E = ，1A E ∴⊥平面BEF ，即1A E ⊥平面BEP ．（II ）在图2中，1A E 不垂直于1A B ，1A E ∴是平面1A BP 的斜线．又1A E ⊥平面BEP ，1A E BP ∴⊥，从而BP 垂直于1A E 在平面1A BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）． 设1A E 在平面1A BP 内的射影为1AQ ，且1AQ 交BP 于点Q ，则1EAQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角．且1BP AQ ⊥．在EBP △中，2BE BP == ，60EBP =∠，EBP ∴△是等边三角形，BE EP ∴=．又1A E ⊥平面BEP ，11A B A P ∴=，Q ∴为BP的中点，且EQ =． 又11A E =，在1Rt A EQ △中，11tan EQ EAQ A E==∠，160EAQ ∴=∠． 所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60．（III ）在图3中，过F 作1FM A P ⊥于M ，连结QM ，QF ． 1CF CP == ，60C = ∠，FCP ∴△是正三角形，1PF ∴=．又112PQ BP ==，PF PQ ∴=．① 1A E ⊥平面BEP ，EQ EF ==11A F AQ ∴=，11A FP AQP ∴△≌△， 从而11A PF A PQ =∠∠．② 由①②及MP 为公共边知FMP QMP △≌△，90QMP FMP ∴== ∠∠，且MF MQ =，从而FMQ ∠为二面角1B A P F --的平面角．在1Rt AQP △中，112AQ A F ==，1PQ =，1A P ∴ 1AFCPBE MQ图31MQ A P ⊥，115AQ PQ MQ A P ∴==，MF ∴=． 在FCQ △中，1FC =，2QC =，60C =∠，由余弦定理得QF =．在FMQ △中，222cos 2MF MQ QF FMQ MF MQ +-== ∠所以二面角1B A P F --的大小为7πarccos 8-．解法二：不妨设正三角形ABC 的边长为3． （I ）同解法一．…………4分（II ）如图1，由解法一知1A E ⊥平面BEF ，BE EF ⊥．建立如图4所示的空间直角坐标系O xyz -，则()000E ，，，()1001A ，，，()200B ，，，()0F ． 在图1中，连结DP ，2AF BP == ，1AE BD ==，A B =∠∠，FEA PDB ∴△≌△，PD EF ==由图1知PF DE ∥且1PF DE ==，()P ∴． ()1201A B ∴=-，，，()BP =- ， ∴对于平面1A BP 内任一非零向量a，存在不全为零的实数λμ，，使得()12a A B BP λμλμλ=+=-- ，，又()1001A E =-，，，111cos A E a A E a A E a ∴==，． 直线1A E 与平面1A BP 所成的角是1A E与平面1A BP 内非零向量夹角中最小者， ∴可设0λ>，从而1cos A E a =，又221544442μμμλλλ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，图41cos A E a ∴ ，的最大值为12，即1A E 与a 夹角中最小的角为60 ，所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60．（III ）如图4，过F 作1FM A P ⊥于M ，过M 作1MN A P ⊥交BP 于N ，则FMN ∠为二面角1B A P F --的平面角．设()M x y z ，，，则()MF x y z =--，． 1MF A P ⊥，10MF A P ∴=，又()11A P =-，0x y z ∴+-=．① 1A ，M ，P 三点共线，∴存在λ∈R ，使得11AM AP λ=．()11A M x y z =-，，，()()11x y z λ∴-=-，，．从而1x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，，，代入①得45λ=，4155M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 同理可得302N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而4155MF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，71105MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，．77cos 8MF MN MF MN MF MN -∴===- ，， 所以二面角1B A P F --的大小为7πarccos8-． 20．本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分16分． 解：（I）t =∴要使t 有意义，必须10x +≥且1x -≥0，即11x -≤≤．[]22240t t =+ ，，≥，①t ∴的取值范围是2⎤⎦．2112t =-，()2211122m t a t t at t a ⎛⎫∴=-+=+- ⎪⎝⎭，t ⎤∈⎦． （II ）由题意知()g a 即为函数()212m t at t a =+-，t ⎤∈⎦的最大值．注意到直线1t a =-是抛物线()212m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论． （1）当0a >时，函数()y m t =，t ⎤∈⎦的图像是开口向上的抛物线的一段，由10t a=-<知()m t在⎤⎦上单调递增，()()22g a m a ∴==+．（2）当0a =时，()m t t =，t ⎤∈⎦，()2g a ∴=． （3）当0a <时，函数()y m t =，t ⎤∈⎦的图像是 开口向下的抛物线的一段．若(10t a =-∈，即2a -≤，则()g a m ==若1t a⎤=-∈⎦，即122a ⎛⎤∈-- ⎥ ⎝⎦，，则()112g a m a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭． 若()12t a =-∈+∞，，即102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则()()22g a m a ==+． 综上有 ()12211222a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=---<-⎨⎪，，，，≤≤ （III ）解法一： 情形1：当2a <-时，112a >-，此时()g a =112g a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由12a +=12a =--2a <-矛盾． 情形2：当2a -<≤112a <-≤，此时()g a ． 112a g a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12a a =--解得a =a <情形3：当a ≤1a ≤，此时()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2a -≤．情形4：当122a -<-≤时，12a -<≤()12g a a a =--，1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12a a --=2a =-，与2a >-矛盾．情形5：当102a -<<时，12a <-，此时()2g a a =+，1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由2a +=2a =，与12a >-矛盾．情形6：当0a >时，10a >，此时()2g a a =+，112g a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由122a a+=+解得1a =±，由0a >知1a =．综上知，满足()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的所有实数a 为：2a -≤或1a =． 解法二：当12a >-时，()322g a a =+>>当122a -<-≤时，122a ⎡-∈⎢⎣⎭，，1122a ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦，，所以12a a --≠，()12g a a a=-->=2a >-时，()g a > 当0a >时，10a >，由()1g a g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭知122a a +=+解得1a =．当0a <时，11a a= ，因此1a -≤或11a -≤，从而()g a =或1g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭要使()1g a g a ⎛⎫=⎪⎝⎭，必须有a ≤，1a ≤，即a ≤此时()1g a g a ⎛⎫== ⎪⎝⎭．综上知，满足()1g a g a ⎛⎫=⎪⎝⎭的所有实数a 为：a ≤1a =． 21．本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．证明：必要性．设{}n a 是公差为1d 的等差数列，则()()()()1132132110n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d +++++++-=---=---=-=， 所以()1123n n b b n += ，，，≤成立．又()()()112132*********n n n n n n n n c c a a a a a a d d d d ++++++-=-+-+-=++=（常数），（123n = ，，，），所以数列{}n c 为等差数列．充分性．设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列，且()1123n n b b n += ，，，≤． 证法一：1223n n n n c a a a ++=++ ，① 223423n n n n c a a a ++++∴=++．②①－②得()()()221324122323n n n n n n n a n n n c c a a a a a a b b b ++++++++-=-+-+-=++．()()211222n n n n n n c c c c c c d ++++-=-+-=- ，122232n n n b b b d ++∴++=-，③从而有1232232n n n b b b d +++++=-．④④－③得()()()12132230n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=．⑤10n n b b +- ≥，210n n b b ++-≥，320n n b b ++-≥， ∴由⑤得10(123)n n b b n +-== ，，，． 由此不妨设()3123n b d n == ，，，，则23n n a a d +-=（常数）． 由此121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-， 从而112313423425n n n n n c a a d a a d ++++=+-=+-．两式相减得()11322n n n n c c a a d ++-=--，因此()113231122n n n n a a c c d d d ++-=-+=+（常数）（123n = ，，，），所以数列{}n a 是等差数列． 证法二：令1n n n A a a +=-，由1n n b b +≤，知213n n n n a a a a +++--≤， 从而132n n n n a a a a +++--≥，即()2123n n A A n += ，，，≥． 由1223n n n n c a a a ++=++，112323n n n n c a a a ++++=++得()()()11213223n n n n n n n n c c a a a a a a ++++++-=-+-+-，即 12223n n n A A A d ++++=．⑥由此得234223n n n A A A d +++++=．⑦⑥－⑦得()()()21324230n n n n n n A A A A A A +++++-+-+-=．⑧ 因为20n n A A +-≥，130n n A A ++-≥，240n n A A ++-≥， 所以由⑧得()20123n n A A n +-== ，，，．于是由⑥得11224223n n n n n A A A A A d ++++=++=．⑨ 从而11222442n n n n A A A A d ++++=+=．⑩由⑨和⑩得114224n n n n A A A A +++=+，故1n n A A +=，即()211123n n n n a a a a n +++-=-= ，，，，所以数列{}n a 是等差数列．。
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2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式：一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= 其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1（2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （5）10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-=（7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A（8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
（11）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ ▲（12）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲种不同的方法（用数字作答）。
（14）︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ ▲（15）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 ▲ （16）不等式3)61(log 2≤++x x 的解集为 ▲三、解答题：本大题共5小题，共70分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）.（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。
（18）（本小题满分14分）请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分） 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA＝CP:PB ＝1:2（如图1）。
将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分） 设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a ) （Ⅲ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a（21）（本小题满分14分）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…）， 证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx 的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题【正确解答】解法1由题意可知，()()f x f x =--得a=0解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其AF EC B A 1E F CP B前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称.若函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.2【思路点拨】本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -+=与相切1=，由排除法， 选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.3【思路点拨】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出y x -，设x=10+t, y=10-t, 24x y t -==，选D【解后反思】4【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。
【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度， 得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈（1）．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的（2）函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变） （3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x 前面的系数提取出来。
5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式通项为31010102121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.6【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN =则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-0=⋅+NP MN ，则4(2)0x -=，化简整理得x y 82-= 所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。
【正确解答】因为A A B C B C ⊆⊆且A B C B =由题意得A C ⊆所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。