2018-2019学年江苏省邗江中学高一下学期期中考试数学试题
2018-2019学年江苏省邗江中学高一下学期期中考试数学
试题
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在ABC ∆中，下列等式正确的是( )
A.::a b A B =∠∠
B.:sin :sin a b A B =
C.:sin :sin a b B A =
D.sin sin a A b B =
2、若直线l 的斜率]3,1[-∈k ，则直线倾斜角α的范围是（ ） A . [,]43ππ- B. 3[0,][,)34πππ⋃ C. 3[,]34ππ D. 3[,)(,]3224
ππππ 3、下列说法正确的是（ ）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
4、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且,7:5:3sin :sin :sin =C B A 则最大角为（ ）
A 65π
B 6π
C 32π
D 3
π 5、已知不重合的直线a ，b 和平面α，下面命题中正确的是( )
① 若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；② 若c ⊥a ，b ⊥c ，则a ∥b ；
③ 若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④ 若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α A ①④ B ③④ C ③ D ④
6、在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的对角线中，与1AD 所成角为60︒的有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.10条
7、如果满足60ABC ︒∠=，AB=8，AC=k 的三角形ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ． B. C.(4,8) D.
8、两点(2,3),(4,5)--到直线l 的距离都等于5，则直线l 有（ ）条
A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条
9、在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A C B C A B +=，且222a b mc +=，则实数m 的值为( )
A ．3 B. 2 C. D.
10、点P 为直线34
y x =上任意一点，12(5,0),(5,0)F F -，则12||||||PF PF -的取值范围是 （ ）
A ．[0,8) B. [2,10] C. [3,6] D. [0,+∞）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11、动圆222
2220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是______________
12、已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1，P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥P –BB 1D 1D 的体积与正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的体积之比为__________
13、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，若)c o s c o s c
A a C -=，则c o s A
的值为_________ 14、已知直线l 过点(2,3)，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的两倍，则直线l 的方程为_____________
15、如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____________________.
16、等腰三角形一腰的中线长为2，则该三角形面积的最大值为______________
三、解答题：17题10分，其他各12分，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
17、（1）求过点(2,1)且和直线2470x y +-=平行的直线方程；
（2）求过点(2,3),(2,5)---且圆心在直线230x y --=上的圆的方程。
18、已知在ABC ∆中，角A B C
、、所对的边分别为a b c 、、，且
22b a c c =+- =，．
（1）求角A ； （2）若ABC ∆的外接圆半径为2，求ABC ∆的面积．
19、如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB=AC ，D ，F 分别是棱BC ，B 1C 1的中点，E 是棱CC 1上的一点．求证：
（1）直线A 1F ∥平面ADE ；
（2）直线A 1F ⊥直线DE ．
20、如图，等边△ABC 与直角梯形ABDE 所在平面垂直，BD ∥AE ，BD ＝2AE ，AE ⊥AB ，M 为AB 的中点．(1)证明：CM ⊥DE ；(2)在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN .
21、已知ABC ∆的面积为
2，且1AB AC ⋅=-且AB AC > （1）求角A 的大小；
（2）设M 为BC 的中点，且2
AM =
，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段MN 的长度。
22、已知点(3,4),(9,0)A B -，,C D 分别为线段,OA OB 上的动点，且满足AC BD =
（1）若4,AC =求直线CD 的方程；（2）证明：OCD ∆的外接圆恒过定点（异于原点）。
高一数学期中答案及评分标准
1.B
2.B
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.C
9.A 10.A
11.)+∞ 12.
13 14.320x y -=或280x y +-=
15. 16.83
17．（1）因为两直线平行，所以所求直线斜率为12-
，且过点(2,1)，方程为240x y +-= ---------------4分
（2）圆心坐标为(1,2)--22(1)(2)10x y +++=
-------------------------6分
18．（1）略 6分 需要证明两次平行四边形 少证一个扣2分 （2）略 6分
19.（1）2π或6
π （2）2A π=时，面积为6A π= 第一问 6分 少解扣3分 第二问 6分 少解扣3分
20.（1）6分 面面垂直的性质定理使用，缺少条件扣3分；
（2）6分 点N 满足 AN=2NC ，证明线面平行，由线面平行推出点N 位置的，不得分
21.（1）23
A π= 4分 （2）得到225A
B A
C +=得3分，角平分线得到:2:1BN NC =
的3分，最后结果6MN =
得2分 22．（1）34(,),(5,0)55C D -写出坐标得两分，最后结果750x y +-=得2分；
（2）设
(3,4C m m -，得D (54,0)m +，解出圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=得6分，转化为2243020
x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩恒过定点
(2,1)-得4分 其他设法同样给分。
2018-2019扬州市邗江区第二学期第高一数学期中试卷
2018-2019学年度第二学期高一数学期中测试卷 2019.04 全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线:l y =，则直线l 的倾斜角为（ ）A ． 030B ．060C ．0120D ．01502．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，若03,4,60a b C ===，则c =( )A ．5B ．11C D3．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π4．已知直线1:210l x y +-=， 2:250l x ny ++=， 3:310l mx y ++=， 若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为（ ）A ．10-B ．2-C ．2D ．105．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AC ==，与平面11BCC B 所成的角为030，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为( )A ．060B ．0120C ．045D ．01357．已知实数,x y 满足30x y +-=的最小值是( )A B ．2 C ．1 D ．48．已知直线,m n ，平面,αβ，给出下列命题：①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④9．已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2B A =，则s i n a A b 的值范围是( )A ．B ．C ． 1(2D ． 1)210．已知(3,1),(5,2)A B --，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值， 则点P 的坐标是（ ）A ． (1,1)-B ． (1,1)-C ．(2,2)-D ． 1313(,)55- 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11．在ABC ∆中，已知tan tan a b A B=，则ABC ∆的形状是___ ___三角形． 12．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，正确的为________ (填序号)．①AC BD ⊥； ②//AC 截面PQMN ；③AC BD =； ④异面直线PM 与BD 所成的角为045.（第12题图） （第14题图）13．过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得 的线段恰好被点P 平分，则直线l 斜率为_______________14．如图，正四棱锥P ABCD -的体积为2，底面积为6， E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面PAC 所成的角为_______.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围__ _．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若13,2AA AB ==,点D 是棱1CC 的中点，点E 在棱1AA 上，则三棱锥1B EBD -的体积为___________.三、解答题（本大题共6小题，计70分。
江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析.pdf
2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=．4．函数在x∈R上的最小值等于．5．已知tanθ=2，则sin 2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．6．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．7．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．8．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=．10．已知函数f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），?x1∈[﹣2，2]，总?x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是．11．设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．12．有四个关于三角函数的：（1）?x∈R，sin2+cos2=；（2）?x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；（3）?x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy?x+y=．其中假的序号是．13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为．14．已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k=时，f（a k）=0．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．16．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．17．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．20．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N *，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】将所求式子中的角585°变形为720°﹣135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin585°=sin（720°﹣135°）=﹣sin135°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=11．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值．【解答】解：因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：11【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．4．函数在x∈R上的最小值等于﹣2．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin （x+），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴f（x）在x∈R上的最小值等于﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题．5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．。
江苏省邗江中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(创新班)Word版含答案
江苏省邗江中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试题（创新班）一、 填空题：1．用列举法表示集合10{|}1M m N Z m =∈∈=+ _____ . 2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的弧长为________ cm.3．已知角α终边经过点(2,3),P -则α的正弦值为 ▲ ．4.函数()213log 3y x x =-的单调递减区间是 ．5.函数()f x 2cos ,,63x x ππ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭的值域是 ▲ . 6．函数y ＝错误！未找到引用源。
，值域为_____________.7、若()f x 是幂函数，且满足(4)13,()(2)2f f f =则= ______ 8、若函数6,2()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．9、在x y )21(=，3222,,log x y x y x y ===四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数个数是 个。
10.对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数”。
在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x 。
这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么]243[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 33333+++++ = ．11．已知函数1()log (01)ax f x a b x-=<<+为奇函数，当(]1,x a ∈-时，函数()f x 的值域是(],1-∞，则a b +的值为 .12、已知函数m x m x x f -+-+-=2)2()(2,且|)(|x f y =在[]0,1-上为单调减函数，则实数m 的取值范围为13、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1212()()f x f x a x x ==≠错误！未找到引用源。
江苏省邗江中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学
江苏省邗江中学2017-2018学年度第二学期高一数学期中试卷2018．4（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．一元二次不等式(1)(2)0x x --<的解集为 ▲ . 2．22cos 75sin 75- = ▲ .3．在△ABC 中，已知6,30===︒b c A ，则a = ▲ . 4．等比数列}{n a 的前n 项和为n S 满足=3n n S a +，则a 的值为▲ .5．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1AD 与直线BC 所成角的大小是 ▲ . 6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = ▲ . 7．已知等差数列}{n a 中，,10131=+a a 则=++++119753a a a a a ▲ .8．已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值为 ▲ . 9．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12018a =，20182016220182016S S-=-，则2019S 的值为 ▲ . 10．在ABC ∆中，5cos 13A =， 3sin 5B =，则sinC = ▲ . 11．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 海里后看 见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 ▲ 海里.12．若实数b a ,满足)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值为 ▲ .13．在数列{a n }中，已知111,(*)2(1)(1)n n n na a a n n na +==∈++N ，则数列{a n }的通项公式n a = ▲ .14．设函数f （x ）＝sin x ＋cos x 和g （x ）＝2sin x cos x ．A 1A DB 1D 1C C 1B第5题若存在x 0∈[0，π2]，使 | a f （x ）－g （x ）－3|≥12 成立，则实数a 的取值范围 ▲ .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知3sin 5α=，(0,)2πα∈． （1）求sin 2α的值；（2）求tan 2)4παα+-的值．16．（本题满分14分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、D 1B 的点，且满足11D E D FED FB=． （1）判断直线AC 与直线1BD 的位置关系，不要说明理由； （2）求证：11//BD B D ； （3）求证：//EF 11B D .17．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；A 1ABDB 1D 1EFCC 1（Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分16分）某小区规划一块周长为a 2(a 为正常数)的矩形停车场，其中如图所示的直角三角形ADP 内为绿化区域.且CAB PAC ∠=∠=α.设矩形的长AB x =，AD AB >． (1)求线段DP 的长关于x 的函数()f x 表达式并指出定义域； (2)应如何规划矩形的长AB ,使得绿化面积最大?19．（本题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b--=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围．20．（本题满分16分）各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++ ，12111n n T a a a =+++ ，且(2)(1)n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．。
江苏省扬州市邗江中学高一下期中数学试卷
2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=．4．函数在x∈R上的最小值等于．5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．6．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．7．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．8．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=．10．已知函数f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[﹣2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是．11．设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．12．有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是．13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为．14．已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k=时，f（a k）=0．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．16．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．17．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．20．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】将所求式子中的角585°变形为720°﹣135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin585°=sin（720°﹣135°）=﹣sin135°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=11．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值．【解答】解：因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：11【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．4．函数在x∈R上的最小值等于﹣2．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin（x+），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴f（x）在x∈R上的最小值等于﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题．5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ==∵tanθ=2∴=∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=故答案为：【点评】本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，属于基础题．6．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．7．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1}．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．【解答】解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．8．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=60．【考点】等差数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a4是a3与a7的等比中项，S8=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可．【解答】解：设公差为d（d≠0），则有，化简得：，因为d≠0，由①得到2a1+3d=0③，②﹣③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a1=﹣3，所以方程组的解集为，则S10=10×（﹣3）+×2=60．故答案为：60【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=15．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知2a2﹣4a1=a3﹣2a2，即2q﹣4=q2﹣2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．【解答】解：∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2，∴2q﹣4=q2﹣2q，q2﹣4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15【点评】本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．10．已知函数f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[﹣2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．【考点】函数的值域；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据∀x1∈[﹣2，2]，成立得到函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．【解答】解：∵x∈∴sin（2x+）则的值域为[3a﹣a2，a2+3a]而f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]）的值域为[0，4]∵∀x1∈[﹣2，2]，成立∴[0，4]⊆[3a﹣a2，a2+3a]则，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【点评】本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题．11．设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【考点】数列递推式．【专题】压轴题；创新题型．【分析】由题设条件得=，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得=且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．12．有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是（1）（4）．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由同角三角函数的关系知（1）是假命题；由三解函数的关系知（4）不成立．【解答】解：sin2+cos2=1，故（1）是假命题；当x=y=0时，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，故（2）成立；∀x∈[0，π]，=sinx，（3）成立；sinx=cosy⇒x+y=不成立，故（4）不成立．故答案：（1）、（4）．【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为（，）．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】由条件可得＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cosA＜，由正弦定理可得b=2cosA，从而得到b 的取值范围．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得，∴b=2cosA，∴＜b＜，故答案为：（，）．【点评】本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得＜A＜，是解题的关键．14．已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k=16时，f（a k）=0．【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=sinx+tanx，可得f（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数．因此函数f（x）的图象关于原点对称，即可得出．【解答】解：函数f（x）=sinx+tanx，∴f（﹣x）=sin（﹣x）+tan（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数．∴函数f（x）的图象关于原点对称，∵项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．，∴中间数f（a k）=0，k=16，【点评】本题考查了函数的奇偶性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简计算求值．（2）利用倍角公式，降幂公式化简所求即可计算求值得解．【解答】解：（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos=﹣，∴=cosαcos+sinαsin=×（﹣）=；（2）sin2=+=+2sinαcosα=+2×（﹣）=．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．【考点】数列的应用；数列递推式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，得，由此可解得a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m 的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，∴S22=S m S1，即，解得m=12．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．17．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n+（n≥2）．﹣1于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．19．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得a n=2n﹣1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+﹣1（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p﹣1=0，即时，得，解得．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．。
【精准解析】江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
1. 直线 x 3y 5 0 的倾斜角为（ ）
A. 30
B. 150
【答案】B
【解析】
【分析】
C. 120
D. 60
设直线的倾斜角为 ，则 tan 3 ，解方程即可. 3
A. 30°
B. 60
C. 120
D. 150
【答案】C ABC 的三边分别为 a 3m, b 5m, c 7m ，利用余弦定理求得 cos C 的值，
即可求解.
【详解】在 ABC 中，因为 sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ， 由正弦定理，可得设 ABC 的三边分别为 a 3m, b 5m, c 7m ，（其中 m 0 ），
A. 相离 【答案】C 【解析】
B. 相切
C. 相交
D. 不确定
【详解】由题知 a2 b2 r 2 ，
圆心到直线的距离 d r2 r a2 b2
，故选 C ．
6. 已知圆锥的表面积为 9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
（
）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 c a, c b ，所以角 C 为三角形的最大角，
又由余弦定理可得 cos C a2 b2 c2 (3m)2 (5m)2 (7m)2 1 ，
2ab
2 3m 5m
2
-1-
又因为 C (0, ) ，所以 C 120 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角
2018-2019扬州市邗江区度第二学期高一数学期中试题答案
2018-2019学年度第二学期高一数学期中测试卷数学试题参考答案2019.04一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1．C 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10． D 二、填空题（本题各小题5分，共6小题，满分30分） 11．等腰 12． ①②④ 13．8 14． 060 15．(]2,4 16．三、解答题（本题共6小题，总分70分）17、（1）直线l 的方程250kx y k -++=即为5(2)y k x -=+，所以直线l 过定点(2,5)P - ，2分又直线l 的斜率为34-， 故直线l 的方程为35(2)4y x -=-+，4分即为34140x y +-=.5分（此处直线方程形式为一般式或斜截式均可，其余形式扣1分）（2）因为直线m 平行于直线l ，直线l 的斜率为34-， 设直线3:4m y x b =-+即为3440x y b +-=，7分故点P 到直线m14435b -==所以14b =-或294b =9分所以直线m 为：3144y x =--或32944y x =-+10分（此处直线方程形式为一般式或斜截式均可，其余形式扣1分）18、证明：（1）直三棱柱111ABC A B C -，∴1111//,BC B C BC B C =又点,D E 分别是边11,BC B C 的中点，∴11//,BD EC BD EC =∴四边形1BDC E 是平行四边形， ∴1//BE DC3分又BE ⊄平面1AC D ，1DC ⊂平面1AC D ∴//BE 平面1AC D6分（2）三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱∴1BB ⊥平面ABCAD ⊂平面ABC∴1BB ⊥AD8分又在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 中点∴AD BC ⊥又AD 1BB ⊥ 1BCBB B =BC ⊂平面11BCC B1BB ⊂平面11BCC B ∴AD ⊥ 平面11BCC B 10分又AD ⊂平面1ADC∴平面1ADC ⊥ 平面11BCC B12分（两问中若不交代三棱柱，则均为0分，定理使用时，条件准确，不多不少，否则该得分点不给分） 19、（1）(2,4),(0,2),(2,3)A B C --AB ∴的中点(1,1)M又AB 的中线CM 过点,C M∴中线CM 的斜率为312213k -==---2分直线CM 的方程2350x y +-=5分（2）(2,4),(0,2),(2,3)A B C --AB AC BC ∴======∴在△ABC 中由余弦定理222cos 2AB AC BC A AB AC+-=得cos 1017170A ==8分又22sin cos 1,(0,)A A A π+=∈∴sin A =10分∴△ABC 的面积为11s i n 1122ABC S AB AC A ∆=⨯⨯⨯=⨯=12分20、（1）在ABC ∆中，3c C π==∴在ABC ∆中由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab +-=2分又2sin 3sin A B =，由正弦定理sin sin a bA B=得23a b =4分由22723a b ab a b⎧+-=⎨=⎩解方程组得3,2a b ==6分（2）22cos cos 110B B B =+=∴sin B==又B为三角形内角，即0Bπ<<∴sin10B=8分∴3sin22sin cos210105B B B==⨯=294cos22cos121105B B=-=⨯-=10分sin2sin2()A B Cπ=--4sin(2)3sin(2)31sin2221342525BBB Bππ=-=-==⨯-310-=12分（此题其它解法亦可）21、如解图所示，连接BD（1）226DE BC CD===，0120BCD CDE∠=∠=∴在BCD∆中，03,120BC CD BCD==∠=由余弦定理得2222cosBD BC CD BC CD BCD=+-∠得222133233()272BD=+-⨯⨯⨯-=BD∴=2分又在BCD∆中，03,120BC CD BCD==∠=30BDC CBD∴∠=∠=又0120CDE ∠=00012030=90BDE CDE CDB ∴∠=∠-∠=-在BDE ∆中，090BDE ∠=，6,DE BD ==BE ∴=4分∴小道BE的长度为.5分（2）设2,03ABE παα∠=<<, 在ABE ∆中，0603BAE π∠==0002180601203AEB πααα∴∠=--=-=- ∴在ABE ∆中由正弦定理可得2sin sin()sin332AB AE BE ππαα====-221sin(),3AB AE παα∴=-=7分1sin 231221sin()sin 23ABE S AB AE ππαα∆∴=⨯=⨯-2sin()sin 31cos sin )22πααααα-=+EA21sin cos sin)221cos22)4ααααα=+-=+12cos2)2αα=-)6πα=-+9分23402372666παπαπππα<<∴<<∴-<-<∴当262ππα-=即3πα=时ABES∆11分答：球类活动场所ABE∆的面积最大值为平方千米.12分 22、（1）解：取AB的中点E，连结DE，SE在四边形ABCD中，//AB CD，2,1AB CD==，E是AB的中点∴//,1BE CD BE CD==∴四边形BCDE是平行四边形BC CD⊥∴四边形BCDE为矩形AC∴DE AB ⊥2DE CB ∴==，AD =又侧面SAB 为等边三角形， 2AB =，E 为AB 的中点∴2SA SB AB ===，SE AB ⊥∴SE =又1SD =∴222SA SD AD +=， 222SE SD ED +=， ∴SD SA ⊥， SD SE ⊥，4分又SA SAB ⊂面， SE SAB ⊂面， SA SE S ⋂=，∴SD SAB ⊥平面。
2018-2019学年江苏省扬州市邗江区高一下学期期中数学试题(解析版)
解：设直线l 的倾斜角为，．θ0180θ<<，tan 3θ=-．120 =故选：C ．【点睛】本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．已知分别为内角的对边，若，，，则 ,,a b c ABC ,,A B C 3a =4b =60C =(c =)5B ．11C ．D ．1337【答案】C【解析】由，，,直接利用余弦定理可求的值．3a =4b =60C =c 【详解】【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积．3R =【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，该球面的半径，2332R ==该球面的表面积为．2412S R ππ==故选：A ．【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．．已知直线：，：，：，若且，则的值为 ．．由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．由题意，直线：，：，：，因为且，所以，且，解得，，所以．本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值【解析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据1111ABCD A B C D -130AC B ∠=2AB =，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.123BC =122CC =【详解】在长方体中，连接，1111ABCD A B C D -1BC【详解】，1cos 2a C C=+sin sin cos sin B A C C =+)sin cos cos sin A C A C A C+=+，1sin cos sin 2A C C+，1sin sin 2A C C=，故选A.1,602A A ==︒【点睛】题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，考查了转化思想的应用，属于中档题.．已知直线、，平面、，给出下列命题： m n αβ，，且，则m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥，，且，则//m α//n β//m n //αβ，，且，则m α⊥//n βm n ⊥αβ⊥，，且，则m α⊥//n β//m n αβ⊥其中正确的命题是（ ）②③B ．①③C ．①④D ．③④【答案】C把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．．锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则的取值范围是（ asinAb B ．C ．D ．33,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭33,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭31,62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三2B A =12a b cosA =sin 12a A tanA b =ABC ∆角形可得，于是可得所求范围．64A ππ<<【详解】．31122tanA <<的值范围是．sin A b 31,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，易错点是A 的取值范围，属于中档题．．已知，，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标(3,1)A -(5,2)B -P 0x y +=||||PA PB +P）B ．C ．D ．(1,1)-(1,1)-1313(,)55-(2,2)-【答案】C【解析】分析：设关于直线的对称点为，则为与直线的交点时，A :0l x y +=C P BC l的方程为，BC 41，4130y --=联立可得直线与直线的交点坐标为，0y +=BC l 1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图可知PA PB PC PB+=+点坐标为时，1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭最小，故选C.PB+点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.异面直线PM 与BD 所成的角为．45 【答案】①③④【解析】由截面是正方形出发，利用线面平行的判定和性质，可以推出PQMN ////PQ AC MN ,从而得到平面,异面直线与所成的角和与所成角相////BD MQ //AC PQMN PM BD PM PN ，，不一定是中点从而不一定相等。
2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．M={1,2,m 2-3m-1},N={-1,3},M∩N={3},则m 的值为( ) A ．4 B ．-1C ．4或-1D ．-4或1【答案】C【解析】由{}3M N ⋂=，可得3M ∈，则2313m m --=，即可求解答案. 【详解】由题意知,3M ∈，∴2313m m --=,解得1m =-或4m =.经检验1m =-或4m =均满足{}3M N ⋂=,所以m 的值为4或1-，故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念和集合与运算的关系的应用，其中熟记集合交集的概念和集合中运算的基本特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．下面各组函数中是同一函数的是（ ）A ．()()2f xg x ==B ．()()2111x f x g x x x -==+-，C ．()()f x x g x ==，D ．()()f xg x ==【答案】C【解析】先判断每组函数的定义域是否相同，然后再判断每组函数的对应关系是否相同，由此判断是否为同一函数. 【详解】A ．()f x =R ，()2g x =的定义域为[)0,+∞，故不是同一函数；B ．()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；C ．()()f x x g x ==，R ，且()g x x ==，故是同一函数；D ．()f x =[)1,+∞，()g x(][),11,-∞-+∞U ，故不是同一函数.故选：C. 【点睛】本题考查同一函数的判断，难度一般.判断两个函数是否为同一函数，先要从定义域的角度判断，若定义域不同，则一定不是同一函数，若定义域相同，则需要再判断对应关系是否相同，若对应关系不同，则不是同一函数，若对应关系相同，则为同一函数. 3．α是一个任意角，则α的终边与3απ+的终边一定( ) A ．关于坐标原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称【答案】A【解析】将2απ+终边逆时针旋转π，可得3απ+，然后根据终边相同的角，可得结果. 【详解】因为α终边与2απ+的终边相同， 将2απ+终边逆时针旋转π得3απ+，2απ+终边与3απ+终边关于坐标原点对称则α的终边与3απ+的终边关于坐标原定对称 故选：A 【点睛】本题考查两角终边的位置关系，属基础题4．若函数243y x x =-+-的定义域为[]0,t ，值域为[]3,1-，则t 的取值范围是( )A ．(]0,4 B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．[]2,4【答案】D【解析】利用数形结合，结合值域，可得结果. 【详解】 如图令()243y f x x x ==-+-则()()()03,43,21f f f =-=-= 又定义域为[]0,t ，值域为[]3,1- 所以[]2,4t ∈ 故选：D 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，属基础题. 5．设0.64a =，0.348b =，0.912c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】将,,a b c 均化简为以2为底的指数幂，然后根据2xy =的单调性，可得结果.【详解】由0.6 1.242a ==，0.34 1.0282b ==，0.90.9122c -⎛⎫== ⎪⎝⎭由2xy =为R 上的单调递增函数 所以a b c >> 故选：A 【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，属基础题.6．要得到函数y ＝23－x 的图象，只需将函数1()2xy =的图象( )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位【答案】A 【解析】33112,22x x xy y --⎛⎫⎛⎫==∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 的图象向右平移3个单位得到312x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭即是32xy -=的图象，故选A.二、填空题 7．4sin3π=______. 【答案】3-【解析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果. 【详解】43sinsin sin 333ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭故答案为：3- 【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题. 8．计算：2lg5lg 4+=______. 【答案】2【解析】根据对数的运算性质，可得结果. 【详解】222lg5lg 4lg5lg 4lg100lg102+=+===故答案为：2 【点睛】本题考查对数的运算性质，属基础题.9．已知函数2log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a ＝_____． 【答案】【解析】试题分析：当0a >时，21()log 2f a a ==，解得2a =0a ≤时，1()22a f a ==，解得1a =-. 【考点】分段函数的求法.10．已知函数()28xf x x =+-的零点为0x ，且()0,1x k k ∈+，则整数k =______.【答案】2【解析】计算()()2,3f f ，根据零点存在性定理，可得结果. 【详解】由()()220,330f f =-<=> 所以()()230f f ⋅<故函数()f x 在()2,3存在零点，所以2k = 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的零点存在性定理，属基础题. 11．已和幂函数()f x k x α=⋅的图象过点12⎛⎝⎭，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由幂函数的定义和解析式求出k 的值，把已知点代入求出α的值，可得答案． 【详解】解：∵()f x k x α=⋅是幂函数，∴1k =，所以幂函数()f x x α=的图象过点12⎛ ⎝⎭，∴122α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12α=，则13122k α+=+=， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题． 12．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x=，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x 在函数2logy x=的图像上，所以22logAx =，即22122A x ⎛== ⎝⎭. 因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y 在函数22x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以42124C y ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知11221a a --=，则22a a -+的值为______. 【答案】7【解析】根据11221a a -⋅=，两边平方可得1a a -+，然后计算()21a a -+，可得结果.【详解】由11221a a--=，则211221a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1112221a a a a --+-=，则13a a -+= 所以()21239a a -+==，则227a a -+=故答案为：7 【点睛】本题主要考查指数幂的运算，难点在于112222,a a a a --⋅⋅是个定值，属基础题.14．已知不等式22log (22)2ax x -+>在[]1,2x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是_______【答案】(4,)+∞【解析】将对数不等式化简得二次不等式,根据在[]1,2上恒成立即可求得a 的取值范围. 【详解】不等式22log (22)2ax x -+>化简得222log (22)log 4ax x -+>根据对数的单调性可得2224ax x -+>,即2220ax x -->，即有12a ＞（211x x +）max ， 由211x x +=（112x +）214-，x ∈[1，2]，即有1x ∈[12，1]， 可得x ＝1，即1x=1，取得最大值2．则12a ＞2，解得a ＞4． 故答案为：（4，+∞）． 【点睛】本题考查了对数不等式的解法,二次不等式在指定区间内的恒成立问题， 注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题． 15．已知函数()3123f x x x =+，对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立，则x 的取值范围是______. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据函数奇偶性以及单调性，可得2tx x -<-，然后构造新函数()2g t tx x =+-，最后根据一次函数的图像与性质可得结果.【详解】 由()3123f x x x =+，可知定义域为R 则()()f x f x -=-，可知函数()f x 为奇函数 又31,23y x y x ==均为单调递增的函数， 所以()f x 为单调递增的函数，由()()20f tx f x -+<，则()()2f tx f x -<- 即()()2f tx f x -<-，则2tx x -<-， 所以20tx x +-<. 据题意可知：对任意的[]3,3t ∈-，()()20f tx f x -+<恒成立 即任意的[]3,3t ∈-，20tx x +-<恒成立 令()2g t tx x =+-所以()()33201133202g x x x g x x ⎧-=-+-<⎪⇒-<<⎨=+-<⎪⎩ 所以11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，掌握等价转换的方法，同时当含多个未知量的时候，一般给出谁的范围，谁就是主元，属中档题.16．设函数()f x 满足()22221x f x ax a =-+-，且()f x 在21222,2a a a --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.【答案】332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a a a --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+可得3512a -≤≤或352a +≤≤ 所以3535,12,22a ⎡⎤⎡⎤-+∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：3535,12,⎡⎤⎡⎤-+⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题17．已知集合{}2514A x y x x ==--，集合(){}2|lg 712B x y x x ==---，集合{}|121C x m x m =+≤≤-.（1）求A B I ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(4,3)--；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合A ，根据值域求得集合B ，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系：A C ⊃ ，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.试题解析：（1）25140x x --≥Q ，27x x ∴≤-≥或即(][),27,A =-∞-⋃+∞27120x x ---> 43x ∴-<<-即 ()4,3B =--()4,3A B ∴⋂=--（2）C A ∴⊆当2112m m m -<+<时即时 C 为空集满足条件2m ∴<; 当211m m -≥+即2m ≥时21217m m -≤-+≥或,162m m ∴≤-≥或;又2m ≥ 6m ∴≥综上或．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18．（1）已知角α的终边经过点()()12,50P a a a <，求sin α，cos α，tan α的三角函数值. （2）求函数cos sin 2tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=-，5tan 12α=； （2）{}4,2,0-. 【解析】（1）根据三角函数的概念2222sin tan yxx y x y ααα===++，可得结果.（2）根据分类讨论的方法，讨论x 的终边在哪个象限，判断sin ,cos ,tan x x x 的符号，可得结果. 【详解】（1）由0a <，则()()2212513OP a a a =+=-5sin 13α=-，12cos 13α=-，5tan 12α=；（2）当x 为第一象限角时sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>所以1124y =++=当x 为第二象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<所以()1122y =+--=-，当x 为第三象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>所以()1120y =-+-+=，当x 为第四象限角时，sin 0,cos 0,tan 0x x x <><所以1122y =-+-=-，函数的值域是{}4,2,0-.【点睛】本题考查三角函数的概念，属基础题.19．函数()f x 是实数集R 上的奇函数, 当0x >时， 2()log 3f x x x =+-. （1）求(1)f -的值；（2）求函数()f x 的表达式；（3）求证：方程()0f x =在区间(0，＋∞)上有唯一解．【答案】（1）2（2）f (x )＝()22log 3?,?0,{0,0,log 3,0x x x x x x x --++<=++>（3）见解析【解析】试题分析：（1）由题函数()f x 是实数集R 上的奇函数．所以()(1)1f f －＝－ ．则(1)f －易求（2）由题函数()f x 是R 当上的奇函数()00f ∴＝ ；又当0x ＜ 时，0x －＞ ，所以22()()()3()3f x log x x log x x －＝－＋－－＝－－－．所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．所以()f x ＝ ()22log 3,0,0,0,log 3,0x x x x x x x -⎧-++<⎪=⎨⎪++>⎩（3）因为()222230f log ＝＋－＝ ，所以方程()0f x ＝ 在区间(0)∞，＋ 上有解2x ＝．又方程()0f x ＝ 可化为23log x x ＝－．设函数()()23g x log x h x x ＝，＝－． 以下证明方程()()g x h x ＝ 在区间(0)∞，＋上只有一个解即可．试题解析（1）函数f (x )是实数集R 上的奇函数．所以f (－1)＝－f (1)．因为当x ＞0时，f (x )＝log 2x ＋x －3，所以f (1)＝log 21＋1－3＝－2．所以f (－1)＝－f (1)＝2．（2）当x ＝0时，f (0)＝f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＋(－x )－3＝log 2(－x )－x －3．所以－f (x )＝log 2(－x )－x －3，从而f (x )＝－log 2(－x )＋x ＋3．所以f (x )＝()22log 3,0,0,0,log 3,0x x x x x x x -⎧-++<⎪=⎨⎪++>⎩（3）因为f (2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2．又方程f (x )＝0可化为log 2x ＝3－x ．设函数g (x )＝log 2x ，h (x )＝3－x ．由于g (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数h (x )在区间(0，＋∞)上是单调减函数，所以，方程g (x )＝h (x ) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．所以，方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．20．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点.EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆.（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN∆的面积S（平方米）表示成关于x 的函数；（2）求EMN∆的面积S（平方米）的最大值.【答案】（1）()() 2,01331,113x xSx x x⎧<≤⎪=⎛⎫⎨-++<<+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩；（2）132+平方米. 【解析】（1）采用分类讨论的方法，当01x<≤时，利用面积公式即可；当113x<<+时，连接EG交CD于点F，交MN于点H，计算GF，GH利用相似，可得MN，可得结果.（2）根据（1）的结论，研究函数的单调性，可得结果.【详解】（1）①当MN在矩形区域滑动，即01x<≤时，所以EMN∆的面积122S x x=⨯⨯=；②当MN在三角形区域滑动，即113x<<+时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，∴F为CD中点，GF CD⊥，且3FG=又∵MN//CD，∴MNG DCG∆∆:.∴MN GH DC GF =，即21x MN ⎤-=. 故EMN ∆的面积2112x S x ⎤-=即21S x x ⎛=+ ⎝⎭； 综合可得：()(2,011,11x x S x x x ⎧<≤⎪=⎛⎨+<<+ ⎪ ⎝⎭⎩. （2）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤；②当MN 在三角形区域滑动时，2133S x x ⎛=-++ ⎝⎭，当12x =（米）时， S得到最大值，最大值123+（平方米）.∵112+>， ∴S有最大值，最大值为12+. 【点睛】 本题考查实际问题中的数学建模以及函数值域的求法，属中档题.21．已知函数()2f x x bx c =++. （1）若()()g x xf x =是奇函数，求b 的值；（2）若2b a =-，58a c -=，且()20f x >对任意的实数x 都成立，求a 的取值范围； （3）对于任意的[]12,1,1x x ∈-，总有()()124f x f x -≤，求b 的取值范围. 【答案】（1）0；（2）1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）[]22-,.【解析】（1）根据奇函数的判断方法，可得结果（2）利用换元法，结合构造函数可得()()28825,0h t t a t a t =+-+-≥，然后根据讨论对称轴与[)0,+∞的位置，可得结果.（3）根据题意等价转换为()()max min 4f x f x -≤，结合分类讨论的方法，讨论2b x =-与区间[]1,1-的位置关系，判断函数的单调性并求出最值，可得结果.【详解】（1）()()0g x g x -+=，220bx =由对任意x 恒成立，所以0b =.（2）依题意： ()()2425208a f x x a x -=+-+>， 令20x t =≥， 则()()288250h t t a t a =+-+->， 当对称轴202a --≤时， ()050h a =->，[)2,5a ∈， 当对称轴202a -->时， ∆<0，1,32a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 综上：1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.（3）法1：取11x =，21x =-，可得()()114f f --≤，24b ≤，所以[]2,2b ∈-，[]1,12b -∈-. 函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值2b f ⎛⎫- ⎪⎝⎭最大值为在()1f 或()1f -，所以()()142142b f f b f f ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪---≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：[]2,2b ∈-.法2：分四种情况进行讨论， 当12b -≤-时，即2b ≥时， ()f x 在[]1,1-上单调增，()()1124f f b --=≤，2b ≤，2b =， 当12b -≥时，即2b ≤-时， ()f x 在[]1,1-上单调减，()()1124f f b --=-≤，2b ≥-，2b =-， 当()1,02b -∈-，即()0,2b ∈时 ()()max 1f x f =，()min 2b f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()211422b b f f ⎛⎫⎛⎫--=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得[]6,2b ∈-，∴()0,2b ∈. 当()0,12b -∈，即()2,0b ∈-时 ()()max 1f x f =-，()min 2b f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()211422b b f f ⎛⎫⎛⎫---=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得[]2,6b ∈-，∴()2,0b ∈-.综上，[]2,2b ∈-.【点睛】本题主要考查二次函数动轴定区间的问题，难点在于分类讨论对称轴与定区间的位置关系，属难题.22．已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若,a b ∈R 且0a ≠，证明：函数()2f x ax bx a =+-必有局部对称点；（2）若函数()2xf x c =+在定义域[]1,2-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数()124231x x m m f x +-⋅+-=在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1718c --≤≤；（3）1m ≤【解析】（1）根据新定义的“局部对称点”的概念，计算()()0f x f x -+=，可得结果. （2）根据“局部对称点”的概念，利用分离参数的方法，可得222x x c --=+，然后构造新函数，研究新函数的值域与c 的关系，可得结果.（3）根据“局部对称点”的概念，以及换元法，可得222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解然后构造函数()22228f t t mt m =-+-，利用函数性质，可得结果. 【详解】（1）由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--，代入()()0f x f x -+=得，()()220ax bx a ax bx a +-+--=，得到关于x 的方程()200ax a a -=≠，1x =±， 则函数()f x 必有局部对称点.（2）方程2220x x c -++=在区间[]1,2-上有解则222x x c --=+，设()212x t x =-≤≤，12t ≤≤4，12c t t -=+，其中11724t t +≤≤， 所以1718c --≤≤.（3）()12423x x f x m m --+-=-⋅+-，由于()()0f x f x -+=，所以()1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-， 则()()()()244222230*x x x x m m --+-++-= 所以可知方程()*在R 上有解，令()222x x t t -+=≥，则2442x x t -+=-，解法1：当()12423x x f x m m +=-+-时，由()()0f x f x +-=，可得()244222260x x x x m m --+-++-=.[)222,x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-， 从而222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”.令()22228F t t mt m =-+-， 1︒ 当()20F ≤，222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解，由()20F ≤，即22440m m --≤，解得11m ≤；2︒ 当()20F >时，222280t mt m -+-=在[)2,+∞有解等价于()()2244280220m m m F ⎧∆=--≥⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，解得1m +≤综上，所求实数m的取值范围为1m ≤解法2：方程()*变为222280t mt m -+-= 在区间[)2,+∞需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥，即1m m ⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩化简得1m ≤【点睛】本题考查新定义的理解以及二次函数的综合应用，属难题.。
江苏扬州中学18-19高一5月抽考-数学
江苏扬州中学18-19高一5月抽考-数学江苏省扬州中学2018—2018学年度下学期期中考试高一数学试题【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________、2. 函数y ＝sin 2x ＋2cos x (π3≤x ≤4π3)的最小值为_______、3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，那么k ＝________、4. 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝_______时，l 1∥l 2、5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，那么cos B ＝__________、6. 假设函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，那么ω＝________、7. 过点A (1,4)且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有______条、 8. 以x ,y 为自变量的目标函数z ＝kx ＋y (k ＞0)的可行域如图阴9. 影部分〔含边界〕，且A (1,2)，B (0,1)，C (12,0)，D (32,0)，E10. 假设使z 取最大值时的最优解有无穷多个，那么k ＝________、11. 设等比数列{a n }的公比为q ，数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S n ＋那么q ＝_________、12. 假设三直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0相互的交点数不超过2，那么所有满足条件的a 组成的集合为______________、13. 设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，那么函数f (n )＝S n(n ＋32)S n ＋1的最大值为________、 14. 直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A (4,43)，假设可行域⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0x ≤my ＋n y ≥0的外接圆直径为1633，那么实数n 的值是__________、15. 过点(1,3)作直线l ，假设l 通过点(a ,0)和(0,b )，且a ，b ∈N *，那么可作出的l 的个数为___________条、16. 假设a ,b ,c ∈R ，且满足⎩⎨⎧a 2－bc －2a ＋10＝0b 2＋bc ＋c 2－12a －15＝0，那么实数a 的取值范围是________、【二】解答题〔共6小题，总分值90分〕17. 【此题总分值14分】函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R 、〔1〕求f (x )的最小正周期和最小值；〔2〕cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，(0＜α＜β≤π2)，求f (β)的值、18. 【此题总分值14分】如图，要测量河对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75º，∠BCD ＝45º，∠ADC ＝30º，∠ADB ＝45º，求AB 之间的距离、过点P(2,1)的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B、〔1〕求u＝|OA|＋|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；〔2〕求v＝|PA|·|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程、20.【此题总分值15分】某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克、但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克、问如何安排生产能够取得最大产值，并求出最大产值、二次函数f (x )满足f (－1)＝0，且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 恒成立、〔1〕求f (1)；〔2〕求f (x )的解析表达式；〔3〕证明：1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＞2、22. 【此题总分值16分】有n 个首项基本上1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a (m ,k )〔其中m ,k ＝1,2,3,···,n ，n ≥3〕，公差为d m ，同时a (1,n ),a (2,n ),a (3,n ),···,a (n ,n )成等差数列、〔1〕证明：d m ＝p 1d 1＋p 2d 2〔3≤m ≤n ，p 1,p 2是m 的多项式〕，并求p 1＋p 2的值；〔2〕当d 1＝1,d 2＝3时，将数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2,d 3,d 4)，(d 5,d 6,d 7,d 8,d 9)，…〔每组数的个数构成等差数列〕、设前m 组中所有数之和为(c m )4〔c m ＞0〕，求数列{2c m ·d m }的前n 项和S n ；〔3〕关于〔2〕中的d n 、S n ，设N 是不超过20的正整数，当n ＞N 时，求使得不等式150(S n －6)＞d n 成立的所有N 的值、参考答案1、(9,－4)2、－23、84、－15、346、327、28、19、－2 10、{13,3,－6} 11、150 12、8 13、214、[1,5]15.目标求a 的取值范围，故要消去变量b ,C 、由条件：⎩⎨⎧bc ＝a 2－2a ＋10b 2＋bc ＋c 2＝12a ＋15∴⎩⎨⎧bc ＝a 2－2a ＋10b 2＋c 2＝－a 2＋14a ＋5∵b 2＋c 2＝－a 2＋14a ＋5≥0∴a 2－14a －5≥0∵b 2＋c 2≥2bc ∴－a 2＋14a ＋5≥2(a 2－2a ＋10)∴a 2－6a ＋5≤0∴⎩⎨⎧a 2－14a －5≥0a 2－6a ＋5≤0∴1≤a ≤5、16.解：〔1〕f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)＝sin(x －π4)－cos(x ＋π4)＝2sin(x －π4)∴T ＝2π，f (x )min ＝－2〔2〕cos(β－α)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝45，cos(β＋α)＝cos α·cos β－sinα·sin β＝－45∴cos α·cos β＝0∵0＜α＜β≤π2∴cos β＝0∴β＝π2∴f (β)＝2sin(π2－π4)＝2、17.解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°∴AC ＝CD ＝3km在△BCD 中，∠BCD ＝45°∠BDC ＝75°∠BCCD ＝60°∴BC ＝3sin75ºsin60º＝6＋22，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＋32＋(6＋22)2－23×6＋22cos75°＝3＋2＋3－3＝5∴AB ＝5km 18.答：A 、B 之间距离为5km 、 19.解：〔1〕设点A (a ,0)，B (0,b )，直线l ：x a ＋yb ＝1(a ,b ＞0)∵P (2,1)在直线l 上∴2a ＋1b ＝1∴b ＝aa －2，∵a ,b ＞0∴a ＞2u ＝|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝a ＋a a －2＝a －2＋2a －2＋3≥2(a －2)·2a －2＋3＝22＋3当且仅当a －2＝2a －2(a ＞2)，即a ＝2＋2时等号成立、如今，b ＝1＋ 2∴u min ＝22＋3，如今，l ：x 2＋2＋y1＋2＝1，即：x ＋2y －2－2＝0法二：u ＝|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2当且仅当2b a ＝a b 且2a ＋1b ＝1，即a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立、(下略)、〔2〕法一：由〔1〕知：v ＝|PA |·|PB |＝(a －2)2＋1·(b －1)2＋4∵b －1＝aa －2－1＝2a －2 ∴v 2＝[(a －2)2＋1]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －22＋4＝4(a －2)2＋4(a －2)2＋8≥24(a －2)2·4(a －2)2＋8＝16、当且仅当(a －2)2＝1(a －2)2(a ＞2)，即a ＝3时等号成立，如今，b ＝3、 ∴u min ＝4，如今，l ：x 3＋y 3＝1，即：x ＋y ＝3、法二：设l 的倾斜角为θ(π2＜θ＜π)，那么|PA |＝1sin(π－θ)＝1sin θ，|PB |＝2cos(π－θ)＝－2cos θ∴v ＝|PA |·|PB |＝1sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos θ＝－4sin2θ≥4，当且仅当sin2θ＝－1(π2＜θ＜π)，即θ＝3π4 时等号成立，如今，k l ＝－1，∴l ：y ＝3－x 、20.解：设生产甲产品x 千克，乙产品y 千克，产值为z 元，目标函数为：z ＝600x ＋400y 、那么⎩⎪⎨⎪⎧4x +2y ≤1002x +3y ≤120x ≥0，y ≥0、作出可行域如图〔略〕，由⎩⎨⎧4x +2y ＝1002x +3y ＝120得M (7.5，35)、 平移直线3x ＋2y ＝0，使它过M 点，如今z 取得最大值z ＝600x ＋400y ＝18500，故安排生产甲产品7.5千克，乙产品35千克，可取得最大产值18500元、21.解：〔1〕取x ＝1，由1≤f (1)≤12(1＋1)，因此f (1)＝1〔2〕设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因f (－1)＝0，f (1)＝1，∴a ＋c ＝b ＝12，∵f (x )≥x ，对x∈R 恒成立，∴ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴a ＞0△≤0⇒a ＞0，ac ≥116∵a ＞0，ac ≥116＞0，∴c ＞0、∵a ＋c ≥2ac ≥2116＝12当且仅当a ＝c ＝14时，等式成立∴f (x )＝＝14(x ＋1)2〔3〕证明：∵1f (n )＝4(n ＋1)2＞4(n ＋1) (n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2) ∴1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＞4(12－1n ＋2)＞2、 22.解：〔1〕由题意知a (m ,n )＝1＋(n －1)d m 、 ∴a (2,n )－a (1,n )＝[1＋(n －1)d 2]－[1＋(n －1)d 1]＝(n －1)(d 2－d 1)， 同理，a (3,n )－a (2,n )＝(n －1)(d 3－d 2)，a (4,n )－a (3,n )＝(n －1)(d 4－d 3)，…，a (n ,n )－a (n －1,n )＝(n －1)(d n －d n －1)、又∵a (1,n ),a (2,n ),a (3,n ),···,a (n ,n )成等差数列，∴a (2,n )－a (1,n )＝a (3,n )－a (2,n )＝···＝a (n ,n )－a (n －1,n )故d 2－d 1＝d 3－d 2＝···＝d n －d n －1，即{d n }是公差为d 2－d 1的等差数列.∴d m ＝d 1＋(m －1)(d 2－d 1)＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2令p 1＝2－m ，p 2＝m －1，那么d m ＝p 1d 1＋p 2d 2〔3≤m ≤n ，p 1,p 2是m 的多项式〕如今p 1＋p 2＝1. ························4' 〔2〕当d 1＝1,d 2＝3时，d m ＝2m －1数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2,d 3,d 4)，(d 5,d 6,d 7,d 8,d 9)，…按分组规律，第m 组中有2m －1个奇数，∴第1组到第m 组共有1＋3＋5＋···＋(2m －1)＝m 2个奇数.∵前k 个奇数的和为1＋3＋5＋···＋(2k －1)＝k 2，∴前m 2个奇数的和为m 4.∴(c m )4＝m 4，∵c m ＞0∴c m ＝m ，∴2c m ·d m ＝(2m －1)·2m························6'∴S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋···＋(2n －3)·2n −1＋(2n －1)·2n 、2S n ＝ 1·22＋3·23＋···＋(2n －5)·2n −1＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n +1、相减得：－S n ＝2＋2·22＋2·23＋···＋2·2n −1＋2·2n －(2n －1)·2n +1、＝2×(2＋22＋23＋···＋2n )－2－(2n －1)·2n +1、＝2×2(2n －1)－2－(2n －1)·2n +1＝(3－2n )·2n +1－6∴S n ＝(2n －3)·2n +1＋6； ························10' 〔3〕由〔2〕得d n ＝2n －1,S n ＝(2n －3)·2n +1＋6. 故不等式150(S n －6)＞d n 等价于(2n －3)·2n +1＞50(2n －1).即f (n )＝(2n －3)·2n +1－50(2n －1)＝(2n －3)·(2n +1－50)－100.当n ＝1,2,3,4,5时，都有f (n )＜0，即(2n －3)·2n +1＜50(2n －1)而f (6)＝9×(27－50)－100＝9×(128－50)－100＝602＞0∵当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)＞0.∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即150(S n－6)＞d n成立.∴满足条件的所有正整数N＝5,6,7,...,20、 (16)。