导数公式的证明(最全版)
导数公式的证明(最全版)之欧阳美创编
导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)（15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。
导数公式的证明最全版
导数的定义：f'(x)=lim △ y/ △ x△ X T0 (下面就不再标明△ X T0 了)用定义求导数公式(1)f(x)=x A n证法一： (n 为自然数)f'(x)=lim [(x+A x)An-xAn]/ △x=lim (x+A x-x)[(x+A X)A( n-1)+x*(x+A X)A( n-2)+…+xA(n-2)*(x+ △x)+xA(n-1)]/ △x=lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+…+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)] =xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n-1)=nxA(n-1)证法二：( n 为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*xAnf'(x)=nxA(n-1)(2)f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+A x)-sinx)/ △x=lim (sin xcos^ x+cosxsin^ x-sin x)/ △x=lim (sin x+cosxsin A x-sin x)/ △x=lim cosxs 也x/ △ x=cosx(3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+A x)-cosx)/ △x=lim (cosxcosA x-sinxsin A x-cosx)/^ x-cos)/ △x=lim (cosxs inxsin A x =lim -si nxsin A x/ △x=-s inx f(x)=a A x ) (4 证法一：f'(x)-a A x)/ △x=lim (aA(x+A x) 1)/ △x=lim aAx*(aA △x-92 /(设aA^x-1= 口，贝卩4 x=logaA(m+1))=lim aAx*m/logaA(m+1)=lim a A x*m/[l n(m+1)/l na]=lim aAx*l na*m/ln( m+1)=lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim aAx*lna/ln[(m+1)A(1/m)]=lim aAx*lna/lne=aAx*lna证法二：f(x)=aAxlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=aAxlna若a=e,原函数f(x)=eAx则f'(x)=eAx*lne=eAx(5)f(x)=logaAxf'(x)3 / 9=lim (logaA(x+A x)-logaAx)/ △x=lim loga A[(x+A x)/x]/ △x=lim logaA(1 + △ x/x)/ △ x=lim In(〔+△ x/x)/(lna* △ x)=lim x*ln(1+ △ x/x)/(x*Ina* △ x)=lim (x/ △ x)* In (1+ △ x/x)/(x*l na)=lim ln[ (1 + △ x/x)A(x/ △ x)]/(x* In a)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=logeAx=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf'(x)=lim (ta n(x+A x)-ta nx)/ △x=lim (sin(x+A x)/cos(x+A x)-sinx/cosx)/A x=lim (sin(x+A x)cosxsinxcos(x+A x)/( △xcosxcos(x+X x))=lim(sinxcos A xcosx+sin A xcosxcosxsinxcosxcosX x+sinxsinxsin A x)/( △xcosxcos(x+X x))=lim si n A x/( △xcosxcos(x+X x))=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A27)f(x)=cotx f'(x)=lim (cot(x+ A x)-cotx)/ △x=lim (cos(x+A x)/si n(x+ A x)-cosx/si nx)/A x=lim (cos(x+A x)si nx~cosxs in (x+A x))/( A xsinxsin(x+A x))=lim(cosxcos A xsinx-sinxsinxsin A x-cosxsinxcos A x-cosxsin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin A x/(A xsinxsin(x+A x))=-1/(si nx)八2二-cscx/si nx二(secx)八2=1-(cotx)八2(8)f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+A x)-secx)/A x=lim (1/cos(x+A x)-1/cosx)/A x=lim (cosx-cos(x+A x)/(A xcosxcos A x)=lim (cosx-cosxcos A x+sinxsin A x)/(A xcosxcos(x+A x))=lim sinxsin A x/(A xcosxcos(x+A x))=si nx/(cosx)八2二ta nx*secx9)f(x)=cscxf'(x) =lim (csc(x+A x)-cscx)/A x5 / 9=lim (1/sin(x+A x)-1/sinx)/ △x=lim (si n*si n(x+A x))/( △xsinxsin(x+A x))=lim (sin*sinxcos^ x-sin A xcosx)/(A xsinxsin(x+A x))=lim -sin △ xcosx/(A xs in xsi n(x+A x))=-cosx/(si nx)八2二cotx*cscx(10) f(x)=x A xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*xAx( 12) h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+ △x)g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim [(f(x+ △x)-f(x)+f(x))*g(x+A x)+(g(x+A x)-g(x)-g(x+A x))*f(x)]/ △x =lim [(f(x+ △x)-f(x))*g(x+ △x)+(g(x+A x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+ △x)-f(x)*g(x+△x)]/ △x=lim (f(x+ A x)-f(x))*g(x+ △x)/ △x+(g(x+A x)-g(x))*f(x)/ △x=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(13)h(x)=f(x)/g(x)6 / 9h'(x)=lim (f(x+A x)/g(x+A x)-f(x)g(x))/A x=lim (f(x+A x)g(x)-f(x)g(x+A x))/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+A x)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+A x)-g(x)+g(x))*f(x)]/(A xg(x)g(x+A x))=lim [(f(x+A x)-f(x))*g(x)-(g(x+A x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+A x))=lim (f(x+A x)-f(x))*g(x)/( A xg(x)g(x+A x))-(g(x+A x)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+A x))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x(14)h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+A x))-f(g(x))]/A x=lim [f(g(x+A x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/A x (另g(x)=u，g(x+A x)-g(x)=A u) =lim (f(u+ A u)-f(u))/ △x=lim (f(u+ A u)-f(u))* A u/( A x* A u)=lim f(u)* A u/ A x=lim f'(u)*(g(x+A x)-g(x))/A x=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)(15)y=f(x)=arcsinx7 / 9siny二x 贝U(siny )'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy-(si ny )八2 =1/V 1(si ny=x)-x A2 =1/V 1-x A2 f(x)=1/ V1 即(16)y=f(x)=arcta nxtany=x贝(tany)'=1+(tany)A2=1+xA2所以(arcta nx)'=1/1+xA2f(x)= 1/1+xA2 即总结一下'二nxA(n-1) xAn) ('=cosx sin) ('=-sinx ) (cosx'=aAxlna ) (aAx'=eAx eAx) ('=1/(xlna))( logaAx8 / 9lnx) '=1/x(ta nx)'=(secx)八2=1+(ta nx)八2 (cotx)'=-(cscx)八2二1-(cotx)八2 (secx)'=tanx*secx (cscx)'=-cotx*cscx (x A x)'=(l nx+1)*x^x (arcs in x)'=1/V 1/2 (arctanx)'=1/1+xA2 [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)9 / 9。
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。
下面将给出导数的一些重要公式的证明。
1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。
常用高阶导数公式证明
常用高阶导数公式证明一阶导数假设函数y=y(y)在y处可导，则函数y=y(y)在y处的导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数如果函数y=y(y)在y处可导，那么它的二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$高阶导数函数y=y(y)的y阶导数定义如下：$$ f^{(n)}(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f^{(n-1)}(x + \\Delta x) - f^{(n-1)}(x)}}{\\Delta x} $$常用高阶导数公式证明二阶导数的公式一阶导数为：$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$二阶导数为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$将一阶导数y′(y)的定义代入二阶导数公式中，得到：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0}\\frac{{\\left(\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x}\\right)\\big|_{x+\\Delta x} - f'(x)}}{\\Delta x} $$根据导数的定义，上式可简化为：$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} -f'(x)}}{\\Delta x} $$由此可得到二阶导数的通用公式。
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程一、基本定义在微积分中，导数是用来描述函数其中一点上的变化率的数学工具。
给定一个函数y=f(x)，我们可以通过求取其导数来计算在不同点的变化率。
二、导数的定义式给定一个函数y=f(x)，在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim(h→0) ((f(x+h) - f(x))/h)三、常数导数对于一个常数c，导数恒为0。
因为对于任意的x和h，我们有：(f(x)+c)-f(x)=chh所以导数为：(f(x) + c) - f(x) = lim (h→0) = 0hh四、幂律导数对于幂函数y=x^n，其中n是一个常数，则导数可以通过幂律计算。
幂律定义如下：f(x) = x^n ， f'(x) = nx^(n-1)五、指数函数的导数对于指数函数y=a^x，其中a是一个常数，则导数也可以通过指数函数的特性进行计算。
指数函数的导数定义如下：f(x) = a^x ， f'(x) = ln(a) * a^x六、对数函数的导数对于对数函数y=log_a(x)，其中a是一个常数，则导数也可以通过对数函数的特性进行计算。
对数函数的导数定义如下：f(x) = log_a(x) ， f'(x) = 1 / (x * ln a)七、和差法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的和（差）的导数可以通过和差法则计算。
根据和差法则，我们有：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)八、积法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，则它们的乘积的导数可以通过积法则计算。
根据积法则，我们有：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)九、商法则给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，且g(x)不等于0，则它们的商的导数可以通过商法则计算。
导数求导公式运算法则证明
导数求导公式运算法则证明在微积分中，导数求导是一项重要的基本运算，通过导数可以得到函数在某一点的变化率。
在求导过程中，我们可以利用一些基本的运算法则来简化计算。
本文将对导数求导公式运算法则进行证明，展示其中的数学原理和推导过程。
1. 导数定义首先，我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(f)，在点f 处的导数定义为：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$这个定义描述了函数在点f处的变化率，也可以理解为函数在点f处的切线斜率。
2. 基本导数求导法则在实际计算导数时，我们可以利用一些基本的导数求导法则来简化计算。
常用的导数求导法则包括：2.1 常数法则如果f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。
这是因为常数函数的斜率始终为0。
证明过程：根据导数的定义，我们有：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{c - c}{h} = 0$$2.2 幂函数法则如果f(f)=f f，其中f为自然数，则f′(f)=ff f−1。
这是因为幂函数的导数可以利用差分求和公式来证明。
证明过程：根据导数的定义，我们有：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{(x + h)^n - x^n}{h}$$利用二项式定理展开(f+f)f，得到：$$(x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2 + \\ldots$$带入上式，得到：$$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} n(x^{n-1} + \\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h + \\ldots) = nx^{n-1}$$2.3 和、差、积、商的法则对于和、差、积、商等复合函数，我们可以利用它们的导数性质进行求导。
这些法则在很多实际应用中都是非常有用的。
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程1.基本定律:一个函数的导数定义为该函数的变化率，即沿着曲线上某一点的斜率。
2.链式法则：如果f(x)是另一个函数g（x）的函数，则f(x)是g(x)的函数。
3.线性和和积分法则：若f(x)和g(x)是两个可导函数，则：(1)当f(x)加g(x)时，其导数为f(x)+g(x);(2)当f(x)乘以g(x)时，其导数为f(x)g(x)+g(x)f(x); (3)f(x)是常数a乘以g(x)时，其导数为ag(x)；(4)若f(x)是常数a加以g(x)时，其导数为g(x)；(5)若f(x)是以g(x)的积分形式表达的，则其导数为g(x)。
二、16个基本公式的推导1.一次函数的推导：f(x)=ax+bf(x) = a2.二次函数的推导：f(x) = ax2 + bx + cf(x) = 2ax + b3.三次函数的推导：f(x) = ax3 + bx2 + cx + df(x) = 3ax2 + 2bx + c4.平方根函数的推导：f(x) =xf(x) = 1/2√x5.指数函数的推导：f(x) = a^xf(x) = a^x ln(a)6.对数函数的推导：f(x) = log_a xf(x) = 1/x ln(a)7.反正弦函数的推导：f(x) = arc sin xf(x) = 1/√(1-x^2)8.反余弦函数的推导：f(x) = arc cos xf(x) = -1/√(1-x^2)9.反正切函数的推导：f(x) = arc tan xf(x) = 1/(1+x^2)10.反双曲正弦函数的推导： f(x) = arc sinh xf(x) = 1/√(1+x^2)11.反双曲余弦函数的推导： f(x) = arc cosh xf(x) = 1/√(x^2-1)12.反双曲正切函数的推导：f(x) = arc tanh xf(x) = 1/(1-x^2)13.正弦函数的推导：f(x) = sin xf(x) = cos x14.余弦函数的推导：f(x) = cos xf(x) = -sin x15.正切函数的推导：f(x) = tan xf(x) = 1/cos2x16.双曲正弦函数的推导：f(x) = sinh xf(x) = cosh x三、结论以上推导过程表明，根据常用的16个基本函数，求解函数导数时，只需要熟悉四条基本定律和16个基本公式，即可准确求解函数的导数。
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。
那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx
Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）
用定义求导数公式
（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）
For personal use only in study and research; not for commercial use
f'(x)
=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ
x)+x^(n-1)]/Δx
For personal use only in study and research; not for commercial use
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)
For personal use only in study and research; not for commercial use
证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx
=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim cosxsinΔx/Δx
=cosx
（3）f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx
=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx
=lim -sinxsinΔx/Δx
=-sinx
（4）f(x)=a^x
证法一：
f'(x)
=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx
=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx
（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)
=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]
=lim a^x*lna*m/ln(m+1)
=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lim a^x*lna/lne
=a^x*lna
证法二：
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)/f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e，原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x
f'(x)
=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx
=lim loga^(1+Δx/x)/Δx
=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)
=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)
=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)
=lim lne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx
f'(x)
=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx
=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx
=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx
f'(x)
=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx
=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx
=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))。