导数公式的证明(最全版)
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化率的性质。
在这篇文章中，我们将给出一些导数的常用公式的证明。
1.一次函数的导数证明：我们考虑一条一次函数的图像，其方程为y = ax + b，其中a和b是常数。
假设我们有两个点(x, y)和(x + h, y + kh)在图像上，其中h是一个趋近于0的非零常数。
由直线的斜率公式知道，两点之间的斜率为k = (y + kh - y) / (x + h - x) = k。
函数的导数定义为函数曲线上任意一点切线的斜率，我们需要证明这个斜率与常数a相等。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) (kh / h) = a。
因此，一次函数y = ax + b的导数为dy / dx = a。
2.幂函数的导数证明：考虑一个幂函数y=x^n，其中n是常数。
我们仍然用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明这个导数。
根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) [(x + h)^n - x^n] / h。
我们可以使用二项式定理展开(x + h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并取消掉所有除以h的项：dy / dx = lim(h -> 0) [nx^(n-1)h + ... + h^n] / h = lim(h -> 0) [nx^(n-1) + ... + h^(n-1)] = nx^(n-1)。
因此，幂函数y = x^n的导数为dy / dx = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数证明：考虑一个指数函数y=a^x，其中a是常数。
我们仍然使用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明导数。
导数公式大全(最具说服力的)
数记为
y(4)，y(5)，·· (n) ·，y
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
d4 y dn y 或 ·， n , , ·· 4 dx dx
( x 2 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 1 . 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1)
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x - cos x (2) y x e x 3 2 (4) y 2x 3x sin x e (3) y 2 1- x
2 2 2 2
(2)把 x - 2当作中间变量， y ' cos( x - 2) ( x - 2) ' 1 cos( x - 2) 2 x cos( x - 2) 2 x
(3)把 cos x当作中间变量， 1 sin x y' (cos x) ' - tan x cos x cos x
例4.求下列函数的导数： 1 y (3x 1) ; ）
2 3
2) y sin( x - 2); 4) y e
tan x
3) y ln cos x; 5) y 2
-x
;
解： 函数可以分解为y u ( x), u ( x) 3x 1, (1)
3 2
y ' [u 3 ( x)]' 3u 2 ( x) u ( x) ' 3(3x 2 1) 2 (3x 2 1) ' 3(3x 1) 6 x 18 x(3x 1)
16个基本导数公式推导过程
16个基本导数公式推导过程推导过程如下：1.常数函数：f(x)=c求导结果：f'(x)=0。
证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。
所以，f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。
2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。
求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。
证明过程：利用定义求导。
计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。
利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：f(x)=e^x。
求导结果：f'(x)=e^x。
证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。
因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)。
求导结果：f'(x)=1/x。
证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。
利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。
5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。
求导结果：f'(x) = cos(x)。
证明过程：利用极限定义求导。
计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。
应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。
6. 余弦函数：f(x) = cos(x)。
求导结果：f'(x) = -sin(x)。
证明过程：同样应用极限定义。
计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x)，然后除以Δx并取极限。
导数公式的证明
导数公式的证明导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数随着自变量的变化率。
导数通常被用来求解函数的极值点，以及描述函数的斜率。
下面，将给出导数公式的证明，其中包括了常见的导数基本公式和导数的非常量倍率公式的推导。
首先，我们定义函数f(x)在x点的导数为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim(h→0)表示当h趋近于0时的极限。
证明导数公式时，我们将使用一些基本的极限性质和导数的定义。
我们来逐个证明常见的导数公式：1.常数导数公式：f(x)=c，其中c为常数根据导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h由于f(x)为常数，那么f(x+h)也为常数，所以上述式子变为：f'(x) = lim(h→0) [c - c] / h当分母h趋近0时，分子恒为0，因此整个式子的极限为0，即：f'(x)=02.幂函数导数公式：f(x)=x^n，其中n为自然数根据导数的定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将f(x)带入以上式子，得：f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^n - x^n] / h使用二项式定理展开(x+h)^n：f'(x) = lim(h→0) [C(0,n)h^n + C(1,n)h^(n-1)x + ... +C(i,n)h^(n-i)x^i + ... + C(n,n)x^n - x^n] / h上述式子中，所有含有h的项在极限h趋近0时都会趋于0，只剩下一项C(1,n)h^(n-1)x，即：f'(x) = lim(h→0) C(1,n)h^(n-1)x = nx^(n-1)使用类似的方法可以证明其他的幂函数导数公式。
现在，我们来证明导数的非常量倍率公式：设函数g(x) = cf(x)，其中c为常数，f(x)为原函数的导数。
导数公式证明大全
导数公式证明大全导数的定义是函数变化率的极限。
下面将给出导数的一些重要公式的证明。
1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0\end{aligned}\]因此，常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。
由导数的定义可知：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]因此，幂函数的导数为$n$倍的$x$的$n-1$次方。
导数的基本公式与运算法则高阶求导
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y
1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4
0,
求
d2 y d x2
用导数定义证明导数公式的方法
用导数定义证明导数公式的方法在微积分中，导数是描述函数变化速率的重要工具。
证明导数公式是微积分学习中的关键内容之一。
本文将介绍一种用导数定义证明导数公式的方法，帮助读者更深入理解导数的概念和应用。
在证明导数公式时，我们通常会使用基本的导数定义：假设函数f(f)在某一点f可导，那么f(f)在该点的导数f′(f)定义为：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} $$基于这一定义，我们可以推导出各种导数的计算公式。
以下以常见的导数公式为例，介绍如何用导数定义证明这些公式。
1. 常数函数的导数首先考虑常数函数f(f)=f的导数。
根据导数定义，我们有：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{C -C}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} 0 = 0 $$因此，常数函数的导数恒为0。
2. 幂函数的导数考虑幂函数f(f)=f f的导数。
根据导数定义，我们有：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{(x+\\Delta x)^n -x^n}{\\Delta x} $$为了证明这一式子，我们可以使用二项式定理将$(x +\\Delta x)^n$展开，最终可以得到导数的计算公式。
通过以上的方法，可以用导数定义证明各种函数的导数公式。
这种方法不仅有助于加深对导数概念的理解，还可以帮助我们更好地理解微积分中的基本原理。
希望读者通过这种方法，能够更加熟练地运用导数来分析和解决实际问题。
结论通过以上方法，我们可以用导数定义证明各种导数公式，从常数函数到复杂函数，都可以通过导数的定义来推导和证明其导数公式。
导数公式的证明(最全版)
导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式(1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数)f’(x）=lim ［(x+Δx)^n-x^n］/Δx=lim （x+Δx—x）［(x+Δx)^（n-1）+x＊（x+Δx）^(n-2)+.。
.+x^(n —2)*（x+Δx）+x^（n—1）]/Δx=lim [(x+Δx）^（n—1)+x＊(x+Δx)^（n-2）+。
..+x^(n-2）*(x+Δx）+x^(n-1)]=x^（n-1)+x*x^（n—2)+x^2*x^（n—3）+ ..。
x^（n-2）*x+x^(n —1）=nx^（n-1)证法二：（n为任意实数）f(x）=x^nlnf(x）=nlnx(lnf(x）)’=(nlnx)’f'（x）/f(x）=n/xf'（x)=n/x*f(x)f'（x）=n/x*x^nf'（x）=nx^(n-1）（2）f(x）=sinxf’(x)=lim （sin（x+Δx）—sinx）/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx—sinx）/Δx =lim （sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'（x）=lim （cos（x+Δx)-cosx）/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx）/Δx =lim (cosx—sinxsinΔx-cos)/Δx=lim —sinxsinΔx/Δx=-sinx（4)f(x）=a^x证法一：f'(x）=lim (a^(x+Δx)—a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx—1）/Δx（设a^Δx—1=m，则Δx=loga^（m+1)）=lim a^x*m/loga^（m+1)=lim a^x*m/［ln（m+1）/lna］=lim a^x＊lna*m/ln(m+1）=lim a^x＊lna/[(1/m)*ln（m+1)] =lim a^x*lna/ln［（m+1)^(1/m)] =lim a^x＊lna/lne=a^x＊lna证法二：f（x）=a^xlnf（x）=xlna[lnf(x)］’=［xlna］’f’（x)/f(x)=lnaf' (x）=f（x）lnaf' （x）=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f’（x)=e^x＊lne=e^x（5）f(x）=loga^xf’（x）=lim (loga^（x+Δx)—loga^x)/Δx=lim loga^[(x+Δx）/x］/Δx=lim loga^（1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/（lna*Δx）=lim x＊ln（1+Δx/x）/（x*lna＊Δx）=lim (x/Δx）*ln（1+Δx/x)/（x*lna）=lim ln[（1+Δx/x）^(x/Δx）］/（x＊lna) =lim lne/(x*lna）=1/（x*lna）若a=e,原函数f(x）=loge^x=lnx则f’（x）=1/（x＊lne）=1/x(6）f（x）=tanxf’(x)=lim (tan（x+Δx)—tanx）/Δx=lim (sin（x+Δx）/cos(x+Δx）-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx）cosx—sinxcos(x+Δx)/（Δxcosxcos（x+Δx)）=lim （sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx—sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx）/（Δxcosxcos（x+Δx））=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)）=1/（cosx)^2=secx/cosx=(secx）^2=1+（tanx)^2（7）f(x）=cotxf’（x）=lim (cot（x+Δx）—cotx)/Δx=lim (cos（x+Δx)/sin（x+Δx）—cosx/sinx)/Δx=lim （cos(x+Δx)sinx-cosxsin（x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim （cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/（Δxsinxsin(x+Δx)）=lim -sinΔx/(Δxsinxsin（x+Δx)）=—1/（sinx)^2=—cscx/sinx=—（secx)^2=—1—(cotx）^2(8）f(x）=secxf’(x）=lim(sec（x+Δx)—secx）/Δx=lim （1/cos(x+Δx)-1/cosx）/Δx=lim （cosx—cos(x+Δx)/（ΔxcosxcosΔx）=lim （cosx—cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos（x+Δx））=lim sinxsinΔx/（Δxcosxcos(x+Δx））=sinx/(cosx）^2=tanx*secx（9）f（x）=cscxf'（x)=lim（csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin（x+Δx）—1/sinx）/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx)）/（Δxsinxsin（x+Δx）)=lim (sinx-sinxcosΔx—sinΔxcosx)/(Δxsinxsin（x+Δx)）=lim -sinΔxcosx/（Δxsinxsin（x+Δx））=—cosx/（sinx)^2=—cotx＊cscx(10）f(x）=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))’=（xlnx）’f'(x)/f(x）=lnx+1f’（x)=（lnx+1）*f（x）f'(x）=（lnx+1)*x^x(12）h(x)=f（x)g（x)h’(x)=lim （f（x+Δx)g（x+Δx）—f(x)g(x））/Δx=lim [(f(x+Δx）—f(x）+f（x))*g(x+Δx）+(g(x+Δx）-g（x)—g(x+Δx））*f(x）］/Δx=lim [（f(x+Δx)-f（x））＊g（x+Δx）+（g（x+Δx)—g(x)）*f（x）+f(x）*g(x+Δx）-f(x)*g（x+Δx)］/Δx=lim (f(x+Δx)—f（x))＊g（x+Δx）/Δx+（g(x+Δx)—g(x))*f(x）/Δx=f'（x）g(x）+f(x)g'（x）（13）h（x）=f（x)/g(x）h'(x)=lim （f(x+Δx）/g(x+Δx）-f(x)g（x)）/Δx=lim (f(x+Δx）g（x)-f（x)g(x+Δx）)/（Δxg(x)g(x+Δx))=lim ［(f（x+Δx)—f（x）+f（x））*g(x）—(g(x+Δx)—g(x)+g （x））＊f(x）］/（Δxg（x）g(x+Δx））=lim [(f(x+Δx)-f（x））＊g(x)—（g（x+Δx)-g(x))*f(x)+f（x)g(x)—f(x）g(x)］/（Δxg(x）g（x+Δx)）=lim (f(x+Δx)—f(x））＊g(x)/（Δxg(x)g（x+Δx)）—(g(x+Δx)—g （x)）＊f（x）/（Δxg（x）g（x+Δx））=f’（x)g（x)/(g(x)*g(x））-f（x)g’(x）/（g(x)＊g（x)）=［f’（x）g（x）-f（x）g’（x)]/（g（x）*g（x))x（14）h（x）=f（g(x））h'(x）=lim ［f(g(x+Δx))-f（g（x）)］/Δx=lim ［f(g(x+Δx）-g(x)+g（x)）—f(g(x)）］/Δx(另g（x）=u，g（x+Δx）—g(x)=Δu）=lim （f(u+Δu）-f（u)）/Δx=lim (f（u+Δu)—f(u））＊Δu/（Δx＊Δu)=lim f'（u）*Δu/Δx=lim f’(u)＊（g(x+Δx)—g(x)）/Δx=f'（u）＊g'（x)=f'（g(x））g’（x）(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称,所以导数的乘积为1）(15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)’=cosy所以(arcsinx）'=1/（siny）'=1/cosy=1/√1—（siny）^2(siny=x）=1/√1-x^2即f'(x）=1/√1-x^2（16)y=f(x）=arctanx则tany=x(tany）'=1+（tany）^2=1+x^2所以（arctanx)'=1/1+x^2即f’（x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）’=nx^（n—1）（sinx)'=cosx（cosx)'=—sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x(loga^x)'=1/(xlna)(lnx）’=1/x(tanx）'=(secx）^2=1+（tanx)^2 (cotx）’=—（cscx)^2=-1—(cotx)^2（secx）'=tanx＊secx（cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1）*x^x(arcsinx)'=1/√1—x^2(arctanx)’=1/1+x^2［f（x)g(x)］’=f'(x)g（x）+f（x）g’（x）［f（x）/g(x）］’=[f’(x）g（x）-f（x）g'(x）］/(g（x)＊g （x)）［f(g（x））］'=f'（g(x)）g’（x)。
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导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）For personal use only in study and research; not for commercial usef'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/ΔxFor personal use only in study and research; not for commercial use=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)For personal use only in study and research; not for commercial use证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]=lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsin Δxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim(sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim(csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1) （15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy =1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2(16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1)（sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。