函数导数公式及证明.doc
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式一:
C
= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
基本初等函数的导数公式的推导过程.doc
基本初等函数的导数公式的推导过程.doc
导数的概念是微积分的基础。
本文将介绍基本初等函数的导数公式的推导过程，包括
幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。
一、幂函数的导数
幂函数是指形式为f (x)=xn的函数，它的导数是指其函数图像的切线斜率函数，表
示为f' (x)=dnxn-1，其中n是一个常数，如果n为0，则导数f' (x)也被称为常数函数，它的导数为0。
求幂函数的导数步骤如下：
① 根据常用求导法则，(xn)'= nxn-1 ；
② 如果n是正数，那么(xn)'= nxn-1 ；如果n是负数，则应该先做关于x的对称变换。
① 根据f (x)=a^x的定义，可以得出lnf(x)=xln a；
② 将x和a进行求导处理，即f' (x)=1*ln a +x*(ln a)^2；
③ 将上面的结果简略化，以得出最终结果f' (x)=a^xln a。
对数函数是指形式为f (x)=ln x的函数，它的导数表示为f' (x)=1/x 。
三角函数又分为正弦函数、余弦函数、正切函数。
1. 正弦函数的导数。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
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练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
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思考如何求下列函数的导数：
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切线的方程为 y x 2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .
导数基础公式
导数基础公式
在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
它描述了函数在某一点处的变化率，也可以用来求解函数的最值、拐点等问题。
在这里，我们来介绍一些导数的基础公式。
1. 常数函数的导数为0
如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f(x)在任何点的导数都是0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都是0，即不会发生变化。
2. 幂函数的导数
如果f(x) = x^n，其中n是一个正整数，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = n*x^(n-1)
这个公式可以通过求导数的定义式来证明。
3. 指数函数的导数
如果f(x) = e^x，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = e^x
这个公式也可以通过求导数的定义式来证明。
4. 对数函数的导数
如果f(x) = ln(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = 1/x
这个公式也可以通过求导数的定义式来证明。
5. 三角函数的导数
如果f(x) = sin(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = cos(x)
如果f(x) = cos(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = -sin(x)
如果f(x) = tan(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = sec^2(x)
其中，sec(x)表示x的余切函数。
这些公式是导数的基础公式，掌握它们对于学习微积分和解决实际问题都非常重要。
当然，还有更多的导数公式，需要在学习中逐步掌握。
1.2.2导数公式及导数运算法则
例2.求下列函数的导数. 1）y=x3-2x+3 2) y (x 1) x
4x - 1 3) y 4 x
4) y e x log4 x
6) y sinx cos x
lnx 5) y x e
7) y tan x
练习：《面对面》P13：基础训练 1，2，3，4 P14：基础巩固 1-8
3、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求 切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行,
∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
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函数导数公式及证明函数类型常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数原函数f (x) C ，C为常量f (x)x af (x)x mf (x)a xf (x)e xf ( x)log a xf (x) ln xf (x)sin xf (x)cosx求导公式f ' ( x)0( x a )'ax a 1( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n( a 0,1,2..., n1)( x m )( n) m! x m n, (n m)(m n)!( a x )' a xln a( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1)(e x )'e x(e x )(n ) e x(log a x)' 1x ln a(log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1)x n ln a(ln x)' 1x(ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)!x n(sin x)' cosx(sin x)( n) sin(x n )2(cosx)' sin x反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan xf (x)cot xf (x) arcsinxf (x)arccosxf (x) arctanxf (x)arccot xf ( x)sinh xf ( x) coshxf (x)tanh xf ( x)coth xf (x)arsinh xf (x) arcoshxf (x)ar tanh x(cosx)( n) cos(x n )2(tan x)' sec2 x 1x1 (tan x)2cos2(cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2sin2 x(arcsin x) '11x2(arccos x)' 11 x2(arctan x)' 11 x2(arccot x)'11x2(sinh x)' coshx(cosh x)' sinh x(tanh x)' 1cosh2 x(coth x)' 1xsinh2( ar sinh x)' 1x21( ar cosh x) ' 1x2 1(ar tanh x)' 11 x2复合函数导数公式复合函数求导公式f ( x) g( x)f ( x)gg( x)f (x)g( x)g (x) ,f g (x)[ f ( x) g(x)]'f ' ( x)g ' ( x)[ f ( x)gg( x)]' f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)[Cgf (x)] ' Cgf ' (x)'f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)f ( x)g (x)g 2 (x)f ' g(x)f ' ( g( x))gg ' (x),1．证明幂函数 f ( x) x a 的导数为 f ' ( x) ( x a )' ax a 1证：f ' (x) limf ( xVx) f (x)lim ( x Vx)n x nVxVxVxVx根据二项式定理展开( x ) nVxlim(C n 0x nC n 1 x n 1 Vx C n 2 x n 2 Vx 2... C n n 1xVx n 1 C n n Vx n ) x nVxVx消去 C n 0 x n x nlim C n 1 x n 1VxC n 2 x n 2Vx 2 ... C n n 1 xVx n 1 C n n Vx nVxVx分式上下约去 Vxlim( C n 1 x n 1 C n 2 x n 2 Vx 1 ... C n n 1 xVx n 2 C n n Vx n 1)Vx因 Vx0 ，上式去掉零项 C n 1x n 1nx n 1lim( xVx x)[( x Vx)n 1x( x Vx)n 2 ... x n 2 ( x Vx) x n 1]Vx 0Vxlim[( x Vx)n 1 x( x Vx)n 2 (x)n 2( x Vx) x n 1]Vxx n 1xgx n 2 ... x n 2 gxx n 1ngx n 12．证明指数函数 f ( x) a x 的导数为 (a x )' a x ln a证：f '(x) limf ( xVx) f ( x)lima x Vxa xVx 0VxVxVxlim a x (a Vx1)Vx 0Vx令 a V x 1 m ，则有 Vx log a (m 1) ，代入上式lim a x (a Vx 1)lim a x m Vx 0Vx V x 0log a (m 1)lima x m lima x ln a a x ln aln( m1) 0 1 lim1Vx 0 V x ln(m Vx 01)mln am 1)ln( m1 )x1根据 e 的定义 elim(1 ，则 lim( m 1)me ，于是x V x 0xlima x ln aa x ln aa xln a1ln eVxln( m1)m3．证明对数函数 f ( ) log a x 的导数为 f ' (x) (log a x) '1 xx ln a证：f ' (x) lim f (x Vx) f (x) lim log a (x Vx) log a xVx 0 Vx Vx 0Vxlog a x Vx log a (1 Vx ) ln(1 Vx ) lim Vx x limx lim x V x 0V x 0 Vx V x 0Vx ln axln(1 Vx )ln(1 Vx ) Vx x lim Vx x limxVx 0 x ln a V x 0x ln a根据 e 的定义 e lim(11)x ，则 lim ln(1 Vx )x V x 0 xxVx e ，于是xxln(1Vx)V xln e 1 limx Vx 0x ln a x ln a x ln a4．证明正弦函数 f ( x) sin x 的导数为 f ' ( x) (sin x)' cosx证：f ' (x)lim f (x Vx) f (x) lim sin(x Vx) sin xVx 0 Vx Vx 0Vx根据两角和差公式sin(x Vx) sin x cosVx cos x sinVxsin(x Vx) sin x lim sin xcosVx cosxsinVx sin xlim VxVxVx 0 Vx 0因lim(sin x cosVx) sin x ，约去 sin x cosVx sin x ，于是Vxcosx sinVxlimVxV x 0sinVx因 lim1 ，于是Vx 0Vxlim(cos xsinVx) cosxVx 0 Vx5．证明余弦函数 f ( x) cosx 的导数为 f ' ( x) (cosx) 'sin x证：f ' (x) lim f ( x Vx) f (x) lim cos(x Vx) cosx Vx 0 Vx Vx 0Vx根据两角和差公式cos(x Vx) cosx cosVx sin x sinVxlim cos(x Vx)cosxlim cos x cosVxsin x sinVx cos xVxVxV xVx因 lim(cos x cosVx)cos x ，约去 cos x cosVx cos x ，于是Vx 0lim sin x sinVxVxVx 0因 limsinVx1 ，于是Vx 0Vxlim(sin x sinVxsin x)Vx 0Vx6．证明正切函数 f ( x) tan x 的导数为 f ' ( x)(tan x) '1 xcos 2 证：f ' (x) lim f ( x Vx) f ( x) lim tan(x Vx) tan xVx 0 Vx V x 0Vxsin(x Vx) sin xlim cos(x Vx) cos xlim sin( xVx)cos x sin x cos(x Vx)Vx 0Vx V x0 Vx cos(x Vx)cos x根据两角和差公式sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,cos(x Vx) cosxcosVxsin xsinVx代入上式lim (sin x cosVx cosx sinVx)cos xsin x(cos x cosVx sin x sinVx)Vx 0Vxcos(x Vx)cos xlim cos x cosx sinVx ( sin x sin x sinVx)sinVx(cos xcosx sin x sin x)Vx cos(x Vx)cos xlimVx cos(x Vx)cos xVx 0V x因 cos 2 x sin 2 x 1sinVxlimVxVx cos(x Vx)cos x因 limsinVx 1 ， lim cos(x Vx)cos x ，上式为Vx 0 Vx V x 0sinVx1 1lim2Vx 0 Vx cos(x Vx)cos x cos xf ( x) cot x 的导数为 f ' ( x) (cot x)'1sin 2 x证：f ' (x) lim f ( xVx) f ( x) lim cot( x Vx) cot xVx 0 Vx V x 0Vxcos(x Vx) cos xlim sin(x Vx) sin xlim cos(x Vx)sin xcos x sin(x Vx)Vx 0Vx V xVx sin( x Vx)sin x根据两角和差公式sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,cos(x Vx) cosxcosVxsin xsinVx代入上式lim (cos xcosVxsin x sinVx)sin x cosx(sin x cosVx cos x sinVx)Vx 0Vx sin(x Vx)sin xlimsin 2 x sin Vxcos 2x sinVxsinVx(sin 2 x cos 2 x)Vx sin( xVx)sin xlimVx sin( x Vx)sin xVx 0Vx因 sin 2 xcos 2 x 1 , 且 limsinVx1 ，lim sin( x Vx)sin x ，代入上式Vx 0VxV x 0limsinVx 1 1Vx sin( x Vx)sin xsin 2 xVx 08．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为'' ( x) g ' ( x)f ( x) g(x)f 证:f (x)'limf (x Vx)g (x Vx)f (x) g( x)g( x)VxV x 0f (x Vx) f (x)g (x Vx)g( x)limVxVxVxf ' ( x)g ' (x)9．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为 'f ' ( x) g( x) f ( x)g ' ( x)f (x) g( x)证:'f ( x Vx) g(x Vx)f (x)g( x)f (x) g( x)limVxVxf ( x Vx) f ( x) f ( x) g( x Vx) f ( x) g( x Vx) g( x Vx)g (x)limV x 0 Vxlim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g (x Vx) f ( x)g ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)VxVx 0lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g ( x Vx) g( x)VxVx 0lim f (x Vx) f (x) g( x Vx) f ( x) g( xVx) g( x)Vx 0 Vx Vxf ' ( x)g (x) f ( x) g ' (x)f ( x) f ( x) ' f ' ( x) gg (x) f ( x)gg' (x) 10．证明复合函数的导数为g (x) g (x) g2 (x)证:' f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)f ( x)g ( x) limVx V x 0lim f (x Vx) g( x) f ( x) g( x Vx)Vxg( x)g (x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) f (x) g (x) f ( x) g (x Vx) g( x) g( x)Vxg (x)g( x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) g( x) f (x) g( x) f (x) g (x Vx) g(x) f ( x) g( x)Vxg( x) g( x Vx)Vx 0lim f ( x Vx) f ( x) g ( x) f (x) g(x Vx) g( x)Vxg( x) g (x Vx)Vx 0f ( x Vx) f ( x)g( x) f ( x) g( x Vx) g ( x)lim Vx Vxg (x)g( x Vx)Vx 0' f ' ( x)gg( x) f (x)gg' ( x)g 2 ( x)11．证明复合函数 f g ( x) 的导数为 f ' g( x)f ' (g ( x))gg ' ( x)证:f (g ( x)) ' lim f ( g( x Vx)) f (g ( x))VxV x令 u g(x) , 则有 Vu g(x Vx)g( x)lim f (u Vu)) f (u)VxVx 0lim f (u Vu)) f (u) Vu Vu Vx Vx 0lim f (u Vu)) f (u) g ( x Vx) g( x)VuVxVx 0f ' (u)gg ' ( x) f ' ( g( x))gg ' (x)'f ' (x) 12．证明复合函数 ln f ( x) 的导数为 ln f (x)f ( x)证:令 u f (x) ,ln f ( x) '''ln u gu1 gu 'f ' (x)u f (x)13．求复合函数 x x 的导数解:令 u x xln u x ln x'u ' 等式左边求导为ln uux ln x'ln x x 1 ln x 1等式右边求导为x 'ln x x(ln x)'xu'ln x 1,于是有uu' (ln x 1)u则(x x ) ' (ln x 1)x x14. 证明反三角函数arcsin x的导数为(arcsin x)' 11 x2 证:令 y arcsin x ,则sin y x对上式两边求导 , 等式右边 x' 1等式左边 ( 根据复合函数求导公式), 其导数为(sin y)' (cos y)gy'于是有 (cos y)gy' 1y' 1 1(cos y)1 sin 2y再将 y arcsin x 代入上式(arcsin x)' 1 11 sin2 (arcsin x) 1 x215. 证明反三角函数 arccos x 的导数为 (arccos x)' 11 x2 证:令 y arccosx ,则cosy x对上式两边求导, 等式右边x' 1'等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 cos y(sin y)gy'于是有(sin y)gy' 1 ,整理后如下：y' 1 1(sin y) 1 cos2 y再将 y arccosx 代入上式(arccos x) ' 1 11 cos2 (arccos x) 1 x216. 证明反三角函数arctanx的导数为(arctanx)' 11 x2证:令 y arctanx ,则tan y x对上式两边求导, 等式右边x' 1'等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 tan y(1 tan2 y)gy '于是有 (1 tan2 y)gy' 1 ,整理后如下：y' 11 tan2 y再将 y arctanx 代入上式(arctanx)' 1 11 tan2 arctan x 1 x217. 证明 : 反函数的导数为原函数导数的倒数 f 1 ' 1 ,( f ' ( x) 0)( y)'f ( x)如果函数 x ( y) 在某区间I y 内单调、可导且' ( y) 0 ，那么它的反函数y f (x) 在对应区间I x内也可导，并且 f ' (x) 1 。