【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三下学期第二次摸底考试数学(理)试题
） D．
3 4
A．
3 2
B．
1 2
C．
1 4
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）
A． 28 4 3 12 2 B． 36 4 3 12 2 C． 36 4 2 12 3 D． 44 12 2 10．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值等于（
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上。 13．已知 a 4, b 5, c a b(, R) ，若 a b, c b a ，则 14．在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边， B
9
D．
1 2
7．已知 a A．
1
2 2
x a 4 x 2 sin x dx ，则二项式 2 的展开式中的常数项为（ 2 x
）
15 21 5 B． C． D． 1 8 2 4 8． 已知奇函数 f x A cos x A 0, 0,0 的导函数的部分图象如图 1 所示， E 是最高点，且 MNE 是边长为 1 的正三角形，那么 f ( ) （ 3
3 10
）
[来源:学科网]
B．
3 20
C． 1
3 10
D． 1
3 20
2 x y 1 0 4x 6．若实数 x, y 满足条件 2 x y 5 0 ，则 z 的最大值为（ 3x 2 y x 2 0
）
A．1
B．
64 15
C．
16 19
2 NB1 NC1 , DM BN ，若球 O 的体积为 9 2 ，则动点 M 的轨迹的长度为
．
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 17． （本小题满分 12 分）
1 1, an1 3 an 3 2, n N * . （1）求数列 {an } 的通项公式； （2） 设以 2 为公比的等比数列 {bn } 满足 4log2 bn log2 bn1 an 12n 11(n N * ) ， 求数列 {bn log2 bn } 的前 n 项和 S n .
B（
[来源:学科网]
）
D． {6,9,10} ）
2．若复数 z 满足 z(1 2i) |1 3i |2 （ i 为虚数单位） ， 则复数 z 在复平面内对应的点位于（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 20 00 人、高三 n 人中， 抽取 90 人进行问卷调查。已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为（ A．20 B．24 C．30 D．32 ）
河北衡水中学 2018 学年度 高三下学期数学第二次摸底考试（理科）
考生注意： 1．本试卷分必考部分和选考部分两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容 必考部分 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．已知集合 A {k N | 10 k N} ， N {x | x 2n或x 3n, n N} ，则 A A． {6,9} B． {3,6,9} C． {1,6,9,10}
2 3 tan
）
tan 25 3 9 22 tan 9 25 3 9 21 tan 9
A．
9
21
B．
C．
2 3 tan
9
22
tan
D．
11．椭圆 x 2
y2 1 0 b 1 的左焦点为 F ，上顶点为 A ，右顶点为 B ，若 FAB 的外接圆圆心 b2
P m, n 在直线 y x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （
2 A． ,1 2
）
1 D． 0, 2
1 B． ,1 2
2 C． 0, 2
12．已知 f ' x 是函数 f x 的导函数，且对任意的实数 x 都有 f ' x e x 2x 3 f x (e 是自然对
数的底数） ， f 0 1 ，若不等式 f x k 0 的解集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（
1 A． ,0 e
1 B． 2 ,0 e
）
1 C． 2 ,0 e
1 D． 2 ,0 e
sin A C sin A sin C
．
2 ，若 a2 c2 4ac ，则 3
．
y2 1 b 0 的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C b2
15．已知点 F1 , F2 分别是双曲线 C : x 2
的右支上，且满足 F1 F2 2 OP , tan PF2 F1 4 ，则双曲线 C 的焦点的取值范围为 16．点 M 为正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的内切球 O 球面上的动点，点 N 为 B1C1 上一点，
1 4．已知命题 p : x e,( ) x ln x ；命题 q : a 1, b 1,log a b 2logb a 2 2 ，则下列命题中为真命题 2
的是 （
） B． p q C． p (q) D． p (q)
A． (p) q
5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已 知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随 机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ A．
河北省衡水高三下册第二学期第二次摸底考试数学(理)试题含答案【精编】.doc
河北省衡水中学 高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N }N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127. 已知()22214sina x x dxπ-=-+⎰，则二项式922x ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A．158- B．212- C.54- D．1-8. 已知奇函数()()()cos0,0,0f x A x Aωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E是最高点，且MNE∆是边长为1的正三角形，那么13f⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．32π- B．12- C.14D．34π-9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2843122++ B．3643122++C. 3642123++ D．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A．321tan9π-- B．25tan3922tan9ππ-C. 22tan9π-- D．25tan921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ） A．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),⊥⊥-r r r r r a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ．16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a满足112,a n ==∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5DCBAD 6-10 ABDBA 11-12：AC二、填空题13. 251615. 2,3⎛⎝⎦三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43nn n a n=+-==-.(2)设等比数列{}n b的首项为1b，则112nnb b-=⨯，依题有()()()()1221212121214log log4log2log24log1logn nn nb b b b b n b n-+⋅=⨯⋅⨯=+-+ ()()2222121214log4log42log144128b b b n n n n=-+⨯-+=++，即()()212212142log1124log4log8bb b⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log2,4b b==，故()1112422,log21n nn n nb b b n-++=⨯=-=-+Q，()()()2221221324222nnnn n n nS+-+++∴=-=--.18. 解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”()1,2,...,14i=.依题意知，()114iP A=，且()i jA A i j=∅≠I.(1)设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则12121314B A A A A A=U U U U，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A==U U U U，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=U U ， ()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=， (或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=U U U U )，所以X 的分布列为X123P314514314314故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)Q 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC A P B D G ==∴-Q ，()()(),,AG AB AP ∴===u u u r u u u r u u u r，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴=u u u r u u u r Q，可得000333,0,,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩u r u u u ru r u u u r ，令11z =，得)1,1n =u r，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====u r u ru u r u r u u r Q u r u u r AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,4222p p F FA FD ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则(22324p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e ，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得)cos sin 2ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。
【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题+Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C = ,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠= ,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CD PD D = , 所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增.又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-,又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。
【全国百强校】河北省衡水中学2018年高考押题(二)理科数学(解析版)
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）B. C. D.【答案】B【解析】本题选择B选项.2. ）C. D.【答案】C【解析】由题意可得：3. ，则的值为（）B. C.【答案】A，故sinα=sin[（-]=sin（）cos-cos= ,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4.为离心率的椭圆与圆：）【答案】A【解析】的距离：，，，本题选择A选项.5. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过.）A. B.【答案】D【解析】，轴的夹角为，，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为本题选择D选项.6. ）D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：由题意：，据此可知：，，它的表面积是.本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．7. ）A. B.C. D.【答案】A.时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；D；所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.项的系数的倍，则的值为（）B. C. D.【答案】B6，展开式的通项公式为：，由题意有：，整理可得： .本题选择D选项.点睛：二项式系数与展开式项的系数的异同一是在T r＋1n－r b r是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．9. ）【答案】C【解析】依据流程图运行程序，首先初始化数值，x=0,y=1,n=1 ，进入循环体：x=n y=1,y，时满足条件y2≥x，执行n=n+1=2 ，进入第二次循环，x=n y=2,y y2≥x10. 已知数列，，则）B. C. D.【答案】C【解析】由递推公式可得：是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为2，公差为0的等差数列，本题选择C选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．11. 已知函数的图象如图所示，令）A.B.C.D. 最小值为【答案】C【解析】，，，函数的解析式 .则：...........................，选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.本题选择C选项.12. 已知函数）B. C.【答案】D【解析】，，，，综上可得的取值范围是本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. __________．【答案】-8【解析】，或 .14. 轴相切于椭圆的焦点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．【解析】分析：设，由题意.，的连线必垂直于轴，不妨设，所以.点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)的齐次式，然后转化为关于(不等式)，解方程(不等式)的取值范围)．15. __________．【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数与坐标原点处取得最大值，点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．16. 中，已知时，则的取值范围为__________．【解析】由题意可设：，则：，则：当时，面积由最大值；；结合二次函数的性质可得：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列（1（2【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1；结合已知条件等式推出数列{a n}是等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式；（2.试题解析：（1）②-为首项，公比为的等比数列，故（2）由（1，可知，18. 如图所示的几何体中，底面为菱形，，，为直角梯形，，，，平面底面.（1（2的余弦值.【答案】(1)见解析；（2【解析】试题分析：(1)(2)结合(1)试题解析：（1底面，平面平面平面，从而.，所以平面，，，，，从而，故.，所以平面，所以平面平面（2）取中点由题可知所以又在菱形中，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），则，，，.由（1）可知平面，所以平面所以.的余弦值为点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．19. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后、、、、如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1（2分别对应分、“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3个样本为级的个数.【答案】(1) 的人数约有见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)448；(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.0，1，2，3.试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为（2）这100，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中47个，从而任意选取3个，这30，1，2，3.，.因此可得的分布列为：20. 已知椭圆：的离心率为（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程.（2.【答案】（1（2）见解析.【解析】试题分析：(1)(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得. 试题解析：（1在椭圆上，所以有由①②联立，解得，（2，由.化简整理得整理为，从而得到.21.（1）试讨论函数的单调性；（2【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：.(2)，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.试题解析：（1，所以，时，当时，在内恒成立，函数单调递增；时，时，.（2）证明：由题可知，所以当时，；当时，；当，又，即单调递增，故只需证明，是方程的两个不相等的实根，不妨设为两式相减并整理得.因为，所以（*因为，所以得到，，所以等号成立，单调递增.因此从而.22. 在直角坐标系为参数，.（1化为直角坐标系（2时，两曲线相交于【答案】【解析】试题分析：(1)的取值范围是(2)试题解析：（1，两边同乘代入曲线而对有，所以故当两曲线有公共点时，（2）当时，曲线：的距离为23. 已知函数（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数（2.【答案】(1) 见解析.【解析】试题分析：(1)(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.试题解析：（1所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式（2的最小值为.当且仅当时，等号成立，，时，有最小值，所以.。
河北省衡水中学2018届高三9月摸底联考全国卷理数试题 含解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ） A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 【答案】A. 【解析】试题分析：∵A B A = ，∴A B ⊆，故只有A 符合题意，故选A. 考点：集合的关系及其运算. 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D.考点：复数的概念及其运算.3.已知平面向量a ，b 满足()5a a b ⋅+= ，且||2a = ，||1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A.23 B.23- C.21 D.21-【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，215421cos ,5cos ,2a ab a b a b +⋅=⇒+⋅⋅<>=⇒<>= ，故选C.考点：平面向量数量积.4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.5.已知数列{}n a 中，11=a ，121()n n a a n N *+=+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 【答案】A. 【解析】试题分析：∵112112(1)n n n n a a a a ++=+⇒+=+，∴{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴1221nnn n a a +=⇒=-，∴12(21)2221n n n S n n +-=-=---，∴652757S =-=，故选A.考点：数列的通项公式.6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.32π B.3π C.92π D.916π【答案】D. 【解析】试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴211216243239V ππ=⋅⋅⋅⋅=，故选D.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位【答案】C.8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线ay x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B.1.5C.0.75D.1.75 【答案】D. 【解析】试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为1172222224S =⋅⋅-=，故选D.考点：线性规划.9.焦点在x 轴上的椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32【答案】C. 【解析】考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换10.在四面体S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是33-，则该四面体外接球的表面积是（ ） A.π68 B.π6 C.π24 D.π6 【答案】B.【解析】考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.11.已知函数()52log 1,(1)()(2)2,(1)x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x 的方程()(),f x a a R =∈实根个数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.5 【答案】D.12.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πϕϕ=+≤＞的部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 【答案】B. 【解析】考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】根据sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω；2.求ϕ的值时最好选用最值点求：峰点：22x k πωϕπ+=+，谷点：22x k πωϕπ+=-+，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与x 轴的交点)：2x k ωϕπ+=；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：2x k ωϕππ+=+(以上k Z ∈)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为_______.【答案】2. 【解析】试题分析：由二项式定理可知4(1)x +中，14r r r T C x +=，令2r =，可知2x 的系数为246C =，令3r =，可知3x 的系数为344C =，故41(1)(1)x x-+的展开式中2x 的系数为642-=，故填：2.考点：二项式定理.14.已知抛物线22(0)y px p =>上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =_______. 【答案】14. 【解析】试题分析：由题意得，2284152m pp pm ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=±+=⎩⎪⎩，又∵(1,0)A -，∴22AM m K ==±，渐近线方程为y =1124a =⇒=，故填：14. 考点：二项式定理.15.如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠= ，C 点的仰角45CAB ∠= 以及75MAC ∠= ，C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC =m ，则山高MN =_______m.【答案】150.考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．16.设函数xx x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________. 【答案】1[,)21e +∞-. 【解析】考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想.【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2018年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2018年开始到2185年每年人口比上年增加0.5万人，从21816年开始到2185年每年人口为上一年的99%．（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2018年为第一年）；（2）若新政策实施后的2018年到2185年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2185年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1-0.01)10≈0.9）【答案】（1）10450.5,110500.99,1120n n n n a n -+≤≤⎧=⎨⨯≤≤⎩；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得20S 的值，即可得出结论.18.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面ABCD 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//AE BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解. 试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ∆的中位线，∴//MN PB ，又∵平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD 平面ABPE AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解． 19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求a ，b 的值；（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． （3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性． 【答案】（1）0.30.2a b =⎧⎨=⎩；（2）4.8；（3）详见解析.【解析】（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：∴230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为616=，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.81.24=，据此，乙厂的产品更具可购买性. 考点：离散型随机变量的概率分布及其期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析；（3）1625.【解析】试题分析：（1）根据题意列出a ，b 满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程同理∴222284(,)4141m m N m m --++， i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-， 256:()4(1)5MNm l y x m =+-过定点6(,0)5-， ii) 1m =±时6:5MN l x =-，过点6(,0)5-， 综上所述，∴MN l 过定点6(,0)5-；（3）由（2）知32242244854414174AMNm m m m S m m m m ∆+=+=++++ 2188194()941m mm m mmm m+==+++++，令121t m m m=+≥=±且时取等号， ∴1625S ∆≤时，当1m =±取等号，即max 1625S ∆=. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题． 【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x--=(常数R a ∈且0≠a ).（1）证明：当0a >时，函数)(x f 有且只有一个极值点； （2）若函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1240()f x e <<且2240()f x e<<. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】(,0)-∞不存在极值点；②当0x ≥时，由'()(1)0x h x a x e =+>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增，∵2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，∴()'()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点，又∵'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >，∴函数()f x 在[0,)+∞有且只有一个极值点，综上所述，当0a >时，函数()f x 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点；（2）∵为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （不妨设12x x <）， ∴1x ，2x 是()'()h x f x =的两个零点，且由（1）知，必有0a <， 令'()(1)0xh x a x e =+=得1x =-；令'()(1)0xh x a x e =+>得1x <-；令'()(1)0xh x a x e =+<得1x >-，∴()'()h x f x =在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减，又∵2(0)'(0)0h f a ==-<，∴必有1210x x <-<<，令'()()0tf t a te a =-=，解得t a te =，又∵122111()(1)0x f x ex x =-->，∴1240()f x e <<， 当10t -<<时，∵210t -<，210t -<，20te >，∴'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-(1,0)-单调递减，∵210x -<<，∴22240(0)()()(1)g g x f x g e =<=<-=， 综上可知，1240()f x e <<且2240()f x e <<．考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。
河北省衡水市近年届高三数学二模试题理(含解析)(最新整理)
2018—2019学年度第二学期二模考试高三年级数学试卷（理科)一、选择题(下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1。
集合，则( ）A 。
B 。
C 。
D.【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合A ，解可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。
【详解】由题得,，则有,故选D. 【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。
2。
复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ) A 。
B 。
1C 。
D 。
【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可。
【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥A B =[]02，()13，[]14，[)2-+∞，313x -≤-≤1222x +≥{}|24Ax x =-≤≤{}|1B x x =≤{}|2AB xx ⋃=≥-121zi z i =+=，i 12z z 1-ii-__1z 11211,1,z i z i i z i -=-==--3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1。
5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A 。
与2015年相比，2018年一本达线人数减少B 。
与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍 C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D 。
与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为。
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为,可见一本达线人数增加了，故选项A 错误； 对于选项B,2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0。
普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二理(扫描(2021年整理)
（衡水金卷）2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题二理（扫描版）
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【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三高考押题(二)理数试题
河北衡水中学2023年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈,{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈,则A B = （ ）A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+,则1||z=（ ）A ．5 B ．15C ．55D ．5253.若1cos()43πα+=,(0,)2πα∈,则sin α地值为（ ）A ．426- B ．426+ C ．718D ．234.已知直角坐标原点O 为椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>地中心,1F ,2F 为左、右焦点,在区间(0,2)任取一个数e ,则事件"以e 为离心率地椭圆C 与圆O :2222x y a b +=-没有交点"地概率为（ ）A ．24 B ．424- C ．22 D ．222-5.定义平面上两条相交直线地夹角为:两条相交直线交成地不超过90地正角.已知双曲线E :22221(0,0)x y a b a b -=>>,当其离心率[2,2]e ∈时,对应双曲线地渐近线地夹角地取值范围为（ ）A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ6.某几何体地三视图如下图所示,若该几何体地体积为32π+,则它地表面积是（ ）3138181g x图象地对称轴方程为A．函数()参考解析及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12:CD二、填空题13. 8- 14.625122e --<<15. 27[,]5416. [3,33)三、解答题17.解:（1）当2n =时,由121n n S S -=+及112a =,得2121S S =+,即121221a a a +=+,解得214a =.又由121n n S S -=+,①可知121n n S S +=+,②②-①得12n n a a +=,即11(2)2n n a n a +=≥.且1n =时,2112a a =适合上式,因此数列{}n a 是以12为首项,12为公比地等比数列,故*1()2n n a n N =∈.（2）由（1）及*12log ()n n b a n N =∈,可知121log ()2nn b n ==,所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++,故2231111n n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅11111[(1)()()]2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++.18.解:（1）因为底面ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥,又平面BDEF ⊥底面ABCD ,平面BDEF 平面ABCD BD =,因此AC ⊥平面BDEF ,从而AC EF ⊥.又BD DE ⊥,所以DE ⊥平面ABCD ,由2AB a =,222DE BF a ==,120ABC ∠=,19.解:（1）从条形图中可知这所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 地概率为561410025=,则该校高三年级学生获得成绩为B 地人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩地平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=,因为91.390>,所以该校高三年级目前学生地"考前心理稳定整体"已过关.（3）由题可知用分层抽样地方法抽取11个学生样本,其中A 级4个,B 级7个,从而任意选取3个,这3个为A 级地个数ξ地可能值为0,1,2,3.则03473117(0)33C C P C ξ===,124731128(1)55C C P C ξ===,214731114(2)55C C P C ξ===,30473114(3)165C C P C ξ===.因此可得ξ地分布列为:ξ0123P733285514554165则72814()012335555E ξ=⨯+⨯+⨯412316511+⨯=.20.解:（1）由题意可知22c a =,所以222222()a c a b ==-,即222a b =,①又点23(,)22P 在椭圆上,所以有2223144a b+=,②由①②联立,解得21b =,22a =,故所求地椭圆方程为2212x y +=.（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由0OA OB ⋅=,可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=,由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>,得2212k m +>,所以122412kmx x k+=-+,21222212m x x k -=+,③又由题知12120x x y y +=,即1212()()0x x kx m kx m +++=,整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式,得22222224(1)01212m kmk km m k k-+-⋅+=++.化简整理得222322012m k k--=+,从而得到22322m k -=.21.解:（1）由22()ln f x a x x ax =-+-,可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==.因为函数()f x 地定义域为(0,)+∞,所以,①若0a >时,当(0,)x a ∈时,'()0f x <,函数()f x 单调递减,当(,)x a ∈+∞时,'()0f x >,函数()f x 单调递增；②若0a =时,当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增；③若0a <时,当(0,)2ax ∈-时,'()0f x <,函数()f x 单调递减,当(,)2ax ∈-+∞时,'()0f x >,函数()f x 单调递增.（2）证明:由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->,所以'()2(2)a h x x a x=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==.所以当(0,)2ax ∈-时,'()0h x <；当(,)2a x ∈-+∞时,'()0h x >；当2a x =时,'()02ah =.欲证12'()02x x h +>,只需证12'()'()22x x a h h +>,又2''()20ah x x=+>,即'()h x 单调递增,故只需证明1222x x a+>.设1x ,2x 是方程()h x m =地两个不相等地实根,不妨设为120x x <<,则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩,两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-,从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-,故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-,即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-.因为1212ln ln 0x x x x -+-<,所以(*)式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+,即11212222ln 1x x x x x x -<+.因为120x x <<,所以1201x x <<,不妨令12x t x =,所以得到22ln 1t t t -<+,(0,1)t ∈.设22()ln 1t R t t t -=-+,(0,1)t ∈,所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++,当且仅当1t =时,等号成立,因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =,因此()0R t <,(0,1)t ∈,故22ln 1t t t -<+,(0,1)t ∈得证,从而12'()02x x h +>得证.2222142[(1)(1)]117a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++2222214(1)18[52]7117b a a b ++=+⋅=++.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时,等号成立,即216a =,243b =时,有最小值,所以221418117a b +≥++得证.。
河北省衡水中学2018届高三高考押题(二)理数试题
河北衡水中学高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15 C ．5 D ．25 3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B ．46+ C.718D ．3 4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4 B ．44 C.2 D ．225.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.3)2π+ B ．3)22π++C.2+ D ．4+7.函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈ B ．函数()g x的最大值为C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,2)- C.(2,)+∞ D ．(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21. 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB .23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 参考答案及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题13.-8 14.122e << 15.27[,]5416. 三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，①可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈， 可知121log ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥.又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DEBF ==，120ABC ∠=︒，可知AF=，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =，得4y =，所以(0,n =.从而cos ,n EF <>=3||||63n EF n EF⋅==⋅. 故所求的二面角E AC F --的余弦值为3.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3. 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=. 20.解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =， 故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=. 联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x --+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >， 所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=. 所以当(0,)2a x ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2'()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||3AB ==. 23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
河北省衡水中学2018年高考押题(二)理科数学 (PDF)理数(二)答案
联立方程组 x 2
y kx m, 2 y 1, 2
2 2 2
x1 x2 x x a a ) 0 ，只需证 h '( 1 2 ) h '( ) ，又 h ''( x ) 2 2 0 ，即 h '( x) 单调递增，故只需证明 2 2 2 x x1 x2 a . 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2m 2 2 4km x x ， ，③ 1 2 1 2k 2 1 2k 2
2m 2 2 4km km m2 0 . 2 1 2k 1 2k 2
化简整理得
P ( 2)
2 1 3 0 C4 C7 14 C4 C7 4 ， . P ( 3) 3 3 C11 55 C11 165
2 2 2
二、填空题
13.-8 14.
又 AF AC A ，所以 EF 平面 AFC .
6 2 5 1 e 2 2
15. [ , ]
2 7 5 4
16. [ 3,3 3)
又 EF 平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC . （2）取 EF 中点 G ，由题可知 OG / / DE ，所以 OG 平面 ABCD ，又在菱形 ABCD 中， OA OB ，所 以分别以 OA ， OB ， OG 的方向为 x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系 O xyz （如图示）， 则 O (0, 0, 0) ， A( 3a, 0, 0) ， C ( 3a, 0, 0) ， E (0, a, 2 2a ) ， F (0, a, 2a ) ， 所以 AE (0, a , 2 2a ) ( 3a , 0, 0) ( 3a, a, 2 2 a) ，
【数学】【衡水押题卷】2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,0,1,2,3,4A B =-=,则()B C A B I =（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,1,4 C ．{}14， D ．{}0,12.已知i 是虚数单位，复数z 满足132z ii∙=+,则3z +=（ ）A ． D ．53.已知具有线性相关的两个变量x y ，之间的一组数据如下表所示:若x y ，满足回归方程 1.5y x a =+,则以下为真命题的是（ ） A.x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5 个单位长度 B.x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5 个单位长度 C.所有样本点的中心为(1,4.5) D.当8x =时,y 的预测值为13.54.已知点(),4P n 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆C 的两个焦点,若12PF F ∆的内切圆的直径为3,则此椭圆的离心率为（ ）A ．57 B ．23 C.35 D ．455.如图,已知ABC ∆与AMN ∆有一个公共顶点A ,且MN 与BC 的交点O 平分BC ,若,AB mAM AC nAN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12m n+的最小值为（ ）A ．4B ．2C.32．66.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形且有一侧梭垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵111,ABC A B C AC BC -⊥,若12A A AB ==,当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外 接球的体积为（ ）A ．B ．3 C.3D ． 7.“34πϕ=”是“函数= 2y cos x 与函数()=2y sin x ϕ+在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,上的单调性相同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图,若输出1007S =-,则判断框内应填的内容是（ ）A ．2015?k <B ．2016?k < C.2017?k < D ．2014?k <9.如图所示，直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线,12,F F 是双曲线C 的左、右焦点,1F 关于直线的对称点为1'F ,且1'F 是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A．310.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人,则不同的分配方法共有（ ） A ．114种 B ．150种 C. 120种 D ．118种11.如图,正方体1111ABCD A BC D -的对角线BD 上存在一动点P ,过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于,M N 两点.设,BP x BMN =∆的面积为S ,则当点P由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知()'f x 为函数()= y f x 的导函数,当02x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭，是斜率为k 的直线的倾斜角时,若不等式()()'0f x f x k -∙<恒成立，则（ ）A()3()4f f ππ>B ．(1)2()sin16f f π<()()064f ππ-> D()()063f ππ-<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2221f x cosx sinx sin x =+-+,则其最小正周期为 ．14.过()()3,1,0,M N a -两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆221x y +=存在公共点,则实数a 的取值范围为 ．15.如图,将正方形ABCD 沿着边BC 抬起到一定位置得到正方形BCEF ,并使得平面ABCD 与平面BCEF 所成的二面角为45°,PQ 为正方形BCEF 内一条直线,则直线PQ与BD 所成角的取值范围为 ．16..已知菱形ABCD ,E 为AD 的中点,且3BE =,则菱形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和221,S n n n N *=++∈n . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn .18.如图所示,已知三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,且=2,,PA PB AC D E ==分别是,AB PC 的中点.(1)求证:AB ⊥平面CDE ;(2)若PC =求二面角A PB C --的余弦值19.伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表:(1)若以“年龄55 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99％的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关:(2)若从年龄在[)55,65,[]65,75内的被调查人中各随机选取2 人进行追踪调查.记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ. ①求随机变量ξ的分布列; ②求随机变量ξ的数学期望. 参考数据如下:参考公式：22(),()()()()n ad bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. 已知点()0,1A ,过点()0,1D -作与x 轴平行的直线1l ，点B 为动点M 在直线1l 上的投影,且满足MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)已知点P 为曲线C 上的一点,且曲线C 在点P 处的切线为2l ,若的与直线2l 相交于点Q ,试探究在y 轴上是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ? 若存在,求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.已知函数()1f x x nx =.(1)若函数()()()()2 '20g x f x ax a x a ==+-+>,试研究函()g x 数的极值情况; (2)记函数()() x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为o x ，记()(),x x m x min f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若 ()() m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不等实根()1212, x x x x <，证明∴122o x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知圆cos 1:x C y xin αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为4 sin ρθ=. (1)分别写出圆1C 的普通方程与圆2C 的直角坐标方程;(2)设圆1C 与圆2C 的公共弦的端点为,A B ,圆1C 的圆心为1C ,求1AC B ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知,a b 均为正实数,且 1a b +=.(1)求2的最大值; (2)求1aba+的最大值.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (二)一、选择题1-5:BADCC 6-10:BAACA 11、12：DD 二、填空题13.π【解析】因为()21 221= 2 +?cos 21214f x sin x sin x sin x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-++=++,所以其最小正周期为22T ππ==. 14.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[解析]点() 3,1M -关于y 轴的对称点为()'3,1M ,则直线'M N 的方程为11?(303)a y x -=---,即()1330a x y a -+-=,由题意可知，圆心(0,0)到直线()1330a x y a -+-=的距离1d =≤,即282100a a +-≤，解得5-14a ≤≤,故实数a 的取值范围为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.30,90⎡⎤⎣⎦ 【解析】不妨设正方形的边长为1,作DG CE ⊥,垂足为G ,由,BC CE BC CD ⊥⊥,得BC ⊥平面CDG .故BC DG ⊥.又BC CE C =,得DG ⊥平面BCEF ,故直线BD 在平面BCEF BCEF 内的射影为BG .易知2DG =,则BD 与平面BCEF 所成的角为30DBG ∠=,所以BD 与平面BCEF 内的直线所成的最小角为30°,而直线PQ 与BD 所成角的最大角为90°(当PQ 与CF 重合时,PQ 与BD 所成角为90°),所以直线PQ 与BD 所成角的取值范围为30,90⎡⎤⎣⎦16.12【解析】设AE x =,则2AB AD x ==,因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,所以+>,<,AB AE BE AB AE BE ⎧⎨-⎩即231233x x x x x x +>>⎧⎧⇒⎨⎨-<<⎩⎩，所以(1,3)x ∈.设BAE θ∠=,在ABE ∆中,由余弦定理可知()229222x x x xcos θ=+-∙∙,即22594x cos x θ-=，2 2.4ABCD S x x sin xθ=∙∙==菱形2t x =，则()1,9t∈，则A B C D S =菱形当5t=，即x =,ABCD S 菱形有最大值12.三、解答题17.解:(1)当1n =时,114a S ==; 当2n ≥时，()2211221,n n n a S S n n n -=-=--+=+对14a =不成立，所以数列{}n a 的通项公式为4,121,2,n an n n nN*=⎧=⎨+≥⎩ (2)当1n =时,1120T = 当2n ≥时，111(21(23)n n a a n n +=++ =111)22n+123n -+（所以111111111161(...)2025779212320101520(23)n n n T n n n n --=+-+-++-=+=++++ 又1n =时，1120T =符合上式， 所以61()20(23)N n n n n T *=-∈+18.解:(1)连接PD ,因为PA PB AC ==,底面ABC 是等边三角形， 又因为D 是AB 的中点， 所以,PD AB AB CD ⊥⊥. 又因为CDPD D =,所以AB ⊥平面CDE . (2)因为2PA PB AC === 由(1),可知PD CD ==而PC ,所以PD CD ⊥.以D 为原点,以DB uu u r的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()(1,0,0,1,0,0,,A B C P -,由题意,得平面ABP 的一个法向量为()0,1,0m =u r. 设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =r.因为()(,BC PC =-=-uu u r uu u r,所以((,,)0(,,)0BC n x y z PC n x y z ⎧∙=-∙=⎪⎨∙=∙=⎪⎩uu u r,即00x ⎧-+=⎪= 令1z =,得1,x y =.所以)n =,所以,cos m n <>==由题意知二面角A PB C --为锐角， 所以二面角A PB C --的余弦值为519.解:(1)22⨯列联表如下:2K 的观测值250(38732)9.524 6.63510403515k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关. (2)①由题意,可知ξ所有可能取值有0,1,2,3,()229340225055C C P C C ξ==∙=,()1122112234340+2222255555C C C C C P C C C C ξ==∙∙=,()221113242342+2222105555CC C C C P C C C C ξ==∙∙=,()211243222555CC P C C ξ==∙=， 所以ξ的分布列是②912316()0123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 20.解:(1)设(),M x y ,由题得(),1B x -.又()0,1A ,∴()-, 1MA x y =-uuu r ,()()0, 1 ,, 2MB y AB x =--=-uuu r uu u r ,由MA AB MB BA ∙=∙uuu r uu u r uuu r uu r ,得()0MA MB AB =∙+uuu r uuu r uu u r . 即()()2,2,204x y x x y --∙-=⇒=, ∴轨迹C 的方程为24x y =. (2)设点()0200,,4x N n P x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由214y x =，得1'2y x =， ∴201 '2l k y x x x == ∴直线2l 的方程为0020)4(2xx y x x -=-).令-1y =,可得0020()42xx x x x ==- ∴Q 点的坐标为2,12o o x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ∴220=,,,142o o o x x NP x n NQ n x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭uu u r uuu r ∵点N 在以PQ 为直径的圆上 ∴22002(1+)()24x x NP NQ n n ∙=---uu u r uuu r =220(1-)()+20()4xn n n n -+-=* 要使方程(* )对o x R ∈恒成立，则必有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩，解得1n =. 即在y 轴上存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ,其坐标为(0,1).21.解:(1)由题意,得()'1f x lnx =+,故()()221g x ax a x lnx =-+++, 故()()()()2111 '22x ax g x ax a x x--=-++=, 00.x a >>， 令()'0g x =,得2111,2x x a== ①当02a <<时，112a >， ()1 '002g x x >⇒<<或1x a >;()11'02g x a<⇒<， 所以() g x 在12x =处取极大值1 ln 224a g =-- ②当2a =时，()11,'02g x a =≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时，112a ， ()1'00g x x a >⇒<<或12x >， ()11'02g x x a <⇒<, 所以()g x 在1x a =处取极大值11()ln g a a a=-- 在12x =处取极小值1()1224a g n =--. 综上,当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值,124a n --，在1x a =处取极小值ln 4a a --; 当2a =时,不存在极值;当2a >时,() g x 在1x a =处取极大值ln 4a a --, 在12x =处取极小值ln 24a --. (2)()x x F x xlnx e=-,定义域为()0,x ∈+∞, ()1'1x x F x lnx e-=++,而()1,2x ∈, 故()'0F x >,即()F x 在区间(1,2)内单调递增. 又()()21210,2220F F ln e e=-<=->, 且)(F x )在区间(1,2)内的图象连续不断，故根据零点存在性定理,有)(F x 在区间(1,2)内有且仅有唯一零点.所以存在()1,2o x ∈,使得()()000o o x x F x f x e =-=, 且当1o x x <<时,()x x f x e <; 当o x x >时，()xx f x e >,所以()ln ,1,o o x x x x m x x x x ex <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时,() m x xln x =,由()'1 0m x ln x =+>,得()m x 单调递增; 当o x x >时,()x x m x e =, 由()1'0x x m x e-=<,得()m x 单调递减. 若()m x n =在区间()1,+∞内有两不等实根1212,()x x x x <, 则 ()()211, ,,o o x x x x ∈∈+∞. 要证122o x x x +>,即证212o x x x >-. 又12o o x x x ->,而()m x 在区间()o x +∞，内单调递减， 故可证()()212o m x m x x <-, 又由()()12m x m x =,即证()()112o m x m x x <-, 即111212 o o x x x ln x e x x -<-. 记()22 ,1o o o x x h x xln x x x e x x-=-<<-,,其中()=0o h x ()220121'1 1ln o o x x h x ln x x e x x e x x +-=++=++---022o x x e x x --, 记()t t t e ϕ=,则()1't t t eϕ-=. 当()0,1t ∈时,()'0t ϕ>;当()1,t ∈+∞时,()'0t ϕ<',故()1max t eϕ=.而()0t ϕ>,故()10t eϕ<<, 而21xo x ->, 所以2021-0o x x e e x x-<-<- 因此()22211 '1 10o o o x x h x ln x e x x e x x e -=++->->-- 即()h x 单调递增.故当1o x x <<时,()()0o h x h x <= 即111212 o o x x e x x x x ln -<- 故122o x x x +>,得证.22.解:(1)因为圆1cos 1:sin x C y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数）， 所以圆1C 的普通方程是()2211x y -+=. 因为圆2:4C sin ρθ=,所以圆2C 的直角坐标方程是224 0x y y +-=.(2)因为圆()221:11C x y -+=, 圆222:40C x y y +-=,两式相减,得-20x y =,即公共弦所在直线为20x y -=,所以点(1,0)到-20x y =所以公共弦长为=，所以1122555Ac B S ∆=⨯=23.解:(l)2=211（ 221+14141)a b ≤∙+++（）（ =()()242241212a b ⎡⎤⎣⎦++=⨯+=,=即12a b ==时,取等号， 故原式的最大值为12.(2)原式=112122ab b a b a ab a b==+++. 因为1212()()a b a b a b+=++ =221+23()b a b a a b a b ++=++3≥=+a 当且仅当2b a a b=，即12a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,取等号.所以原式≤故原式的最大值为。