2019年山西省太原市中考数学一模试卷(解析版)
【解析】
解：连接OA．
∵∠B=25°．
∴∠DOA=2∠B=50°．
∵AD是⊙的切线，
∴∠OAD=90°．
∴∠D=180°-90°-50°=40°．
故选：B．
连接OA．由圆周角定理求得∠DOA=50°，接下来，由切线的性质可证明∠OAD=90°，最后在△OAD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．
（1）求西山特长隧道与西山2号隧道的长度；
（2）某日，小王驾车经S56太原--古交高速从古交到太原．他7：28进入高速，计划出高速口的时间不超过7：50．按照他的驾车习惯，在隧道内的平均速度为60千米/时，则他在非隧道路段的平均车速至少为多少千米/时？
21. 清代诗人高鼎的诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象．小明制作了一个风筝，如图1所示，AB是风筝的主轴，在主轴AB上的D、E两处分别固定一根系绳，这两根系绳在C点处打结并与风筝线连接．如图2，根据试飞，将系绳拉直后，当∠CDE=75°，∠CED=60°时，放飞效果佳．已知D、E两点之间的距离为20cm，பைடு நூலகம்两根系绳CD、CE的长．（结果保留整数，不计打结长度．参考数据： ， ）
A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦
5. 由木炭，铅笔，钢笔等，以线条来画出物象明暗的单色面，称作素描．如图是素描初学者常用的一种石膏几何体，该几何体的形状可以看成是用一个平面截圆柱体得到的，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
6.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线与点D，连接AB，若∠B=25°，则∠D的度数为（ ）
D.检测一批新出厂的手机的使用寿命
3. 如图，含45°角的三角板的直角顶点A在直线a上，顶点C在直线b上．若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.2018年我省着力提高能源供给体系质量，推动煤炭产业走“减、优、绿”的路子，全省煤炭先进产能占比达到57%，建成“两交一直”特高压输电通道，外送能力达到3830万千瓦．数据“3830万千瓦”用科学记数法表示为（ ）
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】D
【解析】
解：该几何体的形状可以看成是用一个平面截圆柱体得到的，它的俯视图是： ．
故选：D．
直接利用俯视图即从物体的上面观察得到的视图进而得出答案．
22.综合与实践
数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．
动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．将三角形纸片ABC进行以下操作：
第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；
15. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=3，CF=4．若△AEF是等边三角形，则AB的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.（1）计算：
（2）解不等式组： ，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
17. 如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BA，DC的延长线上，连接EF，交对角线BD于点O，已知OE=OF．
2019年山西省太原市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.计算“-2019+2018”的结果是（ ）
A. B.1C. D.4037
2.下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A.了解国内外观众对电影 流浪地球 的观影感受
B.了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C.“长征 火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：原式= -
=
= ，
故选：C．
先通分，再计算，最后约分即可．
本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】
收集数据：现随机抽取七年级中40名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩，如下（单位：分）：
7585758075758570759075808070758085808095
9575908070809585758580807080758080557060
整理分析：小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如图是一个正五边形形状的飞镖游戏板，被分成大小相等的五份，分别标有数字1，2，3，4，5，向游戏板随机投掷一次飞镖（当飞镖投掷在分割线上时，则重投一次），击中的区域中所标数字恰好为奇数的概率是______．
12. 如图，△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE．若AE=6，则B，D两点的距离为______．
问题解决：
（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；
②如图3，当GF经过点B时，AM的长为______；
③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）
（3）在点D运动的过程中，探究下列问题：①是否存在一点D，使得PQ+ PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；
②连接CQ，当线段PE=CQ时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：-2019+2018=-1，
故选：A．
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
成绩x（单位：分）
频数（人数）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
80≤x＜90
18
90≤x＜100
（1）请将图表中空缺的部分补充完整，并说明这40名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩分布情况（写出一条即可）；
（2）这40名同学的“趣味数学知识竞赛”成绩的中位数是______分；
问题解决：
（3）“数学文化节”组委会决定，给“趣味数学知识竞赛”成绩在90分及90分以上的同学授予“数学之星”称号．根据上面统计结果估计该校七年级560人中，约有多少人将获得“数学之星”称号？
（4）“数学文化节”中，获得“数学之星”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章（除头像外完全相同）．如图所示，四枚纪念章上分别印有四位数学家的头像．她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给妹妹．求小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率．（提示：答题时可用序号A，B，C，D表示相应的纪念章）
此题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质．熟记等腰直角三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：数据“3830万千瓦”用科学记数法表示为3.83×107千瓦．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3.【答案】B
【解析】
解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∵a∥b，∠1=60°，
∴∠DAC=∠1=60°，
∴∠2=∠DAC+∠ACB=105°，
故选：B．
由等腰直角三角形的性质得出∠BCA=45°，由平行线的性质得出∠DAC=∠1=60°，再由三角形外角性质即可得出结果．
此题考查有理数的加法，关键是根据异号两数相加的法则计算．
2.【答案】C
【解析】
解：A、了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，适合抽样调查；
B、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；
C、“长征-3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
20.S56太原-古交高速公路全长23.4千米，是山西省高速公路网规划的太原区域环的重要组成部分．施工中，工人们穿越煤层区、采空区等不良地质带，克服了多种危险因素，使得天堑变通途．这段公路建有2座隧道（分别是西山特长隧道和西山2号隧道），它们总长达15千米．其中，特长隧道的长度比西山2号隧道长度的9倍还多1千米．
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．
23.综合与探究
如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
6.【答案】C
【解析】
A．a2•a3=a5，故A错误；
B． =5，故B错误；
C． =2× = ，故C正确；
D（a+1）（a-2）=a2-a-2，故D错误；
故选：C．
分别计算同底数幂相乘、二次根式、多项式乘法即可判断．
2019年太原市中考数学一模试题带答案
k 1≠0 ∴ =12 -4（k 1) 1 0 ，
解得：k≤ 5 且 k≠1． 4
故选：D． 【点睛】 此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 解：A、a+a2 不能再进行计算，故错误； B、（3a）2=9a2，故错误； C、a6÷a2=a4，故错误； D、a·a3=a4，正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查整式的加减法；积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
4．A
解析：A 【解析】
运用直角三角形的勾股定理，设正方形 D 的边长为 x ，则 (62 52 ) (52 x2 ) 102 ， x 14cm （负值已舍），故选 A 5．D
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 过 P 作 PQ∥DC 交 BC 于点 Q，由 DC∥AB，得到 PQ∥AB， ∴四边形 PQCD 与四边形 APQB 都为平行四边形， ∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB， ∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB， ∵EF 为△PCB 的中位线， ∴EF∥BC，EF= 1 BC，
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 ①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB 得△EOB≌△ CMB； ③先证△BEF 是等边三角形得出 BF=EF，再证▱DEBF 得出 DE=BF，所以得 DE=EF；④由 ②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE 和△BEO 属于等高的两个三角形，其面积比 就等于两底的比，即 S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形 30°角所对的直角边是斜边的 一半得出 BE=2OE=2AE，得出结论 S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2． 【详解】 试题分析： ①∵矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC 是等边三角
2019年太原市九年级数学下期中一模试题带答案
2019年太原市九年级数学下期中一模试题带答案一、选择题1．已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=2x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )A．x＞2B．－1＜x＜0C．x＞2，－1＜x＜0D．x＜2，x＞0 2．如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（）．A．边AB的长度也变为原来的2倍；B．∠BAC的度数也变为原来的2倍；C．△ABC的周长变为原来的2倍；D．△ABC的面积变为原来的4倍；3．若35xx y=+，则xy等于（）A．32B．38C．23D．854．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S △AOB=2，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．13B．12C．2倍D．3倍6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：27．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．15B．25C．215D．89．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为A 42B．2C．823D．210．若反比例函数2yx=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．22m＞B．-22m＜C．22-22m m＞或＜D．-2222m＜＜11．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m12．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P，当△PQB为等腰三角形时，线段AP的长为_____．14．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．15．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是______________.16．如图，点A在双曲线1y=x上，点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．17．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，这时CD＝2，则AB＝_____．18．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．19．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．20．已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝b ． （1）若a ＝3，b ＝4，求DE 的长；（2）直接写出：CD ＝ （用含a ，b 的代数式表示）；（3）若b ＝3，tan ∠DCE=13，求a 的值．22．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53︒的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得6BE =米，塔高9DE =米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到0.1，参考数据：sin530.7986︒≈，cos530.6018︒≈，tan53 1.3270︒≈）．23．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABC =∠ADE ．（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）判断△ABD 与△ACE 是否相似？并证明．24．如图，锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，垂足为D ，E ．（1）证明：ACD ABE V V ∽．（2）若将D ，E 连接起来，则AED V 与ABC V 能相似吗？说说你的理由．25．如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y ＝kx +b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2．【详解】解方程x −1=2x，得 x =−1或x =2，那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，如右图，当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题2．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵用放大镜看△ABC ，若边BC 的长度变为原来的2倍，∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2∴边AB 的长度也变为原来的2倍，故A 正确；∴∠BAC 的度数与原来的角相等，故B 错误；∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．3．A解析：A【解析】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.【详解】根据比例的基本性质得：5x=3（x+y），即2x=3y，即得32xy，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.4．C解析：C【解析】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k的几何意义.5．A解析：A【解析】【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【详解】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得,AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴CDAB=OFOE=13，∴像CD的长是物体AB长的1 3 .故答案选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.6．D解析：D【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=14DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．7．B解析：B【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5 150.5x，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH ⊥CD ，∴HC=HD ，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA ﹣AP=2，在Rt △OPH 中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1， 在Rt △OHC 中，∵OC=4，OH=1， ∴22=15OC OH -∴15故选C ．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键9．C解析：C【解析】【分析】由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得2，在Rt △ABD 中，由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒=63，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可【详解】∵AD ⊥BC ，∴△ADC 是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC ，∵AC=8，∴2，在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=tan 60AD ︒， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，∴， ∴AE=AD-DE=33=， 故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】 根据题意可知反比例函数2y x =-的图象上的点关于y 轴的对称的点在函数2y x =上，由此可知反比例函数2y x=的图象与一次函数y=-x+m 的图象有两个不同的交点，继而可得关于x 的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.【详解】 ∵反比例函数2y x =-上有两个不同的点关于y 轴对称的点在一次函数y =-x +m 图象上， ∴反比例函数2y x=与一次函数y =-x +m 有两个不同的交点， 联立得2y x y x m⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得：2x m x =-+， 整理得：220x mx -+=，∵有两个不同的交点∴220x mx -+=有两个不相等的实数根，∴△=m 2-8＞0，∴m ＞m ＜故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.11．A解析：A【解析】∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴CB CEAC CD=，即CB CEAB BC DE EC=++，∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2∴1 1.21 1.8 1.2 AB=++∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．12．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．二、填空题13．或6【解析】【分析】当△PQB为等腰三角形时有两种情况需要分类讨论:①当点P在线段AB上时如图1所示由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP 的长；②当点P在线段AB的延长线上时如图2所示利用角解析：53或6．【解析】【分析】当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP 的中点，从而可以求出AP．【详解】解:在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，当点P在线段AB上时，如题图1所示：∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由(1)可知,△AQP ∽△ABC ， ∴,PA PQ AC BC = 即3,54PB PB -= 解得：43PB =， ∴45333AP AB PB =-=-=； 当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图2所示：∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =BQ .∵BP =BQ ，∴∠BQP =∠P ，∵90,90BQP AQB A P o o ，∠+∠=∠+∠= ∴∠AQB =∠A ，∴BQ =AB ，∴AB =BP ，点B 为线段AP 中点，∴AP =2AB =2×3=6. 综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,AP 的长为53或6. 故答案为53或6.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14．﹣2【解析】∵反比例函数y=-6x 的图象过点A （m3）∴3=-6m 解得=-2 解析：﹣2【解析】∵反比例函数的图象过点A （m ，3）， ∴，解得.15．5或（答对一个得1分）【解析】根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况有两种情况：①B′FC ∽△ABC 时B′FAB=CF/BC 又因为AB=AC=8BC=10BF=BF 所以解得BF=；②△B′CF ∽△解析：5或（答对一个得1分）【解析】根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：① B′FC∽△ABC时，B′F AB ="CF/BC" ，又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=BF，所以10810BF BF-=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，B′F/BA ="CF/CA" ，又因为AB=AC=8，BC=10，B'F=CF，BF=B′F，又BF+FC=10，即2BF=10，解得BF=5．故BF的长度是5或．16．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2解析：2【解析】【分析】【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝217．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似然后利用相似三角形的性质求解【详解】∵OA＝3OD OB＝3CO∴OA：OD＝BO：CO＝3：1∠AOB＝∠DO解析：6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴31 AO ABOD CD==，∴AB＝3CD，∵CD＝2，∴AB＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．18．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣x∵AB∥EF∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB ∥EF ，∴△ABC ∽△FEC ∴AB EF ＝BC CE， ∴12＝x 1x - 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16， 故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.19．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b ＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去解析：4【解析】∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．20．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B 利用同角的余弦得结论解：∵CD 是Rt△ABC 斜边上的高线∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠ 解析：45【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD =∠B ，利用同角的余弦得结论．解：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，∴CD ⊥AB ，∴∠A +∠ACD =90°，∵∠ACB =90°，∴∠B +∠A =90°，∴∠ACD =∠B ，∴cos ∠ACD =cos ∠B =BC AB =810=45， 故答案为：45. 三、解答题21．（1）710；（2）22ab a b +；（3）101-. 【解析】【分析】（1）求出BE ，BD 即可解决问题．（2）利用勾股定理，面积法求高CD 即可．（3）根据CD ＝3DE ，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，a ＝3，b ＝4， ∴2235,cos 5BC AB a b B AC ∴=+===． ∵CD ，CE 是斜边AB 上的高，中线， ∴∠BDC ＝90°，15BE AB 22==． ∴在Rt △BCD 中， 39cos 355BD BC B =⋅=⨯= 5972510DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ， 2222AB BC AC a b ∴=+=+ABC 11S AB CD AC BC 22=⋅=⋅V Q 2222AC BC ab a b CD AB a b⋅+∴===+22ab a b + （3）在Rt △BCD 中，22222cos BD BC B a a b a b =⋅==++∴222222222122DE BE BD a b a b a b=-=+=++，又1tan 3DE DCE CD ∠==， ∴CD ＝3DE 223=．∵b ＝3， ∴2a ＝9﹣a 2，即a 2+2a ﹣9＝0．由求根公式得1a =-±即所求a 1-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．9.6米．【解析】试题分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB 和AC 的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB 和AC 的长度，即可得到结论．试题解析：解：∵AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =90°，AB ∥DE ，∴△F AB ∽△FDE ，∴AB FB DE FE = ，∵FB =4米，BE =6米，DE =9米，∴4946AB =+，得AB =3.6米，∵∠ABC =90°，∠BAC =53°，cos ∠BAC =AB AC ，∴AC =cos AB BAC ∠ =3.60.6=6米，∴AB +AC =3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．23．(1)见解析 (2) △ABD ∽△ACE【解析】分析：（1）由∠BAD=∠CAE 易得∠BAC=∠DAE ，这样结合∠ABC=∠ADE ，即可得到△ABC ∽△ADE ．（2）由（1）中结论易得AB AC AD AE =，从而可得： AB AD AC AE=，这样结合∠BAD=∠CAE 即可得到△ABD ∽△ACE 了．详解；（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAC=∠DAE ，∵∠ABC=∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）△ABD ∽△ACE ，理由如下：由（1）可知△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE =， ∴AB AD AC AE=， 又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ．点睛：这是一道考查“相似三角形的判定与性质的题目”，熟悉“相似三角形的判定定理和性质”是解答本题的关键.24．（1）见解析；（2）能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用有两个角相等的三角形相似判定即可；（2）根据第一问可得到AD ：AE=AC ：AB ，有一组公共角∠A ，则可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似进行判定．【详解】()1证明：ACD ABE V V ∽．证明：∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴90ADC AEB ∠=∠=o ．∵A A ∠=∠，∴ACD ABE V V ∽．()2若将D ，E 连接起来，则AED V 与ABC V 能相似吗？说说你的理由．∵ACD ABE V V ∽，∴::AD AE AC AB =．∴AD:AC=AE:AB∵A A ∠=∠，∴AED ABC V V ∽．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.25．（1）y ＝﹣x ﹣2；（2）C （﹣2，0），△AOB =6，,（3）﹣4＜x ＜0或x ＞2.【解析】【分析】（1）先把B 点坐标代入代入y ＝m x，求出m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据x 轴上点的坐标特征确定C 点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB 的面积＝S △AOC +S △BOC 进行计算；（3）观察函数图象得到当﹣4＜x ＜0或x ＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣8x，把A（﹣4，n）代入y＝﹣8x，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2）．把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，得4224k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵y＝﹣x﹣2，∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝12×2×2+12×2×4＝6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．。
2019年太原中考一模数学试卷答案
(4)"数文 学 化节” 中，获得 “数学之星” 称号的小颖得到了A,B,C,D四枚纪念音（除头像外宪全相同）如团所
示，四枚纪念章l分 . 别印有四位数学家的头像她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从 中随机选取两枚送给
妹妹小 求 颖送给妹妹的两枚纪念坴中恰好有 枚印有华罗庚头像的概率
（提示答题时可用序号ABCD表示相应的纪念章）
信用卡还款将支付5元的服务费若小李此次还款总额为x元，贝心满足的方程为 【考点】 一 兀一 次方程的实际应用 【难度星级】＊ 【答案】(x -2000) x0. I%=5
【解析】略
15如图， 知形ABCD中， 点E, F分别在BC, CD边上， 且CE=3, CF=4, 若t:,AEF 是等边三角形， 则 AB的长为
A. 了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
B. 了解太原市九年级学生每日睡眠时长 C. "长征—3B火箭 ” 发射前， 检查其各零部件的合格悄况 D检测 一批新：们的手机的使用寿命 【考点】概率统计一一数据收织 【难度星级】＊ 【答案】C 【韶析】C选项巾各零部件的悄况都裔要酘枯确的数据
3如团， 含45° 角的三角板的直角顶点A在直线a上， 顶点C在直线b上若a I lb , 乙l= 60° ' 则乙2的度 数为（
8.
2a 计算 al -4
A.
I a-2
1 的结果为（ ） a -2
B
a+2
C. a-2
* 【考点】分式的化简运纾
【难度星级l
【答案] B
【觥. 析】
矿2-a4·-a-I 2
=·a22-a4·-
a+ 2 a'-4
=
a-2 = I (a+2)(a-2) a+2
山西省2019年中考数学试题含答案解析(Word版)
山西省2019年中考数学试题含答案解析(Word版)2019年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑。
）1.（2019·山西）下列选项中，哪个是1的相反数？A。
6/11B。
-6C。
6D。
-662.（2019·山西）以下不等式组的解集是？2x < 6.x ≥ 5}A。
x。
5B。
x < 3C。
-5 < x < 3D。
x < 53.（2019·山西）以下问题不适合进行全面调查的是？A。
调查某班学生每周课前预的时间。
B。
调查某中学在职教师的身体健康状况。
C。
调查全国中小学生课外阅读情况。
D。
调查某篮球队员的身高。
4.（2019·山西）如图所示，由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如下，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数。
则该几何体的左视图是？因为无法插入图片，请参考原文）5.（2019·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星。
据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为？A。
5.5×10^6B。
5.5×10^7C。
55×10^6D。
0.55×10^86.（2019·山西）下列运算正确的是？A。
(-3/2)^2 = 9/4B。
91 ÷ 3(3a^2) = 9a^6C。
5 - 3 ÷ 5 - 5 = -2/5D。
8 - 50 = -427.（2019·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等。
求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物。
设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为？5000 ÷ x = (8000 ÷ (x + 600))A。
山西省太原市数学中考一模试卷
山西省太原市数学中考一模试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 七下·梁子湖期中) 在实数－2.5，，3，，3π，0.15， 中，有理数的个数为 B，无理数的个数为 A，则 A－B 的值为（ ）A.3B . －3C . －1D.12. （2 分） (2017·滨江模拟) 如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=（ ）A . 70° B . 75° C . 80° D . 85° 3. （2 分） (2017 八下·蒙阴期末) 下列点不在正比例函数 y=﹣2x 的图象上的是（ ） A . （5，﹣10） B . （0，0） C . （2，﹣1） D . （1，﹣2） 4. （2 分） (2015·杭州) 下列各式的变形中，正确的是（ ） A . （﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2 B . ﹣x= C . x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1 D . x÷（x2+x）= +1 5. （2 分） (2016·南平模拟) 如图所示的几何体的主视图是（ ）第 1 页 共 14 页A.B.C.D. 6. （2 分） (2019·澄海模拟) 某鞋店先后卖出 7 双某品牌的运动鞋，其尺码依次为（单位：码）：40，39， 40，41，42，41，41，则这组数据的众数是（ ） A . 39 B . 40 C . 41 D . 42 7. （2 分） 下列命题中，是假命题的是（ ） A . 等边三角形只有一条对称轴 B . 若 a∥b，a∥c，则 b∥c C . 成轴对称的两个图形是全等图形 D . 等腰三角形两腰上的中线相等 8. （2 分） (2017·济宁模拟) 小敏的圆规摆放如图所示，则几个和小明的圆规形状一样的圆规中，与小明摆 放的位似的是（ ）A.B.第 2 页 共 14 页C.D.9.（2 分）(2018 八上·望谟月考) 如图，在中，D 是 BC 延长线上一点，，，则A. B. C. D. 10. （2 分） (2016 九上·东城期末) 若关于的 方程 A. B. C. D.有一个根为 -1，则 的值为（ ）11. （2 分） 在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F， 若 EC=2BE，则的值是（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2016 九上·西湖期末) 在△ABC 中，已知 AC=5，且+﹣=0，则 BC+AB=（ ）A.6B.7C.8D.9二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)第 3 页 共 14 页13. （1 分） (2019 七上·南浔月考) 的绝对值为 ________；的倒数为________；的值为________.14. （1 分） (2017·永定模拟) 在我国南海某海域探明可燃冰储量约有 194 亿立方米，数字 19400000000 用科学记数法表示正确的是________．15. （1 分） (2016·贵阳) 不等式组的解集为________．16. （1 分） (2019 九上·秀洲月考) 在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母是“s”的概率为________．17. （1 分） 已知扇形的弧长为 6πcm，圆心角为 60°，则扇形的面积为________．18. （1 分） (2019 九上·宁波期中) 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程的根为________．三、 解答题 (共 8 题；共 76 分)19. （10 分） (2018·鄂州) 先化简，后求值： 20. （5 分） (2020 八上·来宾期末) 如图，在△ABC 中，AB=AC。
山西省三地八校联考2019年中考数学一模试卷含答案解析+【精选五套中考模拟卷】
山西省三地八校联考2019年中考数学一模试卷含答案解析一、选择题1．在下列四个数中，比0小的数是（）A．B．|﹣0.5| C．11% D．2．下列说法中：①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，若CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程=的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一对角线为2．正确的序号有（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤3．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图（1）变到图（2），不改变的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°5．在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（）A．数形结合 B．转化思想 C．模型思想 D．特殊到一般6．如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（）A ．（2，1）B ．（，）C ．（2，﹣1）D ．（2，﹣）7．如图，正方形AEFG 的边AE 放置在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．﹣4+4B ．4+4C ．8﹣4D ． +18．如果将抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．y=（x ﹣1）2+2 B ．y=（x+1）2+2 C ．y=x 2+1D ．y=x 2+39．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁10．如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2，若直线l 满足：①点D 到直线l 的距离为；②A、C 两点到直线l 的距离相等． 则符合题意的直线l 的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）11．函数中，自变量x的取值范围是．12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于．13．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．14．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．16．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC 运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）17．计算：9×3﹣2+（π﹣3）0﹣|﹣2|+×；（2）已知x，y满足方程组，求2x﹣2y的值．18．（2019高县一模）已知A=﹣．（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为奇数时，求A的值．19．画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．20．去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数．（2）若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图，则“去B地”的扇形圆心角为多少？（3）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平？说明理由．21．若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．22．（2019高县一模）如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k ＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当x为何值时，y1＜y2？23．AE= cm，△FDM的周长为cm；（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．24．（2019成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？参考答案与试题解析一、选择题1．在下列四个数中，比0小的数是（）A．B．|﹣0.5| C．11% D．【考点】实数大小比较．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得=﹣2＜0，|﹣0.5|=0.5＞0，11%＞0，＞0，∴四个数中，比0小的数．故选：A．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．下列说法中：①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，若CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程=的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一对角线为2．正确的序号有（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤【考点】命题与定理．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断出①的正误；根据多边形的内角和公式：（n﹣2）180° （n≥3）且n为整数）可以计算出②的正误；根据方差公式可计算出③的正误；解分式方程可判断出④的正误；⑤要分两种情况进行讨论．【解答】解：①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=4，故此说法正确；②八边形的内角和度数为：（8﹣2）×180°=1080°，故此说法正确；③2、3、4、3这组数据的平均数为（2+3+4+3）÷4=3，方差为 [（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=0.5，故此说法正确；④分式方程=的解为x=，说法正确；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一对角线为2或6，故此说法错误；故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、多边形内角和公式、方差、分式方程的解法、以及菱形的性质，关键是熟练掌握各知识点．3．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图（1）变到图（2），不改变的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．5．在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（）A．数形结合 B．转化思想 C．模型思想 D．特殊到一般【考点】解分式方程；最简公分母．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，确定出用到的数学思想即可．【解答】解：在解分式方程+=2时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是转化思想，故选B【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的数学思想，解分式方程时注意要检验．6．如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（）A．（2，1） B．（，）C．（2，﹣1）D．（2，﹣）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO缩小，结合图形得出，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，因而得到的点E′的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，所以点E′的坐标为（2，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要记忆的内容．7．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4D． +1【考点】正方形的性质．【分析】阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，则S△ACD=ADCD=×2×2=2；AC=AD=2，则EC=2﹣2，∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC=MEEC=（2﹣2）2=6﹣4，∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4）=4﹣4．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质；注意到阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC是关键．8．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．9．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】加权平均数．【分析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．【解答】解：甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10=87.6（分），乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10=88.4（分），丙的平均成绩为：（90×6+83×4）÷10=87.2（分），丁的平均成绩为：（83×6+92×4）÷10=86.6（分），因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选：B．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．10．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正方形的性质．【分析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）11．函数中，自变量x的取值范围是x≥3且x≠4 ．【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的意义可知：x﹣3≥0，根据分式的意义可知：x﹣4≠0，就可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣4≠0，解得：x≥3且x≠4．【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于 2 ．【考点】菱形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，解得a=1，b=4，∵菱形的两条对角线的长为a和b，∴菱形的面积=×1×4=2．故答案为：2．【点评】本题考查了非负数的性质，菱形的性质，主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半，需熟记．13．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．【考点】圆锥的计算．【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴AB==2，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=2π12=2π．故答案为2π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= 5 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF= 5 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．【解答】解：作FG⊥AC，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠A CB=90°，∵点F是DE的中点，∴FG∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．16．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC 运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是①②③．【考点】动点问题的函数图象．【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．【解答】解：（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正确；（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BCEF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，故②正确；（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQPG=BQBPsin∠EBC=tt=t2．故③正确；（4）结论D错误．理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．故④错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）17．计算：9×3﹣2+（π﹣3）0﹣|﹣2|+×；（2）已知x，y满足方程组，求2x﹣2y的值．【考点】二元一次方程组的解；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法．【分析】（1）根据负指数幂、零次幂、绝对值及二次根式的运算分别计算求和即可；（2）把方程的两边分别相减可得到x﹣y的值，从而可求得2x﹣2y．【解答】解：（1）9×3﹣2+（π﹣3）0﹣|﹣2|+×=9×+1﹣2+=1+1﹣2+4=4；（2）在中，由②﹣①可得x﹣y=﹣2，∴2x﹣2y=﹣4．【点评】本题主要考查实数的运算及方程组的解法，掌握实数的运算法则及方程组的加减消元法法是解题的关键．18．（2019高县一模）已知A=﹣．（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为奇数时，求A的值．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】（1）先通分，再把分子相加减即可；（2）求出不等式的解集，再求出x为奇数时A的值即可．【解答】解：（1）A=﹣=﹣==；（2），由①得，x≥1，由②得，x＜5，故不等式的解集为：1≤x＜5，又∵x为奇数，且x≠1，∴x=3，∴A==﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．19．画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为，另一条直角边分别为3，4，2的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．【解答】解：如图1，三角形的周长=2+；如图2，三角形的周长=4+2；如图3，三角形的周长=5+；如图4，三角形的周长=3+．【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用网格特点作出直角．20．去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数．（2）若把同学们去A、B、C、D四个地点的人数情况绘制成扇形统计图，则“去B地”的扇形圆心角为多少？（3）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树状图分析这种方法对姐弟俩是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；扇形统计图；列表法与树状图法．【分析】（1）假设去B地的人数为x人，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可；（2）根据扇形圆心角的计算解答即可；（3）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可．【解答】解（1）设去B地x人，则，解得x=40，答：去B地的人数是40；（2）“去B地”的扇形圆心角为；（3）不公平，列表：∴P（姐姐）= P（弟弟）=又∵此游戏结果共有16种，且每种发生的可能性相同∴此游戏不公平．【点评】此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识，正确列举出所有可能是解题关键．21．若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．【考点】切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．【分析】（1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出的长；（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．【解答】（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，设OA=x，则OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，则的长l==；（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四边形ABMC为菱形．【点评】此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．22．（2019高县一模）如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k ＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当x为何值时，y1＜y2？【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小，从而得出反比例函数解析式；由三角形的面积公式可得出AB=4，结合点B坐标可得出点A的坐标，由A、P点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）令y1=y2，求出x的值，从而得出点Q的横坐标，结合两函数图象的位置关系即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P的坐标为（2，2），∴k=2×2=4，∴反比例函数解析式为y2=．∵S△ABC=ABPB=4，∴AB=4，∴点A（﹣2，0）．∵点A、P在一次函数图象上，∴有，解得：∴一次函数解析式为y1=x+1．（2）令y1=x+1=y2=，即x2+2x﹣8=0，解得：x1=﹣4，x2=2．即点Q横坐标为﹣4，点P横坐标为2．结合两函数图象可知：当x＜﹣4和0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，则当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＜y2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）结合函数图象的位置关系解不等式．23．AE= 3 cm，△FDM的周长为16 cm；（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据直角三角形勾股定理即可得出结论，（2）利用三角形相似对边比例关系计算出三角形各边长即可计算出结果，①根据题意，利用三角形全等即可证明结论，②根据勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出结果．【解答】解：（1）设AE=x，则EF=8﹣x，AF=4，∠A=90°，42+x2=（8﹣x）2，x=3，∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，∴，∴△FMD的周长=4++=16，故答案为：3，16；（2）EG⊥BF，EG=BF，则∠EGH+∠GEB=90°，由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称，∴∠FBE=∠EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB，∴△AFB≌△HEG，∴BF=EG；①△FDM的周长不发生变化，由折叠知∠EFM=∠ABC=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°，∴∠DFM+∠DMF=90°，∴∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，设AF为x，FD=8﹣x，∴，解得：，∴，∴FMD的周长=，∴△FMD的周长不变，②由折叠知∠FBE=∠EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB，∴△AFB≌△HEG，∴BF=EG，所以（2）中结论成立．【点评】本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，难度较大．24．（2019成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k 的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．。
山西省太原市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
山西省太原市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin45°的值等于（ ）A ．2B ．1C ．32D ．222．下列几何体中三视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）A ．32，31B ．31，32C ．31，31D ．32，354．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一(160个)，周二(160个)，周三(180个)，周四(200个)，周五(170个).则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是( )A ．180个，160个B ．170个，160个C ．170个，180个D ．160个，200个5．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12 B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23 C ．两人出相同手势的概率为12 D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样 6．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．7112的值在（ ）A ．0到l 之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间8．3点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）A．140°B．130°C．120°D．110°9．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y410．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D 为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，那么r的取值范围是（）A．r＜5 B．r＞5 C．r＜10 D．5＜r＜1012．如图，直线y=3x+6与x，y轴分别交于点A，B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将点C向左平移5个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（﹣1，3）D．（3，4）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．14．若关于x的二次函数y＝ax2+a2的最小值为4，则a的值为______．15．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．16．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为__米（结果保留根号）．17．若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=223k kx-+（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________．18．比较大小：13___1．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=34，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．20．（6分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.21．（6分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．22．（8分）试探究：小张在数学实践活动中，画了一个△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，再以点B为圆心，BC为半径画弧交AB于点D，然后以A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，如图1，则AE＝；此时小张发现AE2＝AC•EC，请同学们验证小张的发现是否正确．拓展延伸：小张利用图1中的线段AC及点E，构造AE＝EF＝FC，连接AF，得到图2，试完成以下问题：（1）求证：△ACF∽△FCE；（2）求∠A的度数；（3）求cos∠A的值；应用迁移：利用上面的结论，求半径为2的圆内接正十边形的边长．23．（8分）先化简，再求值：2441x x x +++÷（31x +﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+4． 24．（10分）学校决定在学生中开设：A 、实心球；B 、立定跳远；C 、跳绳；D 、跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表法求出刚好抽到不同性别学生的概率．25．（10分）解方程：3x 2﹣2x ﹣2＝1．26．（12分）解不等式：233x -﹣12x -≤1 27．（12分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【详解】解：sin45°=，2故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．2．A【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；故选A．【点睛】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．C【解析】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．故选C．4．B【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．D【解析】【分析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.【详解】A、错误．小明还有可能是平；B、错误、小明胜的概率是13，所以输的概率是也是13；C、错误．两人出相同手势的概率为13；D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13；故选D．【点睛】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．C【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-4x，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．7．B【解析】∵9<11<16,∴34<<,∴122<-<故选B.8．B【解析】【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【详解】解：3点40分时针与分针相距4+2060=133份， 30°×133=130， 故选B ．【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．9．A【解析】【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【详解】由图象可知：抛物线y 1的顶点为（-2，-2），与y 轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y 1=34（x+2）2-2； 抛物线y 2的顶点为（0，-1），与x 轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y 2=x 2-1；抛物线y 3的顶点为（1，1），与y 轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y 3=（x-1）2+1； 抛物线y 4的顶点为（1，-3），与y 轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y 4=2（x-1）2-3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．10．C【解析】【详解】∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴12AC AD AB AC ==， ∴2ACD ABC S AD S AC V V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2112ABC S V ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.11．D【解析】延长CD 交⊙D 于点E ，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴， ∵D 是AB 中点，∴CD=115AB=22， ∵G 是△ABC 的重心，∴CG=2CD 3=5，DG=2.5， ∴CE=CD+DE=CD+DF=10，∵⊙C 与⊙D 相交，⊙C 的半径为r ，∴ 510r <<，故选D.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、两圆相交等，根据知求出CG的长是解题的关键.12．B【解析】令x=0，y=6，∴B（0，6），∵等腰△OBC，∴点C在线段OB的垂直平分线上，∴设C（a，3），则C '（a－5，3），∴3=3（a－5）+6，解得a=4，∴C（4，3）.故选B.点睛：掌握等腰三角形的性质、函数图像的平移.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．40︒．【解析】【分析】根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【详解】÷=，连续左转后形成的正多边形边数为：4559︒÷=︒．则左转的角度是360940故答案是：40︒．【点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．14．1．【解析】【分析】根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可．【详解】解：∵关于x的二次函数y=ax1+a1的最小值为4，∴a1=4，a＞0，解得，a=1，故答案为1．【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．15．1．【解析】试题分析：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=1，故答案为1．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类讨论．16．3【解析】【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，继而可得∠DCB=60°，从而可得AD=CD=100米，3AB=AD+DB计算即可得.【详解】∵MN//AB，∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∠DCB=60°，∵CD=100米，∴AD=CD=100米，33∴3，故答案为：3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．17．y 2＜y 1＜y 2【解析】分析：设t=k 2﹣2k+2，配方后可得出t ＞1，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y 1、y 2、y 2的值，比较后即可得出结论．详解：设t=k 2﹣2k+2，∵k 2﹣2k+2=（k ﹣1）2+2＞1，∴t ＞1．∵点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （1，y 2）都在反比例函数y=223k k x-+（k 为常数）的图象上， ∴y 1=﹣2t ，y 2=﹣t ，y 2=t ， 又∵﹣t ＜﹣2t ＜t ， ∴y 2＜y 1＜y 2．故答案为：y 2＜y 1＜y 2．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 2的值是解题的关键．18．＜．【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】1，1，1．故答案为＜．【点睛】考查了算术平方根，非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）25r a 48=；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°，从而推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可．（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=12CD=12a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r．（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．【详解】解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵OA⊥CD，∴∠OAB+∠AGC=90°．又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，∴∠FBG+∠OBA=90°，即∠OBF=90°．∴OB⊥FB．∵AB是⊙O的弦，∴点B在⊙O上．∴BF是⊙O的切线．（2）∵AC∥BF，∴∠ACF=∠F．∵CD=a，OA⊥CD，∴CE=12CD=12a．∵tan∠F=34，∴AE3 tan ACFCE4∠==，即AE3 14a2=．解得3AE a8=．连接OC，设圆的半径为r，则3 OE r a8=-，在Rt△OCE中，222CE OE OC+=，即222 13a r a r28⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25r a48 =．（3）证明：连接BD，∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），∴∠DBG=∠F．又∵∠FGB=∠FGB，∴△BDG∽△FBG．∴DG GBGB GF=，即GB2=DG•GF．∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，即GF2﹣GB2=DF•GF．20．（1）3，补图详见解析；（2）7 12【解析】【分析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人），则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712 P=.【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键21．（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CD CD BD=．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．22．（1）小张的发现正确；（2）详见解析；（3）∠A＝36°；（451【解析】【分析】尝试探究：根据勾股定理计算即可；拓展延伸：（1）由AE 2＝AC•EC ，推出=AC AE AE EC ，又AE ＝FC ，推出=AC FC FC EC，即可解问题； （2）利用相似三角形的性质即可解决问题； （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，根据cos ∠A ＝AM AF ，求出AM 、AF 即可； 应用迁移：利用（3）中结论即可解决问题；【详解】1；∵∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，∴AB∴AD ＝AE 1，∵AE 21）2＝6﹣AC•EC ＝2×[2﹣（1）]＝6﹣，∴AE 2＝AC•EC ，∴小张的发现正确；拓展延伸：（1）∵AE 2＝AC•EC ， ∴=AC AE AE EC∵AE ＝FC ， ∴=AC FC FC EC ， 又∵∠C ＝∠C ，∴△ACF ∽△FCE ；（2）∵△ACF ∽△FCE ，∴∠AFC ＝∠CEF ，又∵EF ＝FC ，∴∠C ＝∠CEF ，∴∠AFC ＝∠C ，∴AC ＝AF ，∵AE ＝EF ，∴∠A ＝∠AFE ，∴∠FEC ＝2∠A ，∵EF ＝FC ，∴∠C ＝2∠A ，∵∠AFC ＝∠C ＝2∠A ，∵∠AFC+∠C+∠A ＝180°，∴∠A ＝36°；（3）如图，过点F 作FM ⊥AC 交AC 于点M ，由尝试探究可知AE 51 ，EC ＝35∵EF ＝FC ，由（2）得：AC ＝AF ＝2，∴ME ＝352-，∴AM ＝512， ∴cos ∠A ＝514=AM AF ； 应用迁移： ∵正十边形的中心角等于36010︒＝36°，且是半径为2的圆内接正十边形， ∴如图，当点A 是圆内接正十边形的圆心，AC 和AF 都是圆的半径，FC 是正十边形的边长时， 设AF ＝AC ＝2，FC ＝EF ＝AE ＝x ，∵△ACF ∽△FCE ， ∴AF FC EF EC= ， ∴22=-EF EF EF ， ∴51=EF ，∴半径为251．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．23．-5【解析】【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．【详解】当x=sin30°+2﹣1+4时，∴x=12+12+2=3，原式=2(x2)x1++÷24xx1-+=x2x2+--=﹣5.【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．24．（1）150；（2）详见解析；（3）3 5 .【解析】【分析】（1）用A类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）用总人数分别减去A、C、D得到B类人数，再计算出它所占的百分比，然后补全两个统计图；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出刚好抽到不同性别学生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）15÷10%=150，所以共调查了150名学生；（2）喜欢“立定跳远”学生的人数为150﹣15﹣60﹣30=45，喜欢“立定跳远”的学生所占百分比为1﹣20%﹣40%﹣10%=30%，两个统计图补充为：（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中刚好抽到不同性别学生的结果数为12， 所以刚好抽到不同性别学生的概率123.205== 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．25．121717x x +-== 【解析】【分析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x 22-2-43-2±⨯⨯（）（） 17± 即121717x x +-== ∴原方程的解为121717x x +-==. 【点睛】本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．26．x≥19． 【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】231132x x ---≤ 2（2﹣3x ）﹣3（x ﹣1）≤6，4﹣6x ﹣3x+3≤6，﹣6x﹣3x≤6﹣4﹣3，﹣9x≤﹣1，x≥19．【点睛】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．27．(1)证明见解析；(2)253.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，AD=53，进而得到菱形AEDF的面积S．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=12AB=AE，Rt△ACD中，DF=12AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3，∴菱形AEDF的面积S=12EF•AD＝12×5×3253．【点睛】本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．。
2019年山西省太原市中考数学模拟试卷含答案
2019年山西省太原市中考数学模拟试卷含答案一、选择题1．计算﹣2﹣3的结果是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．52．如图，∠FAB与∠ECD都是锐角，其中AB∥CD，AF∥CE，射线AB与CE相交于点O，若∠FAB=60°，则∠ECD的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°3．下列运算正确的是（）A．（﹣a2）2=﹣a4B．+=2C．（π﹣2）0=0 D．（）﹣2=94．某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是95分，而方差依次为s甲2=0.2，s乙2=0.8，s丙2=1.6，s丁2=1.2．根据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（）A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．丁代表队5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE=70°，则∠BAD的度数为（）A．140° B．110° C．220° D．70°6．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（）A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个7．对于反比例函数y=，下列四个结论正确的是（）A．图象经过点（2，2）B．y随x的增大而减小C．图象位于第一、三象限 D．当x＜1时，y的值都大于28．用一个平面按如图所示的方式“切割”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开，“切割线”（虚线）位置正确的是（）A．B．C．D．9．水分子的直径为4×10﹣10m，而一滴水中大约有1.67×1021个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（）A．6.68×1031m B．6.68×10﹣11m C．6.68×10﹣31m D．6.68×1011m10．如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形ABCDEF 的顶点均在矩形边上，正六边形内部有一正方形GHIJ．根据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（）A．a2B．（+1）a2 C．2a2D．a2二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）11．计算（a﹣2）2的结果是．12．二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是．13．学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是．14．分式方程+=的解为．15．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为．16．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，线段EF与BH相交于点P，DF与GH相交于点Q．若四边形HPFQ是矩形，则的值为．三、简答题（共8个小题，共72分）17．（1）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．18．为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）这次接受随机调查的学生有人；（2）请将上面的两幅图补充完整；（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是天，中位数是天，众数是天；（4）若该市七年级学生40000人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有多少人？19．（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC=120千米，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地行驶多少千米？21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，以C为顶点在△ABC外侧作∠ACM=∠ABC．（1）判断射线CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）延长BC到点D，使BC=CD，连接AD与⊙O交于点E，若AB=6，∠ABC=60°，则阴影部分的面积为．22．某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台．已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元．（1）求购买1块电子白板和一台投影机各需多少元？（2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为100000元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额．23．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A 作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB 的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求的值．拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．24．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣3），过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E（D在E的左侧），直线DC与线段AB交于点F．（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）求点F的坐标；（3）如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC 的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，说明理由；②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．计算﹣2﹣3的结果是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】有理数的减法．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可求解．【解答】解：﹣2﹣3=﹣2+（﹣3）=﹣5．故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减法法则是解决本题的关键．2．如图，∠FAB与∠ECD都是锐角，其中AB∥CD，AF∥CE，射线AB与CE相交于点O，若∠FAB=60°，则∠ECD的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°【考点】平行线的性质．【分析】根据AB∥CD，得出∠EOB=∠ECD，再根据AF∥CE，得出∠EOB=∠FAB解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EOB=∠ECD，∵AF∥CE，∴∠EOB=∠FAB，∴∠FAB=∠ECD=60°，故选B【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等．3．下列运算正确的是（）A．（﹣a2）2=﹣a4B．+=2C．（π﹣2）0=0 D．（）﹣2=9【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据积的乘方、二次根式的化简，0次幂和负指数幂，即可解答．【解答】解：A．（﹣a2）2=a4，故错误；B.，故错误；C．（π﹣2）0=1，故错误；D.，正确；故选：D．【点评】本题考查了积的乘方、二次根式的化简，0次幂和负指数幂，解决本题的关键是熟记相关法则．4．某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是95分，而方差依次为s甲2=0.2，s乙2=0.8，s丙2=1.6，s丁2=1.2．根据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（）A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．丁代表队【考点】方差．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【解答】解：∵s=0.2，s=0.8，s=1.6，s=1.2，∴s＜s＜s＜s，∴这四支代表队中成绩最稳定的是甲代表队；故选A．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE=70°，则∠BAD的度数为（）A．140° B．110° C．220° D．70°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=∠DCE=70°，故选D．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．6．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（）A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个【考点】利用频率估计概率．【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故选B．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．7．对于反比例函数y=，下列四个结论正确的是（）A．图象经过点（2，2）B．y随x的增大而减小C．图象位于第一、三象限 D．当x＜1时，y的值都大于2【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y=，1=2不成立，故选项错误；B、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误．C、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确；D、∵当x＜0时图象位于第四象限，所以错误；故选C．【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．8．用一个平面按如图所示的方式“切割”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开，“切割线”（虚线）位置正确的是（）A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】将ABCD作为面向自己的面，展开即可．【解答】解：将ABCD作为面向自己的面展开，即可得到，故选C．【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉正方体的展开图，并逐步培养自己的空间意识．9．水分子的直径为4×10﹣10m，而一滴水中大约有1.67×1021个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（）A．6.68×1031m B．6.68×10﹣11m C．6.68×10﹣31m D．6.68×1011m【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：由题意可得：4×10﹣10×1.67×1021=6.68×1011，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形ABCDEF 的顶点均在矩形边上，正六边形内部有一正方形GHIJ．根据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（）A．a2B．（+1）a2 C．2a2D．a2【考点】列代数式．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据正六边形的性质求得∠MAB的度数，然后求得三角形MAB的面积，用4个三角形的面积加上正方形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=120°，AF=AB=a，∴∠BAM=60°，∴MA=，MB=a，∴S△ABM=MA•MB=××a=a2，∴S阴影=4S△ABM+S正方形GHIJ=（+1）a2，故选B．【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是根据正六边形的性质求得三角形MAB的面积，难度不大．二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）11．计算（a﹣2）2的结果是a2﹣4a+4 ．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式计算即可．【解答】解：（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故答案为：a2﹣4a+4【点评】此题考查完全平方公式，关键是完全平方公式的形式计算．12．二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是﹣4 ．【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．13．学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表或树状图将所有等可能的结果，利用概率公式求解即可．【解答】解：列树状图得：∵共有4种等可能的结果，周六、周日都有志愿者参加的有2种，∴P（周六、周日都有志愿者参加公益活动）==．故答案为：．【点评】考查了列表或树状图的知识，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大．14．分式方程+=的解为x=﹣1 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣3+x+2=x﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：x=﹣1【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为﹣．【考点】翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质得出∠ABO=∠OBC=60°，由三角函数求出OA，得出点A 的坐标，代入直线y=kx+4求出k即可．【解答】解：∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∵直线y=kx+4，当x=0时，y=4，∴B（0，4），∴OB=4，由折叠的性质得：∠ABO=∠OBC=60°，∵∠AOB=90°，∴OA=OB=4，∴A（4，0），把点A（4，0）代入直线y=kx+4得：4k+4=0，解得：k=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．16．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，线段EF与BH相交于点P，DF与GH相交于点Q．若四边形HPFQ是矩形，则的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】由矩形ABCD中，四边形HPFQ是矩形，易证得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，又由点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，即可求得答案．【解答】解：∵四边形HPFQ是矩形，∴∠EFD=90°，∴∠BFE+∠CFD=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD，∴∠BFE+∠BEF=90°，∴∠CFD=∠BEF，∴△BEF∽△CFD，∴，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴，∴=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得△BEF∽△CFD是解此题的关键．三、简答题（共8个小题，共72分）17．（1）先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．【考点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】（1）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，分子因式分解，约分即可，再把x=﹣1代入即可得出答案；（2）先解两个不等式，再求解集的公共部分，把解集画在数轴上即可．【解答】解：（1）原式=•=，把x=﹣1代入原式==﹣；（2），解①得x＜3，解②得x≥﹣2，把不等式组的解集画在数轴上，不等式组的解集为﹣2≤x＜3．【点评】本题考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，分式的通分、因式分解以及不等式组解集的四种情况是解题的关键．18．为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）这次接受随机调查的学生有300 人；（2）请将上面的两幅图补充完整；（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是 4.18 天，中位数是 4 天，众数是4 天；（4）若该市七年级学生40000人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）根据2天的人数和所占的百分比即可求出随机调查的学生总数；（2）用调查的总人数减去其它天数的人数求出参加社会实践活动5天的人数，从而补全统计图；（3）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；（4）用该市七年级学生的总数乘以参加综合实践活动的天数超过5天的学生所占的百分比即可得出答案．【解答】解：（1）这次接受随机调查的学生有=300（人）；故答案为：300；（2）参加社会实践活动5天的人数是：300﹣30﹣75﹣90﹣36﹣24=45（人），画图如下：（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是：（2×30+3×75+4×90+5×45+6×36+7×24）÷300=4.18 （天），最中间两个数的平均数是（4+4）÷2=4，则中位数是4天，4出现了90次，出现的次数最多，则众数是4天，故答案为：4.18，4，4；（4）根据题意得：40000×（15%+8%+12%）=14000（人），答：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有14000人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．【分析】（1）利用旋转对称图形的性质分别得出符合题意的答案；（2）①利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°；（2）①如图2所示：②如图3所示：【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称图形的性质，正确把握旋转对称图形的定义是解题关键．20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC=120千米，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地行驶多少千米？【考点】解直角三角形的应用．【分析】利用锐角三角函数关系得出CE，AE，BE的长，进而求出隧道开通后汽车从A地到B地行驶的路程．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，∵∠A=30°，AC=120km，∴EC=60km，AE=120×cos30°=60（km），∵∠B=135°，∴BE=EC=60km，∴AB=60﹣60=60（﹣1）km，答：隧道开通后汽车从A地到B地行驶60（﹣1）km．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，分别求出CE，AE，BE的长是解题关键．21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，以C为顶点在△ABC外侧作∠ACM=∠ABC．（1）判断射线CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）延长BC到点D，使BC=CD，连接AD与⊙O交于点E，若AB=6，∠ABC=60°，则阴影部分的面积为3π﹣．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】（1）由AB为直径得到∠OCB+∠ACO=90°，加上∠B=∠OCB，∠B=∠ACM，则∠ACO+∠ACM=90°，所以OC⊥CM，于是根据切线的判定定理即可得到CM为⊙O的切线；（2）在Rt△ACB=90°利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AB=3，AC=BC=3，由OA=OC得到S△AOC=S△BOC，则可计算出S△AOC=S△ABC=，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC进行计算．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，而∠B=∠ACM，∴∠ACO+∠ACM=90°，即∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB=3，AC=BC=3，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，S△AOC=S△BOC，∴S△AOC=S△ABC=×××3=，∴阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣=3π﹣．故答案为3π﹣．【点评】本切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．22．某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台．已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元．（1）求购买1块电子白板和一台投影机各需多少元？（2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为100000元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）可设购买1块电子白板需x元，购买一台投影机需y元，根据等量关系：①其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台；②已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元；列出方程组求解即可；（2）可设增长率为z，根据等量关系为：第一批教学器材投入经费×（1+增长率）2=第三批教学器材投入经费，把相关数值代入计算求得合适解即可．【解答】解：（1）设购买1块电子白板需x元，购买一台投影机需y元，依题意有，解得．答：购买1块电子白板需7000元，购买一台投影机需4000元；（2）可设增长率为z，依题意有100000（1+z）2=144000，（1+z）2=1.44，∵1+z＞0，∴1+z=1.2，∴z=20%．100000+100000×（1+20%）+144000=100000+120000+144000=364000（元）．答：该区去年教学器材投入的经费总额是364000元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键；同时考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．23．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．变式探究：分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB 的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求的值．拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证明△AOG≌△BOE，根据全等三角形的性质证明即可；（2）证明△AOG∽△BOE，再根据∠ABC=60°求出的值，得到答案；（3）证明△AOG∽△BOE，再根据∠ABC=α求出的值，得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠AOG=90°，∴∠AGO+∠GAO=90°，∵AF⊥BE，∴∠E+∠GAO=90°，∴∠AGO=∠E，在△AOG和△BOE中，∴△AOG≌△BOE，∴OG=OE．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，。
〖汇总3套试卷〗太原市2019年中考数学一月一模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，直线y ＝kx+b 与y ＝mx+n 分别交x 轴于点A （﹣1，0），B （4，0），则函数y ＝（kx+b ）（mx+n ）中，则不等式()()0kx b mx n ++>的解集为（ ）A ．x ＞2B ．0＜x ＜4C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＜﹣1 或 x ＞4【答案】C【解析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y 1＝kx+b 与直线y 2＝mx+n 分别交x 轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)， ∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x ＜4， 故选C ． 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 2．下列各式：①a 0=1 ②a 2·a 3=a 5 ③ 2–2= –14④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x 2+x 2=2x 2，其中正确的是 ( ) A ．①②③ B ．①③⑤C ．②③④D ．②④⑤【答案】D【解析】根据实数的运算法则即可一一判断求解.【详解】①有理数的0次幂，当a=0时，a 0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2=14，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确． 故选D.3．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒ 故选：C ． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．4．如图,A,B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B 间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B 的点C,找到AC,BC 的中点D,E,并且测出DE 的长为10m,则A,B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理即可得到结果. 【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm ， 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵ab ＞0，∴a 、b 同号．当a ＞0，b ＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a ＜0，b ＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求．6．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集． 解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0有两个实根， ∴△≥0，∴4﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0，∵x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=k+1， ∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1， 解得k ＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜k≤0， 在数轴上表示为：，故选D ．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键． 7．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ） A ．±3 B ．3C ．5D ．9【答案】B【解析】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，223m n mn +-=2()5m n mn +-. 【详解】由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-， 原式=22()525(1)93m n mn +-=-⨯-==故选：B 【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.8．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( ) A ．B ．－C ．4D ．－1【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．9．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．10033100x yx y+=⎧⎨+=⎩B．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故选C．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．10．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是()A．68π cm2B．74π cm2C．84π cm2D．100π cm2【答案】C【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：圆锥的计算；几何体的表面积．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.【答案】48°【解析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．【详解】连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB=3605︒=72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM=3603︒=120°，∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，故答案为48°．点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．12．在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=__．【答案】5：1【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题．【详解】解：作AE∥BC交DC于点E，交DF于点F，设每个小正方形的边长为a，则△DEF∽△DCN，∴EFCN ＝DFDN＝13，∴EF=13a，∵AF=2a，∴AE=53a，∵△AME∽△BMC，∴AMBM＝AEBC＝534aa＝512，故答案为：5：1．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点（1,1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P 的坐标是_______．【答案】（2019，2）【解析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．【详解】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019=4×504+3当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2）故答案为（2019，2）.【点睛】本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 14．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为__________.【答案】14【解析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积=14S 四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．【点睛】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 15．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．【答案】3【解析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】连接OQ ． ∵PQ 是O 的切线，∴OQ PQ ⊥； ∴222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短， ∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==， ∴28AB OA ==，∴4OA OBOP AB⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.故答案为：23． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB ⊥时，线段PQ 最短是关键．16．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程2x 3x 80k -+=，则△ABC 的周长是 ． 【答案】6或12或1．【解析】根据题意得k≥0且（3k ）2﹣4×8≥0，解得k≥329. ∵整数k ＜5，∴k=4.∴方程变形为x 2﹣6x+8=0，解得x 1=2，x 2=4. ∵△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2﹣6x+8=0， ∴△ABC 的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2. ∴△ABC 的周长为6或12或1.考点：一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，分类思想的应用. 【详解】请在此输入详解！17．某社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m 1)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是_____m 1．【答案】150【解析】设绿化面积与工作时间的函数解析式为，因为函数图象经过，两点，将两点坐标代入函数解析式得得，将其代入得，解得，∴一次函数解析式为，将代入得，故提高工作效率前每小时完成的绿化面积为．18．在△ABC 中，AB=AC ，把△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N ．如果△CAN 是等腰三角形，则∠B 的度数为___________． 【答案】或．【解析】MN 是AB 的中垂线，则△ABN 是等腰三角形，且NA=NB ，即可得到∠B=∠BAN=∠C ．然后对△ANC 中的边进行讨论，然后在△ABC 中，利用三角形内角和定理即可求得∠B 的度数． 解：∵把△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N ，∴MN 是AB 的中垂线． ∴NB=NA ． ∴∠B=∠BAN ， ∵AB=AC ∴∠B=∠C ．设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°． 1）当AN=NC 时，∠CAN=∠C=x°．则在△ABC 中，根据三角形内角和定理可得：4x=180， 解得：x=45°则∠B=45°；2）当AN=AC 时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN ，故此时不成立； 3）当CA=CN 时，∠NAC=∠ANC=180x2-． 在△ABC 中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+180x2-=180， 解得：x=36°．故∠B 的度数为 45°或36°． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在ABC 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．【答案】DG∥BC，理由见解析【解析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．求证：四边形ABCD是菱形；若AB5BD＝2，求OE的长．【答案】（1）见解析；（1）OE＝1．【解析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（1）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD ＝AB ，∴▱ABCD 是菱形；（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，BD ⊥AC ，∵CE ⊥AB ，∴OE ＝OA ＝OC ，∵BD ＝1，∴OB ＝12BD ＝1，在Rt △AOB 中，AB OB ＝1，∴OA 1，∴OE ＝OA ＝1．【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB 是解本题的关键21．解方程（2x+1）2=3（2x+1）【答案】x 1=-12，x 2=1 【解析】试题分析：分解因式得出（2x+1）（2x+1﹣3）=0，推出方程2x+1=0，2x+1﹣3=0，求出方程的解即可．试题解析：解：整理得：（2x+1）2－3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，即2x+1=0，2x+1﹣3=0，解得：x 1=﹣12，x 2=1． 点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方程，题目比较典型，难度不大．22．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x .求k 的取值范围；若12121x x x x +=-，求k 的值；【答案】（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)； 【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤ ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)解得k 1＝1，k 2＝－3∵12k ≤ ∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式.23．如图，在Rt ΔABC 中，C 90∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，点O在AB 上，O 经过A,D 两点，交AB 于点E ，交AC 于点F . 求证：BC 是O 的切线；若O 的半径是2cm ，F 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）.【答案】（1）证明见解析；（2）22(23)3cm π 【解析】（1）连接OD ，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得∠ADO=∠CAD ，即可证明OD//AC ，进而可得∠ODB=90°，即可得答案；（2）根据圆周角定理可得弧AF =弧DF =弧DE ，即可证明∠BOD=60°，在Rt ΔBOD 中，利用∠BOD 的正切值可求出BD 的长，利用S 阴影=S △BOD -S 扇形DOE 即可得答案. 【详解】（1）连接OD∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠∠=，∵OA OD = ，∴BAD ADO ∠∠=， ∴ADO CAD ∠∠=，∴OD//AC ，∴ODB C 90∠∠==，∴OD BC ⊥又OD 是O 的半径， ∴BC 是O 的切线（2）由题意得OD 2cm =∵F 是弧AD 的中点∴弧AF =弧DF∵BAD CAD ∠∠=∴弧DE =弧DF∴弧AF =弧DF =弧DE ∴1BOD 180603∠=⨯= 在Rt ΔBOD 中 ∵BD tan BOD OD ∠=∴BD OD tan BOD 2tan6023cm ∠=⋅==2ΔBOD DOE 2S S S 23πcm 3阴影扇形⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理及扇形面积，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都定义这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握相关定理及公式是解题关键.24．观察猜想：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在边BC 上，连接AD ，把△ABD 绕点A 逆时针旋转90°，点D落在点E 处，如图①所示，则线段CE 和线段BD 的数量关系是 ，位置关系是 ．探究证明：在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．拓展延伸：如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=2，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）1 4 .【解析】分析：（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）证明的方法与（1）类似．（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得MD AMCF DC，设DC=x，MD=1-x，利用相似比可得到CF=-x2+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．详解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；故答案为CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠CAE=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE=AM，∵∠ACB=45°，∴△AMC为等腰直角三角形，∴AM=MC，∴MC=NE，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC=90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF=90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴MD AM，CF DC设DC=x，∵∠ACB=45°，2，∴11x CF x -=， ∴CF=-x 2+x=-（x-12）2+14， ∴当x=12时有最大值，CF 最大值为14． 点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质． 25．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．【答案】4小时.【解析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A 地道B 的速度＝客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．【详解】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x 小时，则走普通公路需2x 小时，根据题意得：60048045,2x x += 解得x ＝4经检验，x ＝4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可．26．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.【答案】（1）14（2）316 【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．试题解析：（1）P（两次取得小球的标号相同）=41 164；（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=3 16．考点：概率的计算．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】解关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程1311a x x x --=++有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y a y +⎧⎨<-⎩ ∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵1311a x x x --=++得x ＝42a - 而关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解 ∴a ﹣4＜1∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3则符合条件的所有整数a 的和为1．故选B ．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．2．下列说法正确的是( )A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.详解：A 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；B 、四条边相等的四边形是菱形，故错误；C 、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；D 、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；故选D ．点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理．3．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =【答案】D【解析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．4．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是()A ．32OBCD = B ．32αβ= C ．1232S S = D ．1232C C =【答案】D【解析】A 选项，在△OAB ∽△OCD 中，OB 和CD 不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A 选项不一定成立；B 选项，在△OAB ∽△OCD 中，∠A 和∠C 是对应角，因此αβ=，所以B 选项不成立；C 选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C 选项不成立；D 选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D 选项一定成立.故选D.5．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：2【答案】B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：： ∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5∵AB=CD ，∴DE ：EC=2：3故选B6．若抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为( )A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k ＞﹣1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠0【答案】C【解析】根据抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1与x 轴有两个不同的交点，得出b 2﹣4ac ＞0，进而求出k 的取值范围．【详解】∵二次函数y ＝kx 2﹣2x ﹣1的图象与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k ＞0，∴k ＞﹣1，∵抛物线y ＝kx 2﹣2x ﹣1为二次函数，∴k≠0，则k 的取值范围为k ＞﹣1且k≠0，故选C.本题考查了二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x 轴交点的个数与b 2-4ac 的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.7．如果2(2)2a a-=-，那么（ ）A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】B 【解析】试题分析：根据二次根式的性质2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.8．用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，设用x 张铝片制作瓶身，则可列方程（ ）A ．1645(100)x x =-B ．1645(50)x x =-C ．21645(100)x x ⨯=-D ．16245(100)x x =⨯-【答案】C【解析】设用x 张铝片制作瓶身，则用()100x -张铝片制作瓶底，可作瓶身16x 个，瓶底()45100x -个，再根据一个瓶身和两个瓶底可配成一套，即可列出方程.【详解】设用x 张铝片制作瓶身，则用()100x -张铝片制作瓶底，依题意可列方程()21645100x x ⨯=-故选C.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.9．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，若△CED 的周长为6，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC=AB ，AD=BC ，∵AC 的垂直平分线交AD 于点E ，∴AE=CE ，∴△CDE 的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD 的周长=2×6=12，故选B ．10．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】y 随x 的增大而减小，可得一次函数y=kx+b 单调递减，k ＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【详解】∵y 随x 的增大而减小，∴一次函数y=kx+b 单调递减，∴k ＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k 、b 是常数)的图象和性质是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_____． 【答案】35【解析】判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可．【详解】解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种，故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：．故答案为．【点睛】考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等．12．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -，()8,2.B 如图所示，则能使12y y 成立的x 的取值范围是______．【答案】x<-2或x>1【解析】试题分析：根据函数图象可得：当12y y 时，x ＜－2或x ＞1．考点：函数图象的性质13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m ．【答案】1【解析】设抛物线的解析式为：y=ax 2+b ，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2.4，根据题意求出y=1.8时x 的值，进而求出答案；【详解】设抛物线的解析式为：y=ax 2+b ，由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2.4， ∵菜农的身高为1.8m ，即y=1.8，则1.8=﹣x 2+2.4，解得：x=（负值舍去）故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米，故答案为1．14．如图，在平行四边ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）∠DCF=∠BCD ，（2）EF=CF ；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF【答案】①②④【解析】试题解析：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，{A FDM AF DFAFE DFM∠=∠=∠=∠，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．15．如图，四边形ABCD是菱形，☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D=78°，则∠EAC=________°.【答案】1．【解析】解:∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=1（180°-∠D）=51°，2又∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=1°.故答案为:1°16．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD=___________°．【答案】1【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=1°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴∠ABD=∠A=1°；故答案是1．17．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．【答案】2x =或x=-1【解析】由点A 的坐标及AB 的长度可得出点B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【详解】∵点A 的坐标为（-2，0），线段AB 的长为8，∴点B 的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1． 故答案为x=2或x=-1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x 轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．18．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】233π- 【解析】连接BD ，易证△DAB 是等边三角形，即可求得△ABD 的高为3，再证明△ABG ≌△DBH ，即可得四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，由图中阴影部分的面积为S 扇形EBF ﹣S △ABD 即可求解.【详解】如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ADC ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴△ABD，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD ＝2602360π⨯﹣1223π-故答案是：23π- 【点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．计算：11|12sin 60(2016)3π-︒︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．【答案】 (1)1；（2）【解析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式1﹣2×2+1﹣﹣1﹣2=1． （2）原式=[31x +﹣(1)(1)1x x x +-+]•21(2)x x ++ =(2)(2)1x x x -+-+•21(2)x x ++ =22x x -+，。