辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法
高等代数辗转相除法是一种解决多项式问题的基本方法，也称为欧几里得算法或辗转相除法，其基本思想是将两个多项式进行除法运算，不断用余数作为被除数进行下一次除法运算，直到余数为0为止。
其本质是在寻找多项式的最大公因子，可以用于求解多项式的因式分解、求解方程组等问题。
辗转相除法的具体步骤如下：
1. 将两个多项式按照同一变量的次数从高到低排列，保证次数最高的项在最前面。
2. 用较小的多项式去除较大的多项式，得到商和余数。
3. 将余数和除数交换位置，重复以上步骤，直到余数为0为止。
4. 此时被除数即为最大公因子。
辗转相除法的优点在于简单易懂，而且可以适用于任何多项式，但是其缺点是效率较低，在大规模计算时不太实用。
因此，在实际应用中，需要结合其他方法来解决问题。
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辗转相除法
辗转相除法实验报告
一、实验目的1. 理解辗转相除法的原理。
2. 掌握使用辗转相除法求解两个正整数最大公约数的方法。
3. 通过实验加深对数学理论知识的理解。
二、实验原理辗转相除法，也称欧几里得算法，是一种用于求两个正整数a和b（a>b）的最大公约数（GCD）的算法。
其基本原理是：用较大数a除以较小数b，得到余数r1，再用b除以r1，得到余数r2，如此重复，直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。
三、实验器材1. 计算机2. 编程软件（如Python、C++等）3. 笔记本四、实验步骤1. 输入两个正整数a和b：确保a>b，否则交换a和b的值。
2. 初始化余数r为a。
3. 循环执行以下步骤：a. 计算r除以b的余数，赋值给r。
b. 如果r等于0，则b即为最大公约数，结束循环。
c. 如果r不等于0，则将b赋值给r，b赋值给新的临时变量。
4. 输出最大公约数。
五、实验代码（Python）```pythondef gcd(a, b):while b != 0:r = a % ba = bb = rreturn a# 输入两个正整数a = int(input("请输入第一个正整数a："))b = int(input("请输入第二个正整数b（a>b）："))# 调用gcd函数计算最大公约数result = gcd(a, b)# 输出结果print("最大公约数为：", result)```六、实验结果与分析1. 当输入a=56，b=48时，程序输出最大公约数为8。
2. 当输入a=100，b=50时，程序输出最大公约数为50。
3. 当输入a=101，b=102时，程序输出最大公约数为1。
通过实验，我们可以看到辗转相除法能够快速且准确地计算出两个正整数的最大公约数。
该算法在数学领域有着广泛的应用，如密码学、计算机科学等。
七、实验总结本次实验让我们深入理解了辗转相除法的原理，并掌握了使用Python编程实现该算法的方法。
辗转相除法 百科
辗转相除法百科
辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种用于计算两个非负整数最大公约数的方法。
它的计算公式为gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)，即两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。
这个算法在数学和计算机领域都有广泛的应用，并且可以使用多种编程语言实现。
此外，辗转相除法还可以用于多项式中，通过多次利用带余除法计算两个多项式的最大公因式。
对于多项式f(x)和g(x)，如果存在一个多项式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，那么f(x)和g(x)与g(x)和r(x)有相同的公因式。
以上内容仅供参考，建议查阅专业的数学书籍获取更全面和准确的信息。
辗转相除法及其原理
辗转相除法及其原理辗转相除法是⼀种⽤于计算两个整数最⼤公约数的算法，核⼼是运⽤了 gcd( a, b ) = gcd( b, a mod b ) 这⼀公式（其中 b != 0 ）在详细介绍辗转相除法之前我想先介绍⼏个概念但如果你仅想观看代码，那么请点击如果你仅想了解 gcd( a, b ) = gcd( b, a % b ) 的证明，请点击整除对于整数 a 和整数 b（ b ≠ 0 ），若存在整数 q，使得 a = q * b，那么称 a 能被 b 整除例如 14 = 2 * 7，那么 14 能被 7 整除约数与倍数若整数 a 能够被整数b整除，则称 b 是 a 的约数（因数），a 是 b 的倍数例如 14 能够被 7 整除，那么 7 就是 14 的约数，14 就是 7 的倍数公约数若整数 d 既是整数 a 的约数，也是整数 b 的约数，那么 d 是 a, b 的公约数例如 7 即是 14 的约数，也是 21 的约数，那么 7 是 14 与 21 的公约数最⼤公约数公约数中最⼤的整数便称为最⼤公约数，整数 a 与整数 b 的最⼤公约数记为 gcd( a, b )，也记为 ( a, b )例如 14 与 21 的公约数有 { ±1，±7 }，其中整数 7 是最⼤的公约数，那么 gcd( 14, 21 ) = 7辗转相除法这⾥先给出⼏个定理，证明过程最后再叙述① gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0， 即 0 和任意整数 a 的最⼤公约数均为 |a|④ 设 a, b, c, q 是四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )通俗地说，若 c 是 a 除以 b 的余数，那么 a 和 b 的最⼤公约数等于 b 和 c 的最⼤公约数有了上述那些定理，我们便有了求两个数最⼤公约数的⽅法：例如求 15 和 21 的最⼤公约数我们知道，15 的约数有 { ±1，±3，±5，±15 }，21 的约数有 { ±1，±3，±7，±21 }那么 15 和 21 的公约数为 { ±1，±3 }，最⼤公约数是 3，即 gcd( 15, 21 ) = 3运⽤之前提到过的那些定理我们发现 15 = 0 * 21 + 15, 那么 gcd( 15, 21 ) = gcd( 21, 15 )⼜ 21 = 1 * 15 + 6 , 那么 gcd( 21, 15 ) = gcd( 15, 6 )⼜ 15 = 2 * 6 + 3，那么 gcd( 15, 6 ) = gcd( 6, 3 )⼜ 6 = 2 * 3 + 0，那么 gcd( 6, 3 ) = gcd( 3, 0 )⼜ gcd(3, 0 ) = 3，故 gcd( 15, 21 ) = 3总结⼀下，求整数 a 和整数 b 的最⼤公约数的⽅法取整数 a 和整数 b 的绝对值if b 的值为 0gcd( a, b ) = aelsegcd( a, b ) = gcd( b, a mod b )代码（c语⾔）/*求a与b的最⼤公约数递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);}/*求a与b的最⼤公约数⾮递归*/int gcd(int a,int b){//a和b同时为0时⽆法求出最⼤公约数if(a==0 && b==0) return -1;if(a<0) a=-a;if(b<0) b=-b;int c;while(b!=0){c=a%b;//求余数a=b;b=c;}return a;}定理证明① gcd( a, b ) = gcd( b, a )设整数 a 的因数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，整数 b 的因数为 { ±b1, ±b2, …, ±b m }最⼤公约数是两约数集合交集中的最⼤项，与集合顺序⽆关故 gcd( a, b ) = gcd( b, a )② gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )设整数 a 的约数为 { ±a1, ±a2, …, ±a n }，则对任意整数 i（ 1 ≤ i ≤ n ），存在整数 q，使 a = q * a i ⽽ -a = (-q) * a i，故 a 的约数均为 -a 的约数，同样地， -a 的约数也为 a 的约数故 a, -a, |a| 的约数集合相同，同理 b, -b, |b| 的约数集合也相同⽽最⼤公约数是两约数集合的交集中的最⼤项，故 gcd( a, b ) = gcd( |a|, |b| )③ gcd( a, 0 ) = |a|, 其中 a ≠ 0因为 a 的最⼤约数是 |a|⽽任意⾮ 0 整数都是 0 的约数，即 0 = 0 * n（ n ≠ 0 ）故 gcd( a, 0 ) = |a|④设 a, b, c, q 为四个整数，若有 a = q * b + c，则 gcd( a, b ) = gcd( b, c )（Ⅰ）设 d’ = gcd( a, b )，d” = gcd( b, c )故有整数 q1, q2, 使得 a = q1 * d’，b = q2 * d’将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有c = a - q * b = q1 * d’ - q * q2 * d’ = ( q1 - q * q2 ) * d’因为 q, q1, q2 均是整数，故 c 能被 d’ 整除，故 d’ 也是 c的约数故 d’ 也是 b 与 c 的公约数，即有 d’ ≤ gcd( b, c ) = d”（Ⅱ）同理有整数 q3, q4，使得 b = q3 * d”, c = q4 * d”将上⾯两式代⼊ a = q * b + c 有a = q * q3 * d” + q4 * d” = ( q * q3 + q4 ) * d”因为 q, q3, q4 均是整数，故 a 能被 d” 整除，故 d” 也是 a 的约数故 d” 也是 a 和 b 的公约数，即有 d” ≤ gcd( a, b ) = d’（Ⅲ）由上述知 d’ ≤ d” 且 d” ≤ d’故 d’ = d”，即 gcd( a, b ) = gcd( b, c )证毕。
展转相除法
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
编辑本段
算法
自然语言描述
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
scanf("%u%u",&m,&n);
printf("%u与%u的最大公约数为：%u\n",m,n,gcd ( m,n ) );
return 0;
}
/* 功能：返回正整数m和n的最大公约数*/
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
else
return a；
}
C语言实现
/*题目：输入两个正整数，求其最大公约数。*/
#include <stdio.h>
unsigned gcd ( unsigned,unsigned ) ;
int main( void )
{
unsigned m,n;
printf("请输入两个正整数：");
辗转相除法最早出现在欧几里得的几何原本中（大约公元前300年），所以它是现在仍在使用的算法中最早出现的。这个算法原先只用来处理自然数，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数，如高斯整数和一元多项式。自此，现代抽象代数概念如欧几里得整环开始出现。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。
辗转相除法
3．辗转相除法
3.1.1. 方法介绍：
辗转相除法，又叫做欧几里德除法，是求最大公约数的另一种方法。
具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。
如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
3.1.2 辗转相除法的算理是根据：
在a=bq+r中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。
或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。
3.1.3. 用辗转相除法计算两个数的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质）。
例. 求792和1134的最大公约数。
1134÷792=1 (342)
792÷342=2 (108)
342÷108=3 (18)
108÷18=6 （没有余数）
∴（792，1134）= 18
用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著。
因式分解辗转相除法
因式分解辗转相除法因式分解是数学中的一个重要概念，而辗转相除法则是求解因式分解的一种常用方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解和辗转相除法的相关知识。
一、因式分解的概念在代数学中，因式分解是将一个多项式或整数分解为不可再分解的乘积的过程。
多项式的因式分解是将其写成多个因子相乘的形式，而整数的因式分解则是将其写成质因数的乘积的形式。
因式分解是代数学中的基本操作，它有助于简化计算和解决问题。
二、辗转相除法的概念辗转相除法，又称为欧几里德算法，是求解最大公约数的一种常用方法。
它利用了两个整数的除法和余数的关系，通过反复进行除法运算，直到余数为零，从而得到最大公约数。
辗转相除法可以应用于整数、多项式和有理数等不同的数学领域。
三、整数的因式分解与辗转相除法的关系在整数的因式分解中，辗转相除法常常被用来求解最大公约数。
通过辗转相除法，我们可以将一个整数分解为若干个质因数的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到该整数的一个质因数；2. 然后，将该质因数除去，得到一个较小的整数；3. 对较小的整数继续进行相同的操作，直到无法再分解为质因数为止；4. 最后，将所有的质因数乘在一起，即得到了该整数的因式分解。
例如，对于整数60，我们可以通过辗转相除法将其分解为2 * 2 * 3 * 5。
这个过程中，我们先找到了整数60的一个质因数2，然后将60除以2，得到30；接着，我们再次将30除以2，得到15；再将15除以3，得到5；最后，我们将5除以5，得到1。
这样，我们便得到了整数60的因式分解。
四、多项式的因式分解与辗转相除法的关系在多项式的因式分解中，辗转相除法同样可以起到重要的作用。
通过辗转相除法，我们可以将一个多项式分解为多个因子的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到多项式的一个因子；2. 然后，将该因子除去，得到一个较低次数的多项式；3. 对较低次数的多项式继续进行相同的操作，直到无法再分解为因子为止；4. 最后，将所有的因子乘在一起，即得到了多项式的因式分解。