数学建模讲座

数学建模讲座

本本讲座主要目的:

通过对一些简单的数学建模过程的分析,使队员了解数学建模的基本过程,掌握数学建模的基本知识和一些简单常用的数学基础知识.

近期主要任务: 1 熟悉计算机

2 学会查阅资料,积累相应的数学与数学建模知识.

数值计算的基本方法

一数值微分

1差商代替微商

利用差商代替微商的求导公式通常有

向前差商公式

()()()

h

x f h x f x f -+≈

'

向后差商公式 ()()()

h

h x f x f x f --≈

' 中心差商公式

()()()

h

h x f h x f x f 2--+≈

'

由泰勒公式很容易得到它们的余项分

别为O （h ），O （h ），O （h 2

），h 越小近似程度越高，但是又会因有效数字损失而导致误差增大。

2插值型数值微分公式 （1）两点公式 n=1，过两节点0

x ，h x x +=0

1

的拉格朗日插值多项式为

1

100101

1)(y x x x x y x x x x x L --+--=

则

()()()()⎪⎩

⎪⎨⎧

-='≈'-='≈'h y y x L x f h y y x L x f 0

111101010

截断误差为

()()()()

⎪⎩

⎪⎨⎧''='''-='

11100

122ξξf h

x R f h x R ()b a ,,1

∈ξξ

（2）三点公式 n=2 ，i i i

y x f ih x

x =+=)(,0

2

,1,0=i ，

拉格朗日插值多项式为

()

x L 2=0

y

()()

2

212h x x x x --＋1

y

()()

2

20h x x x x ---＋2

y

()()

2

102h x x x x -- 两端求导得()22

1

0122002

2

12

22222y h

x x x y h x x x y h x

x x x L --+---

--='

分别代入i

x ，（i=0，1，2）得三点公

式

()()()()()()⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨

⎧+-≈'+-≈'-+-≈'

210210121003421214321y y y h x f y y h x f y y y h x f

截断误差为

()()

()()()()()()()⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧='-='='232

2213212

03202

363ξξξf h x R f h x R f h x R

()

b a i ,∈ξ

i=0，1，2

求二阶导数的三点公式为：

()()()2102

2

21

y y y h x L x f i i +-=''≈'' i=0，1，2

3 利用样条函数求数值微分

由于三次样条函数具有很好的性质，因此用三次样条插值函数()x S 的导数近似函数的导数不仅可靠性好而且可计算非节点处导数的近似值。

即 ()()()()x S x f k

k

≈ k=1，2，3，… 其截断误差为 ()()()()()k

k

k

h O x S x f -=-4

如以二阶导数为参数的三次样条插值函数可得数值微分公式

()≈'x f ()()()()112

12

1

6

22-------+

-+--='i i i

i i i i

i i

i

i i i M M h h y y h x x M h x x M x S

()≈''x f ()()i

i i i i i i h x x M h x x M x S x S 1

1

---+--=''=''

其中x ()i

i x x ,1

-∈ M i －1=()1

-''i x s M i =()i

x s ''

i=1，2，…，n

二 数值积分

在积分区间[a,b]取一系列点k

x (k=0,1,…,n)，设0

1

2

...n

a x x x x

b ≤<<<<≤用被积函数f(x)在这些点的函数值f(k

x )的线性组合作为

积分近似值0

()()

n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

称为数值求积公式，其中n+1个点k

x (k=0,1,…,n)成为节点，k

A ( k=0,1,…,n)称为求积系数。 记

=][f R 0

()()

n

b

k k a

k f x dx A f x =-∑⎰

称R[f]为求积公式(5.1)的截断误差。