1.3简单的逻辑联结词(1)
高中数学选修1课件：1.3简单的逻辑联结词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻 辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结 词的命题称为简单命题.
复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
1.3.1 且(and)
思考?
正面
=>
是
都是
至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个 没有一个 某个 某些
例4 已知命题p,q,写出“P或q”,“P且q”,“非p”形
式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
例2 分别写出由命题“p:平行四边形的对角 线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平分” 构成的“P或q”,“P且q”,“非p”形式的命题。
例3 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)李强是篮球运动员或跳水运动员. (3)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
是假命题时, p q是假命题.
p
q
全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个
p q 新命题,记作
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命
1.3简单的逻辑联结词1
练习2.命题p : 方程x +mx+1=0有两个 不相等的负实数根；命题q : 方程 4x +4(m -2)x+1=0无实数根.若命题 p q为真命题，求实数m的取值范围.
2
2
课堂小结
1、掌握逻辑联结词“且”的含义; 2、正确应用逻辑联结词“且”解决问题; 3、掌握真值表并会应用真值表判断命题p∧q的 真假.
问题3：观察下列各组命题，命题p∧q的
真假与p、q的真假有什么联系？ 真 p:12能被3整除； q:12能被4整除； 真 p∧q:12能被3整除且能被4整除； 真
真 P:等腰三角形两腰相等； 假 q:等腰三角形三条中线相等； p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. 假
p:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.
假 假 假
我们规定:
1、当p,q都是真命题时, p q 是真命题;
2、当p,q两个命题中有一个命题是假命 题时, p q 是假命题.
p q
“一假则假”
串联电路
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他 们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数， q：35是7的倍数. 解:(1)p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等. ∵ p是真命题， q是假命题，∴p∧q是假命题. (2)p∧q :菱形的对角线互相垂直且平分. ∵p、q都是真命题， ∴ p∧q是真命题. (3) p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数. ∵ p是假命题， q是真命题，∴ p∧q是假命题.
练习1：将下列命题用“且”联结成新命
题，并判断真假：
1.3简单的逻辑联结词1
真
（3）¬ p：空集不是集合A的子集. 假
命题p：若x是6的倍数，则x是2的倍数
非p：若x是6的倍数，则x不是2的倍数 否命题：若x是不6的倍数，则x不是2的倍数 命题的否定：只否定结论 否命题：同时否定条件和结论
例1 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “非p”形式的复合命题的真假
例2、用逻辑联结词“且”改写下列命 题，并判断它们的真假： （1）1既是奇数，又是素数； （2）2和3都是素数.
（1）1是奇数且1是素数； 假命题
（2）2是素数且3是素数.
真命题
思 考
下列三个命题间有什么关系： （1）27是7的倍数； （2） 27是9的倍数； （3） 27是7的倍数或 27是9的倍数. 一般地，用连接词“或”把命题p和命题q连 接起来，就得到一个新命题，记作
C U A {x | x A 且 x U}
p
P
U
注： ( p ) p 命题“非p”的真假： 若p是真命题,则 p必是假命题; 若p是假命题,则 p 必是真命题.
p
p 真
假
假 真
p与¬ p必是 一真一假
逻辑联结词：或、且、非
简单命题：不含逻辑联结词的命题
（常用小写字母p,q,r,s,……表示）
判断复合命题真假的步骤: (1)写出构成复合命题的简单命题p与q (2)判断p 、q的真假
(3) 由p 、q的真假得出复合命题的真假
练习1：某足球队队员的全体构成集合A ， 写出下列命题的否定：
（1）p: （2）p: （3）p: （4）p:
A中的队员至少有一个是重庆人； A中的队员都是重庆人； A中的队员都不是重庆人； A中的队员不都是重庆人.
高中数学高考03第一章 集合与常用逻辑用语 1 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题； 綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
师生共研
题型三 命题中参数的取值范围
例 3 (1)(2018·大 同 质 检 ) 已 知 命 题 p ： “∀x∈[0,1] ， a≥ex” ； 命 题 q ： “∃x0∈R，使得 x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取 值范围为__[_e_,4_]___.
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋ 15 a>0”的否定为假命题，则实 2
数a的取值范围是__56_，__＋__∞____.
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋125a>0”的否定为假命题， 可知原命题必为真命题，即不等式 x2－5x＋125a>0 对任意实数 x 恒成立. 设 f(x)＝x2－5x＋125a，则其图象恒在 x 轴的上方. 故 Δ＝25－4×125a<0，解得 a>56，
跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是
A.∃x0∈R，log2x0＝0
√C.∀x∈R，x2>0
B.∃x0∈R，cos x0＝1 D.∀x∈R,2x>0
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A， B均为真命题，02＝0，
选项C为假命题，2x>0，
选项D为真命题，
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.(2018·石家庄模拟)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命
1.3简单的逻辑联结词(教学设计) (1)
1.3简单的逻辑联结词（1）（教学设计）1.3.1且 1.3.2或 1.3.3非教学目标1.知识与技能目标：（１）掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义（２）正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题（３）掌握真值表并会应用真值表解决问题2．过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．通过探究学习培养学生合作交流的良好习惯和品质，培养学生独立思考锲而不舍的钻研精神。
教学重点与难点重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”，“P∨q”，“⌝p”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”“⌝p”. 教学过程：一、复习回顾：命题：若p，则q(1)若p⇒q，且q p.则P是q的充分不必要条件(2)若p q，且q⇒p.则p是q的必要不充分条件(3)若p⇒q，且q⇒p.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件(4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件引调：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。
二、创设情境、新课引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。
1.3_简单的逻辑联结词_基础
1.3简单的逻辑联结词【学习目标】1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∧，读作：“p 且q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题； 当p ，q 两命题都是真命题时，p q ∧是真命题。
要点诠释：p q ∧的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开分别对应命题p ，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p ∧q 的真与假。
（2）与集合中的交集类比 交集{|}AB x x A x B =∈∈且中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。
要点二、逻辑联结词“或”一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 和q 联结起来得到一个新命题，记作：p q ∨，读作：“p 或q ”。
规定：当p ，q 两命题有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p ，q 两命题都是假命题时，p q ∨是假命题。
要点诠释：p q ∨的真假判定的理解：（1）与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。
若开关p ，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的p ∨q 的真与假。
（2）与集合中的并集类比 并集{|}AB x x A x B =∈∈或中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。
（3）“或”有三层含义，以“p 或q ”为例： ①p 成立且q 不成立； ②p 不成立但q 成立； ③p 成立且q 也成立。
要点三、逻辑联结词“非”一般地，对一个命题p 全盘否定得到一个新命题，记作：p ⌝，读作：“非p 或p 的否定”。
1.3简单的逻辑联结词
_1.3 简单的逻辑联结词1.3简单的逻辑联结词如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合时．如知识点一中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．问题1：什么情况下，p∧q为真？提示：当p真，q真时．问题2：什么情况下，p∨q为假？提示：当p假，q假时．问题3：什么情况下，綈p为真？提示：当p假时．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断：1．对“或”的理解，可联想集合中并集的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，是指“x∈A”“x∈B”其中至少一个是成立的，即可以是x∈A，且x∉B，也可以是x∉A，且x∈B，还可以是x∈A，且x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义．生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．由“或”联结两个命题p 和q构成的复合命题“p或q”，当“p真q假”“p假q真”“p真q真”时，都为真．2．对“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，是指“x∈A”“x∈B”同时满足，即x既属于集合A，同时又属于集合B.用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，为真．3．对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”．当p真时，则“非p”为假；当p假时，则“非p”为真．若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U 中的补集∁U P.[例1](1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；(3)矩形不是平行四边形．[思路点拨]解答本题先进行命题结构分析，再写出每个简单命题．[精解详析](1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．[一点通](1)不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，因此就有“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题，其中p，q 为简单命题．(2)在“p∨q”“p∧q”“綈p”中，p，q都是命题，但在“若p，则q”中，p，q可以是命题，也可以是含有变量的陈述句．(3)正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是()A．简单命题B．“(綈p)∧(綈q)”的形式C．“p∧q”的形式D．“p∨q”的形式解析：含有逻辑联结词“且”，故为“p∧q”的形式．答案：C2．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．(1)方程x2＋x＋1＝0无实根；(2)他是运动员兼教练；(3)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；(4)3≥1.解：(1)这个命题是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋1＝0有实根．(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品逻辑上有错误．(4)此命题为“p∨q”的形式，其中p：3>1，q：3＝1.[例2](1)p：6<6，q：6＝6.(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解．(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]先判断p，q的真假，再利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]判断复合命题的真假可以总结为三句话，即(1)对“p∨q”命题：一真必真．也就是p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题．(2)对“p∧q”命题：一假必假．也就是p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题．(3)对“綈p”命题：真假相反，也就是p与非p的真假不同，p真，非p就假；p假，非p就真．3．由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是()A．p：3是偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5>3C．p：a∈{a，b}，q：{a} {a，b}D．p：Q R，q：N＝N*解析：“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，所以可知：p假、q真．对照分析四个选项，只有B符合．答案：B4．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)x＝1是方程x2＋3x＋2＝0的根或x＝－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；(3)A ⃘(A ∪B )．解：(1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根．因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题.[例3] 函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解答本题可先求p ，q 中a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出a 的范围．[精解详析] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2， ∴命题p ：－2<a <2.函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数， 则有5－2a >1，即a <2.∴命题q ：a <2.由p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1) 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <2，∴a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]． [一点通](1)根据p ，q 的真假可判断命题p ∧q ，p ∨q 的真假；反之根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假也可以判断命题p ，q 的真假．(2)解答这类问题的一般步骤： ①求出命题p ，q 为真时参数的条件；②根据命题p ∧q ，p ∨q 的真假判定命题p ，q 的真假； ③根据p ，q 的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．5．已知p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是________．解析：p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题， ∴p ，q 中至少有一个为假，∴x ≥3或x ≤－1. 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)6．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0.解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0. 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．故⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1，或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3，或1<m ≤2.所以m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．1．一个复合命题，从字面上看不一定含“或”、“且”字样．这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”“x ＝±3”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”．2．判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式，是“p ∧q ”“p ∨q ”，还是“綈p ”的形式； ②判断其中简单命题p ，q 的真假； ③根据真值表判断复合命题的真假．3．已知命题的真假求参数的取值范围，可以先求出构成命题的p 和q 为真时参数的范围，然后根据条件判断出p 和q 的真假，建立不等式(组)求参数的范围．1．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当p 或q 为真时，可以得到p 和q 中至少有一个为真，这时q 且p 不一定为真；反之当q 且p 为真时，必有p 和q 都为真，一定可得p 或q 为真．答案：B2．给出命题p ：3≥3；q ：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0在R 上的值域为[－1,1]．在下列三个命题：“p ∧q ”“p ∨q ”“非p ”中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为真命题．对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真，非p 假． 答案：B3．已知p ：函数y ＝2|x－1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”“綈p ”中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：命题p 是真命题．y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q 为假命题．∴p 且q 为假，p 或q 为真，綈p 为假． 答案：B4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－(12)x 在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D. q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A. 答案：C5．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－ba }，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．解析：∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0. 答案：b ≤a ≤06．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z.若“p ∧q ”“綈q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．解析：因为“p ∧q ”为假，“綈q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}7．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题，并判断其真假：(1)p ：6是自然数；q ：6是偶数． (2)p ：∅⊆{0}；q ：∅＝{0}．解：(1)p ∧q ：6是自然数且是偶数．它是真命题． p ∨q ：6是自然数或是偶数．它是真命题． 綈p ：6不是自然数．它是假命题． (2)p ∧q ：∅⊆{0}且∅＝{0}．它是假命题． p ∨q ：∅⊆{0}或∅＝{0}．它是真命题． 綈p ：∅⃘{0}．它是假命题．8．已知a >0，a ≠1.设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减．当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p 真时0<a <1. q 真等价于(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.又a >0，∴0<a <12或a >52.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p ，q 中必定是一个为真一个为假．(1)若p 真，q 假， 则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1或1<a ≤52⇒12≤a <1， 即a ∈[12，1)．(2)若p 假，且q 真， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12或a >52⇒a >52，即a ∈(52，＋∞)．综上可知，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．。
1.3简单的逻辑联结词
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来， 就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”。
问题3：你能判断每组中三个命题的真假吗? 命题（3） 的真假与命题（1）（2）有何关系？总结规律，填表。
1.3简单的逻辑联结词
(1)菱形的对角线互相垂直 (2)菱形的对角线互相平分 (3)菱形的对角线互相垂直且平分
（1）2是质数 （2）4是质数 （3）2或4是质数
问题1：每组中命题（3）与命题（1）（2）有什么关系？ 你还能列举出数学中其他方面的例子吗？ 问题2：如果用p表示命题(1)，q表示命题(2)，那么命题 (3)该如何表示？
）
p：35是4的倍数； q：35是6的倍数．
（1）35能被5整除； （2）35不能被5整除.
p
p
假
真
真
假
问题5：每组中的两个命题有什么关系？
问题6：若用符号 p表示命题（1），那么命题（2）该如何表示？ 归纳定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个 新命题，记作￢p,读作“非p”或“p的否定”。
p
q
p∧q
真 假 假 假
p ∨q
真 真 真 假
真
真 假 假
真
假 真 假
问题4：电路中开关的开合与灯的亮灭的关系与真值表中命题 之间的关系有什么相通之处吗？
Байду номын сангаас
例1 ：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断其真假： （1） p：2是偶数； q：3不是质数． （2） p：平行直线没有交点； q：异面直线没有交点． （3
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
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1.3.1 且(and)
思考?
下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.
一般地,用逻辑联结词 “且”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个新 命题,记作
pq
读作“ p且 q”.
规定:当p,q都是真命题时, p q 是 真命题;当p,q两个命题中有一个命 题是假命题时, p q 是假命题且”联结成新命题,并判断 它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四 边形的对角线相等. 假
(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线 互相平分. 真
例2
用逻辑联结词“且”改写下列命题,
并判断它们的真假:
(1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.真
§1.3简单的逻辑联结词（1）
2010年11月
问题:判断下面的语句是否为命题.
(1)12>5. (2)3是12的约数. (3)3是12的约数吗? (4)0.4是整数. (5)x>5.
像(1)(2)(4)这样可以判断真 假的陈述句称为命题,(3)(5)就不 是命题.
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题， 指出它的真假。 (1)请全体同学起立！ (×) (2)x2+x>0. (×) (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.(真) (4)x=-a. (×) (5)91是素数. (真) (6)中国是世界上人口最多的国家.(真) (7)这道数学题目有趣吗? (×) (8)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. (假) (9)任何无限小数都是无理数. (假)
假
例3 分别写出由命题“p:平行四边形的对 角线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平 分”构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命 题。 例4 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否 正面 至多有 至少有 任意 定. = > 是 都是
一个
否定 ≠ ≤ 不是 不都是
一个
的
所有 的
至少有 没有一 某个不是 两个 个 或某些不是
例5 已知命题p,q,写出“p或q”,“p且q”,“非p” 形式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)p且q. (2)p或q. (3)非p.