【中考备战策略】2014中考数学总复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件 新人教版
解析： 分两种情况： (1)等腰三角形的腰长为 6 cm， 则它的周长为 6×2＋3＝15(cm)； (2)等腰三角形的腰长 为 3 cm，三角形的三边长分别 6 cm,3 cm,3 cm，不可 能．故选 D.
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为 ( A． 40° C． 40° 或 100° C ) B． 100° D． 70° 或 50°
考点二 等腰三角形的判定 例 2 (2013· 厦门 )如图，已知 A，B，C，D 是⊙ O 上 的四点，延长 DC， AB 相交于点 E.若 BC＝ BE. 求证：△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】 本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角 形的判定． 证明：∵ A， B， C， D 四点共圆， ∴∠ A＝∠ BCE. ∵ BC＝ BE， ∴∠ BCE＝∠ E，∴∠ A＝∠ E. ∴ AD＝ DE，即△ ADE 是等腰三角形．
考点二 等腰三角形的性质和判定 1．性质
(1) 等腰三角形的两个 底角 相等 ( 简称： 等边对等 角 )； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线互相重合 ； (3)等腰三角形是轴对称 图形，有一 条对称轴，顶 角的平分线 (底边上的中线、 底边上的高线)所在的直线 是它的对称轴．
【点拨】 ∵ AB＝ BC， ∠ ACB＝ 35° ， ∴∠ A＝ ∠ ACB ＝ 35° .∵ AB∥ DC， ∴∠ OCD＝ ∠ A＝ 35° .∵∠ D＝ 40° ， ∠ AOD 是 △ OCD 的外角， ∴∠ AOD＝ ∠ OCD＋ ∠ D＝ 35° ＋ 40° ＝ 75° . 【答案】 75°
∵ BE⊥ CE， ∴∠ BCE＝ 60° ， ∠ EBC＝ 30° . ∴ BC＝ 2CE. ∵ EA＝ EC， ∴ BC＝ AC. ∴△ ABC 是等边三角形．
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分 ) 1． 等腰三角形的顶角为 80° ， 则它的底角是( A．20° C．60° B． 50° D． 80° B )
解析：分两种情况：(1)当这条高在三角形内部时， 顶角的度数为 90° － 30° ＝ 60° ； (2)当这条高在三角形外 部时，顶角的度数为 90° ＋ 30° ＝ 120° .故选 D.
4．如图，△ ABC 是等边三角形，P 是∠ ABC 的平 分线 BD 上一点，PE⊥ AB 于点 E，线段 BP 的垂直平 分线交 BC 于点 F， 垂足为点 Q.若 BF＝2， 则 PE 的长 为( C ) B．2 3 D．3
温馨提示 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此可 作高来构造直角三角形 .
2．判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余 的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形．
温馨提示 1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直 角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短 边的平方和与长边的平方作比较 . 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称 为勾股数 .
考点三 线段垂直平分线的性质 例 3 (2013· 临沂 )如图，四边形 ABCD 中，AC 垂直 平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是( A． AB＝ AD B． AC 平分∠ BCD C． AB＝ BD D．△ BEC≌△ DEC )
【点拨】∵ AC 垂直平分 BD， ∴ AB＝ AD， BC＝ DC. ∴△ ABD ， △ BCD 是 等 腰 三 角 形 ． ∴AC 平 分
第18讲
等腰三角形与直角三角形
考点一
等腰三角形的概念及分类
1．有两边 相等的三：底和腰不相等 的等腰三角形 和等边 三角形．
温馨提示 1.若题目中没有明确边是底还是腰， 角没有明确是 顶角还是底角，就需要分类讨论 . 2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底， 底 角 α 满足 0° ＜ α＜ 90° ，顶角 β 满足 0° ＜ β＜ 180° .
考点四
线段垂直平分线的性质
1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1) 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线 上．
温馨提示 1.三角形三边的垂直平分线交于一点， 这一点到三 角形三个顶点的距离相等 . 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边的中 点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外 部.
2 2 2
7．如图，在等腰△ ABC 中， AB＝ AC， AD 平分 ∠ BAC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，若 DE＝ 10 cm， 则 AB＋ BD＝ 10 cm.
解析：∵ AB＝ AC，AD 平分 ∠ BAC，∴ BD＝ CD， 又 ∵点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴ AB＋ BD＝ AC＋ CD＝ EC＋ CD＝ DE＝ 10(cm)．
温馨提示 这个性质简称 “三线合一 ”，但不能简单地说成 “等腰三角形的高线、中线、角平分线三线合一 ”.
2．判定：(1)定义法；(2)如果一个三角形有两个角 相等， 那么这两个角所对的边也相等(简称： 等角对等 边)． 温馨提示 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
5．如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分 线交于点 E，过点 E 作 MN∥ BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N， 若 BM＋ CN＝ 9， 则线段 MN 的长为( D )
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
解析：∵∠ ABC， ∠ ACB 的平分线相交于点 E， ∴∠MBE＝ ∠ EBC， ∠ ECN＝ ∠ ECB. ∵ MN∥ BC， ∴∠ EBC＝ ∠ MEB， ∠ NEC＝ ∠ ECB. ∴∠MBE＝ ∠ MEB， ∠ NEC＝ ∠ ECN， ∴ BM＝ ME， EN＝ CN， ∴ MN＝ ME＋ EN，即 MN＝ BM＋ CN＝ 9.故选 D.
方法总结 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于 60° ， 中线、 高线、 角平分线为同一条线段， 三线合一 .根据以上性质可以进行相关的计算与证明 .
1．如果等腰三角形的两边长是 6 cm 和 3 cm，那 么它的周长是( D A．9 cm C．15 cm 或 12 cm ) B．12 cm D．15 cm
考点五
直角三角形的性质和判定
1．性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30° ，那
么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和 等于斜边 c 的平方，即 a2＋b2＝c2.
A． 2 C. 3
解析：∵△ ABC 是等边三角形， BD 平分 ∠ ABC， ∴∠ DBA＝ ∠ DBC＝ 30° .∵ QF 垂直平分 BP， ∴ BP＝
1 2BQ，且 ∠ BQF＝ 90° .在 Rt△ BFQ 中， FQ＝ BF＝ 1， 2 BQ ＝ BF2－ FQ2 ＝ 22－ 12＝ 3. 于 是 BP ＝ 2 3. 在 1 Rt△ BPE 中， PE＝ BP＝ 3.故选 C. 2
考点三
等边三角形的性质和判定
1．性质：等边三角形的三个内角都相等 ，并且每 一个内角都等于 60° . 2．判定 (1) 三个角 都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰 三角形是等边三角形．
温馨提示 由判定 2可知，在等腰三角形中，只要有一个角 是 60° ，不论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是 等边三角形 .也可以根据定义判定 .
8．如图，在△ EBD 中，EB＝ ED，点 C 在 BD 上， CE＝ CD， BE⊥ CE， A 是 CE 延长线上一点， EA＝ EC. 试判断△ ABC 的形状，并证明你的结论．
解：△ ABC 是等边三角形． 理由： ∵ EB＝ ED， ∴∠ EBD＝ ∠ D. ∵ CE＝ CD， ∴∠ CED＝ ∠ D. 又 ∵∠ BCE＝ ∠ D＋ ∠ CED， ∴∠ BCE＝ 2∠ D＝ 2∠ EBD.
∠ BCD.再应用 “SAS”判定 △ BEC≌△ DEC， ∴选项 A， B， D 正确．故选 C. 【答案】 C
方法总结 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相 等 .利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰 三角形的性质解决相关问题 .
考点四
直角三角形的性质与判定
例 4 (2013· 滨州 )在△ ABC 中，∠ C＝90° ， AB＝ 7， BC＝ 5，则边 AC 的长为 _________． 【点拨】在 △ ABC 中， ∵∠ C＝ 90° ， AB＝ 7， BC＝ 5， ∴ AC＝ AB － BC ＝ 7 － 5 ＝ 2 6. 【答案】 2 6
解析：分两种情况： (1)这个等腰三角形的顶角为 40° ，则底角为 (180° － 40° )÷ 2＝ 70° ； (2)这个等腰三角 形的底角为 40° ，则顶角为 180° － 2× 40° ＝ 100° .故选 C.
3． 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30° ， 则顶角的度数为 ( A． 60° C． 60° 或 150° D ) B． 120° D． 60° 或 120°
【点拨】由题意等边△ABC 的高为 4，点 P 到 AB 的距离是 1， 点 P 到 AC 的距离是 2， ①若点 P 在等 边△ABC 的内部， 则可得到点 P 到 BC 边的距离 PD 为 1；②若点 P′在等边△ABC 的外部，则由对称性可以 得到点 P′到 B′C′边的距离 P′E 为 1；这时点 P′ 到 BC 的距离 P′F＝EF－P′E＝2×4－1＝7.所以点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1 和 7. 【答案】 1 和 7
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中考数学复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形
总
目
录
BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
(2)解：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED.
回
∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°.
首 页
∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°，∠BDF=∠ADE，
总
目
录
∴∠F=∠BDF，∠BEA=∠BAE，∠CDA=∠CAD.
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE
角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一
回 首
直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判 页
断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系
总 目
录
，并说明理由.
［分析］(1)易证∠ACD=∠BCE，即可求证
△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得
回 首
AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 页
页
总 目 录
在△ACD和△BCE中，
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
回 首
页
∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°.
总 目
录
∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
总
目
(1)等腰三角形中的已知边是腰还是底边；
录
(2)三角形的中线或高线已知，但未明确是哪一边上的中线或
高线，需对三条边上的中线或高线分别讨论.
方法指导
角不确定分两类讨论：
初中数学中考复习《等腰三角形与直角三角形》公开课教学PPT课件(终稿)
________．
当∠APB=90°时 C
P
2
60° O
A
2
B
2
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，
AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝
60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________．
当∠APB=90°时 C
2 60° O 2
A
60°
B
2
P
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4， AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝ 60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________． 当∠ABP=90°时 C
A
60° O
2 60°2
B
P
典例精析
3.（2018•阜新改编）如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8，F是AB边上的任意一点。 （1）如图，将等腰Rt△ABC沿EF折叠，使点A落在BC
名称
性质
判定
1. 两锐角_互__余__；
1.有一个角是_直__角_；
2. 两条直角边的平方和等于 _斜__边_的平方.(勾股定理)
直 3. 30°角所对直角边等于
2.两锐角_互__余__； 3.如果一个三角形两边 的平方和等于第三边的
角 _斜__边__的一半 ；
平__方_，那么它是直角三角
三 4.直角三角形斜边上的中线等 形.(勾股定理的逆定理)
基础训练
方法指导 在等腰三角形中，要注意分情况讨论： （1）当已知等腰三角形的一个内角时，通常需要分这
个角是顶角或底角两种情况进行讨论． （2）当已知等腰三角形的两边时，要分其中一条边是
当∠APB=90°时 C
P
2
60° O
A
2
B
2
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，
AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝
60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________．
当∠APB=90°时 C
2 60° O 2
A
60°
B
2
P
典例精析
2.(2015江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4， AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝ 60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为
________． 当∠ABP=90°时 C
A
60° O
2 60°2
B
P
典例精析
3.（2018•阜新改编）如图，在等腰Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8，F是AB边上的任意一点。 （1）如图，将等腰Rt△ABC沿EF折叠，使点A落在BC
名称
性质
判定
1. 两锐角_互__余__；
1.有一个角是_直__角_；
2. 两条直角边的平方和等于 _斜__边_的平方.(勾股定理)
直 3. 30°角所对直角边等于
2.两锐角_互__余__； 3.如果一个三角形两边 的平方和等于第三边的
角 _斜__边__的一半 ；
平__方_，那么它是直角三角
三 4.直角三角形斜边上的中线等 形.(勾股定理的逆定理)
基础训练
方法指导 在等腰三角形中，要注意分情况讨论： （1）当已知等腰三角形的一个内角时，通常需要分这
个角是顶角或底角两种情况进行讨论． （2）当已知等腰三角形的两边时，要分其中一条边是
中考数学复习讲义课件 第4单元 第18讲 等腰三角形与直角三角形
15°或 75° .
7．(2021·江西)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，ED⊥AB 于点 D，求证：AD＝BD.
证明：∵BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E， ∴∠ABE＝12∠ABC＝12×80°＝40°. ∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE. ∴△ABE 为等腰三角形． ∵ED⊥AB，∴AD＝BD.
B.75° D.30°
3．如图，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，若∠C＝65°， 则∠DBC 的度数是( D )
A.25° C.30°
B.20° D.15°
4．(2021·滨州)如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点．若 AB＝AD＝ DC，∠BAD＝44°，则∠C 的大小为 34° .
9．(2021·绍兴)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， BD＝BC＝CE，连接 CD，BE. (2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由．
解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC， ∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°. ∴β＝70°－∠ABE. ∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°， 即∠BEC＋∠BDC＝110°.
8.(2021·淄博)如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E. (2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE 的度数． 解：∵∠A＝80°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝60°. ∵∠ABC 的平分线交 AC 于点 D， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°. 由(1)知∠EDB＝∠EBD＝30°，∴∠BDE＝30°.
7．(2021·江西)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，ED⊥AB 于点 D，求证：AD＝BD.
证明：∵BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E， ∴∠ABE＝12∠ABC＝12×80°＝40°. ∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE. ∴△ABE 为等腰三角形． ∵ED⊥AB，∴AD＝BD.
B.75° D.30°
3．如图，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，若∠C＝65°， 则∠DBC 的度数是( D )
A.25° C.30°
B.20° D.15°
4．(2021·滨州)如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点．若 AB＝AD＝ DC，∠BAD＝44°，则∠C 的大小为 34° .
9．(2021·绍兴)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， BD＝BC＝CE，连接 CD，BE. (2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由．
解：∠BEC＋∠BDC＝110°. 理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β. 在△ABE 中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE. ∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝α. ∴∠ABC＝∠ABE＋α＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE. 在△BDC 中，∵BD＝BC， ∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°. ∴β＝70°－∠ABE. ∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°， 即∠BEC＋∠BDC＝110°.
8.(2021·淄博)如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E. (2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE 的度数． 解：∵∠A＝80°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝60°. ∵∠ABC 的平分线交 AC 于点 D， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°. 由(1)知∠EDB＝∠EBD＝30°，∴∠BDE＝30°.
数学中考第18课时 三角形和等腰三角形ppt课件
【点拨】①3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4，此时能 组成三角形，所以周长＝3＋3＋4＝10；②3 是底边长时，三角 形的三边分别为 3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3＋4 ＋4＝11.
14．【2020·台州】如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E， F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是________．
a＋b a－b A. 2 B. 2 C．a－b D．b－a
【答案】C
18．【创新题】如图，把△ ABC 剪成三部分，边 AB，BC，AC 放 在同一直线上，点 O 都落在直线 MN 上，直线 MN∥AB.在 △ ABC 中，若∠AOB＝125°，则∠ACB 的度数为( A )
A．70° B．65° C．60° D．85°
3. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
4．如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°， ∠ADC＝70°，则∠C 的度数是( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
5．在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则 AB 的值是( C ) A．12 B．8 C．6 D．3
11．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC ＝AD，则∠A＝___3_6____度．
12．已知等边三角形 ABC 的周长为 18，则△ ABC 的面积为 __9___3___．
13．【2020·齐齐哈尔】等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则 这个等腰三角形的周长是__1_0_或__1_1_．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵AB＝AC，D 是 BC 边上的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
14．【2020·台州】如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E， F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是________．
a＋b a－b A. 2 B. 2 C．a－b D．b－a
【答案】C
18．【创新题】如图，把△ ABC 剪成三部分，边 AB，BC，AC 放 在同一直线上，点 O 都落在直线 MN 上，直线 MN∥AB.在 △ ABC 中，若∠AOB＝125°，则∠ACB 的度数为( A )
A．70° B．65° C．60° D．85°
3. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
4．如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°， ∠ADC＝70°，则∠C 的度数是( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
5．在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则 AB 的值是( C ) A．12 B．8 C．6 D．3
11．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC ＝AD，则∠A＝___3_6____度．
12．已知等边三角形 ABC 的周长为 18，则△ ABC 的面积为 __9___3___．
13．【2020·齐齐哈尔】等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则 这个等腰三角形的周长是__1_0_或__1_1_．
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°， ∵AB＝AC，D 是 BC 边上的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
2014中考复习备战课件第18讲_等腰三角形与直角三角形 (1)
图 17－4
考点知识梳理
中考典例精析
第17 讲┃ 等腰三角形 基础巩固训练 考点训练
5．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC ＝ 12 cm ， 则 △ABC 的 角 平 分 线 AD 的 长 是
8 ________cm.
[解析] 由等腰三角形“三线合一”的性质，知AD⊥BC，且BD 1 ＝CD.在Rt△ABD中，∵AB＝10 cm，BD＝ BC＝6 cm，∴AD＝ 2 AB2－BD2＝ 102－62＝8
第17 讲┃ 等腰三角形 基础巩固训练 考点训练
7．如图，等腰△ ABC 的周长为 21，底边 BC＝5， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 连 接 BE，则△BEC 的周长为 ( A． 13 C． 15 B．14 D． 16 A )
考点知识梳理
性质
判定
考点知识梳理
中考典例精析
第17 讲┃ 等腰三角形 基础巩固训练 考点训练
8． 如图 17－9， 等边三角形 ABC 的边长是 6 cm， BD 是中线，延长 BC 至 E，使 CE CD ， 连 接 DE ， 则 DE 的 长 是
3 3 ________cm.
＝
图 17－9
考点知识梳理
中考典例精析
考点知识梳理
中考典例精析
第17 讲┃ 等腰三角形 基础巩固训练 考点训练
9.如图 17－1，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直 线 CD 上的一点，已知线段 PA＝5，则线段 PB 的长度为( B ) A． 6 B．5 C．4 D．3
图 17－1
考点知识梳理
中考典例精析
第17 讲┃ 等腰三角形 基础巩固训练 考点训练
中考数学(湘教版 全国通用)复习课件：第18课时 三角形与等腰三角形(共31张PPT)
性质
相等 ，并且每一个角都等于 等边三角形的各角都________ 60° ______ 3 条对称轴 等边三角形是轴对称图形，有______
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
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第18课时┃ 三角形与等腰三角形
考点8
两个部分组成 除公理以外，其他真命题的正确性都要经过推理的方
定理
证明 ．经过证明的真命 法证实，推理的过程称为________ 定理 题称为________
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第18课时┃ 三角形与等腰三角形
归 类 探 究
探究一 三角形三边的关系
命题角度： 1. 判断三条线段能否组成三角形； 2. 求字母的取值范围； 3. 三角形的稳定性．
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第18课时┃ 三角形与等腰三角形
【方法点析】 涉及三角形三边的不等关系时，常常根据三边关系定理建 立不等式(组)， 通过解不等式(组)求出其中字母的取值范围或确 定构成三角形的个数．
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第18课时┃ 三角形与等腰三角形
探究二 三角形的重要线段的应用
命题角度： 1. 三角形的中线、角平分线、高线； 2. 三角形的中位线．
的两边叫作腰，另外一边叫作底边． 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)． 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是
顶角平分线所在的直线 ______________________________ ．
三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边，即：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合．
云南中考数学一轮复习第十八讲等腰三角形和直角三角形课件
问题 2 若△ ABC 的一边长为 3，周长为 12，则 AB＝__2__．
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角 形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的 周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略 【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
【满分技法】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角 形三边长时，需注意： (1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长； (2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形．
问题 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，且△ ABC 的周长为 20，AD＝6.求△ ACD 的 周长．
问题 3 若 AD⊥BC，BC＝8，∠C＝30°时，BD＝_2__．
【提分要点】含 30°角的直角三角形的性质 (1)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； (2)三个角之比为 1∶2∶3； (3)三边之比为 1∶ 3 ∶2.
问题 4 当∠B＝45°，BC＝10 时，求 S△ ABC.
＝__3_6__度．
问题 8 如图，若 BD 是∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D，∠A＝36°. 求证：△ BDC 是等腰三角形．
【证明】略 【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等； (2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
线段垂直平分线的性质与判定 如图，在△ ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
若 BC＝6，AC＝5，则△ ACE 的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
初中毕业生学业考试复习初中数学第18讲等腰三角形与直角三角形（WORDPPT）课件
(3)(2012·湖北)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，垂足为点 D，连接 BE，则∠EBC 的度数为____________．
例 1(3)题 【点拨】本题组主要考查等腰三角形、直角三角形、垂直平分线的有关概念及性质．
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
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考点二 等边三角形的性质与判定 1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于 60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等 边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边 三角形的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三 角形．
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考点三线段的中垂线 1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是 到线段两端点距离相等的点的集合．
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1．如果等腰三角形的两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是( )
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm或12 cm
D．15 cm
答案：D
2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
(中考全景透视)中考数学一轮复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．判定 (1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(简写成：等角对等边)．
温馨提示： 等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的 重要定理，是把三角形中的角的相等关系转化为边的 相等关系的重要依据.
考点三 1．性质
等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角 都等于 60° . 2．判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形．
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1) 上 述 三 个 条 件 中 ， 由 哪 两 个 条 件 可 以 判 定 △ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 【点拨】本题以开放题的形式考查等腰三角形的 判定．
解：(1)①②；①③ (2)选①②证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD.
考点一
等腰三角形的性质
例 1(2014· 南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
A．30° C．40°
B．36° D．45°
【点拨】 ∵AB＝AC， CD＝AD， AB＝BD， ∴∠B＝∠C ＝∠CAD，∠BAD＝∠BDA.又∵∠BDA 是△ADC 的外角， ∴∠BDA＝∠C＋∠CAD＝2∠C.设∠B＝x° ，则∠BDA＝ ∠BAD＝2x° ，根据题意，得 x° ＋2x° ＋2x° ＝180° ，解得 x＝ 36，即∠B＝36° .故选 B. 【答案】 B
方法总结： 等腰三角形有两个性质：1“等边对等角”，利 用这个性质可以证明两个角相等，也可以计算角的大 小；2“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相 等、角相等、一个角等于90° 、计算线段长度和角的 大小等.
等腰三角形与直角三角形 PPT课件 人教版
温馨提示： 1.三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三 角形三个顶点的距离相等. 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点， 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部.
考点一 等腰三角形的性质 例 1(2014·南充)如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数 为( )
∠EBO＝∠DCO， ∠EOB＝∠DOC， BE＝CD，
∴△BOE≌△COD.
∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠EBO＋∠OBC ＝∠DCO＋∠OCB. 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形．
考点三 等边三角形的性质与判定 例 3(2014·温州)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F.
答案： C
5．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系 式 c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC 是等腰直角三角 形．
解析：∵ c2－a2－b2＋|a－b|＝0， c2－a2－b2 ≥0，|a－b|≥0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，∴△ABC 是等 腰直角三角形．
6．如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC.如果 AD＝2， BD＝6，那么△ADC 的周长为 .
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F. ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE 为等边三角形， ∴CD＝CE＝2. ∴DF＝2CE＝4.
方法总结： 等边三角形是特殊的三角形，三条边都相等，三 个角都等于60°，中线、高、角平分线三线合一.根据 以上性质可以进行相关的计算与证明.