2015年甘肃省高考一诊数学(理)试卷1
(完整)甘肃省河西五地市届高三第一次联考数学理试题版含答案,推荐文档
32015 年 2 月甘肃省部分普通高中高三第一次联考数学 试题（理科）命题学校：嘉峪关市酒钢三中命题教师：李宗平 田培泽 高映俊本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题,共 6 0 分）一.选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）2⎧ 1 x ⎫1. 设集合 M = {x | x + 3x + 2 < 0}，集合 N = ⎨x ( ) ≤ 4⎬ , 则 M N = （ ）⎩ 2 ⎭A ．{x | x ≥ -2}2. 下面是关于复数 z =B ．{x | x > -1} 2的四个命题:1 - iC ．{x | x < -1}D ．{x | x ≤ -2}p 1 : z = 2 ,p 2: z 2 = 2ip 3 : z 的共轭复数为- 1 + i p 4 : z 的虚部为1其中真命题为( )A. p 2 , p 3B. p 1 , p 2C. p 2 , p 4D. p 3 , p 43. 已知平面向量 a 与b 的夹角为 ， 且b = 1, a + 2b = 233,则a = （ ）A ．1B ．C ． 3D ． 24. 下列推断错误的是( )A.命题“若 x 2 - 3x + 2 = 0, 则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x ≠ 1 则 x 2 - 3x + 2 ≠ 0 ”B. 命题 p :存在 x ∈ R ，使得 x 2 + x +1 < 0 ，则非 p :任意 x ∈ R ，都有 x 2 + x +1 ≥ 0C. 若 p 且 q 为假命题，则 p , q 均为假命题D. “ x < 1”是“ x 2- 3x + 2 > 0 ”的充分不必要条件5. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 （ ）4A ．12 3侧 侧 侧B ． 36 33 3侧 侧 侧C ． 27 3侧 侧 侧D ． 6请第Ⅱ卷（非选择题,共 90 分）二.填空题（本大题共 4 个小题, 每小题 5 分,共 20 分, 把正确的3⎪⎩6. 等比数列{a n }中， a 4 = 2, a 5 = 5 ，则数列{lg a n } 的前 8 项和等于（ ）A. 4B. 5C. 6 ⎧ y ≤ 57. 若实数 x 、y 满足不等式组⎨2x - y + 3 ≤ 0. ⎪x + y -1 ≥ 0 D. 1 + lg 4则 z =| x | +2 y 的最大值是（ ）A ．108. 抛物线 x2 = B ．11 C ．13 D ．141y 在第一象限内图象上一点(a ,2a 2 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记2 i i为a i + ，其中i ∈ N * ，若a 1 = 32 ，则a + a 2 + a 4= （ ）A. 64B. 42C. 32D. 219. 定义行列式运算：a 1 a 2= a a - a a .若将函数 f (x ) =-sin xcos x的图象向左平移m a 3 a 41 42 31 -(m > 0) 个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）2 5A.B ．C ．D ．6 3 3 6 ⎛ x ⎫k 1 10. 设k 是一个正整数， 1+ ⎪ 的展开式中第四项的系数为 ，记函数 y = x 2 与 y = kx⎝ k ⎭ 16的图像所围成的阴影部分为 S ，任取 x ∈[0,4], y ∈[0,16] ,则点(x , y ) 恰好落在阴影区域内 的概率为（ ） 17 5A. B ．9632 1 7 C ． D ．648y 2 x 211. 已知 F 2 、 F 1是双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)的上、下焦点，点 F 2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F 1为圆心， OF 1 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. 3B ．C ． 2D ．12. 已知实数 a , b , c , d a - 2e a满足b= 1 - c d - 1= 1 其中e 是自然对数的底数,则(a - c )2 + (b - d )2 的最小值为（ ） A. 4B ． 8C ．12D ．183 26 2 答案填写在各小题的横线上.）13. 定义某种运算⊗ ， S = a ⊗ b 的运算原理如右图：则式子5 ⊗ 3 + 2 ⊗ 4 =.14. 正四棱锥 P - ABCD 的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4 ，侧棱长为2 ，则此球的表面积.15. 从某校数学竞赛小组的10 名成员中选3 人参加省级数学竞赛，则甲、乙2 人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程为 x 2 + y 2 - 8x + 15 = 0 ，若直线 y = kx + 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 .三、解答题（本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.） 17.(本题满 12 分)在∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为a , b , c 且b cos C = 3a cos B - c cos B(1) 求cos B 的值；(2) 若 BA ⋅ BC = 2 ，且b = 2，求 a 和c 的值.18.（本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率 p ( p > 1) ，且各局胜负相互独立．已知第25二局比赛结束时比赛停止的概率为 ．9（1） 求 p 的值；（2） 设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望 E .19.（本题满分 12 分）己知斜三棱柱 ABC - A B C 的底面是边长 为2 的正三1 1 1∠BAC 的角平分线与 BC 和圆O 分别交于点 D 和 E . （1） 求证 AB ⋅ PC = PA ⋅ AC （2） 求 AD ⋅ AE 的值.23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程角形，侧面 A 1 ACC 1 为菱形， ∠A 1 AC = 60 ，平面 A 1 ACC 1 ⊥平面 ABC ， N 是CC 1 的中点．（1） 求证： A 1C ⊥ BN ；（2） 求二面角 B - A 1N - C 的余弦值．20.（本题满分 12 分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为F 1 和 F 2 ，且| F 1 F 2 |= 2 ，点 3 (1,) 在该椭圆上．2（1） 求椭圆C 的方程；（2）过 F 的直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，若∆AF 2 B 的面积为12 2 ，求以 F 为圆心172且与直线l 相切圆的方程．21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x ) = ln(x + 1) +ax + 2（1） 当 a =25 时，求 f (x ) 的单调递减区间；4（2） 若当 x > 0 时， f (x ) > 1 恒成立，求 a 的取值范围；（3）求证： ln(n + 1) > 1 + 1 + 1+ +1(n ∈ N * )3 5 72n + 1请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点, PO 交圆O 于B ,C 两点 PA = 20 ， PB = 10,⎩⎧x = 1+ cos在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程⎨ y = sin (为参数）．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1） 求圆C 的极坐标方程； （2） 直线l 的极坐标方程是2sin(+) = 3 3，射线OM :=与圆C 的交点为O 、P ， 3与直线l 的交点为Q ，求线段 PQ 的长．24．(本小题满分 l0 分)选修 4—5：不等式选讲已知函数 f (x ) =| 2x + 1 |, g (x ) =| x | +a（1） 当a = 0 时，解不等式 f (x ) ≥ g (x ) ；（2） 若存在 x ∈ R ，使得， f (x ) ≤ g (x ) 成立，求实数a 的取值范围．2015 年 2 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考数学试题答案（理科）一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A7.D8.B9.A 10.C 11.C12.B二、填空题：13. 14 14. 36三、解答题15. 4916. - 4317【解析】：（I ）由正弦定理得 a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C ，3)( ) 1则2R sin B cos C = 6R sin A cos B - 2R sin C cos B , 故sin B cos C = 3sin A c os B - sin C cos B , 可得sin B cos C + sin C cos B = 3sin A c os B , 即sin(B + C ) = 3sin A c os B ,可得sin A = 3sin A cos B .又sin A ≠ 0,1因此cos B = .3（II ）解：由 BA ⋅ BC = 2 ,可得 ac cos B = 2 ，又cos B = 1,故ac = 6,3由b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B , 可得a 2 + c 2 = 12, 所以(a - c )2 = 0,即a = c ,所以 a ＝c ＝ 6 12 分…………6 分18. 解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2 局或乙连胜2 局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴ 有 p 2 + (1- p )2 = 5 ． 解得 p = 2 或 p = 1．9 3 31 2p > ，∴ p = ． .................................................. 5 分 23（Ⅱ）依题意知，依题意知，的所有可能值为 2，4，6． ........................ 6 分5设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ．若该轮结束时比赛还将继续，则9甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 P (= 2) = 5 ， P (= 4) = (1 - 5 5 = 20 ， P (= 6) = (1 - 5)(1 - 5) ⋅1 = 16． 10 分9 ∴随机变量的分布列为：9 9 81 9 9 81则 E = 2 ⨯ 5 + 4 ⨯ 20 + 6 ⨯ 16 = 266.981818119 【解析】：（Ⅰ）证明：方法一取 AC 的中点O ,连结 BO ， ON ,由题意知……………………12 分BO ⊥ AC ．又因为平面 A 1ACC 1 ⊥ 平面 ABC ， 所以面 A ACC ． ....................... 2 分 BO ⊥ 1 1因为A 1C ⊂ 平面 A 1ACC 1 所以 BO ⊥ AC 因为 四边形 A 1ACC 1 为菱形，所以 A 1C ⊥ AC 1 又因为 ON ∥ AC 1, 所以 A 1C ⊥ ON 所以 A 1C ⊥ 平面 BON ..................... 4 分z A 1C 1平B 1NOC yxBA2 4 6P5920 8116 8133x ⎛ 3 ⎫3 (( )⎨⎩1又 BN ⊂ 平面 BON ， 所以 A 1C ⊥ BN ．…6 分方法二取 AC 的中点O ,连结 BO ， A 1O , 由题意知 BO ⊥ AC ， A 1O ⊥ AC . 又因为 平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ，所以 A 1O ⊥ 平面 ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ................................ 2 分则O (0, 0, 0), B (3, 0, 0), A 1 (0,0, 3 )， N 0, , ,C (0,1, 0)， ⎛⎝ 3 3 ⎫ 2 2 ⎭A 1C = (0,1, - ). BN = - 3, , ……………………4 分⎝ 2 2 ⎭ 因 为 A C BN = 0 + 3 + (- 3 )3 = 0 ，所以 AC ⊥ BN ......................... 6 分1 2 21（Ⅱ）取 AC 的中点O ,连结 BO ， A 1O , 由题意知 BO ⊥ AC ， A 1O ⊥ AC . 又因为 平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABC ，所以 A 1O ⊥ 平面 ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ................................ 7 分 ⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 3 3 ⎫则O (0, 0, 0), B3, 0, 0), A 1 (0,0, 3 )， N 0, , , A 1N = 0, 2 , - 2,A 1B =3, 0, - 3 . ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ ⎭设平面 A BN 的法向量为 n = ( x , y , z ) ， 则⎪⎧ A 1 N ⋅ n 1 = 0,11 ⎨ ⎧ 3 3 即⎪2 y - 2 z = 0, ⎩ A 1B ⋅ n 1 = 0. ⎪ - 3z = 0.令 x = 1 .所以 n 1 = (1, 3，1) ............................................................................... 9 分 3又平面 A 1NC 的法向量 n 2 = (1,0, 0)…………………………………10 分设二面角B - A N -C 的平面角为，则cos = n 1 ⋅ n 2 = .……………12 分 n 1 ⋅ n 2 7x 2 + y 2 = 20. （12 分） 【解析】（1）椭圆 C 的方程为4 3 ……………．（4 分）33（2）①当直线l ⊥x 轴时，可得 A （-1，- 2 ），B （-1， 2 ）， ∆ AF 2 B 的面积为 3，不符合题 2111 + k 22 ，=+意． ...................................................................................................................... （6 分）②当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y=k （x+1）．代入椭圆方程得：(3 + 4k 2 )x 2 + 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0(x , y )(x , y )，显然∆ ＞0 成立，设 A 11 ，B 22 ，则8k 2x 1 + x 2 = - 3 + 4k 2 x 1 ⋅x 2 = 8k 2 - 12 3 + 4k 2，可得|AB|= 12(k 2 +1)3 + 4k 2……………．（10 分） 2 | k |112 | k | k 2 +1 12 2 又圆F 2 的半径 r= ，∴∆ A F 2 B 的面积= 2 |AB| r= 3 + 4k 2= 7，化简得：17 k 4 + k 2 -18=0，得 k=±1，∴r = ，圆的方程为(x - 1)2 + y 2 = 2 ................. ．（12 分）25 21．（Ⅰ） 当 a 时 4f ' (x ) = 4x 2- 9x - 9 4(x + 1)(x + 2)2 3= (4x + 3)(x - 3)4(x + 1)(x + 2)2∴ f (x ) 的单调递减区间为(- a,3) 4 ………………………………… 4 分（Ⅱ） 由ln(x + 1) +x + 2> 1 得 a > (x + 2) - (x + 2) ln(x + 1) 记 g (x ) = (x + 2)[1 - ln(x + 1)]g ' (x ) = 1 - ln(x + 1) -x + 2= -ln(x + 1) - x + 1 1 x + 1当x > 0 时 g ' (x ) < 0 ∴ g (x ) 在(0,+∞) 递减 又 g (0) = 2 ⋅ [1- ln1]= 2∴ g (x ) < 2 (x > 0)∴ a ≥ 2 .................................................................................... 8 分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知 ln(x +1) +2> 1 x + 2 (x > 0) ∴ ln(x + 1) > x x + 2取 x = 1 得ln( 1 1 + 1) >k 即ln( k + 1) > 1 k k 1 + 2 k 2k 1 2 3 4 kn +1 1 1 1 1∴ ln + ln 1 + ln 2 + + ln3 n> + + + + …… 12 分 3 5 7 2n +122.（1）∵ PA 为圆O 的切线, ∴∠PAB = ∠ACP , 又∠P 为公共角,AB PA∆PAB ∽ ∆PCA ∴ = .......................................... 4 分AC PC5 5 5 （2）∵ PA 为圆O 的切线, BC 是过点O 的割线, ∴ PA 2 = PB ⋅ PC ,∴ PC = 40, BC = 30 又 ∵ ∠CAB = 900 ,∴ AC 2 + AB 2 = BC 2 = 900AB PA 1又由（1）知 = = ∴ AC = 12 AB = 6 ,AC PC 2连接 EC ,则∠CAE = ∠EAB ,AB AD∆ACE ∽ ∆ADB ，则 = ，AE AC∴ AD ⋅ AE = AB ⋅ AC = 6 5 ⨯12 = 360 -------------------------- 10 分23．解：圆C 的普通方程为(x - 1)2 + y 2 = 1，又 x =cos , y = sin所以圆C 的极坐标方程为= 2 cos⎪= 2 c os（5 分）设 P (1 ,1 ) ，则有⎨ ⎩ = 3解得1= 1,1 =3设Q (2 ,2 ) ，则有⎨所以| PQ |= 2⎪(sin + ⎩cos ) = 3 =33解得2 = 3,2 =3(10 分)24故 h (x )= h (- 1 ) = - 1 ，从而所求实数a 的范围为a 1--------10 分 min2 22 3“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
甘肃省部分普通高中2015届高三上学期第一次联考数学(
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 则=N M （ ）A ．{|2}x x ≥-B ．}1|{->x xC ．}1|{-<x xD ．}2|{-≤x x 【答案】A考点：1、解不等式；2、集合的并集. 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p p B ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p【答案】C考点：1、复数的概念；2、复数的基本运算.3.已知平面向量与的夹角为3π，==+=,321（ ）俯视图侧视图正视图A ．1B ．3C ．3 D．2 【答案】D考点：平面向量的数量积. 4.下列推断错误的是( )A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C考点：命题真假性的判断.5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．312B ．336C ．327D ．6 【答案】B【解析】试题分析：该几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长为x ， 则3323=⋅x ，6=∴x ，故三棱柱的体积336433621=⋅⋅⋅，故答案为B.考点：由三视图求体积.6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．4lg 1+ 【答案】A考点：1、对数的运算；2、等比数列的性质.7.若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．13D ．14 【答案】D考点：线性规划的应用.8.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记 为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ） A ．64 B ．42 C ．32 D ．21 【答案】B 【解析】考点：1、导数的几何意义；2、等比数列求和.9.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin ()1x f x =m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 【答案】A考点：1、三角函数的化简；2、奇函数的应用.10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617 B．325 C ．61 D ．487【答案】C 【解析】考点：1、二项式定理的应用；2、定积分的几何意义；3、几何概型的概率计算公式.11.已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】C考点：椭圆的几何性质.12.已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．18 【答案】B 【解析】试题分析：实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，a e a b 2-=∴，cd -=2 因此点()b a ,在曲线xe x y 2-=上，点()d c ,在曲线x y -=2上，()()22d b c a -+-的几何意义就是曲线x e x y 2-=到直线x y -=2上点的距离最小值的平方，求曲线xe x y 2-=平行于直线x y -=2的切线，x e y 21-='，令121-=-='x e y ，得0=x ，因此切点()2,0-，切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d ，就是两曲线的最小距离，()()22d b c a -+-的最小值82=d ，故答案为B.考点：1、求切线方程；2、两点间的距离公式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式子5324⊗+⊗=_________.【答案】14考点：新定义在程序框图的应用.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.【答案】π36 【解析】试题分析：由图知，正四棱锥ABCD P -的外接球的球心在它的高1PO 上，设为点O ，R AO PO ==∴，41=PO ，41-=r OO ，在O AO Rt 1∆中，()2248-+=R R ，得3=R ，π36=∴S .考点：球的表面积.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）. 【答案】49考点：排列、组合的应用.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是____. 【答案】34-考点：圆的方程的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -= (1)求B cos 的值；(2)若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值. 【答案】(1)31cos =B ；（2）6==c a .考点：正余弦定理的应用. 18.（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p 1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE . 【答案】(1)32；（2）81266. 【解析】试题分析：(1)求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有225(1)9p p +-=． 解得23p =或13p =．12p >， 23p ∴=． ………………………………5分 （2）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．………………6分设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=． 10分 ∴随机变量ξ的分布列为：则 5246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………12分考点：1、随机事件的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望. 19.（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11AACC 为菱形，160A AC ∠= ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．（1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．【答案】(1)证明略；（2）721.考点：1、直线与直线垂直的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．【答案】(1)13422=+y x ；（2）()2122=+-y x考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 21.（本小题满分12分） 已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+【答案】（1）)(x f 的单调递减区间为)3,43(- ；（2）2≥a ；（3）证明略 【解析】试题分析：（1）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减；(2)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（1）当425=a 时 222')2)(1(4)3)(34()2)(1(4994)(++-+=++--=x x x x x x x x x f 由()0<'x f ，得343<<-x ∴)(x f 的单调递减区间为)3,43(- ………………………………… 4分（2） 由12)1ln(>+++x ax 得)1ln()2()2(++-+>x x x a 记[])1ln(1)2()(+-+=x x x g11)1ln(12)1ln(1)('+-+-=++-+-=x x x x x x g 当0>x 时 0)('<x g ∴)(x g 在),0(+∞递减又[]21ln 12)0(=-⋅=g ∴2)(<x g )0(>x∴2≥a ………………………………………………………… 8分（3）由(Ⅱ)知 122)1ln(>+++x x )0(>x ∴2)1ln(+>+x xx 取k x 1=得211)11ln(+>+kkk即121)1ln(+>+k k k∴1217151311ln34ln 23ln 12ln +++++>+++++n n n …… 12分 考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.（1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值. 【答案】(1)证明略；（2）360.考点：1、切割线定理的应用；2、三角形相似的应用. 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）θρcos 2=；（2)2.考点：极坐标方程的应用.24.(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ （1）当0=a 时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在R x ∈，使得，)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, ；（2）21-≥a 【解析】试题分析：(1)理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点离.(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔(3)b a b a b a +≤+≤-的应用.(4)掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.试题解析：当0=a 时，由()()x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ，解得1-≤x 或31-≥x ，因此原不等式的解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, （2）由()()x g x f ≤得x x a -+≥12，令()x x x h -+=12，则()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1x x x x x x x h 故()2121min -=⎪⎭⎫⎝⎛-=h x h ，从而所求实数a 的范围21-≥a . 考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.。
张掖市2015-2016年度高三第一次诊断考试数学(理科答案)
张掖市2015-2016年度高三第一次诊断考试数学(理科)试卷参考答案一、选择题 1、【答案】A【解析】由x x ≤2，得10≤≤x ，因此=N M {} 11|<<-x x {}10|≤≤x x {}10|<≤=x x ，故答案为A ． 2、【答案】C 【解析】31i z i -=-(3)(1)422(1)(1)2i i ii i i -++===+-+；故选C ． 3、【答案】D【解析】由等比数列性质知7465a a a a =，又564718a a a a +=，965=∴a a ，则原式10213log a a a =10)(log 5653==a a ．4、【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-。
根据抛物线第二定义可得，1212||||||1128PQ PF QF x x x x =+=+++=++=，故选B5、【答案】 B【解析】第一次摸出新球记为事件A,则P(A)=,第二次取到新球记为事件B,则P(AB)==,∴P(B|A)= 1()533()95P AB P A == 6、【答案】C，底面为矩形，长为，宽为2，所以体积为182)33=，选C. 7、【答案】D【解析】∵2＜log 25＜3，∴3＜1+log 25＜4，则4＜2+log 25＜5， 则f （1+log 25）=f （1+1+log 25）=f （2+log 25）=22log 51()2+2log 511111()424520=⨯=⨯=， 故选：D ． 8、【答案】A【解析】由零点存在性定理可知，函数()f x 在区间上[],a b 单调，且()()0f a f b <时，函数()f x 在区间(),a b 上存在零点，所以当()()0f a f m <或()()0f b f m >时，符合程序框图的流程，故选A. 9、【答案】 C【解析】因为AC ^平面1BDD B ,而BE Í平面11BDD B ,故有BE AC ⊥，所以A 项正确，根据线面平行的判定定理，知B 项正确，因为三棱锥的底面BEF D的面积是定值，且点A 到平面1BDD B 的距离是定值2，所以其体积为定值，故D 正确，很显然，点A 和点B 到EF 的距离是不相等的，故C 是错误的，所以选C.10、【答案】B【解析】由题意可知()sin 2cos 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 将函数f （x ）的图象向左平移π65个单位后得到5(51)2cos 2cos 666y x x ππωπωω⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数∴(51),6k k Z ωππ+=∈∴ω的最小值是1，故选B ． 11、【答案】 A【解析】设正三角形的边长为m ，即22AB AF BF m ===，结合双曲线的定义，可知12122,4,2BF a BF a F F c ===，根据等边三角形，可知12120F BF ∠=︒,应用余弦定理，可知222141622442a a a a c ++⋅⋅⋅=，整理得ca=A ． 12、【答案】 C【解析】因为当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ,所以0)('>x f ， 所以函数)(x f 在)1,(-∞上是单调递增的，所以)21()0(f b f a =<=，而)2()(x f x f -=,所以)1()3(-==f f c ，所以)0()1(f a f c =<-=，即b a c <<，故应选C ．二、填空题 13、【答案】13【解析】由题可知，13960cos 6416||4||4|2|222=+︒⨯⨯-=+-=-b b a a b a ，于是13|2|=-b a；14、【答案】12【解析】根据题意，在坐标系中画出相应的区域的边界线1,3x x y =+=，再画出目标函数取得最小值时对应的直线21x y +=，从图中可以发现，直线21x y +=与直线1x =的交点为(1,1)-，从而有点(1,1)-在直线(3)y a x =-上，代入求得12a =． 15、【答案】31【解析】令0x =,则()50232a =-=-,令1x =,则()5543210121a a a a a a +++++=-=-,所以()1234513231a a a a a ++++=---=．16、【解析】前5行共有012342222231++++=个，()6,10A 为数列的第41项，41112181n a a n =∴=- 二、解答题 17、【解析】（1）;863sin ,,810cos =∴=B B 2分451sin ,41cos =∠∴-=∠ADC ADC 4分 ;46)sin(sin =∠-∠=∠∴B ADC BAD 6分（2）在ABD ∆中，由正弦定理，得sinsin AD BD B BAD =∠= 8分解得2BD =…故2DC =， 10分 从而在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠22132232()164=+-⨯⨯⨯-=；所以 AC= 4 12分 18、【解析】（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 2分 又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =， 从而222OA SO SA +=． 4分所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =．所以SO ⊥平面ABC ． 6分（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 8分 由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3 12分解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，OS 为Z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．8分设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角． 10分3cos 3MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅，所以二面角A SC B --． 12分 19、【解析】(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A3分(2)记“他这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B ，7分(3)的可能值为0,1,2,310分其分布列为：12分20、【解析】（1）.已知c=121212PF FS F F bD==2分所以2b=，求得3a=,故椭圆方程为22194x y+=；4分（2）由（1）得126QF QF+=，那么122(6)6QA QF QA QF QA QF-=--=+-而229QA QF AF+?=于是1QA QF-的最小值为3.7分（3）.设直线1BB的斜率为k，因为直线1BB与直线2BB关于直线1x=对称，所以直线2BB的斜率为k-，于是直线1BB的方程为(1)y k x-=-，设()()111222,,,B x y B x y，由22(1)3194y k xx y⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得，()()224963940k k k x k++-+--=，因为该方程有一个根为1x=，所以1x=同理得2229449kxk+-=+9分所以()()121212121211B B k x k x y y k x x x x ⎡-+---+⎡⎤⎢⎣⎦-⎣⎦==-- ()12122k x x kx x +-=-2222229494249494949k k k k k k k k ⎛⎫--+-+- ⎪++=++6=， 故直线1BB的斜率为定值6。
2015年3月12日兰州市一诊数学(理)试题与解答
2015年高三诊断考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考 生必将自已的姓名、考号填写在答题纸上. 2．本试满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|||1A x x =<，{}|21x B x =>，则A B =∩A .(1,0)-B .(1,1)-C .1(0,)2D .(0,1) 解：因为{}|||1(1,1)A x x ==-<，{}|21(0,)x B x ==+∞>，所以(0,1)∩A B =，选D2.复数11i-（i 是虚数单位）的虚部是 A .1 B .i C .12 D .12i 解：11111(1)(1)22∵i i i i i +==+--+，∴虚部为123.复数||1a = ，||2b = ，且a ，b 夹角3π，则||2|a b +=A .2B .4C .12D .解：1∵a b ⋅= ，222|2|4444412∴a b a a b b +=+⋅+=++= ，|2|∴a b += 4.从数字1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为A .15 B .25 C .35D .45解：从1 、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，不同的两位数共有2520A = 个，其中大于40的两位数共有11248C C =，82205∴p == 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =A .18B .36C .54D .72解：4518∵a a =-，4518∴a a +=，又8184()∵S a a =+，818454()4()72∴S a a a a =+=+=6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A .2 B .92C .32D .3 解：如图所示，由三视图知，该几何体是一个四棱锥，底面是直角梯形，高为2，上底是下底的一半，下底为2， 棱锥的高为x ，所以1(12)26V x x =+⨯= 所以3x =.7.如图，程序输出的结果132S =，则判断框中应填A .10i ≥B .11i ≥C .11i ≤D .12i ≥解：因为初值12i =，1s =，所以第一次循环后12s =，11i = 第二次循环后132s =，10i =此时终止循环，输出132s =. 说明条件不成立，故选B8.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥则∥αβ是a b ⊥的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件解：因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭ ，又因为∥a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊥⎭，故充分不必要，选Ax正视图侧视图俯视图29.已知不等式组11x yx yy+⎧⎪--⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域为D，若直线3y kx=-与平面区域D有公共点，则k的取值范围是A.[3,3]-B.11(,]],)33∪-∞-+∞C.(,3]-∞-11]解：如图，设直线3y kx=-过点(1,0)和(1,0)-时的斜率分别为1k和2k因为直线过定点(0,3)-所以13k=，23k=-又因为直线与区域D有公共点，所以3k≥或3k≤-10.在直角坐标系xoy中，设P是曲线C：1(0)xy x=>上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A、B两点，则以下结论正确的是A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值3C.△OAB的面积有最大值4D.△OAB的面积的最取值范围是[3,4]解：设1(,)P mm（0m>），1∵xy=，21∴yx'=-，所以切线斜率为21km=-所以切线方程为211()y x mm m-=--，两截距点分别为2(0,)m和(2,0)m所以12222△OABS mm=⨯⨯=，即△OAB的面积为值2；选A.11.已知抛物线1C：22x y=的焦点为F，以F为圆心的圆2C交1C于A、B两点，交1C的准线于C、D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆2CA.221()42x y+-=B.221()42x y-+=C.221()22x y+-=D.221()22x y-+=解：如图，根据题意，圆2C的圆心为1(0,)2因为3)2A，所以22||4r AF==，故圆2C的方程为221()42x y+-=，选A.2y12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A .(2,)-+∞B .(0,)+∞C .(1,)+∞D .(4,)+∞ 解：(2)∵f x +是偶函数，(2)(2)∴f x f x +=-+，()∴f x 关于直线2x =对称， 又(4)1∵f =，(0)1∴f =，令()()xf xg x e =，则2()()()()()x x x xe f x e f x f x f x g x e e''--'== ∵()()f x f x '<，()0∴g x '<，()∴g x 在R 上单调递减，又0(0)(0)1∵f g e== 0∴x >时，()(0)1∴g x g =<，()1∴x f x e<，()∴x f x e <， 即()x f x e <的解集为(0,)+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-=_________________________. 解：(0,)2∵πα∈,4cos 5α=,3sin 5∴α=,3sin()sin 5∴παα-== 14.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为_______________________________.解：2∵x =的焦点为,212∴b =,又12∵e =,224∴a c =,223∴b c =, 24∴c =,216∴a =,故椭圆C 的方程为2211612x y +=. 15.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________________. 解：()(ln )∵f x x x ax =-,()ln 21∴f x x ax '=-+,x >0,令()0∴f x '=,则ln 210x ax -+=ln 12∴x a x +=,令ln 1()x g x x +=,则2ln ()xg x x-'=,(1)0g '= 0∴x <<1时，()0g x '>, ∴x >1时，()0g x '<, max ()(1)1∴g x g ==，又∵x >1时, ()0g x >,021∴a <<时，ln 12x a x+=有两解， 即102a <<时，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点. 16.数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若11010112015b b =，则21a =___.解：1∵n n n a b a +=,11a =,12∴b a =,322a b a =,123b b a =,433∵ab a =,1234∴b b b a =,544∵a b a =12345∴b b b b a =,…, 12341∴n n bb b b b a += ,12342021∴bb b b b a = ,又因为{}n b 为等比数列1101010211234201011()(2015)2015∴a b b b b b b b ==== . 三、解答题：解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、csin cC=（1）求A 的大小；（2）若6a =，求b c +的取值范围. 解 （1）sin c C =,又sin sin ∵a cA C =,sin ∴a A =sin ∴A A =tan ∴A ,3∴A π=.（2）,63∵A a π==,2∴R = 如图当点A在圆弧上运动时，2∴R = 当6b c ==时，max ()12b c += 所以b c +的取值范围是(6,12]ABCa =660°bc解法二：转化为三角函数问题求取值范围.( 23B C π+=) 18.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C .（1）求证：1AD BC ⊥；（2）若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦函数值.（1）证明:如图，连结1D C ,则1D C ⊥底面ABCD , 1∴BC DC ⊥, ∵ABCD 是等腰梯形，∥AB CD ，2AB =，1BC CD ==，60∴ABC ∠=,AC =AC BC ⊥∴BC ⊥平面1ACD , 1∵AD ⊂平面1ACD , ∴BC ⊥1AD ,(2) ∵∥CD AB ,又∵1DD 与AB 所成的角为3π,1∴DD 与DC 所成的角为3π, 13∴D DC π∠=,1∵DC =,12∴DD =,1∴CD∵AC =1BC =1∴AD =12BD =,1∴ABD S =V∴ABC S =V 又因为1∵△ABD 在底面ABCD 上的射影为△ABC 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成角为θ,则1cos ABC ABD S S θ==V V , 故平面11ABC D 与平面ABCDABCD1A1B1C 1D19. （本小题满分12分）为迎接2015年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为45. （1）求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；（2）用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望.解：（1）设盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数为m 个，记A = {从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”}，则A ={从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”},4()5∵P A =,1()5∴P A = 22615∴m C C =,3)(2)0∴(m m -+=,3∴m = 即盒中印有“兰州马拉松”标志的小球有3个.(2)由（1）知，盒中分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”小球各有3个， 又因为每位嘉宾最多抽奖3次,所以η取值为1,2,3所以23261(1)5C P C η===,232614(2)(1)525C P C η==-=,1416(3)152525P η==--= 所以η的分布列为:η的期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=.(注：3η=时，分第三次获奖与不获奖两种情形)20. （本小题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，右焦点F 到直线2a x c=的距离为32.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与曲线C 相交于B 、D 两点，已知(1,0)A ，若1DF BF ⋅=，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.解：（1）由题意知ba =且232a c c -=,222,3,1c b a === 所以双曲线C 的方程为2213y x -= 证明 (2)设11(,)B x y ,22(,)D x y ,BD 中点为00(,)M x y ,直线l 的方程为y x m =+,0m >解方程组2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得222230x mx m ---=,12x x m ∴+=, 21232m x x +=-, 123y y m ∴+=, 2212121233()2m y y x x m x x m -=+++=1DF BF ⋅=,(2,0)F ,(1,0)A ,1212(2)(2)1x x y y ∴--+=12121232()0x x x x y y ∴-+++=,12121232()0x x x x y y ∴-+++=220m m ∴-=,0m ∴=(舍) 或2m =,(1,3)M ∴,又(1,0)A ,MA x ∴⊥轴11221212121,)1,)()0AB AD x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-++= （（所以过,,A B D 三点的圆是以BD 为直径的圆，且与x 轴切于A 点.21. （本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x m x =++.（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++ <成立. 解：（1）2()ln(1)f x x m x =++ ,222()211m x x mf x x x x ++'∴=+=++,且(1,)x ∈-+∞ ()f x 是定义域上的单调函数, ∴对(1,)x ∀∈-+∞,222x x m ++≥0恒成立 112m ∴-+≥0,12m ∴≥,所以实数m 的取值范围是1[,)2+∞(2) 1m =- ,2()ln(1)f x x x ∴=-+,令32()ln(1)g x x x x =-++则3232213213(1)()32111x x x x x g x x x x x x +-++-'=-+==+++ 0x > ,()0g x '∴>,()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(0)0g = ,()0g x ∴> 32ln(1)0x x x ∴-++>,32ln(1)x x x ∴>-+,即3()f x x <.(3)分析：观察要证不等式左边的通项为23n n e -,而（2）中证明的不等式为23ln(1)x x x -<+23ln(1)1xx x e e x -+∴<=+,从而有231nn e n -∴<+,从此想到借助函数不等式的证明.证明： 对(0,)x ∀∈+∞,都有32ln(1)x x x >-+成立，23ln(1)1x x x e e x -+∴<=+231nn e n -∴<+,(*n N ∈)23111(3)(1)(1)22nni i i i n n ei n n n -==+∴<+=++=∑∑ 即21429(1)(3)2n n n n e eee-⨯-⨯-+++++ <成立. 23. （本小题满分12分）选修修4-4：极坐标系与参数方程在直角坐标xoy 中，曲线1C的参数方程为x y siin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值.解：（1）因为曲线1C的参数方程为x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以2222cos sin 1y αα+=+=2213x y +=,即曲线1C 普通方程为:2213x y +=.又因为sin()4πρθ+=sin cos 8ρθρθ∴+=,8x y ∴+=即曲线2C 直角坐标方程为：8x y +=(2)设(,)P x y ,则,x y sin αα==,设点P 到2C 上点的距离为d即当()13sin πα+= 时，点P 到2C 上点的距离的最小值为24. （本小题满分12分）选修修4-5：不等式选讲 已函数()|2|f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|23x x -≤≤，求实数a 的值（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围.解：（1）()|2|f x x a a =-+ ,()6f x ≤, |2|6x a a ∴-+≤,|2|6x a a ∴-≤- 626a x a a ∴-≤-≤-, 3a x ∴-≤≤3, 32a ∴-=-, 1a ∴= 所以实数a 的值为1.(2)在（1）的条件下1a =,所以()|21|1f x x =-+,若存在实数n ,使()()f n m f n ≤--成立，则()()21212m f n f n n n ≥+-=-+++,又因为212121212n n n n -++≥---=,所以{}min ()()4m f n f n ≥+-=故m 的取值范围是[4,)+∞.2015年高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题7. 解析 ：由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i 的值依次为11，10,由于i 的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B 符合题意11. 解析 ：依题意，抛物线1C ：y x 22=的焦点为1(02F ，1(0)2，∵四边形ABCD 是矩形，且BD 为直径，AC 为直径，F ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，到直线CD 的距离为1p =∴圆2C 的半径2r AF === ∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减 ∵()()()1x x f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)x f x e g x g <⇔< ∴0x >故选B ． 二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+， 令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是1(0,)2.16．解析 11=，得2121a b a a ==． 2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sin sin c aC A==，sin A A = ∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin3a b cA B Cπ====∴b B=，c C=∴b c B C+=+]sin sin()sin sin()3B A B B Bππ⎤=+--=++⎥⎦12sin()6Bπ=+∵5666Bπππ<+<∴612sin()126Bπ<+≤即：(]6,12b c+∈…………12分18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C,则1D C⊥平面ABCD,∴1D C⊥BC在等腰梯形ABCD中,连接AC∵2AB=,1BC CD==AB∥CD∴BC AC⊥∴BC⊥平面1AD C∴1AD BC⊥…………6分(Ⅱ)解法一:∵AB∥CD∴13D DCπ∠=∵1CD=∴1DC=在底面ABCD中作CM AB⊥,连接1D M,则1D M AB⊥,所以1D MC∠为平面11ABC D与平面ABCD所成角的一个平面角在1Rt D CM∆中,2CM=,1DC=∴1D M==∴1cos D CM∠=即平面11ABC D与平面ABCD所成角(锐角)…………12分解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD因此111cos ,||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===2211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==1(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20.解：（Ⅰ）依题意有ba =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x +=∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+= ∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径 ∵M 点的横坐标为1 ∴MA x ⊥ ∵12MA BD =∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分（Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<, 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=, 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞) ∴2(1)1n n e n -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++=………12分 证法二:设(3)2n n n S +=则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥ ∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈ 欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e e e n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n 只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。
甘肃省河西三校普通高中2015届高三上学期第一次联考数学(理)试卷Word版含答案
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}2104M x x ,N x x ,=+≥=<则MN =( )A.(],1-∞-B.()2,+∞C.(]1,2-D.[)1,2-2.已知命题xxR x p 32,:<∈∀命题231,:x x R x q -=∈∃,则下列命题中为真命题的是:（ ） A. B.C. D.3.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ） A．y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log (1)y x =+5.函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 6.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>7.函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则( )A ．0a ≤B ．1a <C ．0a <D ．1a ≤ 8.）9.直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．110.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( ) A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数'(1)()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 12．已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞)第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 13.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．14.42()x x-的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 15.已知随机变量2(,)N ξμσ，且P 1(1)2ξ<=，P (2)0.4ξ>=，则P(01ξ<<)= ． 16.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于R x ∈∀恒有)1()1(-=+x f x f ，已知当][1,0∈x 时，,)21()(1x x f -=则（1）)(x f 的周期是2； （2）)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）)(x f 的最大值是1，最小值是0； （4）当)4,3(∈x 时，3)21()(-=x x f 其中正确的命题的序号是 .三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）设命题p:实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中: (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望. 19．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点P (1，0)处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)证明：()22f x x ≤-.20．（本小题满分12分）（1）求x ，y ，z ，M 的值；（2）若从这M 辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（3）若以频率作为概率，设X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X 的分布列和数学期望()E X ．21.（本小题满分12分）已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数()f x 在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分） 选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，－5），点M 的极坐标为（4，2π），若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心，4为半径。
2015年甘肃省河西五地市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z 的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．（5分）已知平面向量与的夹角为，且||＝1，|+2|＝2，则||＝（）A．1B．C．3D．24．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件5．（5分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．66．（5分）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．37．（5分）若实数x、y满足不等式组则z＝|x|+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．148．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．219．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）设k是一个正整数，（1+）k的展开式中第四项的系数为，记函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．8C．12D．18二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝．14．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为．15．（5分）从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（用数字作答）．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＝3a cos B ﹣c cos B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．18．（12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．（I）求证：A1C⊥BN；（Ⅱ）求二面角B﹣A1N﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．（12分）已知函数（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；（3）求证：．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC＝P A•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|2x+1|，g（x）＝|x|+a（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2015年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【解答】解：∵集合M＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，集合＝{x|2﹣x≤22}＝{x|﹣x≤2}＝{x|x≥﹣2}，∴M∪N＝{x|x≥﹣2}，故选：A．2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z 的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝1+i的四个命题：p1：|z|＝≠2，因此是假命题；p2：z2＝（1+i）2＝2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．3．（5分）已知平面向量与的夹角为，且||＝1，|+2|＝2，则||＝（）A．1B．C．3D．2【解答】解：由已知，|+2|2＝12，即，所以||2+4||||×+4＝12，所以||＝2；故选：D．4．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．5．（5分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a＝6，故三棱柱体积．故选：B．6．（5分）等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4＝2，a5＝5，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10．∴lga1+lga2+…+lga8＝lg（a1a2•…•a8）＝4lg10＝4．故选：C．7．（5分）若实数x、y满足不等式组则z＝|x|+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z＝|x|+2y化为y＝﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，z max＝1+2×5＝11；当x＜0时，z＝|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，z max＝4+2×5＝14．∴z＝|x|+2y的最大值是14．故选：D．8．（5分）抛物线x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N*，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A．64B．42C．32D．21【解答】解：∵y＝2x2（x＞0），∴y′＝4x，∴x2＝y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2＝4a i（x ﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2＝0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1＝a i，∴{a2k}是首项为a2＝32，公比q＝的等比数列，∴a2+a4+a6＝32+8+2＝42．故选：B．9．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）＝sin（x+m﹣），则由m﹣＝kπ，可解得m＝k，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为奇函数．故选：A．10．（5分）设k是一个正整数，（1+）k的展开式中第四项的系数为，记函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得，解得：k＝4或k＝（舍去）解方程组，解得：x＝0或4∴阴影部分的面积为＝，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应区域面积为4×16＝64，由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为；故选：C．11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝2．故选：C．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足＝＝1，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．8C．12D．18【解答】解：∵实数a，b，c，d满足＝＝1，∴b＝a﹣2e a，d＝2﹣c，∴点（a，b）在曲线y＝x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y＝2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y＝x﹣2e x到曲线y＝2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线，∵y′＝1﹣2e x，求出y＝x﹣2e x上和直线y＝2﹣x平行的切线方程，∴令y′＝1﹣2e x＝﹣1，解得x＝0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y＝2﹣x的距离d＝＝2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2＝8．故选：B．二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝14．【解答】解：有框图知S＝a⊗b＝∴5⊗3+2⊗4＝5×（3﹣1）+4×（2﹣1）＝14故答案为1414．（5分）正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为36π．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝R﹣4，或OO1＝4﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2＝8+（R﹣4）2得R＝3，∴球的表面积S＝36π故答案为：36π15．（5分）从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为49（用数字作答）．【解答】解：丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C93＝84，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C73＝35，∴满足条件的事件数是84﹣35＝49，故答案为：49．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是﹣．【解答】解：圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0即圆C的方程为（x﹣4）2+y2 ＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx+2的距离为d，则d＝≤2，即3k2≤﹣4k，求得﹣≤k≤0，故k的最小值是﹣，故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＝3a cos B ﹣c cos B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【解答】解：（I）由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，则2R sin B cos C＝6R sin A cos B﹣2R sin C cos B，故sin B cos C＝3sin A cos B﹣sin C cos B，可得sin B cos C+sin C cos B＝3sin A cos B，即sin（B+C）＝3sin A cos B，可得sin A＝3sin A cos B．又sin A≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得ac cos B＝2，，由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝12，所以（a﹣c）2＝0，即a＝c，所以．（13分）18．（12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得（2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，则随机变量ξ的分布列为：故．19．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．（I）求证：A1C⊥BN；（Ⅱ）求二面角B﹣A1N﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连结BO，A1O，由题意知BO⊥AC，A1O ⊥AC．又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，所以A1O⊥平面ABC以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（2分）则O（0，0，0），，，，C（0，1，0），.…（4分）因为，所以A1C⊥BN…（6分）（Ⅱ）解：取AC的中点O，连结BO，A1O，由题意知BO⊥AC，A1O⊥AC．又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，所以A1O⊥平面ABC以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（7分）则O（0，0，0），，，，，．设平面A1BN的法向量为n1＝（x，y，z），则即令x＝1．所以．…（9分）又平面A1NC的法向量n2＝（1，0，0）…（10分）设二面角B﹣A1N﹣C的平面角为θ，则．…（12分）20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a＝2，又c＝1，b2＝4﹣1＝3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y＝k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18＝0，即（k2﹣1）（17k2+18）＝0，解得k＝±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2＝2．21．（12分）已知函数（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；（3）求证：．【解答】（1）解：当时，（x＞﹣1）令f′（x）＜0，可得，∴f（x）的单调递减区间为…（4分）（2）解：由得a＞（x+2）﹣（x+2）ln（x+1）记g（x）＝（x+2）[1﹣ln（x+1）]，则当x＞0时g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减又g（0）＝2•[1﹣ln1]＝2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（8分）（3）证明：由（Ⅱ）知（x＞0）∴取得，即∴…（12分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝20，PB＝10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC＝P A•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴，∴AB•PC＝P A•AC．…（4分）（2）解：∵P A为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PC＝40，BC＝30，又∵∠CAB＝90°，∴AC2+AB2＝BC2＝900，又由（1）知，∴AC＝12，AB＝6，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|2x+1|，g（x）＝|x|+a（Ⅰ）当a＝0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）＝|2x+1|﹣|x|，即h（x）＝，故h（x）min＝h（﹣）＝﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．。
甘肃省河西三校普通高中2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}2104M x x ,N x x ,=+≥=<则MN =( )A.(],1-∞-B.()2,+∞C.(]1,2-D.[)1,2-2.已知命题x x R x p 32,:<∈∀命题231,:x x R x q -=∈∃,则下列命题中为真命题的是:（ ） A. B.C. D.3.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+5.函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 6.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>7.函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则( )A ．0a ≤B ．1a <C ．0a <D ．1a ≤ 8.函数的图象大致为（ ）9.直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．110.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在2sin ()1xf x x =+[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数'(1)()y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 12．已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞)第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 13.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．14.42()x x-的展开式中的常数项为______________(用数字作答)15.已知随机变量2(,)N ξμσ，且P 1(1)2ξ<=，P (2)0.4ξ>=，则P(01ξ<<)= ． 16.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于R x ∈∀恒有)1()1(-=+x f x f ，已知当][1,0∈x 时，,)21()(1x x f -=则（1）)(x f 的周期是2； （2）)(x f 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）)(x f 的最大值是1，最小值是0； （4）当)4,3(∈x 时，3)21()(-=x x f其中正确的命题的序号是 .三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）设命题p:实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩.(1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中: (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望. 19．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点P (1，0)处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：()22f x x ≤-.20．（本小题满分12分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表： 新能源汽车补贴标准 车辆类型 续驶里程R （公里）80150R <≤ 150250R <≤ 250R ≥纯电动乘用车3.5万元/辆5万元/辆 6万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表： 分组频数频率80150R <≤ 2 0.2150250R <≤ 5 x 250R ≥yz合计 M1（1）求x ，y ，z ，M 的值；（2）若从这M 辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（3）若以频率作为概率，设X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X 的分布列和数学期望()E X ．21.（本小题满分12分）已知函数2()e 1x f x ax bx =---，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数()f x 在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分） 选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，－5），点M 的极坐标为（4，2π），若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心，4为半径。
甘肃省天水市一中2015届高三高考信息卷(一)数学(理)试卷
天水一中2015届高考模拟信息卷理科数学（一）1.若集合{0}A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R 2.已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ） （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∧⌝是真命题 （D ）命题()p q ∨⌝是假命题 3.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<4.已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.75 6.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） （A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）207.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）458.已知不等式组0,x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）52（D ）39. 平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）（A （B ）3π （C （D ）2π10.在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为( )（A ) 1 （B ）1+ （C （D ）311.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,,若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是( )（A ）25（B ） 32 （C ）52 （D 1+12. 设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x fy =-成立，则称函数()fx 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①yx =sin ；②2xy =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 13. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ,则PBC ∆的面积大于3S的概率为________ 14.函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a . 15.如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．16.我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线； ②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 _________ ．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.20.如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =，21DEF S ∆=．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．21. 设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由； （Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n的所有可能取值.22. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,BD 是⊙O 的直径，CD AE ⊥于点E ,DA 平分BDE ∠. （Ⅰ）证明：AE 是⊙O 的切线（Ⅱ）如果24==AE AB ，,求CD .23. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
2015年甘肃省天水市秦安县高考一模数学试卷(理科)【解析版】
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1． （5 分） 已知集合 M＝{x||x|≤2， x∈R}， N＝{﹣1， 0， 2， 3}， 则 M∩N＝ （ A．{﹣1，0，2} 3} 2． （5 分）设复数 z 满足（1﹣i）z＝2i，则 z＝（ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i ） D．1﹣i ） B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} ）
D ． {0 ， 1 ， 2 ，
3． （5 分） 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 S3＝a2+10a1， a5＝9， 则 a1＝ （ A． B． C． D．
4． （5 分）已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β．直线 l 满足 l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ A．α∥β 且 l∥α B．α⊥β 且 l⊥β C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l D．α 与 β 相交，且交线平行于 l0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8+a9（x+1）9+a10（x+1）
10
，则 a8＝（
） B．9 C．﹣45 D．﹣9
A．45
8． （5 分） 某班有 50 名学生， 一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N （105， 102） ， 已知 P（95≤ξ≤105）＝0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为
13 ． （ 5 分）已知球与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积 为 ．
14． （5 分）在三角形 ABC 中，已知 AB＝4，AC＝3，BC＝6，P 为 BC 中点，则 三角形 ABP 的周长为 ．
甘肃省张掖市2015届高三第一次联考数学(理)试题(扫描版,Word答案)
张掖市2014-2015年度高三第一次诊断考试数学（理科）答案1．C解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}， 故选C ． 2．A 解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655a aa +-=≠∴=-3．D解析：1410161011814111,30109102(17)2(13)(9)10n a a a a a a a d a a a d a d a d D ++=∴=+=-=+-+=-+=-设等差数列的首项为公差为d即故选4．A 解析：略 5. B解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V ＝13×12×1×1×2＝13. 6.B 解析略 7．B 解：c o 23A BA C A A C A ⋅=4A B A C ∴=1s i n 12ABC S AB AC A ∆∴==12x y ∴+=， x y 14+=()(1442252518y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y xx y =时等号成立取最值考点：向量数量积及均值不等式点评：均值不等式求最值验证等号成立条件 8．B解析：因为1sin 0y x '=-≥，所以函数cos y x x =+在R 上单调递增，故可排除C 选项；又因为0x =时，0cos 01y =+=，故可排除A 选项；当(,)22x ππ∈-时，cos y x x x =+>，故此时函数cos y x x =+的图像在直线y x =的上方，故D 错误，B 正确． 考点：函数的图像． 9． C解析：1(0.420.28)0.3-+= 10. B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．11．B解析：设0x 为点P 的横坐标，则10PF a ex =+ ，20PF a ex =-222120 PF PF a e x ⋅=- ， (-a≤0x ≤a)所以1PF 2PF 取值范围是[22,b a ],而1PF 2PF 最大值取值范围是222,3c c ⎡⎤⎣⎦，所以22223c a c ≤≤于是得到221132c a ≤≤，故椭圆的离心率的取值范围是，选B 。