06高等数学(理工类)考研真题六至十二 后附有各卷答案
)(
,)0(3.)1((3,)1,1()(,)1),()(2.2
3/22
23
轴上方的无界图形的面下方位于曲线填空在直角坐标系下曲率公式为值计算之间的弧长于是该抛物线上介于点处的曲率半径上任一点是抛物线设x x xe y y y K d s
d d s d M A x s s x y x M x y x x +<≤='+''=
-=≥==-ρ
ρρρρ(.
∞.
01数二考研题
02数二考研题
?
最大体积是多少?转一周所得的旋转体体积最大00数二考研题
积是()
,.,,,4.当水面与闸门的上端相平所围成下部由二次抛闸门的上部为矩形为对称轴其中直线某闸门的形状与大小如图所示AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承l
A
B
C
D
物线与线段时,.,1)0,0(1.2
22该图形绕为何值时问围成一平面图形的直线与曲线和过坐标原点交于点与设曲线x a ax y A O A x y x a ax y =
-=≥>=轴旋
点)考研真题六
的
.
20,,02;02,25.?
)(,4:52
221其中所围成的平面区域直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设米闸门矩形部分的高a a x y x y D y x a x x y D m h <<===
====02数二考研题
O
x
y
2
2x y =1
D 2
a
2
D 受的水压力之比为应为和
.
?(2);
;(1)212211试求此最大值取得最大值为何值时试问轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体体积绕试求V V a V y D V x D +02数三考研题
多少;
(1).
ln ,ln A D D x x y x y 的面积求平面图形及该切线与曲线的切线过坐标原点作曲线==6.轴围成03数一考研题
17.
.)
:(?,(2)?,3(1).)20(表示长度单位米注汽锤至多能将桩打进地下多深若击打次数不限可将桩打进地下多深次后汽锤击打桩问
m r r <<.
)((1).
,),(,2
1
,22)(x f y x PQ Q y y x P x f y 的方程求曲线轴平分被且线段轴的交点为处的法线与其上任一点过点
设位于第一象限的曲线==9.03数一考研题
03数二考研题
)
(
.
)(,],0[sin (2)s x f y l l x y 的表示曲线试用上的弧长为在已知曲线==π弧长.
(2)V e x D 直线旋转一周所得旋转体的体积绕求=,,,汽锤每次击打需用汽锤将桩打进土层某建筑工程打地基时8.都将.
______20),0(7.的一段弧与极轴所围成的图形的面积为变到从则该曲线上相应于设曲线的极坐标方程为πθρθ>=a e a 03数二考研题
,.),0,(根据设计方汽锤第一次击打将桩打进地下比例系数为a m k k >成正比要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度克服土层对桩的阻力而作功案.)
()
(lim
(2);)
()
((1)).
(),(),(,.0)0(,02
10.t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x e e y t x
x +∞
→-==>==+=
计算极限的值求
处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体该曲边梯形绕围成一曲边梯及与直线曲线04数二考研题
形11.如图, 1C 和2C 分别是)1(2
1
x e y +=
和x e y =的图象, 过点(0,1)曲线3C 是一单调增函数的图象, 过2C 上任一点),(y x M 分别作垂直于x 轴y 轴的直线x l 和.y l 记21,C C 与x l 所围图形的面积为321,);(C C x S 与y l 的和18.
.
所围图形的面积为).(2y S 如果总有),()(21y S x S =求曲线3C 的方程).
(y x ψ=05数二考研题
11
O
y
x
l C C C y
3
21
l x
M x y )(,设D 是位于曲线)0,1(2+∞<≤>=-x a a x y a
x 下方、x .
(Ⅰ)当区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积)(a V ;(Ⅱ)当a 为何值时,)(a V 最小?并求此最小值.
界区域12.轴上方的无
07数二考研题
19...
11
22112,1,11.都平行且过原点的平面
及求与直线z y x t z t y x +=+=?????++=+-==考研真题七
87数一考研题
,1
1122:,130211:
3..
1,43,
2:)1,2,1(2.21已知两条直线方程
垂直的平面方程且与直线求过点z
y x L z y x L t z t y t x L M =-=+--=-=-???
??-=-=+-=-90数一考研题.
(2);
012:1
1
111:(1)7..
,824),2,3,6(6..
00轴旋转一周而成的曲面方程绕直线的方程上的投影在平面直线求此平面方程垂直且与平面设一平面经过原点及点位置关系y L L z y x z y x L z y x =-+-∏-+==-=+--求直线96数一考研题
98数一考研题0224:031020
123:5.).
()]()[(,2)(4.与平面试确定直线求设z y x z y x z y x L a c c b b a c b a =-+-∏??
?=+--=++++?+?+=??95数一考研题
95数一考研题
.
21的平面方程且平行于求过L L 91数一考研题的方程8.点012(到平面0543=++z y x 的距离z =.
),,06数一考研题
20.
.
.,,,,1.2y
x z g f x y g y x xy f z ???+=求
具有二阶连具有二阶连续偏导数其中设续导数00数一考研题
()()
,1)0,0(,3)0,0(,)0,0(),(2.则且的附近有定义在点设函数选择(A)f f y x f y x ='=';
3)
0,0(d y d x d z
+=01数一考研题
.
)(),(,()(,3,
2,1)1,1(,)1,1(),(3.1
3
)1,1()
1,1(求
且处可微在点设函数x d x
d x x f x f x y
f x
f f y x f z (D)(C)(B)x ==??=??===??}1,1,3{)0,0(,0,0(),(的法向量为在点曲面f y x f z =);}3,0,1{0)
,(的切向量为在点曲线y y x f z ??
?==)0,0(,0,0(f );}1,0,3{0)
,(的切向量为在点曲线y y x f z ??
?==)0,0(,0,0(f ).).01数一考研题
:4),(4.条性质的下面考虑二元函数选择y x f 02数一考研题
( ).
①;
),(),(00处连续在点y x y x f ④③②;),(),(00处的两个偏导数连续在点y x y x f ;
),(),(00处可微在点y x y x f ),(),(00处的两个偏导数存在.在点y x y x f 考研真题八
.
75),(}75),({,,5.2222小山的高度函数为
其底部所占的区坐标面取它的底面所在的平面为设有一小山xy y x y x h xy y x y x D xOy +--=≤-+=,.
;
;;,④①③①④③①②③①③②则有推出性质表示可由性质若用(D)(C)(B)(A)Q P Q P ?????????( ).
域为21.
..
,),((1)75,,,(2);
),(),(?),(,),((1)22000000试确定攀登起点的位置达到最大值的点中的上找出使的边界线要在也就是说为此需要在山脚寻找一上山坡度最大
现欲利用此小山开展攀登活动的试写出的方向导数最大在该点沿平面上什么方向问上一点为区域设y x g xy y x D y x g y x g y x h D y x M =-+,的点作为攀登的起点若记此方向导数的最大值为02数一考研题
____.
0426.22平行的切平面的方程是与平面曲面=-++=z y x y x z ,)0,0(),(7.且
的某个领域内连续在点已知函数y x f 03数一考研题
03数一考研题
.
),()0,0(;
),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(,
1)(),(lim
2
220
的极值点是否为根据所给条件无法判断点的极小值点是点的极大值点是点的极值点不是点则y x f (D)y x f (C)y x f (B)y x f (A)y x xy
y x f y x =+-→→( ).
.
),(,0182106),(8.222的极值点和极值求
确定的函数是由设y x z z z yz y xy x y x z z ==+--+-=04数一考研题
__________.3
,2),(9.32=??+??+==-y
z x z y e z y x z z z x 则
确定由方程设函数04数二考研题
,),,(10.22f e y x f z xy -=求
具有连续二阶偏导数其中设表达式.,,2y
x z y z x z ???????04数二考研题
11.设函数,181261),,(222z y x z y x u +++
=单位向量},1,1,1{3
1=n 则.
______)
3,2,1(=??n
u 05数一考研题
22.
.
12.设有三元方程,1ln =+-xz e y z xy 根据隐函数存在定理, 存在点的一个邻域, 在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =;
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =;(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =;(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =;1)( ).
05数一考研题
14.已知),(y x f z =的全微分,22y d y x d x d z -=并且.2)1,1(=f 求(f ),y x 在椭圆域}
14
|
),{
22
≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(05数二考研题
13.设函数,)()()(),(+-+-++=y x y
x d t t y x y x y x u ψ??其中函数?二阶导数, ψ具有一阶导数, 则必有( ).
(A)2
22
2y u x u ??-
=??;2
22
2y u x u ??=
??;
222y u
y x u ??=
???;2
22x u
y x u ??=
???.具有
(B)(C)
(D)
05数一、二考研题
(0,1,
(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .
,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).
,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ?下的一个极值点15.设),(y x f 与),(y x ?均为可微函数0),(≠'y x y ?. 已知且,06数一、二考研题
16.设),(v u f 为二元可微函数,),(x y y x f z =,则
=??x
z
____________.07数一考研题求函数22222),(y x y x y x f -+=在区域}
0,4|),{(22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值.
17.18.设),(v u f 是二元可微函数,,,?
???=y x
x y f z 则
,07数一考研题07数二考研题
23..=??-??y
z y x z x
____________.19.二元函数),(y x f 在点)0,0(处可微的一个充分条件是( ).
(A)
0)]0,0(),([lim )
0,0(),(=-→f y x f y x ;
(B),0)0,0()0,(lim
=-→x f x f x 且0)
0,0(),0(lim 0
=-→y f y f y ;
(C)
0)
0,0(),(lim
2
2)
0,0(),(=+
-→y x f y x f y x ;
(D),0)]0,0()0,([lim 0
='-'→x x x f x f 且0)]0,0(),0([lim 0
='-'→y y y f y f .
07数二考研题
24.
.
考研真题九
}10,10),({,2..
)0(,,1.),max 0022≤≤≤≤=>y x y x D d x d y e k P P R D
y x 其中计算
求球体的重心位比例常数距离的平方成正比一点的密度与该点到是此球体的表面上的一个定点的球体设有一半径为球体上任00数一考研题
(.
02数一考研题
,
)(x f 连续且恒大于零设函数3.置},
|),{()(},|),,{()(,
)()()(
)()(22222222)
(22222t y x y x t D t z y x z y x t d x
x f d y x f t G d v
z y x f t F t t
t D σ
≤+=≤++=Ω+=
++=
-其中;),0()((1)t F +内的单调性在区间讨论∞).
(2
)(,0(2)t G t F t π>>时证明当03数一考研题
.
0(D));2((C));
2((B));
2(2(A)( ).
)2(,)()(,)(4.1
f f
f F
d x x f d y
t F x f t y
t -'=等于则为连续函数设04数一考研题
.
)cos sin (;
)cos sin (;
)(2;)(( ).
)(},2|),{(,)(5.sin 20
20
sin 20
20
20
1122-≤+=θπθπθθθ
θθθ
r d r r f d d r r f d d x xy f d d y xy f d d x d y
xy f y y x y x D u f D
等于则区域连续设函数??(D)
(C)
(B)(A)04数二考研题
6.设]1[},0,0,2|),{(2222y x y x y x y x D ++≥≥≤
+=表示不超过1+22y x +的最大整数. 计算二重积分
.
]1[22++d x d y y x xy D
05数一考研题
25..7.设区域)(},0,0,4|),{(22x f y x y x y x D ≥≥≤+=为D
函数上的正值连续函数
,b a ,为常数, 则=σ( ).
(A)π
ab
;
π2
ab ;π)(b a +;π2
b
a +.(D)
(C)
(B)
上的正值连续05数二考研题
8.计算二重积分
,|1|22-+d y x σ其中}.
10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D
D
05
数二考研题
10.设区域D }0,1),{(22≥≤+x y x y x ,计算二重积分
=x d y I .
9.设),(y x f 为连续函数0
)sin ,cos (θθθr d r r r f 等于则
,( ).
),(d y y x ;),(d y y x ;(C)
),(d x y x .
),(d x y x ;
106数一、 二考研题
06数一、 二考研题
11.设二元函数
???
??≤+<+≤+=2||||1,11||||,),(2
2
2y x y x y x x y x f 计算二重积分
,),(D
d y x f σ其中}.
2||||),({≤=y x y x D ,07数二考研题
26.
.
考研真题十
;
4
;
4
;
4
;4
( ).,)0(:2.)(
)2,2,1(21321.122222
2
21
1
1
1
则有在第一卦限中的部分为设的法线方程为在点曲面
xyz d S xyz d S (D)
x d S z d S (C)
x d S ydS (B)
x d S x d S (A)
S S z a
z y x S z y x S S
S S
S S
S S
====≥=++-=+
+.
00数一考研题
,00数一考研题
,)0,1(,43.2
2为中心是以点其中计算曲线积分R L y x y d x
x d y I +-=
为半
.
)1(取逆时针方向径的圆周R >00数一考研题
,
0)()(2z d z d y e d z d x x xyf d y d z x xf x =--,05.)()
(,4.)
2,2,1(2
2
2都有
内任意的光滑有向封闭曲面设对于半空间则设S x grad div z y x r >=++
=
-r .
00数一考研题01数一考研题
?
130
)9.0(),()
()
(2)(,,)()(.7.22的雪堆全部融化需多少小时问高度为比例系数已知体积减少的速度与侧面积成正比时间单位为小时设长度单位为其侧面满足方程
在融化过程中的雪堆为时间设有一高度为cm cm t h y x t h z t t h +-
=,,01数一考研题
.
,,12为逆时针方向轴正向看去从的交线与柱面L z y x z y x =+=++01数一考研题
,)3()2()(.6.222222是平
其中计算L d z y x d y x z d x z y I -+-+-=
)(,1)(lim ,),0()(0
求且内具有连续的一阶导数在其中函数x f x f x f x =+∞+→.
面]1)([)](1[1),(),(,)0(,),()(.8.222记
终点为其起点为内的有向分段光滑曲线是上半平面内具有一阶连续导数在设函数d y xy f y y
x
d x xy f y y I d c b
a
y L
x f L
-++=
>+-∞∞,,02数一考研题
27.
..
.
,(2);(1)的值求时当无关与路径证明曲线积分I cd ab L I =.},0,0|),{(ππ≤≤≤≤=D L y x y x D 试证：
的正向边界为已知平面区域.9.03数一考研题
.
2(2)
(1)
2sin sin sin sin sin sin π≥--=
----x y x y x y d x ye d y xe d x ye d y xe d x ye d y xe ;
._____________2,210.22的值为则曲线积分
在第一象限中的部分为正向圆周设-=+L
y d x x d y y x L 04数一考研题
,
)1(32211.233计算曲面积分
-++=
∑
d x d y z d z d x y d y d z x I 04数一考研题
.
)0(122的上侧是曲面其中≥--=∑z y x z 12.设Ω是由锥面22y x z +=
与半球面222y x R z --=围成的空间区
14.设∑是锥面)10(22≤≤+=z y x z 的下侧则
,∑
=
-++d x d y z y d z d x x d y d z )1(32.
15.设在上半平面D =}0),{(>y y x
内)
,(y x f 具有连续的偏导
函数,06数一考研题
域,∑是Ω的整个边界的外侧, 则
.
_______=++∑
z d x d y y d z d x x d y d z 05数一考研题
13.设函数)(y ?具有连续导数, 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线(1)证明: 对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C , 有
(2) 求函数)(y ?的表达式.
L 上, ++y x xy d y
d x y 4
222)(?的值恒为同一常数.
++y x xy d y
d x y 4
222)(?;
0=05数一考研题
28.
.
0>t 都有).,(),(2y x f t xy tx f -=数且对任意的,证明对滑的有向简单闭曲线都有
:D L ,
yf 0-=06数一考研题
(x , y )d x xf (x , y )d y .
内的任意分段光
16.设曲面1|||||:|=++∑z y x ,则
=+d S y x )|(____________.
|17.设曲线1),(:=y x f L (),(y x f 具有一阶连续偏导数)过第M 象限内的点Γ,N 为L 上从点M 到点N 的一段弧,分小于零的是( ).
(A)Γ
d x y x f ),(; Γ
d y y x f ),(;
Γd s y x f ),(;
Γ
'+'d y y x f d x y x f y x ),(),(.
(B)(C)
(D)
象限内ⅡⅣ和第18.计算曲面积分
++=
xy d x d y zy d z d x xz d y d z I 32,
其中∑为曲面)10(4
122≤≤--=z y x z
的上侧.的点则下列积07数一考研题
07数一考研题
07数一考研题
29.
.
考研真题十一
,
.1.n u 则必收敛的级数为
收敛设级数
00数一考研题
(D)
(C)
(B)(A);)1(-n
n
n
u ;2n u .
)(1u u n n ++;
)(212u u n n +-.,)2(31.2.并讨论该区间端点处的收敛性的收敛区间求幂级数n x n
n n -+01数一考研题
.41)1(,)(,0,
10,arctan 1)(.3.2
2
的和并
的幂级数展开成试将设n
x x f x x x x x x f n
--=≠+=
00数一考研题
求级数.
;
;;
11)1(,1lim
),,3,2,1(0.4.1
1
不能判定条件收敛绝对收敛发散则级数且设(D)(C)(B)(A)u u u n
n u n n n n
n n ++∞
→+
-==≠ 02数一考研题
1
∑∞
=n 1∑∞
=n 1∑∞
=n 1
∑∞
=n 1
∑∞=n 1
∑∞
=n 1
∑∞
=n 1
∑∞
=n {
(
)
.
______,)
(cos 5.22=≤≤-=
a x nx
a x n 则设ππ.
1
2)1(,2121arctan )(的和并求级数
的幂极数展开成将函数+-+-=n n x x x
x f lim ,17.11+=
∞
→+-na d x x x a n n n n n n n 等于则极限设.03数一考研题6..)
(
.03数一考研题
03数二考研题
∑∞
=n 0∑
∞
=n (D)(C)(B)(A);1)1(2
3++e ;
1)1(231-+-e ;
1)
1(231++
-e .
1)1(2
3-+
e ( ).
.
8.n a 下列结论中正确的是为正项级数设
1
∑∞
=n 04数一考研题
30.
.
.
lim ,,
(D);
0lim ,(C);
,lim ,(B);
,0min (A)2λλλλ====∞
→∞
→∞
→∞
→n n n n n n n n n n
n n na a a n a a na a na 使得则存在非零常数发散若级数
则收敛若级数发散则级数使得若存在非零常数收敛则级数
若1
∑∞
=n 1
∑∞
=n 1∑∞
=n 1
∑∞
=n .
,1,.,019.收敛级数
时并证明当证明方程存在惟一实根为正整数其中设有方程>=-+n n n x x n nx x α
α1
∑∞
=n 04数一考研题
10.求幂级数
-???
? ?
?-+-21)12(1
1)1(n
n x n n 的收敛区间与和函数).
(x f ∑∞
=1
n 05数一考研题11.若级数n a 收敛( )
则级数,(A)收敛;
(B)
收敛;n a ∞
=1
n ∑-)1(n n a ∞
=1
n ∑(C)
收敛;
(D)++12n n a
a 收敛.
n a ∞=1
n ∑1+n a ∞
=1
n ∑∞
=1
n ∑12.将2
2x x x
-+展成为x 的幂级数.
)(x f =06数一考研题
06数一考研题
13.设幂级数
n n x a 在),(+∞-∞内收敛,其和函数)(x y 满足
.
1)0(,0)0(,042='==-'-''y y y y x y (Ⅰ
)证明;,2,1,122 =+=+n a n a n n (Ⅱ)求)(x y 的表达式.
∞
=n ∑
07数一考研题
14.设函数)(x f 在),0(+∞上具有二阶导数,且0)(>''x f ,令
),
,2,1)(( ==n n f u n 则下列结论正确的是( ).
(A)若21u u >,则}{n u 必收敛; 若21u u >,则}{n u 必发散;(C)若21u u <,则}{n u 必收敛;
若21u u <,则}{n u 必发散.
(B)(D)07数一、数二考研题
31.
.
考研真题十二
.
)())0(,0(,)()0()(;
)())0(,0()(;
)()0()(;)()0()(( ).
,0)0(,)()()(3.).
?,.,2000,.,51999.3,
6,2.000的拐点也不是曲线点的极值不是的拐点是曲线点极小值是极大值是则且满足方程设函数的浓度是均匀的设湖水中以内湖泊中污染物问至多需要经过多少年污水的浓度不超过限定排入
年初起从为了治理污染超过国家规定指标的含量为年底湖中已知的水量为流的污水量为每年排入湖泊内含污染物某湖泊的水量为x f y f x f f D x f y f C x f f B x f f A f x x f x f x f A m A V m A m A V A V A V ==='='+''入湖泊内不含(,0)0(),(2)(),()()(),(7.___.
11arcsin )
0,21(6..
____________,),)cos sin (5..
1)(,0:)2();
()1(,
0)()()(,1)0(,),0[)(4.2
2121且满足设函数的曲线方程为且满足关系式过点
则该方程为线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数为任意常数设成立不等式时当证明求导数且满足等式
上可导在函数f x f e x g x g x f x g x f x
y x y C C x C x C e y x f e x x f d t t f x f x f f x f x x x x =-='='=-+'+=≤≤≥'=-
+'=+∞-(00数二考研题
00数二考研题
00数二考研题
01数一考研题
01数二考研题
流出湖泊的水量为6V ,湖泊中含的含量降至.
__________031.的通解为微分方程y y x ='+''00数一考研题
/.,)2(;
)1().
0,21/(,)0),(,8.围成的图形的面积最小以及两坐标轴所使该切线与位于第一象限部分的一条切线求的方程试求曲线经过点且轴上的截距距离恒等于该点处的切线在到坐标原点的其上任意一点是一条平面曲线设L L L L y x y x P L >(01数二考研题
.]
)1()
(1)([
,2)0(0
2
求
d x x x f x x g g +-+=π01数二考研题
32.
.
.
2,1)(),(0)2(.13.( ).
)
()
1ln(,0,0)0()0()(.12..
)!
3()1()2(2303旋转体体积最小轴旋转一周的轴所围成的平面图形绕以及与直线使得由曲线的一个解求微分方程的极限函数
时则当的特解满足初始条是二阶常系数微分方程设的和函数的结果求幂级数
利用x x x x x y y x y y d x y x x d y x y x x y y e qy y p y x y y n x x n n
=====-++→='==+'+''=∑
∞
=;
)()!
3(!9!6!31)()1.11.
____________21
,10.103963002
满足微分方程验证函数
是满足初始条件微分方程e y y y x n x x x x x y y y y y y x n
x x =
+'+''+∞<<-∞++++++
=='=='+''== (的特解
.
)()(,0',),()(的反函数是且内具有二阶导数在设函数==≠+∞-∞=x y y y x x y x y y 14.02数一考研题02数一考研题
02数二考研题
02数二考研题
03数一考研题
?
,87/3,.0,,9.0问雪堆全部融化需要多少小小时内融化了其体积的的已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆r K S >例常数雪堆在开始融化的01数二考研题
时件;
)(不存在A ;
2)(等于C .
3)(等于D ;
1)(等于B .2
3
)0(',0)0((2);
)(的解求变换后的微分方程满足初始条件所满足的微分方程变换为=
==y y x y y )((1)所满足的微分方程
试将=y x x 0
)
)sin (3
22=++d y
d x
x y d y x d ()
(,)('ln 15.y x
y x x y y x
x y +==的表达式为
则的解是微分方程已知??33.
.y
)
(y x ?=y
O
-2
2x
).
,:(.
)((2);
)(,(1)).
,表示时间单位分表示长度单位米注的方程求曲线之间的关系式与写出时刻液面的面积根据假设注入液体前y x y t t ??=容器内无液体03数二考研题
(min /,min /3,.2),()0)(,23的速度均匀扩大液面的面积将以的速率向容器内注入液体时当以根据设计要求容器的底面圆的半径为如图的旋转曲面绕其内侧壁是由曲线有一平底容器m m m y y x π?≥=16.(轴旋转而成y ______.
)0(02417.2
22
的通解为欧拉方程>=++x y d x
d y x
d x y d x 04数一考研题
/,?
,).100.6(,,./700,9000.,,,,,18.6表示千米/小时表示千克注机滑行的最长距离是多少问从着陆点算起比例系数为总阻力与飞机的速度成正比减速伞打开后经测试着陆时的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力飞机尾在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时h km kg k h km kg ?=部张开减速伞04数一、二考研题
.______5
6
|02)(19.13的特解为满足微分方程=
=-+=x y x d y d x x y 04数二考研题(D)
(C)(B)(A)( ).
;
22
x
y -;
22x
y ;2
2
y x -
.2
2
y x 03数二考研题
飞机所受的飞
).
(min m .
cos (D);sin (C));cos sin ((B));cos sin ((A)( ).
sin 120.22222x A c bx ax y x A c bx ax y x B x A c bx ax x y x B x A x c bx ax y x x y y +++=+++=++++=++++=++=+''****的特解形式可设为微分方程04数二考研题
21.微分方程x x y y x ln 2=+'满足91
(1)-=y 的解为_________.05数一、二考研题
34.
.
22.用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程,0)1(2=+'-''-y y x y x 并求其满足2|,1|00='===x x y y 的特解.
05数二考研题
验证0(1))(=+
''u
u f ;:)
('u f 若0(1)=f 1='f , 求函数)(u f 的表达式(2)(1), .
2222=??+??y z x z 24.设函数)(u f 在0∞内具有二阶导数)(22y x f z +=)(,且,系式25.函数x x x xe e C e C y ++=-221满足一个微分方程是( ).(A)x xe y y y 32=-'-''(B)x e y y y 32=-'-'';;(C)x xe y y y 32=-'+''(D)x e y y y 32=-'+''.
;
23.微分方程x
x y y )
1(-=
'的通解是.
06数一、二考研题
06数一、二考研题
06数二考研题
满足关26.二阶常系数非齐次线性微分方程
x
e y y y 2234=+'-''的通解为=y ____________.
07数一、二考研题
27.求微分方程y y x y '='+'')(2满足初始条件
1
)1()1(='=y y 的特解.
07数二考研题
35.
.
考研真题三
22..4121-=
x y 24..2
3
+=x y 1. 2.61/-.
1.
2+=x y 3. 4. 5. 6.8.9.10. A.
2
)1(!1---n n n .
C.
A.
0=x 为可去间断点;),2,1( ±±==k k x π是无穷间断点.B.1,2-==b a .13.C..1/14.15.e 两个.C 17.19.]).
1,()(1,(-∞-∞或.C 20..
1/6-21.26.61-
e
.
.A 25.考研真题二
8.04543=+--y x 3,041
=+-+y x 3.1. 2.
3. 4.d x )12(ln -.2!
)1(1---n n n .0122=--y x .
022=+-y x .
5. 6.7.B.
2-.
D.
.0=-y x 9..1-=x y 10..
1);4)(2()(-=++=k x x kx x f )()(II I 11.213..
d x π-14.A.
12.C.15..
e -16.C. D.17.考研真题答案
考研真题一
1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8..1 D. B.-2/6. B.
2..3/2.9.4- D.
.
010.12. D.
11..4
3
=k 13.2.
B.
14. A.
15.21+.
18.1
3!
2)1(+-n n n n .
19.
=x d x
d z ,
0=0
2
2=d x z
d x .
1=20.
27.5
1
=y .
D.
29.6
1-
.31.考研真题四
1.1x e 2
2
x 2-()1+C . 2.C x x x ++++---]
cos 12)cos 1ln()cos 1[8
1ln(.36.
.8.
+2
21()
+-1362x x +ln -3x 4arctan C .10.11.12.13.雪球全部融化需6小时.
e -x 1
.
C e e e e x x x x +++---)arctan arctan (21
2.
C x
+)arctan +1
2x (
.
14.
x +12
x 2-1()e arctan x
+C .
9.C e e x x x +++--)1ln()1(.
.)(ln 2
1
2x 15.
8.],[a a x -∈.?)(x f =f '2
!
2)()0(x x ξ+
f '',考研真题五
1./π.4
2./π.
3 4.>-≤<+-+-≤≤=2
,121,10,)(2x x x x x x d t t S x
63x 63x 31{
5.π2/.
6.8π/.
7.1)1(-+x e x .9.1.-
C e e x x ++---+1
111ln 2
1
22.
e e x x arcsin 16.10.π
22.
11.D.
12.切线方程x y =; 2.
所求极限13.????
?≤≤++++-<≤--+=10,2ln 1
ln 12101,2
121)(23x e e e x x x x x F x x x ,
.
14.B.
15.B.2ln +116)(22
-
e 16...
B 17.18.B.].
2,22[)(-值域为II 19..
/2π20.23.
.4
π22..2024.
.2
121.A.25.3
1.
26.21.
27. B.28.凸.
(1));3,2(1+=x y .(2)(3)3
7.
B.
31.)(x f ),cos ln(sin +=x x x .
4,0?
???∈π
32.2e
.29.
C.
30.3. 4.C x x ++-)1ln(2.C x x x +-++-222
)(arctan 2
11ln 21arctan x x .
5. 6.x
cos -1x tan C +.
2arcsin x +C .
7.--ln x sin cot x x cot x .-+C ..
37.
.
1. 2. 3.4. 5. 6.7.
-x y z +=0.y x z =--03.4+z y x -3+=02+.4. C.2y x z =-+302.
{
y x -2-=0.
3z 1+2z y x +1--=0,0.-x 2
y 2=z 24417+2y +-1考研真题七
考研真题八
2. 3. 4.5. C.
51.
A.
00),(y x g =002
020
855y x y x -+;(1)(2))5,5(1-M 或).
5,5(2-M 1."'113
2"223"11
'22'1g x y g x f y x xyf f y f ---+-
.6.52=-+y x .
4z 7.A.
.
3)3,9(,),()3,9(.3)3,9(,),()3,9(-=----=z y x z z y x z 极大值为的极大值点是点极小值为的极小值点是点8.9. 2..)1()(24,2,2222212221122121f xy e f xye f e y x f xy y
x z
f xe f y y
z
f ye f x x
z
xy xy xy xy xy '++''+''-+''-=???'+'-=??'+'=??10.
58..
8.(1)(2)
a r
a r r )m (11)m (12+++7.e a
a
).1(414-π;.9.l y x 4
21222=+(2)
(1).
1)
()
(lim
(2);2)
()
((1)
==+∞→t F t S t V t S t 10.;.11..21
)12ln()(y
y y y x --
-==?考研真题六
1. 2. 3. 4.5.4=a ,最大体积π187532.9. 1.m.
2π5129. 6.(1)(2)1
e 2
1-A =
V π
6()e 2-e 12+3=
;.55
ln 2?
???a a π(Ⅰ);(Ⅱ
)e a =时,V
最小,)(e V =.2e π12.38.
.考研真题十
1.
2.6
2
4211-=
-+=-z y x . C.
6.7.100小时.24-.
b a d
c -.8.(2)3. 4. 5.π.
/32.
)(1-x
e x
e x .
//./23π10..
π-11.12..22123R ???
? ??-π13.(2).)(2y y -=?考研真题十一
7.D.
8..3
14-π9.C.
2ln .
2
π
10.
1.D.
在点3=x 处发散.
在点3-=x 处收敛,收敛区间为)3,3[-;2.4-π2
1
.3. 4.C.
5.1.
.4
π6.7.B.8.B.
),1ln(arctan 22+-+x x x 122
+x
x .1|| 11.D. 0∑∞ =n 13] [)1(-n n x +2n 1 +11 2π14.2 2 1x C C + =.y 1.3ln 6年.2. 3.C . 1 )(+-=x e x f '-x ; 4.(1)022=+-y y y'''. 5.ππ ++11e .7. 2 1arcsin -=x x y . 6.考研真题十二 ). 12ln(243 1++11.,2xe x x ). ,(+∞-∞∈(Ⅱ)13. D. 14.11. .3 312.D.14.最大值为3, 最小值为. 2-13. B.15.D. 考研真题九 ),,(.004R 51-e .)(4R ,,00-或.B 4.. D 5.1. 2. 6.. 83211 ln f y y f yx x y '+'-. 16.8,0. 17.????'+'-212f y x f x y . 18. C. 19.33 4. 16. B. 17.π18.. ||,39. . 22..122x x y -+=21..9 1 ln 31x x x y -= ).0(≠=-x Cxe y x 23.ln )(u u f =.25.D. 24.(2)x x x e e C e C 22312-+. 26.y . 3 13223 +=x 27.12.B .2 124 75x x y -=.13.;sin ''x y y =-14.(1)(2).sin 2 1 )(x e e x y x x - -=-15.A. ;4)(2y t ?-=16.(1)(2).2/6y e x π=3 133+- =X .8.(1)(2)2x y -= ;Y 6小时.9.12+=x y . 10.). (cos )(+∞<<-∞+=-x x e x y 231e x 2x 11.(2)4 1 .22 1x C x C y += 17..05.1km 18..5 3 x x y += 19.20.A. 40. .