数学符号及公式

数学符号及公式➢ 元素与集合的关系：属于（∈）、不属于（ ∉ ） ➢ 集合分类：有限集、无限集、空集（Ø） ➢ 集合种类：自然数集（N ）、整数集（Z ）、有理数集（Q ）、无理数、实数集（R ） ➢ 集合种类的关系：自然数集（N ）⊆整数集（Z ）⊆有理数集（Q ）、无理数集⊆实数集（R ） （即实数集（R ）⊇有理数集（Q ）、无理数集⊇整数集（Z ）⊇自然数集（N ） ➢ 集合与集合的关系：子集与真子集的关系、包含于（⊆）或包含（⊇）的关系 ➢ 子集与真集子的区别：真子集比子集少一个，真子集不包括它本身。

➢ 集合的运算：交集（∩）、并集（∪）、补集（C ）➢ 函数类型：整式函数1232+-=x x y 、分式函数112≠-=x x x y 分母不能为0、根式函数5-=x y x -5≥0，被开方数一定要≥0 ➢ 函数的概念：y ＝ƒ（x ）↑ ↑ ↑ 自变量对应法则应变量➢ 函数的奇偶性：分别代一个正数和负数到自变量进行算，结果同号为偶函数，异号为奇函数 ➢ 奇偶性的图像特征：关于原点对称为偶函数，关于y 轴对称为奇函数补充：关于原点对称，x 变-x ，y 变-y 曲线对称性：-x 代替x ，结果不变，则关于y 轴对称 关于x 轴对称，x 不变，y 变-y -y 代替y ，结果不变，则关于x 轴对称关于y 轴对称，y 不变，x 变-x -x,-y 分别代替x,y ，结果不变，则关于原点对称 关于y =x 轴对称，x 与y 交换位置 谁平方就关于谁对称，如果都平方，那么以上3种情况都对称 补充：数学知识点归纳：异号相加大减小，大数决定和符号，减负等于加正 ➢ 正比例函数：)0(≠⋅=k x k y 它是经过原点的一条直线➢ 反比例函数：)0(≠=k xky 它是双曲线➢ 一般式二次函数：c bx ax y ++=2 如果a>0，那么抛物线开口朝上，如果a<0，那么抛物线开口朝下对称轴：x ＝－a b 2 最值：a b ac 442- 顶点坐标：（－a b 2，a b ac 442-）➢ 顶点式二次函数：n m x a y ++=2)( 如果a>0，那么抛物线开口朝上，如果a<0，那么抛物线开口朝下对称轴：x ＝－m 最值：n 顶点坐标：（－m ，n ）➢ 指数函数：○1正整数指数：a n （n ∈N *,且n>1） ○2零指数：a 0＝1（a ≠0） ○3负指数：n naa 1=- ○4分数指数：m n m na a = ➢ 幂的运算性质：○1),0(Q y ，x a a a a y x y x ∈>=⋅+ ○2),0()(Q y ，x a a a y x y x ∈>=⋅ ○3)00()(Q ，x ，b a b a b a x x x ∈>>⋅=⋅ ➢ 对数函数：a b ＝N （a >0，a ≠1），b 叫做以a 为底N 的对数，记作㏒a N ＝b （a >0，a ≠1，N >0）↑↑ ↑ 真数 ↑↑ ↑ 对数 对数 真数 底数 底数➢ 对数的性质：○10与负数没有对数 ○2底的对数等于1，即㏒a a ＝1 ○31的对数等于0，即㏒a 1＝0 ○4㏒a N ＝N （N>0） ○5当a>1时，N>1，则㏒a N>0，0<N<1则㏒a N<0；当0<a<1时，N>1，则㏒a N<0，0<N<1则㏒a N>0➢ 常用对数：以10为底的对数，底数和O 都可以省略不写，即㏒10 N ＝lgN ➢ 对数的运算法则：○1㏒a （M ·N ）＝㏒a M +㏒a N ○2㏒a N M ＝㏒a M -㏒a N （M>0，N>0） ○3㏒a M N ＝n ㏒a M （M>0） ➢ 换底公式：aNN b b a log log log =可以以任何数为底，但为了计算方便，最好以10为底 指数式 对数式➢ 不等式性质：如果a >b 那么b <a （反射性）如果a >b ，b >c 那么a >c （传递性） 如果a >b 那么a +c >b +c （加法法则）如果a >b ，c >0那么a c >b cc <0那么a c <b c 即不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向 ➢ 同向不等式只能相加不能相减，相减就是加负 ➢ 不等式的解：大于取两边，小于取中间 ➢ 一次不等式组的解：设a <bx >a x <a x >a x <ax >b x <b x <b x >b同大取大 同小取小 大小小大取中间 大大小小取空集➢ 回顾二次方程02=++c bx ax ac b 42-=∆ △>0有两个相异实根 △＝0有两个相等实根 △<0无实根➢ 一元二次方程求根公式法：○1aacb b x 2422.1-±-=（万能公式） ○2十字相乘法：二次相竖着写，常数相竖着写，交叉相乘，合为一次相，横着写 ➢ 绝对值不等式：y x y x y x -<>⇒>或（大于取两边） y x y y x <<-⇒<（小于取中间） ➢ 数列的通项公式：a n ＝ƒ(n )n ∈N + 说明：不是所有数列都有通项公式 ➢ 特殊数列：-1，1，-1，1，-1，1 所有偶次项为正公式a n ＝（-1）n 1，-1，1，-1，1，-1所有偶次项为负公式a n ＝（-1）n+1➢ 等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+=➢ 等差数列前n 项和公式：2)(1n n a a n s +=或2)1(1-+=n n na s n d 求公差：n n a a d -=+1 ➢ 等差数列中项公式：2a bA +=➢ a n 与s n 之间的关系：)2(1≥-=-n s s a n n n / )1(1==n s s n➢ 等比数列通项公式：a n =a 1q n-1 求公比：nn a a q 1+=➢ 等比数列前n 项和公式：q-1)1(a 1n n q s -=或)1(11≠--=q q q a a s n n➢ 等比数列中项公式：G =±b a ⋅或G 2=a ･b➢ 判定终边相同的角公式：β=360º･κ+α(κ∈Z )⇔ β-α=360º･κ➢ 角度制：3601角度单位(º) 弧度制：ππ2r 2= 弧度单位(rad) 由r l =α 可得弧长公式：r l ⋅=α ➢ 角度与弧度之间的换算关系：360º=2π 180º=π 1º=180π≈0.017 1弧度=π180≈57.30º=57.18＇➢ 任意角的三角函数：22y x +==r OP➢ 由r y x 、、之间的比值，可定义角α的： 三角函数值的符号：正弦函数sin α=ry 余割函数csc α=yr （sin α、csc α）一、二像限为正正弦函数cos α=r x 余割函数sec α=xr（cos α、sec α）一、四像限为正 正弦函数tan α=x y余割函数cot α=yx （tan α、cot α）一、三像限为正（乘法法则） ⇒x >b ⇒x <a ⇒a <x <b ⇒Ø确定符号平方关系：sin 2α+cos 2α=1 倒数关系：sin α･csc α=1 商数关系：tan α=ααcos sin 1+tan 2α=sec 2α cos α･sec α=1 cot α=ααsin cos1+cot 2α=csc 2α tan α･cot α=1 除数=商数×被除数➢ 倍角公式：S 2α:sin2α=2sin α･cos α C 2α:cos 2α2α:ααα2tan 1tan 22tan -= ➢ 两角和与差的三角函数：S (α±β) sin(α+β)=sin α∙cos β+cos α･sin β sin(α-β)=sin α･cos β-cos α･sin β C (α±β) cos (α+β)=cos α･cos β-sin α･sin β cos (α-β)=cos α･cos β+sin α･sin β T (α±β) tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan ⋅+-特殊角对应的值：42675cos 15sin -=︒=︒ 42675sin 15cos +=︒=︒ 3215tan -=︒ 3275tan +=︒ ➢ 360ºκ+α(κ∈Z )、360º-α、-α➢ 正弦函数图像：y=sinx(x ∈R)； 值域：-1≤y ≤1； 周期：T=2π； 单调性：x ∈[-2π,2π]，y 为增函数，x ∈[2π,23π]，y 为减函数； 奇偶性：奇函数； 对称性：关于原点对称（0，0） ➢ 余弦函数图像：y=cosx(x ∈R)；值域：-1≤y ≤1；周期：T=2π；单调性：x ∈[0，π]，y 为减函数，x ∈[π,2π]，y 为增函数；奇偶性：偶函数； 对称性：关于y 轴对称（0,1）➢ 正/余弦型函数：)sin(ϕω+⋅⋅=x A y /)cos(ϕω+⋅⋅=x A y 其中ϕω、、A 为常数，且A ≠0，ω≠0，x ∈R ；A y =最大值 A y -=最小值 周期:ωπ2=T➢ 化单一函数公式：)sin(cos sin 22ϕ+⋅+=⇒⋅+⋅=x b a y x b x a ysin(α±β)=sin α･cos β±cos α･sincos(α±β)=cos α･cos β∓sin α･sintan (α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ⋅±cos (α±β)=扩扩∓赛赛，符号相反sin (α±β)=赛扩±扩赛，符号相同tan (α±β)=函数名及分子符号相同，分母前面有个1，符号相反，后面相乘22b a A y +==最大值 22b a A y +-=-=最小值 周期:ωπ2=T➢ 正弦定理：CcB b A a sin sin sin == ➢ 余弦定理：A c b C b a cos 2222⋅⋅⋅-+= cosA=cb ac b ⋅⋅-+2222B c a c a b cos 2222⋅⋅⋅-+= cosB=c a b c a ⋅⋅-+2222 C b a b a c cos 2222⋅⋅⋅-+= cosC=ba cb a ⋅⋅-+2222➢ 三角形面积公式：S=21･a ･b ･sinC S=21･b ･c ･sinA S=21･a ･c ･sinB （已知两边及其对角求面积） ➢ 直线的倾斜角：0º≤α<180º➢ 直线的斜率：κ=tan α（α≠90º） 过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= ➢ 一般式求斜率及截距的方法：κ=-B b =-B a =-A➢ 两条直线的位置关系：平行、重合、相交、垂直 1、平行条件L 1∥L 2：κ1=κ2且b 1≠b 2 2、重合条件L 1重合L 2：κ1=κ2且b 1=b 2212121C C B B A A ≠= 212121C CB B A A == 2、相交条件L 1交L 2：21k k ≠ 4、重直条件L 1⊥L 2：κ1･κ2=-1A 1･A 2+B 1･B 2=0 ➢ 两条直线的交点求法：用联立方程组：A 1x+B 1y+C 1=0 A 2x+B 2y+C 2=0 ➢ 点到直线的距离：d =2200BA C By Ax +++ 平行线间的距离：d =2212BA C C +-➢ 两点的距离公式：21221221)()(y y x x P P -+-= 两点的中点公式：M （221x x x +=，221yy y +=） ➢ 圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+- ➢ 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ➢ 圆心在原点上的圆方程：222r y x =+➢ 一般方程求圆心坐标C （2E2--，D ） 一般方程求半径：F E D r 42122-+= 已知两边及其夹角，求第三边已知三边，求三角可以互转，标准式到一般式用展开法，一般式到标准式用配方法 补：完全平方公式口诀：首平方，尾平方，2倍乘积放中央➢ 圆和直线的关系：相离（d >r ）、相切（d =r ）、相交（d <r ）➢ 求切线方程：①求导数：)('='a x y ②求斜率：0x x y K ='= ③求点斜式：)(00x x k y y -=-➢ 概率：可能发生实际发生⇔=n m A P )( ➢ 排列：n m N m n m n n n A mn ≤∈+--=且其中,,)1()1( ，例如：23434⨯⨯=A 简记：)!(!m n n A mn -=，n!表示自然数1到n 的连积；规定：0！=1 例：)34(432134-⨯⨯⨯=A➢ 组合：!)1()1(m m n n n A A C m m mn m n+--== 例如：20123456333636=⨯⨯⨯⨯==A A C ➢ 方差：nx x x x x x S n 222212)()()(++-+-= ，x 表示x 的平均数➢ 向量平行（共线）重条件：a ∥⇒b 2211b a b a = 向量垂直条件：2211b a b a b a ⋅+⋅⇒⊥根号表：1=1.00000 2=1.41421 3=1.73205 4=2.00000 5=2.236076=2.44949 7=2.64575 8=2.82842 9=3.00000 10=3.16228乘法口决表：1×1=11×2=2 2×2=41×3=3 2×3=6 3×3=91×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=161×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=251×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=361×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=491×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=641×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81➢∴∵≠∞≌｛｝∈･±∓⊃⊂⇔⇒θЛ≤≥<>≈λβαωΩπκλμιa b c d lγχ√γу∑∠∈∥⊥。