3.1.1 两角差的余弦公式
第三章三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1两角差的余弦公式
[A组学业达标]
1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于()
A.
3
2B．－
3
2 C.
1
2D．－
1
2
解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°·cos 57°＋sin
27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝
3 2.故
选A.
答案：A
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于()
A.1
2B．－
1
2
C.
3
2D．－
3
2
解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)
－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1 2.
答案：A
3．cos 555°的值是()
A.
6
4＋
2
4B．－
6
4－
2
4
C.
6
2－
2
2 D.
2
2－
6
2
解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－
2
2×
3
2－
2
2
×1
2＝－
6＋2
4.故选B.
答案：B
4．若cos α＝117，cos(α＋β)＝－47
51，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867
D ．－403867
解析：∵β＝(α＋β)－α，
又∵cos α＝117，cos(α＋β)＝－47
51，α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝
12217，sin(α＋β)＝142
51. ∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝1
3.
答案：B
5．已知sin ? ????π6＋α＝35，π
3<α<5π6，则cos α的值是
( )
A.3－4310
B.4－3310
C.
23－35
D.
3－235
解析：∵π3<α<5π6，∴π2<π
6＋α<π. ∴cos ? ??
??
π6＋α＝－
1－sin 2? ??
??
π6＋α＝－45.
∴cos α＝cos ??????? ????π6＋α－π6＝cos ? ????π6＋αcos π6＋sin ? ????
π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12
＝3－43
10.
答案：A
6．计算cos 45°·cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________．
解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos ()45°－15°＝cos 30°＝3
2. 答案：32
7．已知cos ? ?
?
??α－π3＝cos α，则tan α＝________．
解析：cos ? ?
???α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α，∴32sin α
＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝3
3. 答案：3
3
8．已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ? ????β－π4＝1213，则cos ? ?
???α＋π4＝________．
解析：∵α，β∈? ????3π4，π，∴α＋β∈? ????
3π2，2π，β－π4∈? ????π2，3π4.
又∵sin(α＋β)＝－35，sin
? ?
???β－π4＝1213， ∴cos(α＋β)＝1－sin 2（α＋β）＝4
5， cos ? ?
?
??β－π4＝－1－sin 2? ?
?
??β－π4＝－513.
∴cos ? ????α＋π4＝cos ??????（α＋β）－? ?
???β－π4 ＝cos(α＋β)cos ? ????β－π4＋sin(α＋β)sin ? ?
???β－π4
＝45×? ????－513＋? ????－35×1213＝－56
65.
答案：－5665
9．求2cos 10°－sin 20°sin 70°的值．
解析：原式＝2cos 10°－sin 20°
cos 20°
＝2cos （30°－20°）－sin 20°
cos 20°
＝
3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
cos 20°
＝ 3.
10．已知－π3<α<π2，且cos ? ?
?
??α＋π3＝35，求cos α.
解：∵－π3<α<π2，∴0<α＋π3<5π
6. 又∵cos ? ????α＋π3＝35， ∴sin ? ?
???α＋π3＝45.
∴cos α＝cos ???????
?
???α＋π3－π3 ＝cos ? ????α＋π3cos π3＋sin ? ?
???α＋π3sin π3
＝35×12＋45×32＝3＋4310.
[B 组 能力提升]
11．若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝1
2，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34
D ．1
解析：由sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝1
2， 得sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝3
4，① cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝1
4，② ①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1. ∴sin αsin β＋cos αcos β＝1
2. ∴cos(α－β)＝1
2. 答案：A
12．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝10
10，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为 ( )
A.π6
B.π4
C.3π
4 D.
5π
6
解析：∵0<α<β<π
2，∴－π
2<α－β<0，0<2α<π.
由cos(α－β)＝
5
5，得sin(α－β)＝－
25
5.
由cos 2α＝
10
10，得sin 2α＝
310
10.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝
10
10×
5
5＋
310
10×?
?
?
?
?
－
25
5
＝－
2
2.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.
答案：C
13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y
轴对称．若sin α＝1
3，则cos(α－β)＝________．
解析：由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，
∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sin β＝sin α，cos β＝－cos α.
又sin α＝1 3，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1
＝2×1
9－1＝－
7
9.
答案：－7 9
14．已知α，β均为锐角，且sin α＝25
5，sin β＝
10
10，则α－β＝________．
解析：∵α，β均为锐角，∴cos α＝
5
5，cos β＝
310
10.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝
5
5×
310
10＋
25
5×
10
10＝
2
2.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，