圆锥曲线几何性质总汇

圆锥曲线的几何性质

一、椭圆的几何性质

（以22a x +22

b

y =1（a ﹥b ﹥0）为例）

1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义

12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪

⇒+++=⎬+=⎪⎭

即2

4ABF C

a =

2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2

tan

2θ

•b

（2）（S ⊿PF1F2）max = bc

（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在

12AF F 中

∵ 22

2

1212

4cos 2PF PF c PF PF θ+-=

⋅

∴ ()

2

1212

122cos 2PF PF PF PF PF PF θ⋅=+-⋅∴ 21221cos b PF PF θ

⋅=+

∴ 12

22112sin cos tan 21cos 2

PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ （2）（S ⊿PF1F2）max =

max 1

22

c h bc ⨯⨯= （3 ()()()

2

2

2

2

2222

1200222222212000

4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值222

2a c a - 即∠F 1PF 2最大

3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2

证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM

由已知有 1PF FP = M 为1F

F 中点 x

x

x

∴ 212OM FF =

=()121

2

PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2

2

2

x y a +=

4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切

证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为

∵ OM

=

()211111

2222

PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切

∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切

5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e

证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵

1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a

+=====+ ∴

IR

PI

= e

6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明：令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。 ∵

()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =⎫

⇒+=+⇒⎬=⎭

()()12121

22

AB R e d d R e d d ==+⇒=+

∵ ()121

2

d d d =+

∵ 01e ∴ R d

∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离

x

y

x

x

7、A 为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则： （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣ 证明：连接11,,AP AF PF

∵ ()

21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+- ∵ 111AF AP PF AF -≤-≤

∴ 12122a AF AP PF a AF -≤+≤+ ∴ （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣

8、A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则 （∣PA ∣+

e

PF 2）min = A 到右准线的距离

证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有

PF PF

e d d e

=⇒= ∴（∣PA ∣+

e

PF 2）min =()

min

PA d

+ = A 到右准线的距离.

9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x =±a 上。 证明：令

☉I 与⊿PF 1F 2

三边所在的直线相切于M 、N 、A

∵ PM PN = 22F N F A =

∴

111221PF PN F M F F F N F A

+=+=

∵ 1

1FM F A = ∴ 1122PF PN F F F N +=+

∵ 22F N F A =

∴ 121222PF PN F N F F F N F A ++=++ ∵ 22F N F A = ∴ 2222a c F A =+

x

x