第五讲 圆锥曲线及其几何性质
圆锥曲线定义几何性质
专题：圆锥曲线一、 圆锥曲线的定义的考查1、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BCx3边上，则△ABC 的周长是 ( ) （A ）2 （B ）6 （C ）4 （D ）12 332、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2B.332 C. 2 D.43、已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A ．21 B ．23 C ．27 D ．54、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆F ：42122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为。
二、 圆锥曲线的几何性质的考查： 1、抛物线2mx y =的焦点坐标为。
2、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ( ) (A)2(B)22(C)21(D)42 3、点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A )33( B )31( C )22 ( D )21 4、已知双曲线2212y x-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r则点M 到x轴的距离为（C ）（A ）43（B ）53（C （D5、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞6、如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________;7、 若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为(A )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b b ；(C) 442+b ；(D) 2b 。
圆锥曲线的基本概念与性质
圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。
本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。
1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。
- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。
- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。
1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。
- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。
- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。
1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。
- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。
2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。
2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。
例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。
2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。
例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。
2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。
通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。
3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线的性质及像
圆锥曲线的性质及像圆锥曲线是二维平面上的一种重要数学曲线，由与一个点（称为焦点）的距离与一个定值的比例关系确定。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
本文将就这三种圆锥曲线的性质和其像进行论述。
一、椭圆的性质及像椭圆是由平面上一定点到两个焦点的距离之和等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1。
1. 对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在椭圆上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在椭圆上。
2. 焦点和准线：椭圆有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。
焦点到准线的距离等于椭圆的长轴长度。
3. 长短轴：椭圆的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过椭圆的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。
4. 垂直切线与法线：椭圆上任意一点的切线与过该点的法线垂直。
椭圆的像：在光学中，当一束光线射向椭圆的近焦点时，光线将沿着椭圆内部传播，最终交于远焦点上。
这种现象称为椭圆的像。
二、双曲线的性质及像双曲线是由平面上一定点到两个焦点的距离之差等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1。
1. 对称性：双曲线是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在双曲线上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在双曲线上。
2. 焦点和准线：双曲线有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。
焦点到准线的距离等于双曲线的长轴长度。
3. 长短轴：双曲线的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过双曲线的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。
4. 渐近线：双曲线有两条对称的渐近线，它们与双曲线的距离无限接近但永远不相交。
双曲线的像：在光学中，当一束光线射向双曲线的一焦点时，光线将以双曲线内部为中心散射，无限延伸。
圆锥曲线性质内容
圆锥曲线性质内容圆锥曲线是一类空间曲线，其在一个平面内满足一定的方程，同时还具有某些特殊性质。
一般来说，圆锥曲线可以被定义为满足下列条件的曲线：·圆锥曲线是二次曲线，即所有点都在同一平面内。
圆锥曲线具有双曲线的性质，即可以将其投影到某个平面上，得到一条双曲线。
圆锥曲线具有圆锥的形状，即在某个平面内的投影是一个圆锥形。
圆锥曲线的应用非常广泛，在几何、力学、天体动力学等领域都有着重要的作用。
例如，圆锥曲线可以用来描述物体运动的轨迹，在力学中可以用来描述弹簧的弹性特性，在天体动力学中可以用来描述行星运动的轨迹。
圆锥曲线的性质可以通过方程来描述，常见的圆锥曲线方程有极坐标方程和笛卡尔坐标方程两种。
极坐标方程表示为：z=±√a2−r2其中，a是圆锥曲线的焦距，r是极坐标系中的极径，z是圆锥曲线的高度。
此外，圆锥曲线还可以用笛卡尔坐标系的方程来表示，常见的笛卡尔坐标方程有双曲线方程和椭圆方程两种。
双曲线方程表示为：x2 a2−y2b2=1其中，a和b分别是圆锥曲线的横轴焦距和纵轴焦距。
椭圆方程表示为：x2 a2+y2b2=1其中，a和b同样是圆锥曲线的横轴焦距和纵轴焦距。
圆锥曲线还有许多其他性质，如曲率、弧长、曲线积分等，这些性质在数学中都有着重要的应用。
曲率是指曲线在某一点处的曲率半径。
对于圆锥曲线来说，其曲率半径可以用下列公式表示：R=(x2+y2+z2)322z其中，x、y和z分别是圆锥曲线在笛卡尔坐标系中的横坐标、纵坐标和高度。
弧长是指曲线在某个区间内的长度。
对于圆锥曲线来说，其弧长可以用下列公式表示：s=∫√x′2+y′2+z′2t2t1dt其中，x′、y′和z′分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的一次导数，t1和t2分别是弧长的起点和终点。
曲线积分是指在某个区间内，沿着曲线方向对某个函数进行积分的过程。
对于圆锥曲线来说，其曲线积分可以用下列公式表示：∫f(x,y,z)ds C =∫f(x(t),y(t),z(t))√x′2+y′2+z′2 t2t1dt其中，f(x,y,z)是曲线积分的函数，x(t)、y(t)和z(t)分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的函数，x′、y′和z′分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的一次导数，t1和t2分别是曲线积分的起点和终点。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。
圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。
本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。
其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。
根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。
1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。
圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。
2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。
椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。
抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。
4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。
双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。
而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。
2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。
对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。
3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。
例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。
4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
平面几何中的圆锥曲线
平面几何中的圆锥曲线在平面几何中，圆锥曲线是一类重要的曲线形状，由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定。
圆锥曲线的研究对于理解几何性质、物理现象以及应用于工程和科学领域都有着重要意义。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和常见类型。
1. 圆锥曲线的基本定义圆锥曲线是由一个动点 P 和一个定直线 l 决定的图形形状。
动点 P 移动在平面内并一直与定直线 l 的距离保持不变，同时与一个定点 F （焦点）的距离保持恒定。
符合这个条件的图形称为圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的分类根据定点 F 和定直线 l 的相对位置，圆锥曲线可分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
2.1 椭圆当焦点 F 在定直线 l 的两侧且与定直线 l 的距离小于定点 F 到点 P 的距离时，圆锥曲线为椭圆。
椭圆具有以下性质：- 椭圆是闭合曲线，且对称于焦点和准线；- 椭圆的中心是焦点 F 和定直线 l 的交点；- 椭圆的长轴是与椭圆相交于两个焦点的直线段，短轴是与椭圆相交于两个顶点的直线段；- 椭圆的离心率小于1。
2.2 抛物线当焦点 F 在定直线 l 的上方或下方且与定直线 l 的距离等于定点 F 到点 P 的距离时，圆锥曲线为抛物线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线是无限延伸的曲线；- 抛物线关于焦点 F 和准线对称；- 抛物线的焦点就是定点 F；- 抛物线的准线是与抛物线相切于焦点的直线。
2.3 双曲线当焦点 F 在定直线 l 的上方或下方且与定直线 l 的距离大于定点 F 到点 P 的距离时，圆锥曲线为双曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线是开放曲线；- 双曲线关于焦点 F 和准线对称；- 双曲线的焦点就是定点 F；- 双曲线的离心率大于1。
3. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在实际应用中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：3.1 工程领域在工程领域中，圆锥曲线的性质和方程经常被用于设计和建造桥梁、隧道、抛物面反射器等结构。
通过控制焦点、准线和曲线的属性，可以实现结构的稳定性和功能性需求。
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回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质
☆考点梳理
1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义．
2．圆锥曲线的标准方程及其推导．
3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练
1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点，
左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D，
QF⊥OA于F．给出下列比值：
其中为离心率的有_________________．
2．若
12
,F F为椭圆
22
1
25
x y
m
+=的焦点，且
12
8
F F=，则m的
值为．
3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、
B1，则
11
A FB
∠=____________．
4．经过两点()
143
,,
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
的圆锥曲线的标准方程是________________．
5．过双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标
原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA
u u u r u u u r
同向，则离心率e=_________．
6．椭圆
22
1
2516
x y
+=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若
2
ABF
∆的内切圆周长为π，
()()
1122
A x,y,
B x,y，则
12
y y
-=____________．
☆典型例题
1．椭圆的定义
例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点，
610
EF,FG,
==点P为线段EG的中垂线与GF的交点．
⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB
的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF
的中点为O，证明：
9
5
OC<．
2．中点弦问题
例3．直线l交椭圆
22
1
2016
x y
+=于M,N两点，点()
04
B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆
右焦点，则直线l的方程是_________________．
3．椭圆的几何性质
例2．已知
1
F、
2
F分别是椭圆()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点，右准线l，离心率e．
⑴若P为椭圆上的一点，且
12
F PF
∠=θ，则
12
PF F
S
∆
=_____________．
⑵若椭圆上存在一点P，使得
12
PF PF
⊥，则e的范围是_____________．
⑶若椭圆上存在一点P，使得
12
PF ePF
=，则e的范围是_____________．
⑷若在l上存在一点P，使得线段
1
PF的中垂线经过
2
F，则e的范围是___________．
⑸若P为椭圆上的一点，线段
2
PF与圆222
x y b
+=相切于中点Q，则e=________．
⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3
AF FB
=
u u u r u u u r
,若
2
e=，则k=___．
4．最值问题
例4．已知动点P在椭圆
22
1
1612
x y
+=上，(,(2,0)
A B．
⑴若2
PA PB
+取最小值，则点P的坐标为____________；
⑵若动点M满足||1
BM=
u u u u r
，且0
PM BM=
u u u u r u u u u r
g，则|
|的最小值是；
⑶PA PB
+的取值范围是________________________．
例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
3
两条准线间的距离为6．椭
圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W
交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB
λ
=
u u u r u u u r
；⑶求MBC
∆面积S的最大值．
☆方法提炼
1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论．
2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”．
3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑．
4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算．
5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理．
P
H
E F
G
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