上海市长宁区2018届高三二模数学卷(含答案)
上海市2018年嘉定(长宁)区高三年级第二次质量调研(二模)数学试卷(简答)
2019年嘉定区高三年级第二次质量调研一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则AB =2.已知复数z 满足34zi i =+(i 是虚数单位)，则||z =3.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=4. 在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为5.已知一个圆锥的主视图(如右图所示)是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为6.已知实数x ，y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值为7.设函数()f x =其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1f x -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为8.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为(结果用数值表示)9.已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(m ，2)，线段AB 的长为10.在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+，若△ABC的面积为3ACB π∠=，则CP 的最小值为11.已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2),… …第n （1n m ≤≤）项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1n m ≤<时，n a =12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（ ） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图 (%)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )(A)2015年第三季度环比有所提高 (B)2016年第一季度同比有所提高(C)2017年第三季度同比有所提高 (D)2018年第一季度环比有所提高15.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。
上海2018届高三二模数学卷汇总(全)
宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。
高三数学-2018届高三上海七校联考(第二次)数学试卷含
2018届高三上海七校联考（第二次）数学试卷（华师大一附中、曹杨二中、市西中学、市三女子、控江、格致、市北）一、填空题：1、 已知全集R I =，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y x A 1，则=A (]0,∞- 。
2、 已知平面向量()()y x ,,1,0==，若⊥，则实数=y 0 。
3、 已知()()()222-≤+=x x x f ，则其反函数()=-x f1()02≥--x x 。
4、 若定义运算c a bcad db-=，则符合条件2i z 1-i 24+=的复数z 为 i 22- 。
5、 已知角α的终边经过点()3,-m P ，且54cos -=α，则=m 4- 。
6、 4名女生和2名男生参加文艺汇演，每人表演一个节目，则2名男生的节目不能排在一起的概率为32 。
7、 在极坐标系中，圆θρcos 4=上的点到直线244sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ上的点的最短距离为 223- 。
8、 若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2的展开式的第五项是常数项，则此常数项为 1120 。
9、 等比数列{}n a 中，已知9,8621321=+++=++a a a a a a ，记=n S n a a a +++ 21，则=∞→n n S lim 764。
10、用棱长为a 的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为42 。
11、自然数列按如图规律排列，若数2006在第m 行第n 个数，则=m n 6353 。
12、定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()2121x x k x f x f -≤-成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件。
若函数()()1≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为21。
二、选择题：13、同时满足三个条件：①有反函数：②是奇函数：③其定义域与其值域相等的函数是 （ B ）A ()x x f =B ()3x x f -= C ()2xx e e x f -+= D ()x x x f -+=11ln14、已知点)3,1(-A ，)1,3(B ，点C 在坐标轴上，若︒=∠90ACB ，这样的点C 的个数为 （ C ）A 1B 2C 3D 415、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 各项都是正数，且11b a =，1212++=n n b a ，那么，一定有 （ D ） A 11++<n n b a B 11++≤n n b a C 11++>n n b a D 11++≥n n b a16、若函数⎪⎩⎪⎨⎧=x x f x21log 2)( 11>≤x x ，则函数)2(x f y -=的图象可以是 （ A ）三、解答题：17、已知函数a x x x x f +++++=sin )3cos()6sin()(ππ（R a ∈，且a 为常数），若函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值与最小值的和为2，求实数a 的值。
上海市长宁区2018年中考数学二模试卷(图片版)
（1 分） （1 分）
在 RtABE 中， AEB 90 ， sin ABC
AE 5 AB 13
设 AE=5k,AB=13k ∵ AB AE BE12 k 12 （2 分）
∴k 1 ， ∴ AE 5k 5 ， AB 13k 13 （2）过点 D 作 DF⊥BC，垂足为点 F ∵AD=6.5,AB=13 ∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∴BD=AB+AD=19.5 ∴ AEB DFB 90 ∴ AE // DF
（4 分） （1 分） （1 分）
22． （本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分） 解： （1）设 y kx b( k 0) ，函数图像过点（200,100） ， （50,250） 代入解析式得： （1 分） （2 分）
初三数学试卷 共4页 第 6页
200k b 100 50k b 250
满分：150 分）
2．下列式子一定成立的是（ ▲ ） （A） 2a 3a 6a ； （C） a
1 2
（B） x x x ； （D） ( a
2 3
8
2
4
1 a
；
)
1 ． a6
3．下列二次根式中， 2 的同类二次根式是（ ▲ ） （A） 4 ； （B） 2 x ； （C）
2 ； （D） 12 ． 9
x 6 的解是
x 3 0 9． 不等式组 x 的解集是 3 ( 1 ) 1 2
10．已知反比例函数 y 自变量 x 的值增大而
2
▲
．
k 的图像经过点（-2017，2018） ，当 x 0 时，函数值 y 随 x
2018年长宁、嘉定高三二模数学标准答案
2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．3 2．4 3．5 4．x y 42= 5．41 6．4 7．π322 8．24 9．167 10．]1,1[- 11．21 12．]4,2( 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．A 14．C 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）12cos 212sin 232cos 212sin 232cos 1)(+-=++-=x x x x x x f 162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ， ……………………………（每对一步得1分）（4分） 所以，)(x f 的最小正周期π=T ，值域为]2,0[． ……………………………（6分）（2）由2)(=A f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πA ， ………………………………………（2分） 因为π<<A 0，所以611626πππ<-<-A ，故262ππ=-A ，3π=A ． ……（5分） 因为在△ABC 中，31cos =B ，所以322sin =B ， …………………………（6分） 所以，[]B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()(sin sin +=+=+-=π6223322213123+=⋅+⋅=． …………………………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）法一：以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分） 则)0,0,2(B ，)0,1,0(D ，)0,4,2(C ，)4,0,0(P ， ………………………（2分） 所以，)0,1,2(-=BD ，)4,4,2(-=PC ， ………………………………………（3分） 因为044=+-=⋅，所以，⊥． ……………………………………（5分） 所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． …………………………………（6分）（1）法二：连结AC ，因为︒=∠90BAD ，所以21tan ==∠AB AD ABD ，………（1分） 由AD ∥BC ，得︒=∠90ABC ，所以21tan ==∠BC AB ACB ， ………………（2分） 所以ACB ABD ∠=∠，于是︒=∠+∠90DBC ACB ，即AC BD ⊥， …………（4分） 又⊥PA 平面ABCD ，所以BD PA ⊥，所以⊥BD 平面PAC ，故PC BD ⊥．所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． ………………………………（6分）（2）由（1）⊥BD 平面PAC ，所以)0,1,2(-=BD 是平面PAC 的一个法向量．（1分） 设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =， 因为)4,4,2(-=PC ，)0,3,2(=CD ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0n PC n 得⎩⎨⎧=+=-+,032,0442y x z y x 取1=z ，则6-=x ，4=y ，故)1,4,6(-=n ． ……………………………………（5分） 设BD 与n 的夹角为θ，则2652651626516||||cos ==⋅=n BD BD θ． ……………（7分） 由图形知二面角D PC A --为锐二面角，所以二面角D PC A --的余弦值为26526516． ……………………………………（8分）19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设函数模型为)(x f y =，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(x f y =满足： 当]1000,10[∈x 时，①)(x f 在定义域]1000,10[上是增函数；②9)(≤x f 恒成立； ③5)(x x f ≤恒成立． …………………………………………（3分，每项得1分） 对于函数2150+=x y ，当]1000,10[∈x 时，)(x f 是增函数； 9232021501000)1000()(max <+=+==f x f ，所以9)(≤x f 恒成立； 但10=x 时，5102151)10(>+=f ，即5)(x x f ≤不恒成立． 因此，该函数模型不符合团队要求． ………………………………（6分，每项得1分）（2）对于函数模型2203102310)(++-=+-=x a x a x x f ， 当0203>+a 即320->a 时递增． ………………………………………………（2分） 当]1000,10[∈x 时，要使9)(≤x f 恒成立，即9)1000(≤f ，所以1000183≥+a ，3982≥a ； ……………………………………………………（4分） 要使5)(x x f ≤恒成立，即52310x x a x ≤+-，015482>+-a x x 恒成立， 得出5192≥a ． ………………………………………………………………………（6分） 综上所述，3982≥a ． …………………………………………………………………（7分） 所以满足条件的最小正整数a 的值为328． ………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分） 因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）则1222=-=c a b ．所以，椭圆Γ的方程为1422=+y x ． ……………………（4分） （2）由题意，直线l 的斜率存在，设l 的方程为2+=kx y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,222y x kx y 得01216)14(22=+++kx x k ， ………………………………（1分） 由△0)14(124)16(22>+⋅-=k k ，得342>k ． ………………………………（2分）设),(C C y x C ，),(D D y x D ，则14162+-=+k k x x D C ，14122+=k x x D C ，且||||C D x x >， ||||||||||21||||21C D C D C D POC POD COD x x x x x PO x PO S S S -=-=⋅⋅-⋅⋅=-=△△△， 所以，144814164)()222222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=-=k k k x x x x x x S D C D C C D COD （△ 222222)14()34(16)14(4864+-=+-=k k k k ． …………………………………………………（3分） 令t k =-342，则0>t ，所以，8161616816)4(16222++=++=+=tt t t t t t S COD △， 因为816≥+tt （当且仅当4=t 时等号成立），此时12≤CO D S △． ……………（5分） 所以，当且仅当4=t ，即472=k 时，△COD 的面积取最大值1． …………（6分） （3）当直线m 的斜率不存在时，m 的方程为1=x ，此时B A d d =，||||MB MA =， 等式||||MB MA d d B A =成立； ………………………………………………（1分） 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,14,)1(22y x x k y 得0448)14(2222=-+-+k x k x k ， ……………………（2分） 设）11,(y x A ，),(22y x B ，则1482221+=+k k x x ，14442221+-=k k x x ， 由题意，1x 与2x 一个小于1，另一个大于1，不妨设211x x >>， 则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x x MA d MB d B A +-⋅--+-⋅-=⋅-⋅ 2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x|]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k)]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(212121002=+++-⋅+=x x x x x x k ，所以，02))(1(2212100=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分） 即014)1(814)1(82222200=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分） 综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA d d B A =恒成立． ………………（6分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由2)1(4+=n n a S ，即1242++=n n n a a S ，所以1241211++=+++n n n a a S ，两式相减得，)(2412211n n n n n a a a a a -+-=+++， …………………………………（1分）故0)2)((11=--+++n n n n a a a a ， ………………………………………（2分） 因为0>n a ，所以21=-+n n a a ． ………………………………………（3分） 又由211)1(4+=a a 得11=a ．所以，数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ． …………………………………………（4分）（2）由题意，数列}{n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故n n b 2=．…………（1分） 所以，⎪⎩⎪⎨⎧=.,2,,2为偶数为奇数n n n c n n ………………………………………………………（3分）数列}{n a 的前n 项和2n S n =，数列}{n b 的前n 项和2221)21(21-=--='+n n n S ．…（5分） 所以，22122-+='+=+n nn n n S S T ． ………………………………………………（6分） （3）当n 为偶数时，设k n 2=（*N ∈k ），由（2）知，22122-+=+k k k T ，k k c 22=，由k k c T 22⋅≥λ，得k k k 22212⋅≥-++λ， …………………………………………（1分） 即222222212+-=-+≤+kk k k k λ， …………………………………………………（2分） 设222)(2+-=k k k f ，则12122)1)(3(2222)1()()1(+++--=---+=-+k k k k k k k k f k f ， 所以，当3≤k 时，)(k f 单调递增，当3≥k 时，)(k f 单调递减． ………………（3分） 因为23)1(=f ，当3≥k 时，2222)(2>+-=k k k f ，所以，23)1()]([min ==f k f ． 所以，23≤λ． …………………………………………………………………………（4分） 当n 为奇数时，设12-=k n （*N ∈k ），则k k k k k k c T T 222122212--+=-=+-，222-+=k k ， …………………………………………………………………………（5分）由1212--⋅≥k k c T λ，得)12(222-⋅≥-+k k k λ，即12222--+≤k k k λ， ……………（6分） 设1222)(2--+=k k k g k ，则12221222)1()()1(212--+-+-++=-++k k k k k g k g k k 0)12)(12(3)32(222>+-+-+=k k k k k ，故)(k g 单调递增，1)1()]([min ==g k g ，故1≤λ．…（7分） 综上，λ的取值范围是]1,(-∞． ……………………………………………………（8分）。
最新版高考高三数学小题多维训练原卷含解析——课时09-基本不等式及其应用
课时09 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．2．（·上海交大附中高三期末）若1x>，则函数211x xyx-+=-的最小值为___________.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031xxaf x a=+>+的最小值为5，则a=______. 4．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a，b满足1ab=，则11a bb a+++的最小值为______.5．（·上海高三三模）若正实数,a b满足a b ab+=，则64baa ab++的最小值为__________.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a<≤∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天）的变化的函数关系式近似为()10af xy=，其中302,()3727,xx xf x xx x x+⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩RR，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76B ．422-C ．523-D ．632-2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）.A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9二、填空题4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________.（真题/新题）一、单选题1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）A ．210里B ．410里C ．610里D ．810里二、填空题2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______三、解答题3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.课时10 基本不等式及其应用（基础题）一、填空题 1．（·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米． 【答案】5；【分析】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ，蓄水池总造价为()W h ，由题意可得500()402W h ah ah=+，然后基本不等式求出()W h 的最小值即可． 【详解】设长方体蓄水池长为y ，宽为x ，高为h ， 每平方米池侧壁造价为a ，蓄水池总造价为()W h ，则由题意可得20500x y xyh +=⎧⎨=⎩，500()2()22()2402W h a xh yh axy ah x y axy ah ah∴=++=++=+， 500()2402400W h ah aa h∴⋅=， ∴当且仅当5h =时，()W h 取最小值，即5h =时，()W h 取最小值. 故答案为：5．2．（·上海交大附中高三期末）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________. 【答案】3【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以()1111211311y x x x x =-++≥-⋅+=--，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.3．（·上海高三其他模拟）已知函数()()3031x x af x a =+>+的最小值为5，则a =______. 【答案】9【分析】配方得()()303113131x x x x aaf x a =+>=++-++，结合基本不等式即可求解【详解】()()3031121593131x x x x aaf x a a a =+>=++-≥-=⇒=++，当且仅当3log 2x =时等号满足，故答案为：94．（·上海市嘉定区第一中学高三月考）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为______. 【答案】4 【分析】由已知得11a b a ba b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以11224a b a b a b a b a ba b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立， 故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．（·上海高三三模）若正实数,a b 满足a b ab +=，则64b a a ab ++的最小值为__________. 【答案】15【分析】由a b ab +=可得1bb a，将它们替换目标式中的ba、ab ，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设知：1bb a +=，即1b b a ，又a b ab +=且0,0a b >>，∴64646412()()116115ba ab a b a ab a b a b++=+-+≥+-=-=++， 当且仅当8a b +=时等号成立. 故答案为：15.二、解答题6．（·上海卢湾高级中学高三月考）某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x x xx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值.【答案】（1）5天内；（2）min 2086m =-.【分析】（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解；（2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2,321040%4302xx x +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤， 2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x +≥⇒-++⨯≥-；在[]0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433x x x x m m x x+---+≥⇒≥-+， 设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+ 2086m ≥-，min 2086m ∴=-.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.（能力题） 一、单选题1．（·上海）若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b ，则ab 的最大值为 A ．76 B ．422- C ．523- D ．632-【答案】B 【分析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a，1)b ，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b ba b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0bt a =>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12xyl b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+．令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++ 11312t t =+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅+=+，当且仅当12t t =即22t =时取最小值；1114221322213t t∴+≤+=-+++即()max 24222g t g ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2018·上海市控江中学高三开学考试）已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形D ．若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形【答案】B【详解】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx+++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx xy z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===时，()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 3．（2018·上海高三二模）已知长方体的表面积为2452cm ，所有棱长的总和为24cm .那么，长方体的体对角线与棱所成的最大角为（ ）. A ．1arccos 3 B ．2arccos3 C ．3arccos9D ．6arccos9【答案】D【解析】设三条棱a b c ≤≤454ab ac bc ∴++=，6a b c ++=，222272a b c ++=()22222452264a b c a bc a a a ⎡⎤++≥+=+--⎢⎥⎣⎦整理可得2430a a -+≤12a ∴≤≤∴最短棱长为1，体对角线长为36226cos 936θ==故选D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值二、填空题 4．（·上海市建平中学高三期中）已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围.【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤.故答案为21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值.5．（·上海高三一模）已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________ 【答案】(22,2)【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解．【详解】解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166426416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b 的坐标为：()22,2．故答案为：()22,2．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．6．（2018·上海高三二模）在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于___________. 【答案】1【分析】先以直角建系,将22AE =转化为221(3)(4)2λμ+=,然后结合基本不等式求最值.【详解】在直角三角形ABC 中,2A π∠=, 故以A 点为原点,以,AB AC 为,x y 轴正方向建系:则(3,0),(0,4)AB AC ==, 所以(3,4)AE AB AC λμλμ=+=, 因为22AE =,所以()()22134(0,0)2λμλμ+=>>, 又2221(3)(4)(34)2342λμλμλμ+=+-⋅⋅= 所以22134(34)2342()22λμλμλμ++-=⋅⋅≤⋅(当且仅当1342λμ==时等号成立), 所以22134(34)2()22λμλμ++-≤⋅, 解得341λμ+≤, 故答案为:1.【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.（真题/新题）一、单选题 1．（·全国高三其他模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则11972215x⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．210里B．410里C．610里D．810里【答案】D【分析】根据题意得EF GFGAEB⋅=，进而得4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，再结合基本不等式求4()EF GF+的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知1200EB=步=4里，750GA=步=2.5里．由题意，得EF GFGAEB⋅=，则4 2.510EF GF EB GA⋅=⋅=⨯=，所以该小城的周长为4()8810EF GF EF GF+≥⋅=，当且仅当10EF GF==时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：EF GF GA EB⋅=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.二、填空题 2．（·上海高考真题）如图，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当AQ CP +最小时，则a 的值为_______【答案】3【分析】通过函数解析式得到,P Q 两点坐标，从而表示出AQ CP +，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件13a a=，求解得到结果.【详解】依题意得：,3a P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 则4111223333a a a AQ CP a a a +=+=+≥⋅=当且仅当13a a=即3a =时取等号，故3a =本题正确结果：3【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a 的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.三、解答题 3．（·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）2000245yxx x=+-，[60,110]x ∈ 2000224165x x≥⋅-= 当且仅当20005xx=时，即100x =取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.。
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<2． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．13． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+185． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．66． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)2(),2()(x x x f x f x则)1(f 的值为（ ） A ．8 B ．81 C ．2 D ．217． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ）A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣38． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．49． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则AB （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）10．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）11．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163 D ．20312．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨qC ．p ∧qD ．p ∨q二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．15．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．16．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．17．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
2018届长宁区中学考试数学二模
2017学年长宁区第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa -=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ．8． 方程6+=-x x 的解是 ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ．12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ．14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，第14题图ABCDE F第15题图若AD a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，用a r 、b r 表示DB =u u u r．17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x第16题图D CBA 第18题图AB CD21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？ACDB第21题图第22题图23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）ACDEFGB第23题图如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．备用图第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．O AC DB图1O BA C D图2 BAO备用图第25题图长宁区参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x 得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分） 分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分 21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分） 设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分） 代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分）（2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分） 答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分） ∵AG GF BE AD = ∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD = 又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分）∴BC=CD （1分）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分） ∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AO AC BO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OH PH =， ∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ， ∴126=-tt ，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分） ∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分） （3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5，∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分） 综上得6514或=AD。
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x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的焦距为 2 3 ，点 P (0, 2) 关于直线 y = − x 的对称点在椭圆 Γ 上． a 2 b2
（1）求椭圆 Γ 的方程； （2）如图，过点 P 的直线 l 与椭圆 Γ 交于两个不同的点 C , D （点 C 在点 D 的上方），试求 △COD 面积的最大值； （3）若直线 m 过点 M (1, 0) ，且与椭圆 Γ 交于两个不同的点 A, B ，是否存在直线 l0 : x = x0 （其中 x0 > 2 ），
*
参考答案
一、填空题 1. m = 3 8. 4 2 9. 2. 4 3.
5
4. y = 4 x
2
5.
1 4
6. 4
7.
2 2 π 3
7 16
10. [−1,1]
11.
1 2
12. (2, 4]
二、选择题 13. A 14. C 三、解答题
15. A
16. D
17、（1） T ，值域为 0, 2 ；（2）
1 , f ( A) = 2 ，求 sin C 的值． 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
18. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， ∠BAD = 90 , AD / / BC , AB = 2 ， AD = 1 ，
PA = BC = 4 ， PA ⊥ 平面 ABCD ． （1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小； （2）求二面角 A − PC − D 的余弦值．
n
3. 4.
已知复数 z 满足 z = 4 + 3i （ i 为虚数单位），则 z = ____________．
2
已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P ( x, y ) 到定点 (1, 0) 的距离等于 P 到定直线 x = −1 的距离， 则点 P 的轨迹方
程为____________． 5. 已知数列 {an } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n 是其前 n 项和，则 lim
x = 3t 2 + 4 （ t 为参数，且 0 ≤ t ≤ 3 ）所表示的曲线是（ 2 y = t − 2
B. 圆弧 C. 线段
15. 点 P 在 边 长 为 1 的 正 方 形 ABCD 的 边 上 运 动 ， M 是 CD 的 中 点 ， 则 当 P 沿
A − B − C − M 运动时，点 P
, k N ； T2 n n 2 2n 1 2 （3） 1
(
x 2 + 1 + ax 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是____________．
)
11. 在 △ ABC 中， M 是 BC 的中点， ∠A = 120 , AB ⋅ AC = − ，则线段 AM 长的最小值为____________． 12. 若实数 x, y 满足 4 + 4 = 2
使得 A, B 到直线 l0 的距离 d A , d B 满足
MA dA 恒成立？若存在，求出 x0 的值；若不存在，请说明理由． = dB MB
21. （本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 已知数列 {an } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n ，且满足 4 S n = ( an + 1) ，若数列 {bn } 满足 b1 = 2, b2 = 4 ，
x y x +1
1 2
+ 2 y +1 ，则 S = 2 x + 2 y 的取值范围是____________．
二、选择题（ 题 5 分） 13. “ x = 2 ”是“ x ≥ 1 ”的（ A. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 14. 参数方程 A. 直线
） B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 ） D. 双曲线的一支
2 2 3 6
18、（1）
2
；（2）
16 265 265
19、（1）不符合；（2）328
20、（1）
x2 y 2 1 ；（2）1；（3） x0 4 4
21、（1） an 2n 1 ；（2） cn
n, n 2 k 1 2 , n 2k
n 2
则 b2018 等于（ A. 2 ） B. 5 C. 7 D. 8
7
三、解答题 17. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x +
2
π ． 6
（1）求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域； （2）设 A, B, C 为 △ ABC 的三个内角，若 cos B =
9. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定 位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽奖箱中， 次取出一球 记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于 6，则中一等奖，等于 5 中二等奖，等于 4 或 3 中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 10. 已知函数 f ( x ) = lg
2018 年长宁（嘉定）区数学二模试卷
一、填空题（第 1-6 题 1. 题 4 分，第 7-12 题 题 5 分） 已知集合 A = {1, 2, m} , B = {2, 4} ，若 A ∪ B = {1, 2,3, 4} ，则实数 m = ____________．
2.
1 x+ 的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n = ____________． x
19. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得 10 万元到 1000 万元的收益，先准备制定一个奖励方 案：奖金 y （单位：万元）随收益 x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过收益的 20%． （1）若建立函数 y = f ( x) 模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数 f ( x ) 模型的基本要求，并分 析y=
形状大致是下图中的（ ）
过的路程 x 与 △ APM 的面积 y 的函数 y = f ( x) 的图
的
16. 在计算机语言中，有一种函数 y = INT ( x ) 叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示 y 等于不超过 x 的最大整
2 n * 数， 如 INT (0.9) = 0, INT (3.14) = 3 ， 已知 an = INT ， ，b1 = a1 ，bn = an −10an−1（ n ∈ N ，且 n ≥ 2 ） ×10
x + 2 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； 150
（2）若该团队采用模型函数 f ( x ) =
10 x − 3a 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值． x+2
20. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 7 分） 已知椭圆 Γ :
Sn = ____________． n→∞ a 2 n
6.
7. 8.
x ≥1 设变 x, y 满足约束条件 x + y − 4 ≤ 0 ，则目标函数 z = 3 x − y 的最大值为____________． x − 3 y + 4 ≤ 0 2π 将圆心角为 ，面积为 3π 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____________． 3 三棱锥 P − ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱 PB 的长为____________．
2
且等式 bn 2 = bn−1bn+1 对任意 n ≥ 2 成立． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）将数列 {an } 与 {bn } 的项相间排列构成新数列 a1 , b1 , a2 , b2 , ⋯, an , bn , ⋯ ，设该新数列为 {cn } ，求数列 {cn } 的通 项公式和前 2n 项的和 T2 n ； （3）对于（2）中的数列 {cn } 前 n 项和 Tn ，若 Tn ≥ λ ⋅ cn 对任意 n ∈ N 都成立，求实数 λ 的取值范围．