华侨大学《信号与系统》证明题题库(A)

精品文档华侨大学信息科学与工程学院《信号与系统》期末考试试卷(A 卷)题 目 一 总 分 核分人 复查人 得分题目部分，（卷面共有50题，100分，各大题标有题量和总分）评卷人 得分一、证明（50小题，共100分）1．设()H p 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明[()()]()()tH p t eH p t αδαδ-=+。

2．证明()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+。

3．证明：23()2(),()0t t t t t δδδ''''==一般情况：()()(1)!()n n n t t n t δδ=- 4．设()()(3)tk r t e u t t k δ+∞-=-∞=*-∑，证明()t r t Ae -=，03t ≤≤，并求出A 值。

5．设()H p 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明：[()()]()()t H p t e H p t βδβδ-=+6．证明()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+。

7．设()()(3)tk r t e u t t k δ∞-=-∞=⋅-∑，证明(),03t r t Ae t -=≤≤，并求出A 的值。

8．若()x n 为纯虚序列，[()]()DFT x n X k =，分解为实部与虚部写做：()()r x k X k =+()i jX k ，试证明()r X k 是k 的奇函数，()i X k 是k 的偶函数。

9．已知()()N x n R n =，求()[()]X k DFT x n =，利用所得到的结果验证帕塞瓦尔定理。

10．证明下表中除第1行以外的其余几条性质表 DFT 的奇偶虚实性()x n()_X k()x n()X k实函数 实偶函数 实奇函数 实部为偶、虚部为奇实偶函数 虚奇函数虚函数 虚偶函数 虚奇函数实部为奇、虚部为偶虚偶函数 实奇函数11．库利—图基FFT 算法也可解释[W] 矩阵的分解简化，例如4N =可写出001010100100(0)(0)(2)100110(1)(1)(2)001100(3)(3)001010W W X X X W W X X X W W X X W W ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦⎣⎦ 试证明此矩阵表示与(976)-一致，并指出此矩阵相乘的过程与前面哪一张FFT 流程相对应。

12．函数()f t 可以表示成偶函数()e f t 与奇函数0()f t 之和，试证明：（1）若()f t 是实函数，且[()]()f t F ω=，则[()]Re[()]e f t F ω=0[()]Im[()]f t j F ω=（2）若()f t 是复函数，可表示为()()(),r i f t f t jf t =+[()]()f t F ω=则*1[()][()()],2r f t F F ωω=+-*1[()][()()],2i f t F F jωω=-- 其中*()F ω-=*[()]F t13．若已知实数有限长序列1()x n 和2()x n ，其长度为N ，且112()[()],()X k DFT x n X k ==精品文档212[()],()()(),()[()]DFT x n x n jx n x n X k DFT x n +==，试证明下列关系式成立：11()[()()]2X k X k X N k *=+- 21()[()()]2X k X k X N k j *=--14．分别利用下面几种方法证明确1[()]()u t j πδωω=+。

（1）利用符号函数11[()sgn()]22u t t =+；（2）利用矩形脉冲取极限()τ→∞；（3）利用积分定理[()()]tu t d δττ-∞=⎰（4）利用单边指数函数取极限0[()lim ,0]at a u t t -→=≥15．试证明题图所示系统可以产生单边带信号。

图中信号()g t 之频谱()G ω受限于~m m ωω-+之间，0;()sgn().m H j j ωωωω=-?设()t υ之频谱为()V ω，写出()V ω表示式，并画出图形。

16．一个理想低通滤波器的网络函数()()()j H j H j e ϕωωω=，其中0()()()()c c H j u u t ωωωωωϕωω=+--=-。

幅度响应与频率响应特性如题图所示，证明此滤波器对于()c t πδω与sin()c c t tωω的响应是一样的。

17．试证明因果系统的()R ω与()X ω被希尔伯特变换相互约束，即若因果系统的()()()H j R jX ωωω=+则 1()1()(),()X R R d X d λλωλωλπωλπωλ∞∞-∞-∞==---⎰⎰ 18．试证明对1()(0)a H s a s a=>+和22()(0)2()a s a H s a s a T π+=>⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别用冲激不变法变换成数字滤波器的系统函数()H z ，两者具有相同的()H z ；从物理概念上解释这一结果（其中T 为抽样周期）19．一个理想低通滤波器的网络函数为()()()j H j H j e ϕωωω=其中草药 1()()0()c c H j ωωωωω-<<⎧=⎨⎩为其他值幅度响应与相移响应特性如下图所示。

证明此滤波器对于()c t πδω和sin()c c t tωω的响应是一样的。

精品文档20．若[()]()f t F ω=令()2()()Z F U ωωω=（只取单边频谱）。

试证明()Z t =1ˆ[()]()()Z f t ft ω-=+，其中()ˆ()[]jf f t d t ττπτ∞-∞=-⎰21．若()x 、()t ψ都为实函数，连续函数小波变换的定义可简写为1(,)(),x WT a b x t a ψ∞-∞=⎰[()]()t ϕω=Φ，试证明以上定义也可用下式给出。

(,)()()2j b x a WT a b X a e d ωωωωπ∞--∞=Φ-⎰（2）讨论定义式中a,b 参量的含义。

22．完整推导证明窗函数设计难则式(10100)-和式(10111)-23．试利用另一种方法证明因果系统的()R ω与()X ω被希尔伯特变换相互约束。

（1）已知()()(),()e h t h t u t h t =和0()h t 分别为()h t 的偶分量和奇分量，0()()()c h t h t h t =+，证明：00()()sgn(),()()sgn().e e h t h t t h t h t t ==（2）由傅里叶变换的奇偶虚实关系，已知()()(),H j R jX ωωω=+其中[()]()e f t R ω=0[()]()f t jX ω=。

利用上述关系证明()R ω与()X ω之间满足希尔伯特变换关系。

24．试证明对巴特沃思和切比雪夫滤波器，阻带()c Ω≤Ω衰减速度为20/NdB dec 其中N为滤波器价数。

25．试证明cos ,cos(2),,cos()t t nt ⋅⋅⋅(n 为整数)是在区间(0，2π)中的正交函数集。

26．若信号()f t 的功率谱为()f ω，试证明()df t dt信号的功率谱为2ω()fω。

27．证明：(,)(,)[(1)(1),]sal i t sal j t cal i j t =-⊕-(,)(,){[(1)]1,}sal i t cal j t sal i j t =-⊕+28．证明cos ,cos(2),cos()t t nt L （n 为整数）不是区间(0,2)π上的完备正交函数集。

29．若信号()f t 的功率谱为()f ω，试证明()df t dt信号的功率谱为2ω()fω。

30．试证明前四个勒让德多项式在（-1，1）内是正交函数集。

它是否规格化？ 31．试证明cos ,cos(2),cos()t t nt L （n 为整数）是在区间(0,2)π中的正交函数集。

32．若信号12()cos(),()sin()f t t f t t ωω==，试证明两信号同时作用单位电阻时所产生的能量等于1()f t 和2()f t 分别作用时产生的能量之和，如果改为12()cos(),()cos(45)f t t f t t ωω==+o ，上述结论是否成立。

33．试证明：[](,)(,)(1)(1),sal i t sal j t cal i j t ⋅=-⊕-[]{}(,)(,)(1)1,sal i t cal j t sal i j r ⋅=-⊕+34．试证明在区间(0，2π)上，下图的矩形波与信号cos ,cos(2),,cos()t t nt ⋅⋅⋅正交(n 为整数)，即此函数没有波形cos()nt 的分量。

35．试证明在区间(0,2)π，题图的矩形波与信号cos ,cos(2),cos()t t nt L 正交（n 为整精品文档数），也即此函数没有波形cos()nt 的分量。

36．已知()x n 的双边z 变换为()X z ，证明1[()]()x n X z --=37．已知[()]()x n X z =，证明0[()]()1nk zx k X z z ==-∑ 38．试证明序列相关定理，1[()()]()()m h m x m n H z X z∞=-∞-=∑其中()H z =[()],()h n X z1[()()]()()m h m x m n H z X z ∞=-∞-=∑[()]x n =℘。

39．已知线性时不变系统的状态方程和愉出方程表示为111()()()k k k k kX t A t B e t λλ⨯⨯⨯=+11()()k k r t C De t λ⨯⨯=+ 且有10,0,,0k CB CAB CA B -===L 。

证明：(1)该系统不可能同时完全可控和完全可观；(2)该系统的转移函数()()()R s H s E s ==为常数，与s 无关。

40．(1)证明：如果AB 矩阵可交换时，即AB BA =，则有()A B t At Bt e e e +=⋅。

(2)设矩阵k H 被定义为如下的k k ⨯方阵100001000010000k H ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L MM M M L L证明21212!(1)!01(2)!01kk k H t t t k te t k --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M L(3)利用k J I H α=+证明21212!(1)!01(2)!01k k jk t t t t k te e t k α--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LM M L(4)设1122100000,001000A αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求At e 41．已知两个系统有这样的关系1()()()()()t A t Be t r t C t λλλ=+⎧⎨=⎩精品文档2()()()()()T TTt A t C e t r t B t γγγ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ 证明：如果系统起始是静止的，则这两个系统的输出冲激响应有下列关系12()()h t h t =-42．证明周期锯齿信号的傅立叶级数裘达式为11111()[sin sin 2sin 3 (223)Af t t t t w w w p=-+++其中A 为锯齿的高度，12T p w =为锯齿波的周期。