第1章优化算法基本理论
最优化理论与算法第二版教学设计
最优化理论与算法第二版教学设计一、课程背景随着社会的发展，各行各业对效率的要求越来越高。
优化理论与算法作为一门重要的数学工具，已经成为计算机科学、工业工程、运筹学、统计学等诸多领域必不可少的一部分。
本课程主要介绍常见的最优化算法、模型与理论，旨在让学生在课程学习中掌握优化问题的建模与求解方法，了解常见的优化算法及其应用，并培养学生解决实际问题的能力。
二、课程目标本课程旨在培养学生以下能力：•掌握最优化问题的概念与一般形式；•熟悉线性规划、整数规划、动态规划、贪心算法、分治算法、模拟退火等常见的最优化算法及其应用；•熟练运用MATLAB等工具对优化问题进行数值求解；•能够分析、解决实际问题中的优化问题。
三、教学大纲第一章最优化理论基础•最优化问题与应用•最优化问题的概率与形式化描述•不等式约束条件的最优化问题•拉格朗日乘数法第二章线性规划•线性规划的基本概念•线性规划模型的构建•单纯形法与其扩展算法•求解线性规划的MATLAB工具箱lpSolve第三章整数规划•整数规划的基本概念•分支限界法、割平面法等求解整数规划的方法•求解整数规划的MATLAB工具箱IntLinProg 第四章动态规划•动态规划的基本思想与模型•背包问题的动态规划算法•求解非线性规划的MATLAB工具箱fmincon 第五章贪心算法与分治算法•贪心算法的基本思想与模型•贪心算法求解集合覆盖、活动选择等问题•分治算法的基本思想与模型•分治算法求解归并排序、快速排序等算法第六章模拟退火与遗传算法•模拟退火算法的基本思想及其应用•遗传算法的基本思想及其应用•求解非线性规划的MATLAB工具箱fminsearch四、课程教学教学方式本课程为理论与实践相结合的课程，采用教师讲解、案例分析、课堂练习和课程论文等多种教学方式。
课程中将提供足够的例子和案例分析，以丰富课程内容。
教材主教材为《最优化理论与算法第二版》（作者：D.M.库珀等，译者：范玉平、钱启祥）。
进化优化算法概述
第一章 进化优化算法概述1．1 进化算法的一般框架自1960年以来，进化算法已经发展出相当多的种类，但一般认为进化算法有5个基本组成部分[3]：1．问题解的遗传表示。
2．种群的初始化方法。
3．根据个体适应度对其进行优劣判定的评价函数。
4．产生新的种群的进化算子5．算法的参数取值1.1.1进化优化算法解决对象的描述进化算法主要是求解优化问题，其数学模型如下：Maximizey =f (x )(1.1)Subject to g(x )=()(1x g ,)(2x g ，…，)(x g m )≤0 （1.2）其中 x =（1x ，2x ，…，n x ）∈X ，x 是决策向量，X 是决策向量形成的决策空间；y 是决策目标。
这是个最大化问题，对于最小化问题可以令y '=C -f (x )转化为最大化问题，因此，它们在本质上是一致的。
根据优化函数f (x )是否连续可以将最优化问题分为二大类：连续函数的最优化与离散函数的最优化。
后者也可以称为组合优化问题。
根据是否包含约束条件（1.2）可分为约束优化问题和无约束优化问题。
此外，若y 是一个决策向量，则是一个多目标的优化问题，我们将在第二章进一步讨论。
1.1.2进化优化算法结构进化算法的一般结构如图 1.1所示，进化算法维持由一群个体组成的种群P (t )(t 为进化代数)。
每个个体代表问题的一个潜在解。
每个个体通过目标函数评价得到适应度并根据优胜劣汰的原则进行选择。
被选择的个体经历遗传操作产生新的个体,主要有两种遗传操作：杂交是将多个个体的有关部分组合起来形成新的个体，变异是将一个个体改变而获得新的个体。
新产生的个体（子代）继续被评价优劣。
从父代种群和子代种群中选择比较优秀的个体形成新的种群。
在若干代后，算法收敛到一个最优个体，该个体很有可能代表问题的最优或次优解。
图1.1 进化算法流程图1.1.3进化算法几个环节的解释遗传编码：如何将问题的解编码成染色体是进化算法使用中的关键问题，目前的编码方式主要有二进制编码[4]、Gray编码、实数编码、字符编码等，对于更复杂的问题，用合适自然的数据结构来表示染色体的等位基因，可以有效抓住问题的本质，但总的来说，完整的遗传编码理论尚未建立，部分文献[5~7]的讨论都有都有一定的局限性。
工程优化方法第1章
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
优化理论——精选推荐
第一章最优化理论方法优化理论是一门实践性很强的学科。
所谓最优化问题，一般是指按照给定的标准在某些约束条件下选取最优的解集。
他被广泛地应用于生产管理、军事指挥和科学试验等领域，如工程设计中的最优设计、军事指挥中的最优火力配置问题等。
优化理论和方法于20世纪50年代形成基础理论。
在第二次世界大战期间，出于军事上的需要，提出并解决了大量的优化问题。
但作为一门新兴学科，则是在G.B.Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法，H.W.Kuhnh和A.W.Tucker 提出非线性规划基本定理，以及R.Bellman提出动态规划的最优化原理以后。
之后，由于计算机的发展，使优化理论得到了飞速的发展，至今已形成具有多分支的综合学科。
其主要分支有：线性规划、非线性规划、动态规划、图论与网络、对策论、决策论等。
1.极小值优化1.1标量最小值优化求解单变量最优化问题的方法有多种，根据目标函数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。
直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用到目标函数的导数。
常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种。
消去法利用单峰函数具有的消去性质进行反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定的允许精度为止。
该法的优点是算法简单，效率较高，稳定性好。
多项式近似法用于目标函数比较复杂的情况。
此时搜索一个与它近似的函数代替目标函数，并用近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。
常用的近似函数为二次和三次多项式、间接法需要计算目标函数的导数，优点是计算速度很快。
常见的间接法包括牛顿切线法、对分法、割线法和三次差值多项式近似法等。
如果函数的导数容易求得，一般来说应首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高的效率。
在只需要计算函数值得方法中，二次差值是一个很好的方法，它的收敛速度快，特别是在极小点所在区间较小时尤为如此。
1.2无约束最小值优化无约束最优化问题在实际应用中也比较常见，如工程中常见的参数反演问题。
优化方法及应用 第一章
min n
xR
f x
约束优化问题的标准形式
min s.t.
f x gi x 0. i 1, 2,, m
根据目标函数及约束类型的不同特点分类
Page 23
线性规划 优化问题 非线性规划
•线性规划：目标函数 f(x)和约束函数 gi(x) 皆为线性函数。 •非线性规划:目标函数 f(x) 和约束函数 gi(x) 不全是线性函数
x
Page 12
曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”，将测量点沿 垂线方向到曲线的距离的平方和作为这种“偏差”的度量. 即
y
m a2 S yi a1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a 5
(III)根据变量类型分类„
根据约束类型的不同特点分类
Page 19
无约束优化 等式约束问题 优化问题 约束优化 不等式约束问题 混合约束问题
设Rn 为n维欧氏空间，x R n , x x1 , x2 , xn , 向量变量实值 函数 f : R n R1. gi，hj 均为向量x 的实值函数.
Page 16
例2.5.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的 最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲 料必须含：至少达到0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋 白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、 大豆粉。这些配料的主要营养成分为：
配料 石灰石 谷物 大豆粉 每磅含钙 0.380 0.001 0.002 每磅含蛋 白质 0.00 0.09 0.50 每磅含 纤维 0.00 0.02 0.08 每磅成本 0.0164 0.0463 0.1250
优化原理与方法1_ppt课件
n S { x | x E , g ( x ) 0 j 1,2, , m ； h ( x ) 0 r 1,2 , l } j r
. f (x) 或 无约束优化：min x E
n
9
§1.3 全局最优解与局部最优解
( x ) f ( x ) x S • 全局极小点(/最优点) x*： f * * ( x ) f ( x ) x S N ( x • 局部极小点(/最优点) x*： f ) * * ( x ) { x |x x , 0 } 其中 N
（5）按优化阶段的可分性分
(静态)优化 / 动态规划
（6）按设计变量与参数的确定性分
(确定性)优化 / 随机规划 / 模糊优化
7
（五）优化技术应用的工作步骤
（1）将实际问题抽象为优化数学模型 （2）运用优化方法求解该模型，获得优化结果 （3）对结果进行分析评估，必要时进一步完善模型重新求解 （4）解决优化应用问题的关键 • 解决优化问题首先需要塑造合适的优化数学模型： 所选取优化三要素应能够体现问题的实质； 简繁适度； 充分考虑拟选优化方法的特点和要求
T 寻求x [x , x , , x ] 1 2 n min . f (x)
s.t. gj (x) 0 j 1,2, ,m h ) 0 r 1,2, ,l r (x
优化数学模型 三要素： • 设计变量 • 目标函数 6 • 约束条件
（四）优化问题分类
优化原理与方法1
优化原理与方法
参考书：
• 汪树玉、刘国华 等， 系统分析（第五章 优化方法）， 浙江大学出版社； • 汪树玉 等， 优化原理、方法与工程应用，浙江大学出 版社； • 甘应爱 等， 运筹学，清华大学出版社。
最优化理论与算法(第一章)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1 引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、 范数 1. 向量范数max i x x ∞= （l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑ （1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑ （2l 范数） （1.5）11()np pi pi xx ==∑ （p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax = （A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ pp AxA x ≤则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
最优化理论 第一章
或稳定性等要求； 边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约 对轴段长度的限定范围就属于边界约束。
束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，
(a)二变量问题的约束线
图1-2 优化问题中的约束面（或约束线）
(b) 三变量问题的约束面
可行域 : 在优化问题中，满足所有约束条件的点所构成的 集合。 如图1-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16 ≤ 0和g2 （X）＝2—x2≤0的二维设计问题的可行域D，它位于x2=2的上面和 圆 x12＋x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧ABC在内。
2.约束条件
优化问题中有些是工程上所不能接受的，在优化中
对优化变量取值有一些限制条件，这些限制条件称作 约束条件，简称约束。 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不 等式约束两种类型： (1)等式约束
h( x ) 0 g ( x) 0
(2)不等式约束
根据约束的性质可以把它们区分成： 性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能 约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度
求优化变量向量
使目标函数
满足约束条件 ：
X [ x1 , x2 , , xn ] f ( X ) min
g j (X ) 0
T
( j 1, 2,
, m)
hk ( X ) 0
(k 1,2, , l )
n
min f ( X ) f ( x1，x2， ，xn ), X R s.t. g j ( X ) 0 j 1,2, , m hk ( X ) 0 k 1,2, , l
一个优化问题可以用一组基本参数的数值来表示， 在优化过程中进行选择并最终必须确定的各项独立 的基本参数，称作优化变量，又叫做决策变量。
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1.1 优化的概念及方法
♣ 严格整体最优解：若 x D ，对于一切 x D 和 x x
恒有 f x f x ，则称 x 为最优问题的严格整体最优解。 ♣ 局部最优解：若 x D ，存在 x 的某邻域 N e x （ N e x x x x , 0 ），使得对于一切 x D N e x ，
hi x 0i 1,2,, m
g j x 0 j 1,2,, p
1.1 优化的概念及方法
根据决策变量取值的状态分类 ♣ 连续最优化问题：决策变量取值是连续的优化问题。 ♣ 离散最优化问题：决策变量取值是离散的优化问题。 根据决策变量取值的性质分类 ♣ 确定性最优化问题：每个决策变量取值是确定的。 ♣ 随机性最优化问题：某些决策变量取值是不确定的， 但知道决策变量取某值而服从一定的概率分布。 按照目标函数和约束函数的劳累性分类 ♣ 线性最优化问题：目标函数和所有约束条件中的函数 都是决策变量的线性函数，即 f x 、hi x 和 g j x 均为 x 的线 性函数。
1.1.1 优化的概念
1.1.3 优化的分类
1.1.2 优化的一般数学模型
1.1.4 优化问题的求解方法
1.1.5 常用的无约束优化方法
1.2 智能优化的概念及分类
1.2.1 智能优化的概念 1.3 群体智能的概念及分类 1.3.1 群体智能的概念 1.3.3 群体智能的特点 1.3.2 群体智能的分类 1.3.2 群体智能算法的一般流程 1.2.2 智能优化的分类
f x
, 0 ），使得对于一切 x D N x ，
e
称为最优值。
1.1 优化的概念及方法
♣ 范数：在n维线性空间 R n 中，定义实函数 x ，使其 满足以下三个条件： ① 对于任意 x D ，有 x 0 ，当且仅当 x 0 ， x 0 ； ② 对于任意 x D 及实数 a ，有 ax a x ； ③ 对于任意 x, y D ，有 x y x y 。 则称 x 函数为 R n 上的向量范数。
♣ p 阶收敛：设序列 x k 收敛于 x ，若对于某个实 数 p 1 ，有
k
lim
x k 1 x x k x
p
则称序列 x k 为p阶收敛，一般情况下，p 2 称为二阶收敛。
1.1 优化的概念及方法
常用的终止准则
♣ x k 1 x k （ 0 ，预先给定）或
♣
f x k 1 f x k ，
f x k 1 f x k f x k
x k 1 x k xk
；
；
♣
f x k g k ；
♣ 上述三种终止准则的组合。
1.1 优化的概念及方法
1.1.5 常用的无约束优化方法
常用的无约束最优化方法包括最速下降法和牛顿法等。
T
设 x k 1 x k p k 为 f x 的近似最优解，得到
f x g k G k x x k f x k 1 g k G k x k 1 x k 0
♣ 单目标最优化问题：最优化问题中只有一个目标函数。
♣ 多目标最优化问题：最优化问题中含有多个目标函数。
1.1 优化的概念及方法
1.1.4 优化问题的求解方法
一般思路
最优化问题的一般求解方法是迭代算法。首先给定一个 初始可行点 x 0 D（即初始值），然后从此点出发，依次产 生一个可行点列 x1 , x 2 ,, x k , ，记作 x k ，使得某个 x k 恰 好是问题的一个最优解，或者说该点列 x k 收敛到问题的一 个最优解 x 。一般步骤包括：
♣ p-范数：对于任意 x x1 , x2 ,, xn T R n ，1 义p-范数为
x
p
p
，定
x
i 1
n
p i
1/ p
1.1 优化的概念及方法
♣ ∞-范数：
x
max xi
1 i n
♣ 2-范数： x 2
n 2 xi i 1
1/ 2
，通常记作
2
整体最优解与局部最优解的关系
整体最优解一定是局部最优解，而局部最优解不一定是 整体最优解。
1.1 优化的概念及方法
1.1.3 优化的分类
根据约束条件分类
♣ 无约束最优化问题：没有约束条件限制的最优化问题。 ♣ 约束最优化问题：有约束条件的最优化问题。 约束最优化问题又可分为 ♣ 等式约束最优化问题：hi x 0i 1,2,, m ♣ 不等式约束最优化问题：g j x 0 j 1,2,, p ♣ 混合约束最优化问题：既有等式约束，又有不等式约 束最优化问题。即
即负梯度方向使目标函数 f x k 下降最快，称为最速下降法。 牛顿（Newton）法 牛顿（Newton）法最初由艾萨克· 牛顿（Isaac Newton， 1643年1月4日~1727年3月31日）在《流数法》（Method of Fluxions）首次提出（1671年完成，在牛顿死后的1736年公开 发表），同时约瑟夫· 拉弗森（Joseph Raphson，1648年~1715 年）也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。故 有时称为牛顿-拉弗森法。
1.1 优化的概念及方法
1.1 优化的概念及方法
1.1.1 优化的概念
优化、最优化均是一个术语，是指关于求解一个问题的 “最优”解的计算科学的一个分支，也就是从各种可能方案 中选取一个最好的，以达到最优目标。 从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即 在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达 到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的 人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产 值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入 的人力、物力和财力等资源为最少。
1.1 优化的概念及方法
设 f x 二阶连续可导，对 f x 在 x k 处进行泰勒展开，得
1 f x f x k f x k x x k x x k T 2 f x k x x k 2! 1 T f x k g T x x x x Gk x x k k k k 2!
④ 若 x k 1 满足某种终止准则，则停止迭代，以 x k 1 为近 似最优解。否则令 k k 1 转①。 影响算法收敛的条件 ♣ 如果某算法构造出的点列 x k 能够在有限步之内得到 最优化问题的最优解 x ，或者说点列 x k 有极限点，且其 极限点就是最优解 x ，则称算法是收敛的。 算法收敛的影响因素较多，包括初始点的选取、下降方 向的确定、迭代步长的选择以及目标函数自身的影响。除要 求收敛外，一般还要求收敛速度要快。
恒有 f x f x ，则称 x 为最优问题的局部整体最优解。 （ N e x x x x
♣ 严格局部最优解：若 x D ，存在 x 的某邻域 N e x
恒有 f x f x ，则称 x 为最优问题的严格局部整体最优解。 ♣ 最优值：最优解 x 对应的目标函数值
① 给定初始点 x 0 ，即令 k 0；
② 确定处的下降方向 p k ，使得点 x k 沿方向 p k 移动时 函数值 f x 有所下降； ③ 确定步长 k
0 ，令 x k 1 x k k p k 使得 f x k 1 f x k ；
1.1 优化的概念及方法
♣ 收敛：设序列 x k ，对于 0 ，存在正整数N，当
k N 时，有 x k x ，则称 x k 收敛于 x 。
1.1 优化的概念及方法
♣ 线性收敛：设序列 x k 收敛于 x ，且
lim x k 1 x xk x
k
若 0 1，则称序列 x k 为线性收敛， 为收敛比；若 0， 则称序列 x k 为超线性收敛；若 1，则称序列 x k 为次线 性收敛。
1.1 优化的概念及方法
♣ 非线性最优化问题：目标函数或约束条件中至少有一 个是决策变量的非线性函数，即 f x 、 hi x 和 g j x 中至少有 一个是 x 的非线性函数。 按照最优化解是否变化分类 ♣ 静态最优化问题：最优化问题的解不随时间而变。 ♣ 动态最优化问题：最优化问题的解随时间而变化。 按照目标函数的个数分类
1.1 优化的概念及方法
几个定义
♣ 可行解：又称为可行点或容许解，是指满足约束条件 的x。
♣ 可行域：又称为容许集，是指全体可行解构成的集合，
即
D x hi x 0, i 1,2,, m g j x 0, j 1,2,, p x R n
若 hi x 和 g j x 为连续函数，则D是闭集。 ♣ 最优解：一般分为整体最优解（总体最优解）、严格 整体最优解、局部最优解、严格局部最优解。 ♣ 整体最优解：若 x D ，对于一切 x D 恒有
k gT k pk T k k k gk pk k
f x k 1 f x k
由此可见，当
gT k p k 0 时， f x k 1 f x k ，符合迭代要求。
1.1 优化的概念及方法
由于 gT k pk 取得极小值， gT k pk
g k p k cos
， 为 g k 和 p k 的夹角。故当 时， 180 p k g k f x k 下降最快。一般取 ，得到