最优化方法课件_解可新1
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最优化方法课程PPT
x
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
17
二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
∞
表示
= max { xi }
x 1 = ∑ xi
x 2 = (∑ x
1 2 2 i
)
7
二、数学预备知识
范数的内积 范数不等式
x y = ∑ xi yi
T i =1 n
x+ y ≤ x + y
三角不等式 柯西不等式
x0 = ( x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) ,..., xn ( 0 ) )
() () ()
4
一、最优化方法的基本概念
(2) 非线性规划 非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)
f(x)，Ci(x) ( i ∈ E U I )，其中之一均为线性函数 ，
(3) 无约束最优化问题 Unconstraint Optimization Problem) 无约束最优化问题(
λ)x(2)
x(2)
x
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二、数学预备知识
(3) 凸函数的判定准则 一阶判定条件： 在凸集S上具有一阶连续偏导数 一阶判定条件： f(x)在凸集 上具有一阶连续偏导数，则 在凸集 上具有一阶连续偏导数， f(x)为S上凸函数的充要条件是 为 上凸函数的充要条件是
f x
f(x)
( ) ≥ f ( x ) + ∇f ( x ) ( x ( ) − x ( ) )
x
2 21 1
没有约束条件C 没有约束条件 i(x)
5
一、最优化方法的基本概念
4 数学规划模型的分类 主要是针对决策变量x 来进行分类： 主要是针对决策变量 1, x2,…xn来进行分类：
连续型 离散型
线性规划 LP (有、无约束 有 无约束)
非线性规划NLP 非线性规划 (有、无约束 有 无约束)
最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
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3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
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5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
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下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
最优化方法课件(1)详解
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
– SA算法是一种组合优化算法，足模拟材半l)Jl日一中的 退火处理(Annealing)得名的优化算法。退火是材料加 工的一种处理方式，即首先将固体加工到融化状态， 再逐渐冷却，直到材料达到结品状态。在这个过程中， 固体内的自由能最终被降低到最小状态。在实践中， 冷却过程必须非常小心控制，以防止固体结晶到局部 最小能量状态，即局部最优解，从而影响材料的强度 等各种性能。模拟退火算法模拟这样的物理过程，将 组合最小化能量状态模拟为最终晶体状态，并设计一 个类似的处理过程，达到优化的目的。
• 最优化方法（第二版），施光燕，钱伟懿，庞丽萍，高等教育出版社，2007 年
• 最优化方法，何坚勇，清华大学出版社，2007年 • 最优化方法及其应用，郭科，陈聆，魏友华，高等教育出版社，2007年 • 最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社 • 最优化理论与方法，袁亚湘，科学出版社 • 近代优化方法，徐成贤，科学出版社
• William J. Cook, William H. Cunningham, William R. Pulleyblank, Alexander Schrijver; Combinatorial Optimization; John Wiley & Sons; 1 edition (November 12, 1997)
8
1 引言:数学建模与最优化的背景
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
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数学家名人录
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Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
– SA算法是一种组合优化算法，足模拟材半l)Jl日一中的 退火处理(Annealing)得名的优化算法。退火是材料加 工的一种处理方式，即首先将固体加工到融化状态， 再逐渐冷却，直到材料达到结品状态。在这个过程中， 固体内的自由能最终被降低到最小状态。在实践中， 冷却过程必须非常小心控制，以防止固体结晶到局部 最小能量状态，即局部最优解，从而影响材料的强度 等各种性能。模拟退火算法模拟这样的物理过程，将 组合最小化能量状态模拟为最终晶体状态，并设计一 个类似的处理过程，达到优化的目的。
• 最优化方法（第二版），施光燕，钱伟懿，庞丽萍，高等教育出版社，2007 年
• 最优化方法，何坚勇，清华大学出版社，2007年 • 最优化方法及其应用，郭科，陈聆，魏友华，高等教育出版社，2007年 • 最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社 • 最优化理论与方法，袁亚湘，科学出版社 • 近代优化方法，徐成贤，科学出版社
• William J. Cook, William H. Cunningham, William R. Pulleyblank, Alexander Schrijver; Combinatorial Optimization; John Wiley & Sons; 1 edition (November 12, 1997)
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1 引言:数学建模与最优化的背景
《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法PPT
共117页第8页
同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法课件_解可新1
向量范数
定义1.1.5 如果向量x∈Rn 的某个实值函数||x||, 满足条件 (1)||x||≥0(||x||=0当且仅当x=0)(正定性); (2)||ax||=|a|· ||x||(对于任意a∈R); (3) ||x+y||≤||x||+||y||(三角不等式); 则称||x||为Rn 上的一个向量范数.
30
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
可行方向
定义1.2.2(可行方向) 已知区域 , x k∈ D , 对于向量pk≠0,若存在实数b >0, 使得对任意的 a∈(0,b ),有:xk+apk∈D, 则称pk为点xk处关于区域D的可行方向. 对于D的内点(存在邻域包含于D),任意方向可 行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D 中的点),则有些方向可行,有些方向不可行. 若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.
j
试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总 运费最省.
7
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
由题意可画出如下的运输费用图:
a1
A1 A2 B1 B2
b1
产量
a2
b2
需求量
am
Am
Bk
bk
设Ai→Bj的水泥量为xij,已知Ai→Bj单价为cij,单 位为元,则总运费为:
S cij xij
i 1
n
1 p p
∞-范数是p-范数的极限
|| x || lim || x || p
p
24
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
常用的向量范数
对向量x=(1,-2,3)T,有
|| x ||1 6,
|| x ||2 14 3.74166, || x ||3 3 36 3.30193,
最优化算法讲课课件
程中，一般总是与自己相同的物种生活在一起，共同繁衍后代；它们也都是在某 一特定的地理区域中生存。 在用遗传算法求解多峰值函数的优化计算问题时，经常是只能找到个别的几个 最优解，甚至往往得到的是局部最优解，而有时希望优化算法能够找出问题的所 有最忧解，包括局部最优解和全局最优解。基本遗传算法对此无能为力。既然作 为遗传算法模拟对象的生物都有其特定的生存环境，那么借鉴此概念，我们也可 以让遗传算法中的个体在一个特定的生存环境中进化，即在遗传算法中可以引进 小生境的概念，从而解决这类问题，以找出更多的最优解。
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
19
2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
26
15
2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
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9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
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4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
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4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
最优化方法解可新
最优化方法解可新最优化问题是数学建模中一个重要的问题类别，它的主要目标是在给定一些约束条件下找到一个使得目标函数取得最大或最小值的最优解。
最优化方法是解决这类问题的一种有效手段，通过对问题进行数学建模和算法求解，可以得到最优解或近似最优解。
最优化问题可以分为无约束优化和有约束优化两类。
在无约束优化问题中，目标函数的优化不受约束条件的限制；而在有约束优化问题中，目标函数的优化需要满足一定的约束条件。
下面将分别介绍无约束优化和有约束优化的最优化方法。
一、无约束优化的方法：1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是最为常用的无约束优化方法之一。
它通过迭代的方式不断地沿着目标函数梯度的反方向更新参数，直至达到收敛条件。
梯度下降法的核心思想是利用函数的导数信息进行搜索，从而找到函数的最小值点。
2. 牛顿法（Newton Method）：牛顿法是一种基于函数局部二阶泰勒展开的优化方法。
它通过迭代的方式利用目标函数的一阶和二阶导数信息来求解最优解。
牛顿法在每次迭代时通过求解线性方程组来计算更新的步长，因此通常具有更快的收敛速度。
3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Method）：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过估计目标函数的二阶导数信息来近似求解最优解。
拟牛顿法不需要计算目标函数的二阶导数，而是通过迭代更新一个代表二阶导数信息的矩阵。
拟牛顿法比牛顿法更加稳定和易于实现，因此被广泛应用于实际问题中。
二、有约束优化的方法：1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是求解线性约束下的最优解的一种方法。
它的目标函数和约束条件均为线性函数，可以利用线性规划的特殊结构进行高效求解。
线性规划在工程、经济和管理等领域有广泛应用，如生产调度、资源分配等问题。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：非线性规划是求解非线性约束下的最优解的方法。
它的目标函数和/或约束条件为非线性函数，常常需要使用数值优化方法进行求解。
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i 1 j 1
8
m k
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
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安康学院数学与统计系 应用数学教研室
例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
向量范数
定义1.1.5 如果向量x∈Rn 的某个实值函数||x||, 满足条件 (1)||x||≥0(||x||=0当且仅当x=0)(正定性); (2)||ax||=|a|· ||x||(对于任意a∈R); (3) ||x+y||≤||x||+||y||(三角不等式); 则称||x||为Rn 上的一个向量范数.
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安康学院数学与统计系 应用数学教研室
可行方向
定义1.2.2(可行方向) 已知区域 , x k∈ D , 对于向量pk≠0,若存在实数b >0, 使得对任意的 a∈(0,b ),有:xk+apk∈D, 则称pk为点xk处关于区域D的可行方向. 对于D的内点(存在邻域包含于D),任意方向可 行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D 中的点),则有些方向可行,有些方向不可行. 若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.
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最优化方法
主讲教师 刘铁
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
前言
一、什么是最优化 最优化是一门应用性相当广泛的学科，它讨论决 策问题的最佳选择之特性，寻找最佳的计算方法，研 究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。 应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、 交通运输、国防工业以及科学研究等诸多领域。
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安康学院数学与统计系 应用数学教研室
假设产品Aj的计划产量为xj. 由题意可画出如下的生产与消耗的关系图: A1 d1 b1 B1
b2
B2
消耗
aij
A2
d2
bm
Bm
An
dn
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数学模型
12
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例 1.1.3 指派问题
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最优化问题的算法的一般迭代格式
给定初始点x0,令k=0. (1) 确定xk处的可行下降方向pk; (2) 确定步长ak,使得f(xk+akpk)<f(xk), (3) 令xk+1=xk+akpk; (4) 若xk+1满足某种终止准则,则停止迭代, 以xk+1为近似最优解;或者已经达到最大迭代步 数,也可终止迭代. 否则令k:=k+1, 转(1)
29
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下降方向
若f(x)具有连续的一阶偏导数,令 由Taylor公式:
当gkTpk<0时, f(xk+apk)<f(xk),所以pk是f(x)在xk 处的一个下降方向. 反之,当pk是f(x)在xk处的一个下降方向时,有 gkTpk≤0. 通常称满足gkTpk<0的方向pk是为f(x)在xk处的 一个下降方向. f ( x ) 称为f(x)在x处的梯度。
i 1
n
1 p p
∞-范数是p-范数的极限
|| x || lim || x || p
p
24
安康学院数学与统计系 应用数学教研室
常用的向量范数
对向量x=(1,-2,3)T,有
|| x ||1 6,
|| x ||2 14 3.74166, || x ||3 3 36院数学与统计系 应用数学教研室
收敛速度
定义1.2.3 设序列{xk}收敛于x*,而且
若0<b<1,则称{xk}为线性收敛的,称b为收敛比; 若b=0,则称{xk}为超线性收敛的. 定义1.2.4 设序列{xk}收敛于x*,而且
则称{xk}为p阶收敛.
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2
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二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。
我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
终止准则
对于一种算法,应该有某种终止准则,当某次迭代 满足终止准则时,就停止迭代.常用的终止准则有:
(1) (2) 或 或
(3) (4) 上面三种准则的组合. 注:其中e >0是预先给定的.
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§1.3 二维最优化问题的几何解释
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收敛性
如果一个算法只有当初始点x0充分接近x*时, 产生的点列才收敛于x*,则称该算法为具有局 部收敛的算法. 如果对任意的x0∈D,由算法产生的点列都收 敛x*,则称该算法为具有全局收敛的算法. 由于一般情况下最优解x*是未知的,所以只有 具有全局收敛性的算法才有实用意义.但算法 的局部收敛性分析,在理论上是重要的,因为它 是全局收敛性分析的基础。
相关定义
定义1.1.4 (局部最优解) 若x*∈D,存在x*的某邻域 Ne(x*),使得对于一切x∈D∩Ne(x*),恒有f(x*)≤f(x),则 称为最优化问题(P)的局部最优解,其中Ne(x*)={x| ||xx*||<e,e>0}. 当x≠x*时,若上面的不等式为严格不等式则称x*为问 题(P)的严格局部最优解. 显然,整体最优解一定是局部最优解,而局部最优解不 一定是整体最优解. x*对应的目标函数值f(x*)称为最优值，记为f *.
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§1.2 最优化问题的一般算法
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迭代算法
迭代算法 选取一个初始可行点x0∈D,由这个 初始可行点出发,依次产生一个可行点列: x1,x2,· · · ,xk,· · · , 记为{xk},使得某个xk恰好是问题的一个最优解, 或者该点列收敛到问题的一个最优解x*. 下降算法 在迭代算法中一般要求 f(xk+1)≤f(xk).
设有四项任务B1,B2,B3,B4派四个人A1,A2, A3,A4 去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何 一项,但所消耗的资金不同.设Ai完成Bj所需资 金为cij. 如何分配任务,使总支出最少? 设变量 指派A 完成b
i j
不指派Ai完成bj
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则总支出可表示为: 数学模型:
理论分析
二维最优化问题的目标函数z=f(x1,x2)表示三 维空间R3中的曲面.在空间直角坐标系O-x1x2z 中,平面z=c与曲面z=f(x1,x2) 的交线在0-x1x2平 面上的投影曲线为: 取不同的c值得到不同的投影曲线,每一条投影 曲线对应一个c值,称投影曲线为目标函数的等 值线或等高线.
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2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1
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相关定义
求解最优化问题(P),就是求目标函数f(x)在约束条件 (1.2),(1.3)下的极小点,实际上是求可行域D上的整体 最优解.但是,在一般情况下,整体最优解是很难求出 的,往往只能求出局部最优解. 在求解时需要范数的概念，以下给出定义。
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可行点列的产生
在xk处求得一个方向pk(下降方向),在射线 xk+apk(a >0)上求一点: xk+1=xk+akpk 使得f(xk+1)≤f(xk).其中ak称为步长. 定义1.2.1(下降方向) 在点xk处,对于方向pk≠0, 若存在实数b >0,使得任意的a∈(0,b ),有: f(xk+apk)<f(xk), 则称pk为函数f(x)在点xk处的一个下降方向.
例 1.1.1 运输问题
设有m个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am吨.有k个城市B1,B2…, Bk用这些水泥 厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk吨.再设由 Ai到Bj每吨水泥的运价为cij元.假设产销是平 m k 衡的,即: a b
i 1
i
j 1
j
试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总 运费最省.
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由题意可画出如下的运输费用图:
a1
A1 A2 B1 B2
b1
产量
a2
b2
需求量
am
Am
Bk
bk
设Ai→Bj的水泥量为xij,已知Ai→Bj单价为cij,单 位为元,则总运费为:
S cij xij
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最小二乘法
解这种问题常用的方法是最小二乘法,以一个 简单的函数序列 j1(x), j2(x),· · · , jn(x) 为基本函数. 一般选取1,x,x2,· · · ,xn为基本函数,即以
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m k
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数学模型:
注:平衡条件 出现在约束条件中.
作为已知条件并不
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例1.1.2 生产计划问题
设某工厂有m种资源B1,B2, …,Bm,数量分别为: b1,b2, …, bm,用这些资源产n种产品A1,A2, …, An.每生产一个单位的Aj产品需要消耗资源Bi 的量为aij,根据合同规定,产品Aj的量不少于dj. 再设Aj的单价为cj. 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该 厂总收入最多?
向量范数
定义1.1.5 如果向量x∈Rn 的某个实值函数||x||, 满足条件 (1)||x||≥0(||x||=0当且仅当x=0)(正定性); (2)||ax||=|a|· ||x||(对于任意a∈R); (3) ||x+y||≤||x||+||y||(三角不等式); 则称||x||为Rn 上的一个向量范数.
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可行方向
定义1.2.2(可行方向) 已知区域 , x k∈ D , 对于向量pk≠0,若存在实数b >0, 使得对任意的 a∈(0,b ),有:xk+apk∈D, 则称pk为点xk处关于区域D的可行方向. 对于D的内点(存在邻域包含于D),任意方向可 行,对于边界点(任意邻域既有D的点也有不在D 中的点),则有些方向可行,有些方向不可行. 若下降方向关于域D可行,则称为可行下降方向.
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最优化方法
主讲教师 刘铁
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前言
一、什么是最优化 最优化是一门应用性相当广泛的学科，它讨论决 策问题的最佳选择之特性，寻找最佳的计算方法，研 究这些计算方法的理论性质及其实际计算表现。 应用范围：信息工程及设计、经济规划、生产管理、 交通运输、国防工业以及科学研究等诸多领域。
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假设产品Aj的计划产量为xj. 由题意可画出如下的生产与消耗的关系图: A1 d1 b1 B1
b2
B2
消耗
aij
A2
d2
bm
Bm
An
dn
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数学模型
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例 1.1.3 指派问题
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最优化问题的算法的一般迭代格式
给定初始点x0,令k=0. (1) 确定xk处的可行下降方向pk; (2) 确定步长ak,使得f(xk+akpk)<f(xk), (3) 令xk+1=xk+akpk; (4) 若xk+1满足某种终止准则,则停止迭代, 以xk+1为近似最优解;或者已经达到最大迭代步 数,也可终止迭代. 否则令k:=k+1, 转(1)
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下降方向
若f(x)具有连续的一阶偏导数,令 由Taylor公式:
当gkTpk<0时, f(xk+apk)<f(xk),所以pk是f(x)在xk 处的一个下降方向. 反之,当pk是f(x)在xk处的一个下降方向时,有 gkTpk≤0. 通常称满足gkTpk<0的方向pk是为f(x)在xk处的 一个下降方向. f ( x ) 称为f(x)在x处的梯度。
i 1
n
1 p p
∞-范数是p-范数的极限
|| x || lim || x || p
p
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常用的向量范数
对向量x=(1,-2,3)T,有
|| x ||1 6,
|| x ||2 14 3.74166, || x ||3 3 36院数学与统计系 应用数学教研室
收敛速度
定义1.2.3 设序列{xk}收敛于x*,而且
若0<b<1,则称{xk}为线性收敛的,称b为收敛比; 若b=0,则称{xk}为超线性收敛的. 定义1.2.4 设序列{xk}收敛于x*,而且
则称{xk}为p阶收敛.
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二、包含的内容
按照优化思想分为经典方法与现代方法。 经典方法主要包括：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划等 现代方法主要包括：随机规划、模糊规划、模拟退火 算法、遗传算法、禁忌搜索和人工神经网络等。
我们学习的内容主要是经典的最优化方法。 内容包括线性规划及其对偶规划，无约束最优化方法、 约束最优化方法等主要内容。
终止准则
对于一种算法,应该有某种终止准则,当某次迭代 满足终止准则时,就停止迭代.常用的终止准则有:
(1) (2) 或 或
(3) (4) 上面三种准则的组合. 注:其中e >0是预先给定的.
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收敛性
如果一个算法只有当初始点x0充分接近x*时, 产生的点列才收敛于x*,则称该算法为具有局 部收敛的算法. 如果对任意的x0∈D,由算法产生的点列都收 敛x*,则称该算法为具有全局收敛的算法. 由于一般情况下最优解x*是未知的,所以只有 具有全局收敛性的算法才有实用意义.但算法 的局部收敛性分析,在理论上是重要的,因为它 是全局收敛性分析的基础。
相关定义
定义1.1.4 (局部最优解) 若x*∈D,存在x*的某邻域 Ne(x*),使得对于一切x∈D∩Ne(x*),恒有f(x*)≤f(x),则 称为最优化问题(P)的局部最优解,其中Ne(x*)={x| ||xx*||<e,e>0}. 当x≠x*时,若上面的不等式为严格不等式则称x*为问 题(P)的严格局部最优解. 显然,整体最优解一定是局部最优解,而局部最优解不 一定是整体最优解. x*对应的目标函数值f(x*)称为最优值，记为f *.
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§1.2 最优化问题的一般算法
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迭代算法
迭代算法 选取一个初始可行点x0∈D,由这个 初始可行点出发,依次产生一个可行点列: x1,x2,· · · ,xk,· · · , 记为{xk},使得某个xk恰好是问题的一个最优解, 或者该点列收敛到问题的一个最优解x*. 下降算法 在迭代算法中一般要求 f(xk+1)≤f(xk).
设有四项任务B1,B2,B3,B4派四个人A1,A2, A3,A4 去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何 一项,但所消耗的资金不同.设Ai完成Bj所需资 金为cij. 如何分配任务,使总支出最少? 设变量 指派A 完成b
i j
不指派Ai完成bj
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则总支出可表示为: 数学模型:
理论分析
二维最优化问题的目标函数z=f(x1,x2)表示三 维空间R3中的曲面.在空间直角坐标系O-x1x2z 中,平面z=c与曲面z=f(x1,x2) 的交线在0-x1x2平 面上的投影曲线为: 取不同的c值得到不同的投影曲线,每一条投影 曲线对应一个c值,称投影曲线为目标函数的等 值线或等高线.
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2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 1
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相关定义
求解最优化问题(P),就是求目标函数f(x)在约束条件 (1.2),(1.3)下的极小点,实际上是求可行域D上的整体 最优解.但是,在一般情况下,整体最优解是很难求出 的,往往只能求出局部最优解. 在求解时需要范数的概念，以下给出定义。
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可行点列的产生
在xk处求得一个方向pk(下降方向),在射线 xk+apk(a >0)上求一点: xk+1=xk+akpk 使得f(xk+1)≤f(xk).其中ak称为步长. 定义1.2.1(下降方向) 在点xk处,对于方向pk≠0, 若存在实数b >0,使得任意的a∈(0,b ),有: f(xk+apk)<f(xk), 则称pk为函数f(x)在点xk处的一个下降方向.
例 1.1.1 运输问题
设有m个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am吨.有k个城市B1,B2…, Bk用这些水泥 厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk吨.再设由 Ai到Bj每吨水泥的运价为cij元.假设产销是平 m k 衡的,即: a b
i 1
i
j 1
j
试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总 运费最省.
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由题意可画出如下的运输费用图:
a1
A1 A2 B1 B2
b1
产量
a2
b2
需求量
am
Am
Bk
bk
设Ai→Bj的水泥量为xij,已知Ai→Bj单价为cij,单 位为元,则总运费为:
S cij xij
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最小二乘法
解这种问题常用的方法是最小二乘法,以一个 简单的函数序列 j1(x), j2(x),· · · , jn(x) 为基本函数. 一般选取1,x,x2,· · · ,xn为基本函数,即以