人教版数学必修一习题
指数函数与对数函数的关系
撰稿：江用科审稿：严春梅责编：张杨
一、目标认知
学习目标
理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系；
指数函数与对数函数互为反函数的关系.
重点
反函数的概念及互为反函数图象间的关系.
难点
反函数概念.
二、知识要点透析
知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系
1.反函数概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数. 函数
的反函数通常用表示.
要点诠释：
(1) 对于任意一个函数，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这
个函数才存在反函数；
(2) 反函数也是函数，因为它符合函数的定义.
2.互为反函数的图象关系：
关于直线对称；
3.互为反函数的定义域和值域关系：
反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.
4.求反函数的方法步骤：
(1)由原函数y=f(x)求出它的值域；
(2)由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y)；
(3)交换x, y改写成y=f-1(x)；
(4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域. 知识点二、指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
定义定义域值域图象性质
指
数
函
数
y=a x(a＞0且
a≠1)叫指
数函数
(-∞，+∞) (0，+∞) (1)图象过点(0，1) (2)a＞
1，当x＞0，y＞1；当x=0，
y=1；
当x＜0时0＜y＜1。
0＜a＜1，
当x＞0，0＜y＜1；
当x=0，y=1；
当x＜0，y＞1。
(3)a＞1，y=a x为增函数； 0
＜a＜1，y=a x为减函数。
对
数
函
数
y=log a x(a＞
0且a≠1)叫
对数函数
(0，+∞) (-∞，+∞) (1)图象过点(1，0) (2)a＞1
时，当x＞1，y＞0；当x=1，
y=0；当0＜x＜1，y＜0. 0
＜a＜1时，当0＜x＜1，y
＞0；当x=1，y=0；
当x＞1，y＜0.
(3)a＞1，y=log a x为增函数；
0＜a＜1，y=log a x是减函数.
注意：指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律.
(1)
①y=a x ②y=b x③y=c x④y=d x则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0，+∞)时，b x＜a x＜d x＜c x(底大幂大)
x∈(-∞，0)时，b x＞a x＞d x＞c x
(2)
①y=log a x ②y=log b x ③y=log c x ④y=log d x
则有：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(1，+∞)时，log a x＜log b x＜0＜log c x＜log d x(底大对数小)
x∈(0，1)时，log a x＞log b x＞0＞log c x＞log d x
经典例题透析
类型一、求函数的反函数
1．已知f(x)=(0≤x≤4)，求f(x)的反函数.
思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).
解：∵0≤x≤4，∴0≤x2≤16，9≤25-x2≤25，∴3≤y≤5，
∵y=，y2=25-x2，∴x2=25-y2.∵0≤x≤4，∴x=(3≤y≤5)
将x，y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).
2．已知f(x)=，求f-1(x).
思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.
解：当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞)，∴f-1(x)=x-1 (x≥1)；
当x＜0时，y=1-x2＜1，∴y∈(-∞，1)，
反解x2=1-y，x=-(y＜1)，∴f-1(x)=-(x＜1)；
∴综上f-1(x)=.
类型二、利用反函数概念解题
3.已知f(x)=(x≥3)，求f-1(5).
思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数
的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.
解：设f-1(5)=x0，则f(x0)=5，即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5，x02-5x0+6=0.
解得x0=3或x0=2(舍)，∴f-1(5)=3.
举一反三：
【变式1】记函数y=1+3-x的反函数为，则g(10)=( )
A．2 B．-2 C．3D．-1
(法一)依题意，函数的反函数y=-log3(x-1)，因此g(10)=-2.
(法二)依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g(10)=-2.答案B.
4.设点(4，1)既在f(x)=ax2+b (a＜0，x＞0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.
思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a，b的点，也就有了两个求解a，b的方程.
解：解得.a=-，b=，∴f(x)=-x+.
另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.
5．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=，求a，b，c的值.
思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是函数f(x).
解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5
∴x=(y≠2)，f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3，b=5，c=-2.
类型三、互为反函数图象间关系
6.将y=2x的图象先______，再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x
＋1)的图象()
A．先向上平行移动一个单位B．先向右平行移动一个单位
C．先向左平行移动一个单位D．先向下平行移动一个单位
解析：本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断．答案：D
总结升华：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力．
举一反三：
【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象( )
A.关于直线y=x对称
B.关于直线y=x+1对称
C.关于直线y=x-1对称
D.关于直线y=-x对称
解：y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x)，y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，∵y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.
【变式2】已知函数y=log2x的反函数是y=f—1(x)，则函数y= f—1(1-x)的图象是( )
【答案】由y=log2x得f—1(x)＝2x，所以y=f—1(1-x)＝21-x，选择C.
类型四、指数函数和对数函数的综合问题
7.已知函数．
(1)求函数的单调增区间；
(2)求其单调增区间内的反函数．
解：复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减．
(1)函数的定义域{x|x＜0或x＞2}，又t=x2-2x=(x-1)2-1．
∴x(-∞，0)，t是x的减函数．而是减函数，∴函数f(x)在(-∞，0)为增函数．
(2)函数f(x)的增区间为(-∞，0)，
令，则．
∴，．
∵x＜0，∴．∴．
总结升华：研究函数单调性首先要确定定义域；在函数的每个单调区间内存在反函数，因此要注意反函数存在的条件．
学习成果测评
一、选择题
1．函数的反函数是()
A. B.
C. D.
2．函数的反函数是（）
A．B．
C．D．
3．函数的定义域是，则值域是()
A.R
B.
C.
D.
4．函数，则的定义域是()
A.R
B.
C.
D.
5．设函数的图象过点，其反函数的图象过点，则等
于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．将函数的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线对称后所得图象的函数解析
式为()
A. B. C.
D.
7．已知函数的定义域是，则函数的定义域是()
A. B. C. D.
8．函数y=1+a x(0＜a＜1)的反函数的图象大致是()
9．已知函数，f(x)的反函数为，当y≥0时，的图象是()
10．方程的实根的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
11．求函数的反函数=_________，反函数的定义域是______，值域是______.
12．若函数，且）的反函数的图像过点，则________．
13．函数，若此函数的最大值比最小值大1，则
_________.
14．函数在上的最大值比最小值大1，则_________.
15．函数的图象过，则函数的反函数过点__________.
三、解答题
16．若函数的定义域为R，求实数的取值范围.
17．求函数的反函数.
18．已知函数
(1)求函数的定义域和值域；
(2)求出与的图象关于x轴、y轴及y=x对称的图象对应的函数.
答案与解析
一、选择题
1.B
2.A
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D(提示：)
8.A 9.A
10.C(提示：数形结合，如图所示)
二、填空题
11.12.13.2或14.
15.(提示：令x=4则过)
三、解答题
16.
17.由知.
18.(1)
值域：
(2)关于x轴对称的为即；
关于y轴对称的为即；
关于y=x对称的为.
幂函数
撰稿：江用科审稿：严春梅责编：张杨
一、目标认知
学习目标
通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
重点
幂函数的图象和性质.
难点
1．幂函数的图象；
2．多种图象变换复合时变换顺序的处理；
3．复合函数的单调性的讨论.
二、知识要点梳理
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
知识点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
2.幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当
时，幂函数的
图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象
在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
3.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
经典例题透析
类型一、求函数解析式
1．已知幂函数，当时为减函数，则幂函数__________．
解析：由于为幂函数，
所以，解得，或．
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去
故所求幂函数为．
总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．
类型二、比较幂函数值大小
2．比较下列各组数的大小.
(1)与；(2)与.
解:(1)由于幂函数(x＞0)单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x＞0)单调递减，
且，
∴.即.
总结升华：
(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根
据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上
幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三
【变式一】比较，，的大小.
思路点拨：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
解：在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
3．已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?
解:应为n1＜n2＜0＜n3＜1＜n4.
总结升华：对于幂函数的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.
类型三、求参数的范围
4．已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．
解：图象与轴都无交点，，即．
又，．
幂函数图象关于轴对称，
，或．
当时，函数为，图象如图1；
当时，函数为，图象如图2．
举一反三
【变式一】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵，考察的图象，得以下四种可能情况:
(1)(2)(3)
(4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，
可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴要使，即，
解得:.
总结升华：
以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
【变式二】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)的图象同时通过点(0，0)和(1，1).
解：∵y=(m2-5m+6)是幂函数.∴m2-5m+6=1.得:m=，
又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m2-2m-3＞0，得m＞3或m＜-1，
∴m=(舍去)即:m=.
类型四、讨论函数性质
5.求函数y=的定义域.
解:原函数可化为y=∴x[-2，3)∪(3，+∞).
总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.
6.讨论函数的单调性.
解：可看作是由与u=x2-2x-3复合而成，
∵中，u(0，+∞).∴x2-2x-3＞0，得到x＞3或x＜-1.
当x＞3时，∵u=(x-1)2-4，∴随着x的增大u增大，
又∵在定义域内为减函数，∴y随着u的增大而减小，
即时，是减函数，而时，原函数为增函数.
总结升华：
1.复合函数的讨论一定要理清x，u，y三个变量的关系.
2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制.
举一反三
【变式一】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
解：（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．
学习成果测评
一、选择题
1.函数的定义域是( )
A.[0，+∞]
B.(-∞，0)
C.(0，+∞)
D.R
2.函数的图象是( )
3.下列函数中是偶函数的是( )
A. B. C.
D.
4.幂函数，其中m∈N，且在(0，+∞)上是减函数，又，则m=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
5.若幂函数的图象在0＜x＜1时位于直线y=x的下方，则实数的取值范围是( )
A.＜1
B.＞1
C.0＜＜1
D.＜0
6.下列结论中正确的个数有( )
(1)幂函数的图象一定过原点；(2) 当＜0时.,幂函数是减函数；
(3)当＞0时，幂函数是增函数；(4)函数既是二次函数，又是幂函数.
A.0
B.1
C.2
D.3
7.三个数，，的大小顺序是( )
A.c＜a＜b
B.c＜b＜a
C.a＜b＜c
D.b＜a＜c
8.如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小( )
A．
B．
C．
D．
9.已知，那么= ( )
A. B.8 C.18 D.
10.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域是_________.
12.设是定义在R上的奇函数，当时，，则=__________.
13.若，则实数a的取值范围是___________.
14.方程的解的个数是______________.
15.函数的对称中心是_________，在区间__________是______函数.(填“增”或“减”)
三、解答题
16.比较下列各组中两个值大小
(1)(2)
17.证明：幂函数在是减函数.
18.已知二次函数满足，且的最大值为5，求
的表达式.
19.求函数在的最值，并给出最值时对应的x的值.
答案与解析
一、选择题
1.C
2.C
3.C
4.B
5.B
6.A
7.B
8.D
9.D 10.B
二、填空题
11.12.-4 13.
14.2个15.(-3，1)；(-∞，-3)，(-3，+∞)；增
三、解答题
16.解：(1)
(2)函数上增函数且
17.解：设，且，则
又，所以即
所以幂函数在是减函数.
18.解：由题意知，-2，3是二次函数的零点，
故设二次函数表达式为，而且对称轴为
即当时该函数的最大值为5.
5，解得
所求的函数表达式为.
19.已知函数化简成
令，则原函数变成
所以当，即时，函数有最小值为；
当，即时，函数有最大值为12.
综合练习
基础达标
一、选择题
1．下列函数与有相同图象的一个函数是( )
A．B．
C．D．
2．下列函数中是奇函数的有几个( )
①②③④
A．1B．2C．3D．4
3．函数与的图象关于下列那种图形对称( )
A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称
4．已知，则值为( )
A. B. C. D.
5．函数的定义域是( )
A．B．C．D．
6．三个数的大小关系为( )
A. B.
C． D.
7．若，则的表达式为( )
A．B．C．D．
二、填空题
8．从小到大的排列顺序是________________________.
9．化简的值等于__________.
10．计算：=____________.
11．已知，则的值是_____________.
12．方程的解是_____________.
13．函数的定义域是______；值域是______.
14．判断函数的奇偶性____________.
三、解答题
15．已知求的值.
16．计算的值.
17．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.
18.(1)求函数的定义域；
(2)求函数的值域.
综合训练
一、选择题
1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )
A．B．C．D．
2．若函数的图象过两点和，则( )
A．B．
C．D．
3．已知，那么等于( )
A．B．8C．18D．
4．函数( )
A.是偶函数，在区间上单调递增
B.是偶函数，在区间上单调递减