4、晶体的对称性
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晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体结构的对称性
滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 5 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 4 a 3 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 a 2 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 1' 1 b 反映后又平移a/2+b/2
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
1.2 晶体结构的对称性
1.2.1 晶体的对称元素和对称操作
晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作。
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴。
晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
晶体的对称性
晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。
这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。
晶体的对称性是晶体极其重要的性质。
中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。
应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。
由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。
晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。
这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。
晶体的对称性
21
c
开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺 地的二维问题 来联想一下:
AB = 2acos = n a 由于-1cos1，所以，n = 0，±1，±2 所以，cos = 0，±1/2，±1； 得到基转角为90o，180º；60º，120º，360º 对应的旋转轴为 1，2，3，4，6对称轴。
晶体中存在3，6；不存在5，7，8
晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性.
32个晶体学点群
将宏观对称元素合理组合得到32个宏子点群与晶体点群的区别： 水 C2V 冰 D6h 苯 D6h 苯晶体 D2h
晶体结构的对称性
晶体结构的对称性
晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组 直线点阵平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而 与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 的轴次只有1、2、3、4、6.
晶体的对称性理论
1、旋转轴-旋转 对称要素：旋转轴，符号 n 对称动作：旋转 符号：L(α),α为基转角， n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系 n=360°/α 特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能 使左右手重合。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
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6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
晶体的对称性
（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平
移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是
轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。 （6）滑移反映面：若经过某面进 行镜象操作后，再沿平行于该面的某 个方向平移T/n后，晶体能自身重合，
则称此面为滑移反映面。 T是平行
B1
A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
高 立 立方的 方 体对角 线方向
29
23 43,32 2 43,32,3m, i m3
432 43,34,62
43m 2 4
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
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第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
存在2度、3度、4度和6度对称轴。
第 22 页
§1.6晶体的对称性 分别用数字2、3、4、6或符号 ▲ ■ 代表一个n度转轴。 n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。
x1' x1
( x1 , x2, x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
x
' 2
r
cos(
)
r ( cos
cos
sin
sin )
x2 cos x3 sin ,
x3' r sin( ) r(cos sin sin cos )
因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。 （c）表示硅钼酸鉀晶体的6度及2度转轴。
第 24 页
§1.6晶体的对称性 (b) 中心反演
使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。 经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i 代表。
( x1, x2, x3 ) ( x1, x2 , x3 )
第 31 页
§1.6晶体的对称性
第 32 页
§1.6晶体的对称性
对称素 名称
对称操作（48） 每个对称元素的操作 数目
三条4次轴＜100＞
旋转90,180,270
9
四条3次轴＜111＞
旋转120,240
8
六条2次轴＜110＞
旋转180
6
i 对称心
不动
1
立方对称的48个对称操作
以上操作加反演
24
称为立方点群Oh
第 38 页
§1.6晶体的对称性
应当说明的是,对于宏观晶体而言: n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的 滑移面与镜面也是等价的，
因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。
第 39 页
§1.6晶体的对称性
将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作, 结 合起来就可以导出230种微观空间群。
第2页
§1.6晶体的对称性
按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8种)
组合而成 对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。 如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，称为 点群 如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。 能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。
第 20 页
§1.6晶体的对称性
由几何关系得知A‘B’｜｜AB；
因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方向上格点 排列的周期。
但从图可见
A'B' AB 2ABcos( ) AB(1 2cos )
因此 1－2cosφ＝m
式中m为整数。由于｜cosφ｜≤ 1，可得到当m为－1、0、1、2、3时， φ
第3页
线性变换
§1.6晶体的对称性
晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质
在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离
如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换
设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为线性
变换：
x'j a jk xk , j, k 1,2,3 (1)
第 33 页
§1.6晶体的对称性
2、包括平移的基本对称操作 从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定
义，晶体中还有螺旋轴与滑移面两类对称性。 在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点
存在，因而它们不属于点群操作。
第 34 页
(1)n度螺旋轴
§1.6晶体的对称性
复合操作:如经绕某轴作n度旋转 + 再沿转轴方向平移t
第1页
§1.6晶体的对称性
在晶格这个物理系统中，一种对称性，是指某些要素互 相等价，而互相等价的要素就是晶格中的几何形体：点、线、 面。 为了清楚地显示出某一种点阵对称性，需要进行相应的 对称操作。 点阵对称操作：假设在某一个操作过后，点阵不变，也 就是每个格点的位置都得到重复，那么这个平移、旋转或镜 反射操作就叫一个点阵对称操作。
变为 ( x1 , x2 , x3 )
1 0 A 0 1
0 0 A 1
0 0 1
我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保 持两点距离不变的变换）。
如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一 个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。
因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必 然受到宏观对称性的制约。 晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果 是只能有32种点群对称。 反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对 称性的限制的结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。
晶体与自身重合,称此复合操作为n度螺旋轴。
t T l n
T为转轴方向的晶格周期，l为某小于n的整数。晶体只能 有1度、2度、3度、4度、6度螺旋轴。
第 35 页
金刚石结构具有4度螺
旋轴对称
0
§1.6晶体的对称性
1/2
0
取原胞（如图）上下底 面心到该面一个棱的垂线的 中点，联接这两中点的直线 1/2 就是个4度螺旋轴；
§1.6晶体的对称性
第 16 页
§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
四、基本的对称操作 1、不包括平移的基本对称操作 (a)n度旋转对称轴 假设纸面上有一列格点，通过A点有一垂直于纸面的对称轴，当晶 体绕其转动φ 后与自身重合。 在此对称操作作用下，B点转至B‘位置。 由于晶格的周期性，B点应与A点等价，因此在B点必须也存在一转 角为φ的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ）角也必然是一对称操 作。在此操作作用下，A点变至A’点。
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§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
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§1.6晶体的对称性
小猫在研究镜面操作
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§1.6晶体的对称性
山和水在玩镜面操作
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§1.6晶体的对称性
人和牛在玩投影
第 13 页
§1.6晶体的对称性
存在一定变化与对比的对称
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§1.6晶体的对称性
第 15 页
它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于 一种特殊的晶格结构。
晶体之星 /
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§1.6晶体的对称性
第 41 页
§1.6晶体的对称性
第 42 页
§1.6晶体的对称性
第 43 页
§1.6晶体的对称性
第 44 页
§1.6晶体的对称性
晶体绕该轴转90度后， 再沿该轴平移a/4，能自相 0 重合。
3/4 0
1/4 1/2
1/4 1/2
3/4 0
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§1.6晶体的对称性
金刚石结构具有4度螺旋轴对称
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(2)滑移反映面
§1.6晶体的对称性
这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向 平移T/n周期的对称操作。（T是该方向上的周期矢量，n为2 或4），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。
对称轴度数的符号表
对称轴的度数 2
3
4
6
符号
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§1.6晶体的对称性
例如：（a）表示方解石(晶体属 三方晶系的碳酸盐矿物)菱面体的 3度转轴；
（b）表示岩盐立方体的4 度、3度及2度转轴。对于立方 体而言，对面中心的连线为4度 轴，不在同一立方面上的平行 棱边中点的连线为2度轴，而体 对角线为3度轴。
式中
x ix1 jx2 kx3
x'
ix1'
jx
' 2
kx3'
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
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§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
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即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
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§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
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§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
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§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
存在2度、3度、4度和6度对称轴。
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§1.6晶体的对称性 分别用数字2、3、4、6或符号 ▲ ■ 代表一个n度转轴。 n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。
x1' x1
( x1 , x2, x3 ) ( x1' , x2' , x3' )
x
' 2
r
cos(
)
r ( cos
cos
sin
sin )
x2 cos x3 sin ,
x3' r sin( ) r(cos sin sin cos )
因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。 （c）表示硅钼酸鉀晶体的6度及2度转轴。
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§1.6晶体的对称性 (b) 中心反演
使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。 经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i 代表。
( x1, x2, x3 ) ( x1, x2 , x3 )
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
对称素 名称
对称操作（48） 每个对称元素的操作 数目
三条4次轴＜100＞
旋转90,180,270
9
四条3次轴＜111＞
旋转120,240
8
六条2次轴＜110＞
旋转180
6
i 对称心
不动
1
立方对称的48个对称操作
以上操作加反演
24
称为立方点群Oh
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§1.6晶体的对称性
应当说明的是,对于宏观晶体而言: n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的 滑移面与镜面也是等价的，
因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。
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§1.6晶体的对称性
将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作, 结 合起来就可以导出230种微观空间群。
第2页
§1.6晶体的对称性
按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8种)
组合而成 对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。 如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，称为 点群 如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。 能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。
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§1.6晶体的对称性
由几何关系得知A‘B’｜｜AB；
因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方向上格点 排列的周期。
但从图可见
A'B' AB 2ABcos( ) AB(1 2cos )
因此 1－2cosφ＝m
式中m为整数。由于｜cosφ｜≤ 1，可得到当m为－1、0、1、2、3时， φ
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线性变换
§1.6晶体的对称性
晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质
在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离
如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换
设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为线性
变换：
x'j a jk xk , j, k 1,2,3 (1)
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§1.6晶体的对称性
2、包括平移的基本对称操作 从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定
义，晶体中还有螺旋轴与滑移面两类对称性。 在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点
存在，因而它们不属于点群操作。
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(1)n度螺旋轴
§1.6晶体的对称性
复合操作:如经绕某轴作n度旋转 + 再沿转轴方向平移t
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§1.6晶体的对称性
在晶格这个物理系统中，一种对称性，是指某些要素互 相等价，而互相等价的要素就是晶格中的几何形体：点、线、 面。 为了清楚地显示出某一种点阵对称性，需要进行相应的 对称操作。 点阵对称操作：假设在某一个操作过后，点阵不变，也 就是每个格点的位置都得到重复，那么这个平移、旋转或镜 反射操作就叫一个点阵对称操作。
变为 ( x1 , x2 , x3 )
1 0 A 0 1
0 0 A 1
0 0 1
我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保 持两点距离不变的变换）。
如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一 个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。
因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必 然受到宏观对称性的制约。 晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果 是只能有32种点群对称。 反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对 称性的限制的结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。
晶体与自身重合,称此复合操作为n度螺旋轴。
t T l n
T为转轴方向的晶格周期，l为某小于n的整数。晶体只能 有1度、2度、3度、4度、6度螺旋轴。
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金刚石结构具有4度螺
旋轴对称
0
§1.6晶体的对称性
1/2
0
取原胞（如图）上下底 面心到该面一个棱的垂线的 中点，联接这两中点的直线 1/2 就是个4度螺旋轴；
§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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§1.6晶体的对称性
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四、基本的对称操作 1、不包括平移的基本对称操作 (a)n度旋转对称轴 假设纸面上有一列格点，通过A点有一垂直于纸面的对称轴，当晶 体绕其转动φ 后与自身重合。 在此对称操作作用下，B点转至B‘位置。 由于晶格的周期性，B点应与A点等价，因此在B点必须也存在一转 角为φ的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ）角也必然是一对称操 作。在此操作作用下，A点变至A’点。
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山和水在玩镜面操作
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小猫在研究镜面操作
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存在一定变化与对比的对称
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它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于 一种特殊的晶格结构。
晶体之星 /
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晶体绕该轴转90度后， 再沿该轴平移a/4，能自相 0 重合。
3/4 0
1/4 1/2
1/4 1/2
3/4 0
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金刚石结构具有4度螺旋轴对称
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(2)滑移反映面
§1.6晶体的对称性
这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向 平移T/n周期的对称操作。（T是该方向上的周期矢量，n为2 或4），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。
对称轴度数的符号表
对称轴的度数 2
3
4
6
符号
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例如：（a）表示方解石(晶体属 三方晶系的碳酸盐矿物)菱面体的 3度转轴；
（b）表示岩盐立方体的4 度、3度及2度转轴。对于立方 体而言，对面中心的连线为4度 轴，不在同一立方面上的平行 棱边中点的连线为2度轴，而体 对角线为3度轴。
式中
x ix1 jx2 kx3
x'
ix1'
jx
' 2
kx3'