晶体的对称性及晶体的分类

4、旋转反演轴、又称倒反轴（习惯符号为 Lni ）
相应的对称操作是旋转加反演。如果一个晶体绕某一轴线旋转一个晶体点阵所许可的角 度后，紧接着依此轴线上的一特殊点加以反演，晶体能与操作前重合的话，则此晶体具有旋
转反演对称性。该轴称为旋转反演轴，习惯符号用 Lni 表示之。n 表示旋转轴次，i 表示反演。
3次
倒
反
轴
4次
6次
习惯符号 L1 L2 L3 L4 L6
表 2-1 宏观对称要素及其符号
国际符号
图示符号
相当的对称要素及其组合
1
2
3
4
6
L3*L2
c L1i
1
L1i
L2s
p L2i
m（ 2 ）
L2i
L1s
L3i
3
L3*c
L6s
L 4i
4
包含L2
L 4s
L6i
6
L3*p
L3s
30
2-1-2 晶体的微观对称性
2-1-1 晶体的宏观对称性
凡是能呈现在晶体外形或物化性质上的对称性称为宏观对称性。晶体的宏观对称性与刚 体的对称性类同，因此先介绍刚体的对称性所需遵守的条件。
一、刚体的对称变换 所谓刚体，是指任何两点间的距离在对称操作前后保持不变的物体。用数学方法表示， 对称操作就是线性变换。晶体的对称操作在这一点上是与刚体类同的。因此我们先讨论刚体 对称操作所要遵守的规律。对于一般晶体应采用斜坐标系，但为方便起见，这里采用直角坐 标系，但并不影响结论的正确性。 设经过某对称操作，把物体中的任一点 M（xyz），变成 M’（x’y’z’），即它两的位矢为：
⎜⎛ − 1 A= ⎜ 0
⎜⎝ 0
0 cos θ sin θ
0 ⎟⎞ − sin θ⎟
cos θ⎟⎠
|A|= -1 由以上讨论可看到，反演、反映、旋转、倒转、转动加反映等对称操作其变换系数行列 式都为±1，因此这些操作都能是刚体的对称操作。同时也看到，除转动外，反演、反映、倒 转和镜转等变换系数行列式都为-1。实际上反演、反映、转动加反映都可用倒转来达到。因 此基本的宏观对称为转动和反演二种。 三、晶体的宏观对称性 （一）点阵的构造对宏观对称性的限制 晶体的宏观对称性是晶体点阵结构的对称性在外部的反映，因此晶体的对称性将受到格 子构造规律的严格限制。这是晶体对称性与刚体对称性的区别之一。如一般物体或几何图形 可以有任何次旋转对称轴。但是晶体中只可能有 1、2、3、4、6 次 5 种旋转对称轴而不可能 有 5 次或高于 6 次的对称轴。这称为晶体的对称性定律。该定律的证明如下：
一、螺旋轴 相应的对称操作为旋转、平移的组合动作。即晶体中任一原子，若绕某轴旋转一个晶体 点阵许可的角度后紧接着平行于该轴平一段距离后能找到另一个相同的原子，或者说，具有 这样的连续动作后图形才能复原，单独的旋转或平移不能使其复原，这种晶体可认为具有螺 旋轴对称性，该轴称为螺旋轴，国际符号用Nn表示。符号中前面一个数字N表示旋转轴轴次， 右下角注脚n表示右旋 360º/N角度后，紧接着沿该轴右旋正方向平移结点间距的N分之n后可 以找到相同的一个原子。晶体中许可的旋转轴为五种，因此螺旋转轴只有 11 种。这 11 种为
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
|A|= -1 (xyz)
z
y
x (-x-y-z)
图 2-1 反演
（2）反映（镜象，面反映） 取 Z=0 的面作为反映面。反映对称操作将使图形中任一点（xyz）变成（x’y’z’）。如图 2-2 所示。变换关系为
zxy''zxy'==='''===−xyzyxz⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫
3、对称面（习惯符号为 p） 相应的对称操作为依面反映（镜象），如果一个晶体存在这样一个假想的平面，通过外 形上的任一点，垂直此平面作一垂线。在此垂线上，把该点反映到等距离的另一点，如图形 能复原的话，则此晶体具有反映对称性，见图 2-7（2）（9），作为参照的平面叫做对称面。 习惯符号以 p 表示之。国际符号中用 m 或 2 表示之。
27
1、2、3、4、6 五种轴次，证毕。 （二）晶体中可能在的宏观对称要素 1、旋转轴（习惯符号Ln） 相应的对称操作为绕轴旋转。如果物体绕轴旋转一个角度后能复原，则这物体具有旋转
对称性。Ln中n表示轴次。θ=360º/n就是晶体重合所需旋转的最小角度，称作基转角。 上面已证明了晶体中可能存在的旋转轴只有L1、L2、L3、L4、L5五种，见图 2-7 中的（1）、
D 点，D 点也应是结点，且 AC = BD = AB 。连接 ABCD，应为一个等腰梯形。所以
CD//AB 由于空间格子中，相互平行的同一结点列族的结点列上，相邻结点间距应相等，因此有 如下关系式：
式中 N 应为整数
CD=N· AB
（2-14）
图 2-6 旋转对称轴次
通过 A、B 分别作 D 之垂直线交 CD 于 E、F 二点，于是有 CD = CE + EF + FD
25
将图形绕 x 轴转动 θ 角后，经 x=0 的平面反映，图形中的任一点（xyz）变成（x’y’z’）， 如图 2-5 所示，变换关系
x’=-x y’=y cosθ - z sinθ
（2-13）
z’=y sinθ + z cosθ
z (xlylzl)
y
θ
(xyz)
x 图 2-5 转动加反映
因此有
= AB （1-2cosθ）
（2-15）
对照式（2-15）、（2-14）；有 即
所以有下表结果：
N=1-2 cosθ cos θ = 1 − N ；|cosθ|≤1
2
（2-16）
N=-1
0
1
2
3
cosθ=1
0.5
0
-0.5
-1
θ=360º
60º
90
120º
180º
n=1
6
4
3
2
从上表结果可知，θ 只能取 5 种角度。因为 360° =n 就是旋转对称轴的轴次，因此 n 只能有 θ
x 图 2-3 转动
x'= x
⎫
y'=
y cosθ
−
z
sin θ
⎪ ⎬
z'= y sinθ + z cosθ ⎪⎭
y （2-11）
24
⎜⎛ 1 A= ⎜ 0
⎜⎝ 0
0 cos θ sin θ
0 ⎟⎞ − sin θ⎟
cos θ⎟⎠
|A|=+1 （4）转动加反演（象转、倒转）
将图形线 x 轴移动 θ 角后，紧接着以原点为中心经中心反映（反演），图形中的任一点 （xyz）变成（x’y’z’）。如图 2-4，变换关系为
第二章 晶体的对称性及晶体的分类
晶体按其所具有的对称性进行分类，可分成 230 个空间群，32 个晶类，十四种点阵类 型和七大晶系。本章内容主要介绍晶体的宏观、微观称性，对称性的组合规律以及由对称性 联系起来的等同晶面，等同晶向与等效点系等概念。
§2-1 晶体的对称性
在 1-1-2 中曾提到的晶体具有对称性，本节重点讨论。 如果一个物体经过一定的操作以后，能够与操作前相重合，则此物体的外形具有对称性。 例如一个五角星，绕其中心轴旋转，每转动 72º，与原来位置的图形完全重合，就象未转动 一样，因为每转动 360º 能重合五次，因此称五角星具有五次旋转对称性。由这个例子可以 看到，一个物体具有对称性的话，这物体必定存在着几个完全等同的图形，研究对称性时使 各等同图形移动而恢复原状的操作称为对称性操作。作为参照的几何要素，线（轴）、面、 点等，称为对称要素（元素）。
国际符号用 1 2346 表示之。数字上的一字读一横，不要读作负号。 晶体中许可的轴次为 5 种，因此倒反轴也只有五种。但是不难证明，五种倒反轴中，只
有 L4i （ 4 是完全独立的，见图 2-8（8））其余四种都可以用前面讲过的对称素及其组合来代
表。 例如L1i=c或 1 ， 见图 2-7（1） L2 i =p或 2 =m 见图 2-7（2） L3i= L3+c或 3 =3+ 1 见图 2-7（7） L6 i = L3+p或 6 =3+m 见图 2-7（9）
（2-10）
因此
⎜⎛1 0 0 ⎟⎞ A= ⎜0 1 0 ⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
|A|= -1
23
z (xyz)
y
x
图 2-2 反映
(xy -z)
（3）转动 将图形绕 X 轴转动 θ 角。该图形中任一点（xyz）变成另一点（x’y’z’），如图 2-3 所示。
y
(xlylzl)
θ
变换关系为
θ (xyz)
x’=-x
y’=-y cosθ + z sinθ
（2-12）
z’=-y sinθ- z cosθ
z
(xyz) θ
y
x
(xlylzl)
图 2-4 转动加反演
因此有
⎜⎛ − 1
0
0 ⎟⎞
A= ⎜ 0 − cos θ sin θ⎟
⎜⎝ 0 − sin θ − cos θ⎟⎠
|A|= -1
（5）转动加反映（镜转轴）
要使（2-5）式成立，也就是要求
~ A
A=I
（2-7）
I 为单位矩阵。即
⎜⎛100 ⎟⎞ I= ⎜ 010⎟
⎜⎝ 001⎟⎠
如令|A|代表矩阵 A 的行列式。则 由于| A~ |=|A|，所以有
~ | A ||A|=|I|=1
|A|2=1
因此线性变换要求 |A|=±1
（2-3）
由上面分析可知，刚体的线性变换（对称操作）应该是其坐标变换系数行列式为±1。