晶体对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
1-3 晶体对称性
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
晶体的对称性
晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。
这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。
晶体的对称性是晶体极其重要的性质。
中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。
应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。
由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。
晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。
这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。
固体物理学-晶体对称性
轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3，4，6
2.n度象转轴简析
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分析，可以
得到象旋转轴只有 4 是独立的。
Solid State Physics
(1) 1 象转轴—实际上就是对称心i
z ( u轴 )
A
A 点 绕 旋 转 轴 (z 轴 ) 旋
于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，
称作点群。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。
这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。
所以又称宏观对称性。
**在数学分析中需要考虑晶体结构周期性重复的制约。当晶体具有一个以上
如图所示，A和A'等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示— ;
(2)国际符号表示—m。
z
A
A
y
O
x
x , y, z
A
A
x , y, z
O-xy 相当于镜面。
Solid State Physics
镜面操作的数学描述
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
0 0
0
0
1
|A|=1 or -1
单位矩阵
Solid State Physics
基本对称操作
平移（Translation）
中心反演（Inversion）—具有对称中心
转动（Rotation)—具有对称轴
镜面（Reflection)—具有对称面
平移是一切晶体的内部结构都具有的对称性
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
浅谈晶体物理性质的对称性
浅谈晶体物理性质的对称性
晶体是由规则排列的离子、原子或分子构成的大规模分子结构，具有明显的晶体物理性质的对称性。
这种对称性可分为三种：空间对称性、光学对称性和门梁对称性。
一、空间对称性：
晶体的对称性决定了其外形，因此可以称之为“空间对称性”。
晶体的空间对称性可分为几何对称、点对称和面对称。
几何对称就是晶体位形，由多个元素平面和角组合而成，每一个元都可折叠到一个点。
点对称是指晶体的外形，在任意一整面可看做有规律的点状外形，由来自同一点的元素折叠而成，因此，其空间对称性也可以说是点对称。
面对称是由两个对面的元素折叠而成，因此，其空间对称性也可以说是面对称。
二、光学对称性：
大部分物质都具有双折射特性，即晶格结构中的离子、原子或分子可以阻挡透过去的光线，从而诞生出某种对称的折射现象，这种特性被称为“光学对称性”。
晶体的光学对称性可以表示为反射、折射、旋转等，反射和折射是典型的光学对称现象，旋转则是在一定范围内把光线转动，而不会影响其它属性。
三、门梁对称性：
也叫等值线对称性，指晶体内测得的各种基态的能量在某些轴向上有对称性，即在垂直于该轴的某条波前，能量均为相等的值，而不会随外部环境的变化而而变化，这种对称现象被称为“门梁对称性”。
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D2h D3h
Dnd群
D2d D3d
C4 C4v C4h D4 D4h
Sn群 S2 (Ci)
S4
Td群 T
Th
Td
Oh群 O
Oh
C6 C6v C6h D6 D6h
S6 (C3i)
下一页
32种点群
11种纯旋转点群：C11，，2C，2，3，C3，4，C46，，C6， 2D22，2，D33，2，D4，42D26，，6T2，2，O 23，432
轴。
晶体宏观对称要素
10种对称要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i
m (σ)
33 = C3 + i
4
66= C3 + m
晶体宏观对称要素
8 种独立对称操作要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i m (σ)
4
点群
n次旋转轴：n =360°/ α, 用记号Cn表示
对称操
如：
C
1 6
，C
2 6
，C
3 6
，C
4 6
，C
5 6
43m
Td
E, 8C3, 3C2, 6σd , 6S4 24
m3m (m3m)
Oh E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4, i, 48 8S6, 3σh, 6σd , 6S4
晶体点群的种类
点群
典型类型
Cn群 C1
C2
C3
Cnv群
C2v
C3v
Cnh群 C1h (m) C2h
C3h
Dn群
D2
D3
Dnh群
6
E, 2C3, 3σv
6
32/m D3d (3m)
E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σv
12
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
4
C4
正4
S4
方 4/m C4h
422
D4
4mm C4v
42m D2d
4/mmm D4h
对称操元素
操作 数
E, 2C4, C2
4
E, 2S4, C2
4
E, 2C4, C2 , i, 2S4,σh
12
6/mmm D6h
E,
2C6,
2C3,
C2,
3C
' 2
,
3C
'' 2
24
, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv , 3σd
晶 国际符号 熊夫利
体
符号
对称操元素
操作 数
23
T
E, 8C3, 3C2
12
正 m3 (m3) Th
方 432
O
E, 8C3, 3C2, i, 8S6, 3σh 24 E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4 24
C=P
F=I
三 角
与本晶系对 称不符
I=F
F=P
六
与本晶系对 与空间格子 与空间格子
角
称不符 的条件不符 的条件不符
立
与本晶系对
方
称不符
思考题：
• 为什么没有底心四方和面心四方？
• (因为这会构成另一简单四方和体心四方)
• 为会么体心立方不是三角点阵？
• （提示，从对称性考虑）
• 为什么没有体心三角？
§1-3 晶体的对称性
晶体结构 = 点阵 + 基元 由点阵所组成的网格称为布喇菲格子 布喇菲格子代表晶体基元在空间周期排列的重复 特征, 这种微观的平移对称性可导致宏观上的其 它对称性, 包括：转动、镜面、反演点对称性。
布喇菲格子排列形式是否有限？有多少 种？ 是否存在任意次旋转对称轴？ 对称操作是否可以任意组合？是否有限？
⎢0 0 0⎥
⎢r41 0 0 ⎥
⎢0 ⎢⎣ 0
r41 0
0⎥ r63 ⎥⎦
4
晶体电光系数
Trigonal 3m
e.g. LiNbO3, LiTaO3;
Tetragonal 4mm
e.g. SBN, BTO
⎡0
-r22
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
-r22
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33
⎥ ⎥
0⎥
介质晶体分类
介电晶体 （32种） 压电、倍频晶体 （20种） 热释电晶体 （10种）
铁电晶体
非中心对称点群与物理性质的联系图
对 映 11 体种 现 象
旋光性
圆二色性
（15种）
O
S4
D2 C1
D3 D4
D6 T
C2 C3 C4 C6
D2d
CS C2V C3V C4V C6V
（10种） 热释电晶体
铁电晶体
• A⎭ a1, a2 ; a2 , a3; a3 , a1.
• R 三角（菱形）格子
晶体空间群
空间群 = 转动（点群） + 平移
国际符号
• 空间群的符号则是首先写出平移系的符 号(P, I, F, C, B, A, R), 接着写出对称素 (按照晶体类型的顺序).
一、点式（简单）空间群
• bcc与fcc的对称操作一样, 点群一样, 但平移对 称性不一样, 要区别这两种晶体, 需引入空间群 来描述, 即把点群与平移对称性组合起来。 bcc=Oh|I fcc=Oh|F
简单单斜 底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
1, 1
既无对称轴也无对 称面
2,m,2 / m
一个二次旋转轴, 镜面对称
222, mm 2, mmm 三个互相垂直的二
次旋转轴
晶系
特征
布喇菲格 子
点群(国际符号)
三角
a=b=c
Trigonal α = β = γ ≠ 90°
三角
3, 3,32,3m, 32 / m
乘反演算符Ci
1111种 种中 中心 心对 对称 称点 点群 群： ：1 C，i，2/Cm2,h,3C3,i,4/Cm4h,, 6C/6hm，，Dm2hm，m，D33dm，，D44h/，mmDm6h，，6T/hm，mmO，h m3，m3m
没有1 (i)新子群
1100种 种新 新点 点群 群： ： mCS，，mC2mV,2S,44,，D24dm, 2C，4V4,mCm3V，, C33mh,，D63，h，6mC62V，，6mTdm，43m
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
8
E, 2C4, C2 , 2σv , 2σd
8
E,
2S4,
C2
,
2
C
' 2
,
2σd
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
16
, i, 2S4,σh, 2σv , 2σd
晶 国际符 熊夫利 体 号 符号
对称操元素
操作 数
六6
C6
E, 2C6, 2C3, C2
压电效应 倍频效应 （20种）
晶体电光系数
cubic 43m
e.g. GaAs, CdTe, InAs
⎡0 0 0⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0⎥
⎢ ⎢
r 41
0
0
⎥ ⎥
⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
r 41 0
0⎥
r 41
⎥ ⎥⎦
Tetragonal 42m
e.g. KDP, ADP
⎡0 0 0⎤
⎢0 0 0⎥
6 6
具有对称元素：E, 2C6, 2C3, C2
七类晶系， 14种布喇菲格子，32点群
给定晶格对称性
布喇菲格子
各对称元素相互间有一定的制约, 共同存在于一晶 体中,七类晶系， 14种布喇菲格子。
晶体学中的点群对称是由8个独立的对称操作元素 及其组合而得到的。但其组合不是任意的, 而是受 到布喇菲格子的限制，共有32种点群。
⎢r
⎢ ⎢⎣
51
-r22
0 0
0⎥ ⎥
0 ⎥⎦
⎡0
0
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
0
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33 0
⎥ ⎥ ⎥
⎢r ⎢ 51
0
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
晶体结构符号
• P 简初基格子
• I 体心格子 • F 面心格子 • C⎫ 底心格子 • B⎬ C、A、B分别指下列三对晶轴所形成的底面:
mmm
D2 (V)
E,
C2,
2C
' 2
4
C2V
E, C2 , 2σv
4
D2h (Vh) E, C2, 2C2', i, σh, 2σv 8
2
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
对称操元素
操作 数
3
C3
E, 2C3
3
3 C3i (S6)
E, 2C3, i, 2S6
6
三 32
D3
角
3m
C3v
E, 2C3, 3C2
6
角
6
C3h
E, 2C3, σh , 2S3
6
6/m C6h E, 2C6, 2C3, C2, i, 2S3, 2S6, σh 12