浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三第三次联考试题 数学 答案
0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
32
2
2
则最小正周期 T = ，
……（4 分） ……（6 分）
f () = − 3 .（直接带入也可） 34
……（8 分）
（Ⅱ） | f (x + ) + 3 |= a sin(2x + ) = −2a或2a .
12 2
6
……（10 分）
x
[0,
3 ] 4
2x
+
6
[
6
,
5 ] 3
，考虑要有
②当 t ( 4 , 3] ， a t + 5 − 1 或 a t − 5 − 1 .
5e
4t
4t
对于 m(t) = t + 5 − 1 ，易得 m(t) 在 ( 4 , 3] 单调递增，故 a [ 5 − e + 3 , +) .
4t
5e
43 e
……（12 分）
对 于 n(t) = t − 5 − 1 ， 求 导 n(t) = 1 − 1
5
5
……（11 分）
由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 AP = 6 15 , PH == 2 15 .
7
35
tan APH = AH = 7 ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正切值为 7. PH
……（13 分） ……（15 分）
法二：如图，以 F 为原点， FE, FP 为 x, y 轴建立空间直角坐标系.
=
n(1)
=
1 2
，故 a (−,
1]. 2
所以综上所述， a (−, 1] [ 5 − e + 3 , +) . 2 43e
……（14 分） ……（15 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页
+
b2
=
15 , 4
(a +
15 )2 + b2 = 12, 2
……（10 分）
得 A(0, 3 15 , 2 15 ) . 10 5
平面 BCD 法向量为 n = (0, 0,1)
……（12 分） ……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页
4 3x
ex 4 3x
令 t = 3x ，则 t = 3(1 − x)
ex
ex
x
(0,1)
1
(1, +)
t
+
0
-
t
极大值
则
t
=
3x ex
(0,
3] e
则上式可化为 (a − t)2 5 − 1 4t
①当 t (0, 4] ， 5 − 1 0 ，则上式恒成立，故 a R . 5 4t
……（8 分） ……（10 分）
由 f (x) = ex − 3 = 0 得 x = ln 3 .
……（8 分） ……（10 分） ……（12 分） ……（13 分） ……（15 分）
……（2 分） ……（4 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 5 页
x (-,ln 3) ln 3 (ln 3, +)
3
个解，结合图像可知
1 2
−2a
2a −
1,
3 2
,
……（12 分）
故 a[1 , 3) . 44
……（14 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页
19．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7 【解析】
（Ⅰ）设 F 为 DE 的中点， D 为 AC 的中点， BE = 2EA ，则 AD = AE = 2 ，故
AF ⊥ DE, AF ⊥ DE .
BP = 3 PC ， BP = AB = 3 ，所以 AP 是 BAC 的角平分线，且 A, F, P 三点共线.
4
PC AC 4
由
DE DE
⊥ ⊥
FP AF
DE
⊥
面AFP
DE
⊥
AP
.
……（6 分）
（Ⅱ）法一：连结 AA .由 DE ⊥ 平面AFP 得 平面ABC ⊥ 平面AFP ，交线为 AP .
15．20
16． −1
17． 2; 6 − 2 2
三、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分 14 分）
【答案】（Ⅰ） T = ， f () = − 3 ；（Ⅱ） a [1 , 3 )
34
44
【解析】
（Ⅰ） f (x) = 2sin x cos(x + ) − 3 cos 2x = 1 sin 2x − 3 ，
①
S2k a2k
=
Ak + Bk a2k
=
3 2k+1 − 3k − 6 2k+1 − 2
=3−
3k 2k+1 − 2
，则 k
= 1 时， 3k 2k +1 − 2
=
3 舍去。当 k 2
=2
时， 3k 2k +1 − 2
= 1 ，故
S4 a4
= 2，n
=
4 ，符合条件.而 k
2 时， 2k+1
− 2 3k
， 令 s = 5t4 − 4t3 = t3 (5t − 4) ， 得
4t
5t4 − 4t3
t ( 4 , 3] 上单调递增， n(t) 在 t ( 4 , 3] 上单调递增.令 n(t) = 0 t = 1 ，故
5e
5e
t ( 4 ,1)
1
(1, 3]
5
e
n(t) -
0
+
n(t )
极小值
则
n(t )min
16
2
k1 k2 = ( y1 + 2
t ) ( y2 + 2
= t) t +m
= −2 , t
故 m = −( t + 1 ) . t
| BC |= m2 +1 | y1 − y2 |= 4 d = | 2t − 2m t | .
m2 +1
m2 +1
m2 − t .
S = 1 | BC | d = 4 (2t + 1)3 , | AF |= t +1 .
2
t
S =4 | AF |
(2t +1)3 t(t + 1)2
6
3 ，故 S 的最小值为 6 | AF |
3.
22．（本小题满分 15 分）
【答案】（Ⅰ） (ln 3, +) ;（Ⅱ） (−, 1] [ 5 − e + 3 , +) 2 43e
【解析】
（Ⅰ）当 a = 1 时， f (x) = ex − 3 .
所以 A 在面 ABC 上的射影点 H 在 AP 上.
APH 为直线 AP 与平面 BCD 所成角.
……（9 分）
由 余 弦 定 理 得 cos CAB = 7 ， 故 DE = 1 ， AF = AF = 15 ， 由 AA = 2 3 得
8
2
sin AAP = 5 ，所以 AH = 2 15 .
f (x)
-
0
+
f (x)
极小值
则 f (x) 在 (-,ln 3) 上单调递减，在 (ln 3, +) 上单调递增；
综上所述， f (x) 在 (ln 3, +) 上单调递增.
……（6 分）
（Ⅱ） f 2 (x) g(x) (aex − 3x)2 5 e2x − e3x (a − 3x)2 5 − ex
2 15
sin = | PA n | = 5 = 7 2 ,则 tan = 7 ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正 | PA | | n | 2 30 1 10 7
切值为 7.
……（15 分）
20．（本小题满分 15 分）
【答案】（Ⅰ） an
=
n+1 2 2 n+2
−1, n为奇数,;（Ⅱ）存在，
n {1,3, 4}
2 2 − 2, n为偶数
【解析】
（Ⅰ） a2 = 2, a3 = 3
……（2 分）
n+1
当 n 为奇数时， an = an−1 + 1 = 2an−2 + 1 an + 1 = 2(an−2 + 1) ，则 an = 2 2 −1 .
……（4 分）
n
n+2
当 n 为偶数时， an = 2an−1 = 2 22 − 2 = 2 2 − 2 .
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考
一、选择题：
数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2024年浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)高考数学第三次联考试卷(含解析)
2024年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第三次联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥8−2x}，则A∪B=( )A. [2,4)B. [3,4)C. [2,+∞)D. [3,+∞)2.复数5ii−2的虚部是( )A. iB. 1C. −2iD. −23.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，则cos<3a+4b，a+b>=( )A. 0B. 7210C. 210D. 14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S3=a4−2，S2=a3−2，则公比q=( )A. 2B. −2C. 12D. −125.已知A(−2,−2)，B(1,3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最大值为( )A. 16−62B. 26+22C. 26+42D. 326.若函数f(x)=sin(ωx)+cosx的最大值为2，则常数ω的取值可以为( )A. 1B. 12C. 13D. 147.已知[x]表示不超过x的最大整数，若x=t为函数f(x)=x−1e x−1(x<0)的极值点，则f([t])=( )A. 2ee−1B. 3e2e2−1C. 4e3e3−1D. 5e4e4−18.设O为原点，F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，点P在C上且满足|OP|=32a，cos∠F1P F2=37，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 2x±y=0B. x±2y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )A. 数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中C. 已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为3，则x 1−1，x 2−1，x 3−1，…，x n −1的方差为3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y =0.3x −m ，若其中一个散点为(m,−0.28)，则m =410.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a ⋅sin 2A +C2=b ⋅sinA ，下列结论正确的是( )A. B =π3B. 若a =4，b =5，则△ABC 有两解C. 当a −c =33b 时，△ABC 为直角三角形D. 若△ABC 为锐角三角形，则cosA +cosC 的取值范围是(32,1]11.在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别为线段B 1C ，D 1C 1的中点，点P 满足DP =λD D 1+μDB,λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则( )A. 当λ+μ=1时，三棱锥D −PEF 的体积为定值B. 当λ=μ=12，四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积是9π4C. △PEF 周长的最小值为32+ 22+12D. 若AP =62，则点P 的轨迹长为π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省Z20联盟(名校新高考研究联盟)高三下学期5月第三次联考数学试题 (含答案)
绝密★考试结束前浙江省Z20联盟（名校新高考研究联盟）2021届高三第三次联考数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只带上交答题卷． 参考公式：如果事件A ，B 互斥那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB B P A P =如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()()()10,1,2,,n kk k n n k k P C p p n -=-=⋅⋅⋅台体的体积公式()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示为台体的高柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，31iz i-=+，则z 的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-2．已知集合{}21A x x =-≤≤-，{}2,B y y x a x A ==-+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]5,4--B ．[]4,5C ．[]3,6--D ．[]3,63．若实数x ，y 满足约束条件20301x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．1C ．112D ．1-4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．3BC ．83D ．85．函数()1sin ln f x x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的部分图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．6．“点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知奇函数()y f x =对任意的x R ∈都满足()() 0f x f x π++=，且()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，若()()sin 33f a =--⋅，((sin b e f e =⋅，()()0.60.6sin 22c f =⋅，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有（ ） A ．192个B ．216个C ．276个D ．324个9．已知A ，B ，C ，D 是以O 为球心，半径为2的球面上的四点，0OA OB OC ++=，则AD BD CD++不可能等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．()62601261x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a =______；126a a a ++⋅⋅⋅+=______．12．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，且ABC △5a b +=，则角C =______；边长c =______． 13．等比数列{}n a 满足()1*192N n n n a a n -++=⋅∈，则1a=______；7100122224log log log log 3333a a a a+++⋅⋅⋅+=______． 14．非负实数x ，y 满足2660xy x y ++-=，则2x y +的最小值为______．15．已知{}{}3,2,1,0,,1,a b c ⊆---，记随机变量X a b b c c a =+++++，则()6P X ==______；()E X =______．16．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，点P ，Q 在椭圆C 上，点,02c M ⎛-⎫ ⎪⎝⎭到直线FP的距高为2c，且PQF △的内心恰好是点M ，则椭圆C 的离心率e =______ 17．函数32()3333f x x x tx t =-+-+，()0,1t ∈，记()f x 在[]0,2x ∈上的最大值为()M t ，则()M t ≤1+的解集是______ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．函数()223sincos sin cos 2222x x x x f x ⎫=-⎪⎝⎭． （1）求函数()y f x =的对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．19．如图，在四面体ABCD 中，BCD △是等边三角形，M 为AD 中点，P 为BM 中点，3AQ QC =． （1）求证：//PQ 面BCD ；（2）若32AD CD =，BC AD ⊥，二面角A BC D --的平面角为120︒，求直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记{}1n n a a +-的前n 项和为n G ，1b n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积为n T ，且22n n G T =-． （1）若312n n S -=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n S a =，对任意自然数*N n ∈，都有()1211223111n nn n b b b a a a a a a a λ++-++⋅⋅⋅+>⋅，求实数λ的取值范围．21．如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线．8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=． （1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （2）求点A 到直线l 的距离的最小值．22．函数()2ln 1f x x ax =-+．（1）若1a =，求函数()21y f x =-在1x =处的切线； （2）若函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <， （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：222121a a x x a -++-<．浙江省Z20联盟（名校新高考研究联盟）2021届高三第三次联考数学参考答案一、选择题 1-5：DAACD6-10：BBAAC二、填空题11．20-，1-12．60︒13．3，168314．215．310，3351617．12,23⎡+⎢⎣⎦三、解答题18．解：（1）∵()3sin 26f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴对称中心为(),06k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．（2）()6g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4ϕ=，∴3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，0,4πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,663X πππϕϕϕ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，当∴62x ππϕ++=时，()max g x =当∴263x ππϕϕ++=+时，()min 23g x πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()1210g x ⎡-∈⎢⎣． 19．解：（1）证明：取MD 中点N ，连接PN ，QN ． 在MBD △中，//PN BD ，在ACD △中，3AQ QC =，3AN ND =，∴//NQ CD ，∴平面//PQN 平面BCD ，PQ ⊂平面PQN ，∴//PQ 平面BCD ．（2）取BC 中点E ，连接DE ，AE ，则DE BC ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，∴BC ⊥平面AED ，且AED ∠为二面角A BC D --的平面角．不妨设1CD =，则32AD =，DE =，由余弦定理可得AE =， 方法一：（定义法）由题意得：面ABC ⊥面AED ，过点M 作MF AE ⊥，连接BF ， 则MF ⊥面ABC ，所以MBF ∠是直线BM 与面ABC 所成角．由题意得：1AB AC ==，所以4BM =1328MF AM ==，∴sin 14MF MBF MB ∠== 方法二：（坐标法）以E 为原点，建系．1,0,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,4A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，130244n BC x n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，()0,3,1n =． 设所求角θ则3sin cos ,14n BM θ==20．解：（1）∵()()()1121111n n n n n n G a a a a a a a a +-+=-+++⋅⋅⋅-+=-，12111n n n n n n b b bT b b b b ++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=． ∵22n n G T =-，∴1121n n a b ++=-，∵312n n S -=，∴()11131313222n n n n n n b S S n -----=-=-=≥． ∵11b =，∴13n n b -=，∴121231n n n a b -=-=⋅-．（2）∵n n S a =，()112n n S a n --=≥， ∴()12n n n b a a n -=-≥．∵21n n a b =-， ∴()1122n n n a a a n -+=-≥， ∴()1212n n a a n -=+≥，∴21nn a =-，12n n b -=．∵()()()()()()011121223112231222212121212121n n nn n n b b b a a a a a a -++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+------ ∴12122311223111111112212121212121n n n n n b b b a a a a a a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∴111111(1)22121nn n λ++⎛⎫->-⋅⋅ ⎪--⎝⎭， ∴()21(1)n nλ->-⋅，∴13λ-<<．21．解：（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知2004x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，同（1）得：()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=． 由0t >得：)200202x t y t -==-+>设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+， 所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l ：028x ty x =--，则023y d ==23=y 单调递增所以，当01y =时，min d =此时，直线l 与抛物线相交．22．解：（1）设()()()()221ln 21211g x f x x x =-=---+， ∴()()242121g x x x '=---，∴()12g '=-，且()10g =， ∴切线方程：()21y x =--． （i ）∴()12f x ax x'=-， 若0a ≤，则()f x '单调，至多一个零点；若0a >，则()212ax f x x -'=，∴()f x在⎛↑ ⎝，⎫+∞↓⎪⎭，∴()11ln 2022f a =-+>，∴02e a <<． （ii）由极值点偏移证得12x x +>∴2222122221x x x x x x -<+<+-， 只需证222211x x a a +<+，即证21x a <，即证()21f x f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 即证10f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证11ln 1a a <-成立．。
浙江省名校学考选考新高考研究联盟Z20联盟高三下学期第三次联考数学试题及参考答案解析
浙江省名校新高考研究联盟(Z 20联盟)高2020届高2017级第三次联考数学试题卷 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R,U =,集合4{Z |24},{R |0}1x A x x B x x -=∈≤≤=∈>-,则()U A C B ⋂=( )A.[]1,4B.[2,4)C.{2,3,4}D.{2,3}【参考答案】C 【试题解析】根据题意,求出集合的等价条件,再根据集合的基本运算进行求解即可. 由题意,{}{}|242,3,4A x Z x =∈≤≤=, 由401x x ->-,即()()410x x -->,解得1x <或4x >, 所以{|1B x x =<或}4x >,故{}|14U C B x x =≤≤, 所以(){}2,3,4U AC B =.故参考答案：C.本题主要考查集合的基本运算,考查解分式不等式,属于基础题.2.椭圆2212x y +=的焦点是( )A.()1,0±B.()0,1±C.(3,0)D.(0,3【参考答案】A 【试题解析】根据椭圆方程计算可得；解：因为2212x y +=所以22a =,21b =所以2221c a b =-=,所以1c = 所以椭圆的焦点坐标为()1,0±, 故参考答案：A本题考查椭圆的简单几何性质,属于基础题. 3.若复数12z bi =+(R,b i ∈为虚数单位)满足ln()z z z ⋅=,其中z 为z 的共轭复数,()ln z 表示z 的虚部,则1zi+的值为( ) A.12C.1【参考答案】A 【试题解析】先计算z z ⋅的值,再根据共轭复数虚部的定义及共轭复数的概念可求得b 的值,最后代入模的计算公式,即可得答案；2)(ln()111)(224bi b z i z z b +-=⋅=+=,12z bi =-∴211042b b b ++=⇒=-,∴211z i ====+,故参考答案：A.本题考查复数新定义题、复数模的计算、共轭复数的概念,考查逻辑推理能力、运算求解能力. 4.设,0a b >,若41a b +=,则22log log a b +的( ) A.最小值为2-B.最小值为4-C.最大值为2-D.最大值为4-【参考答案】D 【试题解析】利用基本不等式的性质即可得出.解：244124416b ab aab+⎛⎫⎪⋅⎝⎭=≤=,当且仅当4a b=,即11,28a b==时等号成立,()22221log log log log416a b ab ∴+=≤=-.故参考答案：D. 本题考查对数的运算,考查基本不等式求最值,是基础题. 5.若实数x,y满足约束条件220,20,30,x y x y x y-+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y=-+的最大值为( ) A.8- B.5- C.2- D.15-【参考答案】C 【试题解析】利用约束条件画出可行域,然后利用目标函数的几何意义得最值. 由题意,实数x,y满足约束条件2202030x y x y x y-+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩,如图：图中阴影部分由22030x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得()4,1A --,目标函数233z x y =-+化为2133z y x =-+,由图可知当目标函数过()4,1A --时得最大值,此时()()max 243132z =⨯--⨯-+=-. 故参考答案：C.本题考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.6.函数()sin()cos()4411()()22x x f x ππ++=-的图像可能是( ) A. B.C. D.【参考答案】B 【试题解析】先判断出()f x 为奇函数,从而排除C,D 选项,再当04x π<<时,442x πππ<+<,则可得sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则可判断出()0f x <,从而排除A,得出答案.由()()()22sin()cos()sin cos cos sin 441111()()((2222=x x x x x x f x ππ+++-=--可得())()()22cos sin x cos sin 11((22x x x f f x x -+-=-=-,所以()f x 为奇函数,从而排除C,D选项. 又当04x π<<时,442x πππ<+<,则可得sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,所以sin()cos()4411()()22x x ππ++<,即当04x π<<时,()0f x <,从而排除A.故参考答案：B本题考查函数的奇偶性,考查三角函数值的大小比较,考查指数函数的单调性,函数图像的识别,属于中档题.7.已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=,*N n ∈,则“10a ≥”是“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题解析】构造函数()sin f x x x =-,利用导数分析函数的单调性,并得出当0x >时,()()00f x f <=；当0x <时,()()0f x f >,利用特殊值法以及逻辑推证法,结合充分条件、必要条件的定义判断即可.构造函数()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,所以,函数()y f x =在R 上是减函数. 则当0x >时,()()00f x f <=；当0x <时,()()00f x f >=. 取132a π=,则21sin 1a a ==-,322sin sin11a a a ==->-=, 所以,“10a ≥”⇒“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”, 若对任意*n ∈N ,1n n a a +≤,则21a a ≤,即11sin a a ≤,即()10f a ≤,10a ∴≥.所以,“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”⇒“10a ≥”.因此,“10a ≥”是“对任意*n ∈N ,都有1n n a a +≤”的必要不充分条件. 故参考答案：B.本题考查必要不充分条件的判断,涉及导数的应用,考查推理能力,属于中等题. 8.随机变量X 的分布列是( )A.()E X ≥B.()E X ≤C.()()E X D X ≥D.()()E X D X ≤【参考答案】A 【试题解析】由均值的定义求出均值()=246E X a b c ++,1a b c ++=由方差公式计算出方差(2)(4()=()()())()6D X E X E X b c E a X ++222－－－ 做差比较2()()E X D X －可得.()=246E X a b c ++,1a b c ++=(2)(4()=()()())()6D X E X E X b c E a X ++222－－－22()(()=(246)[(2)(4)()())])(6D X E X E X E E X a b c a c X b ++-++222－－－－222=2(246)(41636)=4[2(23)(49)]=4[2(12)(138)]=a b c a b c a b c a b c b c b c ++-++++-++++-++2222(12)(138)=2[1(2)2(2)](138)=12(2)0b c b c b c b c b c b c b ++-++++++-+++++>故参考答案：A1.均值与方差的一般计算步骤(1)理解X 的意义,写出X 的所有可能取的值； (2)求X 取各个值的概率,写出分布列；(3)根据分布列,由均值的定义求出均值()E X ,进一步由公式1())(()nii i D X x E X p =∑2＝－求出()D X9.已知空间向量,,OA OB OC 两两相互垂直,且||||||OA OB OC OP ===,若OP xOA yOB zOC =++则x y z ++的取值范围是( )A.⎡⎢⎣⎦B.[]1,1-C.[D.[]22-,【参考答案】C 【试题解析】设||||||OA OB OC OP r ====,根据题意可得2221x y z =++,再利用基本不等式,即可得答案；设|OA OB OC OP r ====,2221OP OA yOB zOC x z x y =++⇒=++,∴2222222()2223()3x y z x y z xy yz xz x y z ++=+++++≤++=,等号成立,当且仅当3x y z ===±,∴x y z ≤++≤故参考答案：C.本题考查向量的数量积、基本不等式,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验证等号成立的条件.10.已知函数()()1f x g x r ==-( )命题①：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的零点； 命题②：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的极值点. A.命题①和②都成立 B.命题①和②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立【参考答案】C 【试题解析】根据零点和极值点的定义对两个命题进行判断.(2)1f ==,(2)11g r =-=,即(2)(2)0f g -=,命题①正确.对()()y f x g x =-,是可导函数,且y '=2x =时,22|102x ry r='=-+=,由()y f x ==得22163x y +=,因此曲线()y f x =是椭圆22063x y +=的上半部分(满足0y ≥的部分),由()1y g x r ==-+222(2)(1)2x r y r r -++-+=,因此曲线()y g x =是圆222(2)(1)2x r y r r -++-+=的上半圆(满足1y r ≥-的部分),点(2,1)始终是两曲线公共点,圆222(2)(1)2x r y r r -++-+=的圆心是(2,1)M r r --,半径是=R ,当正数r 接近于0时,圆在椭圆内部,当r 逐渐增大时,圆半径增大,圆与椭圆的位置关系由相切(圆在椭圆内部)演变为相交再变为相切(椭圆在圆内部), (注意两个曲线不相同,不可以重合,所以中间经过相交过渡),两曲线在点(2,1)相切时,()()y f x g x =-在2x =处取得极值,当两曲线相交时,()()y f x g x =-在2x =处不是极值.所以命题②错误. 故参考答案：C.本题考查命题的真假判断,掌握零点和极值的定义是解题关键.本题直接研究极值(用导数的正负)不太方便,而从两曲线的位置关系入手抓住位置关系的变化过程的连续性可以直观地确定2x =是否是函数()()y f x g x =-的极值点.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.大约在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年,已知O 为原点,1OP =,若1,44M ⎛- ⎝⎭,则线段PM 长的最小值为_____________ 【参考答案】12【试题解析】依题意可得P 为以O 圆心,1为半径的圆,求出MO ,由minPM r MO =-计算可得；解：依题意可得P 为以O 圆心,1为半径的圆,因为12MO ==, 所以min 11122PM r MO =-=-=故答案为：12本题考查点与圆上的点的距离最值,属于基础题.12.在二项式6的展开式中,系数为有理数的项的个数是_______；二项式系数．．．．．最大的项为_______.【参考答案】 (1).4 (2).32-- 【试题解析】根据通项公式可得系数为有理数的项的个数,根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大,根据通项公式计算可求得结果.因为616()r rr r T C x-+=-3326(rr r C x -=⋅,(0,1,2,3,4,5,6)r =,所以当0,2,4,6r =时,系数6(r rC 为有理数,故系数为有理数的项的个数是4；因为6n =,二项展开式共有7项,其中第4项二项式系数最大,即3r =, 所以3333324316(T T C x-⨯+==32-=-.故答案为：4；32--.本题考查了二项展开式的通项公式的应用,考查了二项式系数的性质,属于基础题.13.某四棱锥的三视图如图所示,则它的体积为_______,表面积为_______【参考答案】 (1).23(2).422+ 【试题解析】根据三视图可知,该四棱锥是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,截去一个同底等高的的三棱锥所得部分,其体积利用三棱柱的体积减去截去三棱锥的体积求解.表面积根据各面的形状,利用三视图提供的数据,求得各面的面积再求和.由三视图可知,该四棱锥是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱柱,截去一个同底等高的的三棱锥所得部分,如图所示：所以该四棱锥P -ABCD 的体积为：11121121122323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 在矩形ABCD 中,AB =2,BC 2,所以S 矩形ABCD =22AB BC ⨯=,在Rt PDC 中,1,2PC DC ==,所以112RtPDCS PC DC =⨯=, 在Rt PAB 中,1,2PB AB ==,所以112Rt PABC S PB AB =⨯=,在Rt PBC 中,1,1PB PC ==,所以1122Rt PABC S PB PC =⨯=,在PAD △中,22225,5,2PA PB AB PD PC DC AD =+==+==,所以22113222PADS AD PD AD⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,所以该四棱锥P-ABCD表面积为：S= S矩形ABCDRt PDCS++Rt PABCS+Rt PABCS+422PADS=+,故答案为：①23；②422+本题主要考查三视图的应用求几何体的体积和表面积,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.14.如图,在平面凸四边形ABCD中,24,AB AD CD BC P====为对角线AC的中点.若3PD PB=.则PD=_______,ABC∠=_______.【参考答案】 (1).3 (2).23π【试题解析】设PB x=,则33PD PB x==,由APB CPBπ∠+∠=,利用余弦定理建立cos cos0APB CPB∠+∠=,解方程即可得到答案；在ABC中,由余弦定理即可算得ABC∠.设PB x=,则33PD PB x==,因为DA DC=,P为AC的中点,所以DP AC⊥,PA PC=,2222163AP AD DP x=-=-,又APB CPBπ∠+∠=,所以cos cos0APB CPB∠+∠=,即22222222AP PB AB PB PC BCAP PB PB PC+-+-+=⋅⋅,代入数2222163x x+⋅-2222163x x=⋅-,解得3x所以33PD x==；在ABC 中,由余弦定理得,2221644(169)1cos 22422BA BC AC ABC BA BC +-+-⨯-∠===-⋅⨯⨯,所以ABC ∠=23π. 故答案为：3；23π. 本题主要考查余弦定理解三角形,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.15.由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位数中,相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有_______种(用数字作答) 【参考答案】20 【试题解析】分个位数字分别为1,2,3,4,5五种情况,分别列举求解即可.当个位数字为1时,符合的五位数是：54321,45321,53421,35421,54231,24531共6种； 当个位数字为2时,符合的五位数是：54312,45312,13542共3种； 当个位数字为3时,符合的五位数是：54213,12453共2种； 当个位数字为4时,符合的五位数是：53124,12354,21354共3种；当个位数字为5时,符合的五位数是：12435,42135,12345,21345,31245,13245共6种； 合计符合条件的共有20种. 故答案为：20本题考查了分类计数原理的应用,考查了列举法求解排数问题.16.函数()f x 在区间A 上的最大值记为max ()x A f x ∈,最小值记为min ()x A f x ∈.若函数2()1f x x bx =--,[1,2][1,3]max min ()x b f x ∈∈=_______ 【参考答案】1- 【试题解析】对函数()f x 的对称轴2bx =与区间端点1,2的大小关系分类讨论,再根据二次函数的单调性即可求出[1,2]min ()xf x ∈,记[1,2]min ()()x f x g b ∈=,再求()g b 在[1,3]上的最小值,即可得到答案.函数()f x 的对称轴2b x =, 当12b ≤,即2b ≤时,函数()f x 在[1,2]上单调递增,所以[1,2]min ()(1)xf x f b ∈==-； 当122b <<,即24b <<时,函数()f x 在(1,)2b 上单调递减,在(,2)2b上单调递增,所以2[1,2]min ()()124x b b f x f ∈==--； 当22b≥,即4b ≥时,函数()f x [1,2]上单调递减,所以[1,2]min ()(2)32xf x f b ∈==-； 设[1,2]min ()()x f x g b ∈=,则2,2()1,24432,4b b b g b b b b -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩, 因为[1,3]b ∈,所以当12b ≤≤时,()g b b =-在[1,2]上单调递减,所以max ()(1)1g b g ==-；当23x <≤时,2()14b g b =--在(2,3]上单调递减,所以max ()(2)2g b g <=-,综上：()g b 在[1,3]上的最大值为1-,所以[1,2][1,3]max min ()1x b f x ∈∈=-. 故答案为：1-本题以“轴动区间定”的二次函数问题为背景,主要考查函数的最值、单调性,同时考查分类讨论思想的应用,主要以对称轴和区间的位置关系分三种情况进行讨论,属于中档题. 17.斜线OA 与平面α成15°角,斜足为O ,A '为A 在α内的射影,B 为OA 的中点,l 是α内过点O 的动直线,若l 上存在点1P ,2P 使1230APB AP B ︒∠=∠=,则12||P P AB 则的最大值是_______,此时二面角12A PP A '--平面角的正弦值是_______【参考答案】(1).2 (2).2【试题解析】(1)作图,不妨设1AB =,由已知可得点1P ,2P 在以AB 为弦长的圆上,其中F 为圆心,当直线12PP 过圆心F 时,12PP 最大,此时122PP=,1AB =,然后即可求解 (2)作图,利用(1)的条件,由于2AO =,斜线OA 与平面α成15°角,可求出'AA ,过点'A 作'A C OC ⊥,'ACA ∴∠是二面角12A PP A '--的平面角,然后利用'sin 'AA ACA AC∠=即可求解.1230APB AP B ︒∠=∠=,∴点1P ,2P 在以AB 为弦长的圆上, 其中F圆心,则60AFB ︒∠=,如图：不妨设1AB =,当直线12PP 过圆心F 时,12PP 最大,此时122PP=,1AB =, ∴12||P P AB 的最大值为2, 而此时,OBF △为等腰三角形,∴130AOP ︒∠=, 此时,过点A '作'A C OC ⊥,,,AA AA OC AA A C A α'⊥∴'⊥''=',OC ∴⊥平面,AA C OC AC '∴⊥,'ACA ∴∠是二面角12A PP A '--的平面角,斜线OA 与平面α成15°角,即15AOA ∠'=︒ 在'AOA △中,2AO =,62'2sin152sin(4530)2AA =︒=︒-︒=如图：130AOP ︒∠=,30AOC ︒∴∠=,在Rt AOC △中,2AO =,可求得1AC =,∴在'Rt ACA △中,'62sin '2AA ACA AC∠==. 故答案为：2；622. 本题考查线面角和面面角的运用,属于较难题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos sin cos 233f x x x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 及3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若方程3||122f x a π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有3个解,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(1)3,34T f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；(2)134a ⎡∈⎢⎣⎭【试题解析】(1)先化简函数()13sin 22f x x =进而可得结论； (2)先由3122f x a π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,可得sin 226x a π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭或2a ,再结合图象列不等式,解得即可.(1)3133 ()2sin cos cos22sin cos sin cos232222f x x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=+-=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos2313sin23cos2sin222222xx x x-=-⋅-=-所以函数()f x的最小正周期T π=,133sin232324fππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意,3sin221226f x a x aππ⎛⎫⎛⎫++=⇒+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2a.又350,2,4663x xππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,如图：考虑要有3个解,结合图像可知121,232aa⎧≤<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩故13,44a⎡∈⎢⎣⎭.本题考查三角函数的化简,考查三角函数的图象与性质,考查学生转化问题的能力,属于基础题.19.如图,在ABC中,3AB=,24AC BC==,D为AC的中点,=2AE EB,34BP PC=.现将ADE沿DE翻折至A DE',得四棱锥.A BCDE'-(1)证明：A D P E '⊥；(2)若3AA '=求直线A P '与平面BCD 所成角的正切值．．． 【参考答案】(1)证明见解析；(2)7 【试题解析】(1)设F 为DE 的中点,通过证明⊥DE FP ,DE A F '⊥来证明DE ⊥面A FP ',从而证得'⊥DE A P ；(2)法一：连结AA ',设A '在面ABC 上的射影点为H ,则由题知点H 在AP 上,且A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角,通过条件算出2155A H '=,215=PH 即可求得直线A P'与平面BCD 所成角的正切值；法二：如图,以F 为原点,，FE FP 为x y ，轴建立空间直角坐标系,运用向量法求解直线A P '与平面BCD 所成角的正切值.(1)设F 为DE 的中点,D 为AC 的中点,2BE EA =,则2AD AE ==, 故AF DE ⊥,则A F DE '⊥,又34BP PC =,则34==BP AB PC AC , 所以AP 是BAC ∠的角平分线,且，，A F P 三点共线. 由DE FPDE A F⊥⎧⎨⊥'⎩,且FP A F F ⋂'=,得DE ⊥面A FP ',则'⊥DE A P ；(2)法一：连结AA '.由DE ⊥平面A FP '得,平面ABC ⊥平面A FP ',交线为AP , 所以A '在面ABC 上的射影点H 在AP 上,A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角.在ABC 中,423，，===AB BC AC ,由余弦定理得2223427cos 2348BAC +-∠==⨯⨯,22242311cos 24216ACB +-∠==⨯⨯,故2272222218DE =+-⨯⨯⨯=,152'==AF A F , 又23AA '=,在AA F '得,由余弦定理得25cos 5'∠=A AF ,则5sin 5A AP '∠=, 所以215sin A H AA A AP =∠=''', 由(1)得AP 为角平分线, 在ACP △中,87=CP ,由余弦定理得615=AP ,则215=PH ,所以 tan 7A HA PH PH''∠==,所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7.法二：如图,以F 为原点,，FE FP 为x y ，轴建立空间直角坐标系.1115315(0,0,0),0,0,0,00,,22244，，，，⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F E D A B , 155151,0,214，⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C P 设(0,,)A a b ',由152'==A F AF ,3AA '=22221541512a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩, 得3152150,,105⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭A .2152150,,355PA '⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 平面BCD 法向量为(0,0,1)n =,设直线A P '与平面BCD 所成角为θ,所以215||725sin 10||||2301'⋅==='⋅⋅PA n PA n θ,2cos 10θ=,则tan 7θ=,所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7.本题主要考查了直线与直线垂直的证明,直线与平面所成角的求解,考查了转化与化归的思想,考查了学生的直观想象,逻辑推理与运算求解能力. 20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,112,1,1,n n n a n a a a n +⎧==⎨+⎩为奇数为偶数.(1)求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式； (2)是否存在正整数n ,使得nnS Z a ∈.若存在,求所有满足条件的n ；若不存在,请说明理由. 【参考答案】(1)232,3a a ==；122221,,?22,?n n n n a n ++⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数；(2)存在,{1,3,4}n ∈【试题解析】(1)通过112,1,1,n n n a n a a a n +⎧==⎨+⎩为奇数为偶数即可求出23,a a 的值,再分n 为奇数,n 为偶数讨论,可得数列{}n a 的通项公式；(2)分别求出数列{}n a 奇数项和偶数项的和,代入22k kS a 和2121k k S a --,分别计算即可.(1)213222,13a a a a ===+=,当n 为奇数时,()122121121n n n n n a a a a a ---=+=+⇒+=+, 则()1112121212n n n a a ++-+==+,1221n n a +∴=-,当n 为偶数时,2221222222nn n n a a +-==⋅-=-,综上所述122221,?22,?n n n n a n ++⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数；(2)当21n k =-时,21kn a =-, 则12121212122k k k A k +=-+-++-=--； 当2n k =时,122k n a +=-,则2312222222224k k k B k ++=-+-++-=--；①1211223236332222k k k k k k k k S A B k ka a ++++⋅--===---, 则1k =时,133222k k +=-舍去；当2k =时,13122k k +=-,故442,4S n a ==,符合条件； 而2k >时,12230k k +->>,130122k k+<<-,则不可能为整数；②22112121234342121k k k k k kk k S A B k ka a +----+--===---,则1k =时,3321k k=-； 当2k =时,3221kk=-,则1,3n =都符合条件； 当3k =时,39217k k =-,舍去； 而3k >时,32130,0121kkkk ->><<-,则不可能为整数, 综上所述,存在,{1,3,4}n ∈.本题考查了等差数列,等比数列的通项公式及求和公式,考查分类讨论的思想,推理能力与计算能力,是中档题.21.如图,已知抛物线2:4r y x =焦点为F ,过r 上一点000(,)(0)A x y y >作切线1l ,交x 轴于点T ,过点T 作直线2l 交r 于点()1122,)(,,B C x x y y .(1)证明：2120y y y =⋅；(2)设直线AB ,AC 的斜率为12,k k ,ABC 的面积为S ,若122k k ⋅=-,求SAF的最小值.【参考答案】(1)证明见解析；(2)63【试题解析】(1)设过点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与24y x =相切的切线20104:x y y l y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,与抛物线联立,利用0∆=可得02k y =,进而可得T 点坐标,再设直线2:4BC x my y =-,与抛物线联立,利用韦达定理可得答案；(2)利用(1)的结果可得1212,x x x x +⋅,代入010212022021442y y y y y y x x k k --=⋅=---⋅,可得m 与0y 的关系,再利用弦长公式和点到直线的距离公式求出||BC 和点A 到BC 的距离,则可表示出||SAF =利用换元法和求导求其最小值. (1)设过点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与24y x =相切的切线20104:x y y l y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 联立200244y y k x y y x⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩,消去x 得0220440ky y y ky -+-=, 由()()020200201644020y k y k ky k y ∆=⇒--=⇒-=⇒=, 则0220044T y x k y y =-=-,则20,04T y ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为直线2l 的斜率不为0,设直线202:4x my y l =-,联立方程20244y x my y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩得02240y my y -+=,故2120y y y =⋅；(2)由(1)得212012,4y y y y y m +⋅==,则()2212121224002012044416x my m y y my y m y x y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22442200001616y m y y m y =-+=()21212122220020044224x my my m y y y y y x y m ⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ ()()2242222001212010200012124224000000222010144164164212644y y y y y y y y y y y y m y x x x k k m x x x y y y y y y y y ∴⋅--++---+=⋅===-⎛⎫---++-+ ⎪⎝⎭整理得23000484y m m y y -=-,即()()()00004222y m y m y m y -=-+,当0m >时,点,B C 在x 轴上方,必有120,0k k >>,与122k k ⋅=-矛盾 所以必有00,0y m ><,则020y m -≠, 则()0042y m y =-+ 故0022m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则12||BC y =-===点A 到BC的距离222000200||||y y y my my d -+-===,22001||||2|124S BC d AF y y ∴====++,||S AF =令202,2y t t +=>, 则()()()()2222233200333242224822212y y t t t t t t t t t t y+-++--⎛⎫⎛⎫===+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+, 令2,01p p t =<<,则()()2220023320412y y p p p y +=+--+则对于函数23y p p p =--,则()()'2123311y p p p p =--=-++,则函数23y p p p =--在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,23max527111333y ⎛⎫⎛⎫∴=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()22200324532127272y y y+∴≤+=+,16||SAF ∴==故||SAF 的最小值为本题考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中面积的计算及最值的求解,本题计算量较大,适当利用换元法可使计算变简单,是一道难度较大的题目.22.已知函数()()3253,()R 43xxx e f x ae x a g x e x=-=-∈.(1)当1a =时,求函数()f x 的单调递增区间； (2)对任意0x >均有2()()f x g x ,求a 的取值范围.注： 2.71828e =为自然对数的底数.【参考答案】(1)(ln3,)+∞；(2)13,,2e ⎫⎛⎤-∞⋃+∞⎪ ⎥⎪⎝⎦⎭【试题解析】(1)对函数进行求导,解不等式,即可得答案；(2)()23222535()()34343x x xx x e x e f x g x ae x e a x e x ⎛⎫≥⇒-≥-⇒-≥- ⎪⎝⎭,利用换元法令3x x t e =,将问题转化为为251()4a t t-≥-恒成立问题,再对a 分类讨论. (1)当1a =时,()e 3x f x '=-. 由()e 30x f x '=-=得ln3x =.则()f x 在(,ln3)-∞上单调递减,在(ln3,)+∞上单调递增； 综上所述,()f x 在(ln3,)+∞上单调递增.(2)()23222535()()34343x x xx x e x e f x g x ae x e a x e x ⎛⎫≥⇒-≥-⇒-≥- ⎪⎝⎭令3x x t e =,则3(1)xx t e'-=则330,x x t e e ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦, 则上式可化为251()4a t t-≥-, ①当4510,,054t t⎛⎤∈-≤ ⎥⎝⎦,则上式恒成立,故a ∈R .②当43,,5t a t e ⎛⎤∈≥+⎥⎝⎦a t ≤对于()m t t =+易得()m t 在43,5e ⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增,故3,a e ⎫∈+∞⎪⎪⎭.对于()n t t =求导()1n t '=,令43354(54)s t t t t =-=-,得43,5t e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增,()n t '在43,5t e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增.令()01n t t '=⇒=,故则min 1()(1)2n t n ==,故1,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.所以综上所述,13,,2e a ⎫⎛⎤∈-∞⋃+∞⎪ ⎥⎪⎝⎦⎭. 本题考查利用导数求函数的单调递增区间、根据不等式恒成立求参数的取值范围,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟(Z20)高三第三次联考
2019-2020学年浙江省名校新高考研究联盟（Z20）高三第三次联考数学考试时间：120分钟学校:___________班级:___________姓名:___________学号:___________参考公式:若事件A,B 互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是P ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率(k=0,1,2,···,n)台体的体积公式其中,分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V=Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式,球的体积公式,其中R 表示球的半径(k )=(1−p P n C k n p k )n −k V =(++)ℎ13S 1S 1S 2‾‾‾‾‾√S 2S 1S 2V =S ℎ13S =4πR 2V =π43R 3一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,B={},则=A. ［1,4］B. ［2,4)C. ｛2,3,4｝D. ｛2,3｝U =R A =｛x ∈Z ｜2≤x <4｝x ∈R |>0x −4x −1A ∩(B )∁U 2.椭圆的焦点是A. (±1,0)B. (0,±1)C. (±,0)D. (0,±)+=1x 22y 23‾√3‾√3.若复数(,i 为虚数单位)满足,其中为z 的共轭复数,表示的虚部,则||的值为A. B. C. 1D.z =+bi 12b ∈R z ·=Im ()z ⎯⎯⎯z ⎯⎯⎯z ⎯⎯⎯Im ()z ⎯⎯⎯z ⎯⎯⎯z 1+i122√22‾√4.设a,b>0,若a+4b=1,则的A. 最小值为-2B. 最小值为-4C. 最大值为-2D. 最大值为-4 lo a +lo b g 2g 25.若实数x,y 满足约束条件则z=2x-3y+3的最大值是A. -8B. -5C. -2D. - ⎧⎩⎨⎪⎪x −2y +2≤0,2x +y ≤0,x −y +3≤0,156.函数的图象可能是A.B.C.D.f (x )=−()12sin (x +)π4()12cos (x +)π47.已知数列{}满足,,则“”是“任意,都有”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件a n =sin a n +1a n n ∈N ∗≥0a 1n ∈N ∗≤a n +1a n8.随机变量X 的分布列是X246P a b cA.B.C.D.E (X )≥D (X )‾‾‾‾‾√E (X )≤D (X )‾‾‾‾‾√E (X )≥D (X )E (X )≤D (X )9.已知空间向量,,两两相互垂直,且,若,则x+y+z 的取值范围是A. B. ［-1，1］C. ［-,］D. ［-2,2］OA −→−OB −→−OC −→−｜｜=｜｜=｜｜=｜｜OA −→−OB −→−OC −→−OP −→−=x +y +z OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−[−,]3√33√33‾√3‾√10.已知函数,.命题①:对任意的r>0,2是函数y=f(x)-g(x)的零点;命题②:对任意的r>0,2是函数y=f(x)-g(x)的极值点.A. 命题①和②都成立B. 命题①和②都不成立C. 命题①成立,命题②不成立D. 命题①不成立,命题②成立f (x )=3−x 22‾‾‾‾‾‾√g (x )=1−r +2−(x −2+r r 2)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.大约在2000多年前,由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”.意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等,这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年.已知O 为原点,｜OP ｜=1,若M,则线段PM 长的最小值为____.(,−)143√412.在二项式的展开式中,系数为有理数的项的个数是____,二项式系数最大的项为____.(−)x ‾√2√x 613.某四棱锥的三视图如图所示,则它的体积为____,表面积为____.14.如图,在平面凸四边形ABCD 中,AB=AD=CD=2BC=4,P 为对角线AC 的中点.若,则PD=____,∠ABC=____.PD =PB 3‾√15.由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位数中,相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有____种(用数字作答).16.函数f(x)在区间A 上的最大值记为,最小值记为.若函数,则=____.f (x )max x ∈A f (x )min x ∈A f (x )=−bx −1x 2f (x )f (x )max b ∈[1,3]min x ∈[1,2]17.斜线OA 与平面α成15°角,斜足为O,A′为A 在α内的射影,B 为OA 的中点,是α内过点O 的动直线.若上存在点,使,则的最大值是____,此时二面角的平面角的正弦值是____.l l P 1P 2∠A B =∠A B =30°P 1P 2｜｜P 1P 2｜AB ｜A −−A ′P 1P 2三、解答题:本大题共5小题,共7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数.(Ⅰ).求函数f(x)的最小正周期T 及的值;f (x )=2sinxcos (x +)−sin cos 2x π3π3f ()π3(Ⅱ).若方程在上有3个解,求实数a 的取值范围.|f (x +)+|=a π123√2x ∈[0,]3π419.如图,在中,AB=3,AC=2BC=4,D 为AC 的中点,,.现将沿DE 翻折至,得四棱锥A′-BCDE.(Ⅰ).证明:A′P ⊥DE;(Ⅱ).若,求直线A′P 与平面BCD 所成角的正切值.△ABC =2AE −→−EB −→−=BP −→−34PC −→−△ADE △A ′DE AA ′=23‾√20.设数列{}的前n 项和为，，(Ⅰ).求,的值及数列{}的通项公式;(Ⅱ).是否存在正整数n,使得.若存在,求所有满足条件的n;若不存在,请说明理由.a n S n =1a 1={a n +12,n 为奇数,a n +1,n 为偶数.a n a 2a 3a n ∈Z S n a n 21.如图,已知抛物线Γ:的焦点为F,过上一点A （,）（）作切线,交x 轴于点T,过点T 作直线交于点B （,）,C （,）.(Ⅰ).证明:;(Ⅱ).设直线AB,AC 的斜率为,,的面积为S,若,求的最小值.=4x y 2Γx 0y 0>0y 0l 1l 2Γx 1y 1x 2y 2·=y 1y 2y 20k 1k 2△ABC ·=−2k 1k 2S ｜AF ｜22.已知函数,.(Ⅰ).当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;f (x )=a −3x (a ∈R )e xg (x )=−54e 2x e 3x 3x(Ⅱ).对任意x>0均有,求a 的取值范围.注:e=2.71828···为自然对数的底数.(x )≥g (x )f 2。
2020.6浙江省Z20联盟2020届第三次联考数学
若Ｍ（，－），则线段 ＰＭ长的最小值为＿▲
１２．在二项式式（√（√ｘ－ｒ义－））＂的的展展开； 式中，系数为有理数的项的个数是＿▲＿，二项式系数最大的项
为＿▲
１３．某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为▲，表面积为▲
Ａ． 去
Ｂ．ｙ
Ｃ．１
Ｄ．２
４．设ａ，ｂ＞０，若ａ＋４ｂ＝１，则ｌｏｇ，ａ＋ｌｏｇ，ｂ的
Ａ．最小值为－２
Ｂ．最小值为－４
Ｃ． 最大值为－２
Ｄ． 最大值为－４
［ｘ－２ｙ＋２≤０，
５．若实数ｘ，ｙ满足约束条件牛２ｘ＋ｙ≤０， 则ｚ＝２ｘ－３ｙ＋３的最大值是
［ｘ－ｙ＋３≤０，
Ａ．－８
Ｂ．－５
Ｃ．－２
Ｄ．二
６．函数／ｆ（ｘ）＝（
浙江省名校新高考研究联盟（２２０联盟）２０２０届第三次联考数学试题卷 第３页共４页
１８．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘｃｏｓ（ｘ＋分）－ｓｉｎ ｃｏｓ２ｘ．
（１）求函数ｆ（（ｘ）的最小正周期Ｔ及ｆ（））的值；
（Ⅱ）若方程ｆ（ｘ＋； ）＋２＝ａ在ｘ∈［０，；］上有３个解，求实数ａ的取值范围．
１９．（本小题满分１５分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＡＣ＝２ＢＣ＝４，Ｄ为ＡＣ的中点，正＝２西，
Ｐ＝二ＰＣ．现将△ＡＤＥ 沿ＤＥ 翻折至△ＡＤＥ，得四棱锥
Ａ＇－ＢＣＤＥ．
（Ｉ）证明：ＡＰｌＤＥ； （ＩⅡＩ）若ＡＡ＇＝２、３，求直线ＡＰ与平面ＢＣＤ所成角的正切值．
第 １９题图
２０．（本小题满分１５分）设数列｛ａ｝的前ｎ项和为Ｓ，ｑ＝１， ａａ２＝．ａ＋｛１，＂，ｎ 为ｎ为奇偶数数，．
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考(三)数学试卷
2020届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三联考（三）数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时， 直线在y 轴上的截距最大，即z 最大， z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sin α)i(α∈R )， 则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2 ＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α ＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ)＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1. 方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)． 如图：则|z 1－z 2|的最大值为5＋1.5．“α≠β”是“cos α≠cos β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为α＝β⇒cos α＝cos β，所以cos α≠cos β⇒α≠β (逆否命题)必要性成立，α＝－β⇒cos α＝cos β，充分性不成立，故“α≠β”是“cos α≠cos β”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln|x |x的图象大致为( )答案 A解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝ln ||x x ，f ()－x ＝ln ||－x －x ＝－ln ||x x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ；当x >1时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx >0，故可排除C ；当x >0时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，显然当1<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，可排除D ，故选A.7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种 答案 B解析 第一步排语文、英语、化学、生物4科，且化学排在生物前面，有A 442＝12(种)排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A 24＝12(种)排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(种)． 8．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，则( )A ．b ≤13B ．b ≤23C ．b ≥13D ．b ≥23答案 D解析 由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ， a ＋b ＋c ＝1，所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c ＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c ＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝⎛⎭⎫a －1－b 22＋1－b ，因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b 2时，D (X )取最大值1－b ，又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23.9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B.2＋12 C.6－12 D.3－12答案 D解析 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎫1－32＝3－12.10．设α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，记a n ＝αn ＋βn (n ∈N *)．下列两个命题( )①数列{a n }的任意一项都是正整数； ②数列{a n }存在某一项是5的倍数． A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误答案 A解析 因为α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，所以α＋β＝1，αβ＝－1， 因为a n ＝αn ＋βn ，所以a n ＋1＝αn ＋1＋βn ＋1＝(αn ＋βn )α＋(αn ＋βn )β－βn α－αn β＝(αn ＋βn )(α＋β)－αβ(αn －1＋βn －1)＝(αn＋βn )＋(αn －1＋βn －1)＝a n ＋a n －1，即当n ≥3时，数列{a n }中的任一项都等于其前两项之和，又a 1＝α＋β＝1，a 2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝3，所以a 3＝a 2＋a 1＝4，a 4＝a 3＋a 2＝7，a 5＝a 4＋a 3＝11，以此类推，即可知数列{a n }的任意一项都是正整数，故①正确，若数列{a n }存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5.由a 1＝1，a 2＝3，依次计算知，数列{a n }中不存在个位数字为0或5的项，②错误．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x ，y 分别为人数、猪价，则x ＝________，y ＝________. 答案 10 900解析 由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋100＝100x ，y ＝90x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝900.12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案 20＋45 8解析 由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S ＝2×12×4×2＋22＋4×2＋2×25＝20＋45，体积V ＝12×4×2×2＝8.13．已知多项式(x ＋2)m (x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m ＋n满足a 0＝4，a 1＝16，则m ＋n＝________，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝________. 答案 5 72解析 令x ＝0，得a 0＝2m ＝4，又由二项展开式的通项公式得C m －1m ·2m －1·C n n ·1n ＋C m m ·2m ·C n －1n ·1n－1＝16，所以m ＝2，n ＝3，则m ＋n ＝5；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝32×23＝72. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若c ＝2a cos B ，S ＝12a 2－14c 2，则△ABC 的形状为________，C 的大小为________． 答案 等腰三角形 π4解析 在△ABC 中，由c ＝2a cos B 及正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ，则sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，化简得sin(A －B )＝0，那么A ＝B ，从而有a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形；由S ＝12a 2－14c 2及余弦定理得12ab sin C ＝12a 2－14(a 2＋b 2－2ab cos C )，化简得a 2sin C ＝a 2cos C ，又a >0，所以sin C ＝cos C ，则tan C ＝1，又C 是△ABC 的内角，故C ＝π4.15．已知x >0，y >－1，且x ＋y ＝1，则x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为________．答案 2＋ 3解析 x 2＋3x ＋y 2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x ＋⎝⎛⎭⎫y －1＋1y ＋1， 结合x ＋y ＝1可知原式＝3x ＋1y ＋1，且3x ＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＋1×x ＋()y ＋12 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3()y ＋1x ＋x y ＋1 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋23()y ＋1x ×x y ＋1＝2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝－2＋3时等号成立． 即x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为2＋ 3.16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x2＝m ＋1＋1，12×n ×6＝12×2×y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则|MN →|的最小值为________．答案77解析 连接AM ，AN (图略)，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－12，因为AM 是△AEF 的中线，所以AM →＝12(AE →＋AF →)＝12(λAB →＋μAC →)，同理可得AN →＝12()AB →＋AC →，由此可得MN →＝AN →－AM →＝12(1－λ)AB →＋12()1－μAC →，两边平方并化简得MN →2＝14(1－λ)2－14(1－λ)(1－μ)＋14(1－μ)2，由于λ＋4μ＝1，可得1－λ＝4μ，代入上式并化简得MN →2＝214μ2－32μ＋14＝214⎝⎛⎭⎫μ－172＋17，由于λ，μ∈()0，1，所以当μ＝17时，MN →2取得最小值17，所以|MN →|的最小值为77.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，0<ω<4，|φ|<π2过点⎝⎛⎭⎫0，12，且当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值1.(1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )，求函数g (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，函数h (x )＝f (x )＋g (x )＋2cos 2x －1，求h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解 (1)由题意得A ＝1，由函数过⎝⎛⎭⎫0，12得sin φ＝12，∵|φ|<π2， ∴φ＝π6.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，∴π6ω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<4， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6， －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， －1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，所以h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－1,2]． 19．(15分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是梯形，BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB ＝132，P A ＝PC ＝ 3.(1)证明：AC ⊥BP ；(2)求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值． (1)证明 取AC 的中点F ，连接PF ，BF ， 由P A ＝PC 得PF ⊥AC ，由AB ＝BC ，得BF ⊥AC ， 又PF ∩BF ＝F ，∴AC ⊥平面PBF ， 又BP ⊂平面PBF ，∴AC ⊥BP .(2)解 延长BF 交AD 于点E ，过点P 作PO 垂直于平面ABCD 于点O ，由(1)易知点O 在BE 上，在△PBF 中，PB ＝132，BF ＝12，PF ＝32， 由余弦定理得cos ∠PFB ＝PF 2＋BF 2－PB 22PF ·BF ＝－12，即∠PFB ＝120°，则∠PFO ＝60°， ∴PO ＝PF ·sin 60°＝334， 由V P －ACD ＝V D －APC 得13·PO ·S △ACD ＝13·h ·S △APC ，其中h 为点D 到平面APC 的距离，解得h ＝32，设直线AD 与平面APC 所成角为θ， 则sin θ＝h AD ＝34.20．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.(1)解 由a n ＝S n ＋S n －1，得S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，以1为公差的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)证明 当n ≥2时，1na n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n<1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n <32.故当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.21.(15分)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)恰有一个公共点P ，l 与圆x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点．(1)求k 与m 的关系式；(2)点Q 与点P 关于坐标原点O 对称．若当k ＝－12时，△QAB 的面积取到最大值a 2，求椭圆的离心率．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2(m 2－b 2)＝0，则Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0， 化简整理，得m 2＝a 2k 2＋b 2.(2)因为点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故△QAB 的面积是△OAB 的面积的两倍． 所以当k ＝－12时，△OAB 的面积取到最大值a 22，此时OA ⊥OB ，从而原点O 到直线l 的距离d ＝a2， 又d ＝|m |k 2＋1，故m 2k 2＋1＝a 22.再由(1)，得a 2k 2＋b 2k 2＋1＝a 22，则k 2＝1－2b 2a 2.又k ＝－12，故k 2＝1－2b 2a 2＝14，即b 2a 2＝38，从而e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝58，即e ＝104.22．(15分)已知f (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2，g (x )＝k (x ＋1)，k ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)当k ＝2时，求证：对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立；(3)若存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，试求k 的取值范围． (1)解 函数f (x )的定义域为(－2，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2(x ＋1)＝－2()x 2＋3x ＋1x ＋2(x >－2)，当f ′(x )>0时，x 2＋3x ＋1<0.解得－2<x <－3＋52； 当f ′(x )<0时，解得x >－3＋52. 所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3＋52， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋52，＋∞. (2)证明 设h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2－k (x ＋1)(x >－1)， 当k ＝2时，h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－2＝－2(x ＋3)(x ＋1)x ＋2， ∴当x >－1时，h ′(x )<0恒成立，h (x )单调递减． 又h (－1)＝0，∴当x ∈(－1，＋∞)时，h (x )<h (－1)＝0恒成立， 即f (x )－g (x )<0.∴对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立．(3)解 因为h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－k ＝－2x 2＋(k ＋6)x ＋2k ＋2x ＋2. 方法一 由(2)知，当k ＝2时，f (x )<g (x )恒成立， 即对于任意x >－1,2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)， 不存在满足条件的x 0；当k >2时，对于任意x >－1，x ＋1>0， 此时2(x ＋1)<k (x ＋1)．∴2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)<k (x ＋1)， 即f (x )<g (x )恒成立，不存在满足条件的x 0； 当k <2时，令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)， 可知t (x )与h ′(x )符号相同，当x ∈(x 0，＋∞)时，t (x )<0，h ′(x )<0， h (x )单调递减．∴当x ∈(－1，x 0)时，h (x )>h (－1)＝0， 即f (x )－g (x )>0恒成立．综上，k 的取值范围为(－∞，2)．方法二存在x0>－1，使得当x∈(－1，x0)时，恒有f(x)>g(x)成立，即h(x)>0恒成立，即h(x)>h(－1)恒成立，即当x∈(－1，x0)时，h′(x)>0恒成立．令t(x)＝－2x2－(k＋6)x－(2k＋2)．则t(－1)>0，即可解得k<2，∴k的取值范围是(－∞，2)．。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三年级第三次联考数学试题卷
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知复数34z i=-，则zz= ( )A.3455i+ B.3455i-C. 1i+D. 1i-2．若对于函数()()2ln1f x x x=++图象上任意一点处的切线1l，在函数()sincos22x xg x x=-的图象上总存在一条切线2l，使得12l l⊥，则实数a的取值范围为( )A. (),-∞⋃+∞ B. 11,2⎡--⎢⎣⎦C.21,⎛⎡⎤--∞+∞⎢⎥⎝⎦⎣⎦D.⎤⎥⎣⎦3．若函数()9cos20,48f x x a xππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭恰有三个不同的零点321,,xxx，则123x x x++的取值范围是（）A.511[,)48ππB.97[,)42ππC.511(,]48ππD.97(,]42ππ4．数列121231231,,,,,,...,,,,...,,...22333nn n n n的前25项和为（）A.20714B.20914C.21114D.10675．在等比数列{}n a中，若()57134a a a a+=+，则62aa=( )A.14B.12C. 2D. 4 6．若ln2ln3ln5,,235a b c===,则( )A．a b c<< B．c b a<< C．c a b<< D．b a c<<7．三角形ABC 中，2,22AB AC ==,45BAC ︒∠=，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC 的取值范围是（ ）A. 1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦评卷人 得分二、填空题8．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++，概括出第n 个式子为_______。
9．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.评卷人 得分三、解答题10．已知函数2()ln 2()f x x x mx m R =+-∈．（1）若函数()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的最大值；（2）若存在正实数对(,)a b ，使得当()()1f a f b -=时，1a b -=能成立，求实数m 的取值范围．11．已知正项数列{a n }首项为2，其前n 项和为S n ，满足2S n －S n-1＝4 (n ∈N *，n ≥2)． （1）求2a ,3a 的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）设212log n n b a =- (n ∈N *)，数列{b n ·b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.12．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C的对边，且222sin .b A c a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积。
浙江省Z20联盟届第三次联考 (1)
浙江省A.5.将一枚质地均匀的骰子连续抛郑3次，则出现三个点数之和为6的概率为()112B.5108C.172D.7216A.6.已知点P 是边长为1的正十二边形A 1A 2⋯A 12边上任意一点，则A 1P ⋅A 1A 2的最小值为()-3-12B.-3+12C.-3+y >0，x ≠1，且满足2ln y =7.已知x >0 D.-2，x -x 1Z20联盟(新高考名校联盟)2023届第三次联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A = x ∣log 2(x -1)≤0，B ={x ∣(2-x )(x +1)≤0}，则A ∩C R B =()A.[0,4]B.(1,4)C.[0,2)D.(1,2)2.已知复数z =6+ai1+2i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为()A. C.-3D.33.()A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x 的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转65,4π后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P -3 5，则sin 2 α-π 6=()7A.257B.-25C.2425D.-2425D.log x y <C.log x y >B.x <A.x >1，则下列判断正确的是()yy118.2n +1n (n +1g (n )．则下列结论中正确的是(参考公式：12+22+32+⋯+n 2二阶等差数列．现有高阶等差数列 c n ，其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式c n 4为等差数列，则数列1，3，6，104，新数列2，31，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，311.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列，，被称为 =()=)()612.已知椭圆x )B.数列 c n 的前11项和最大D.c 20=-A.数列 c n +1-c n 为二阶等差数列C.∑i 2=01 c i +1-c i =- 1440117024+y 23A.当n =3时，A =1，其右焦点为F ，以F 为端点作n 条射线交椭圆于A 1，A 2，⋯，A n ，且每两条相邻射线的夹角相等，则()11F+1A 2F +1A B.当n =3时，△A 1A 2A 3的面积的最小值为3F =223已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆O 1、O 2，记两圆的公共弦为AB ，且O 1O 2=2，若二面角O 1-AB 2π，则四面体ABO 1O 2的体积的最大值为()-O 2的大小为3A.83B.492 C.892 D.493二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是()A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B.若随机变量X ∼B (100,p )，且E (X )=20，则D (X )=16C.若随机变量X ∼N μ,σ2，且P (X >4)=P (X <-2)=p ，则P (-2≤X ≤1)=21-p D.对一组样本数据 x 1,y 1， x 2,y 2，⋯， x n ,y n 进行分析，由此得到的线性回归方程为：y =bx +a ，至少有一个数据点在回归直线上10.已知函数f (x )=cos ωx +π4(ω>0)，则下列判断正确的是()A.若f (x )=f (π-x )，则ω的最小值为32B.若将f (x )的图象向右平移π2个单位得到奇函数，则ω的最小值为3232,π单调递减，则0<ω≤4C.若f (x )在 πD.若f (x )在π 52,π上只有1个零点，则0<ω<4A 1F + A 2F + A 3F + A 4F =C.当n =4时，8D.x α0.100.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.828儿童青少年近视实施方案>的通知》以及《中国防治慢性病中长期规划(2017-2025年)》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了“明眸”工程．(公众号浙江省高中数学)各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查．某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在末近视的学生中随机调查了10018.(12分)为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和《教育等八部门关于印发<综合防控人，得到如下数据：长时间使用电子产品非长时间使用电子产品近视4555末近视2080d χ2=(a +b )(c n )((1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．附：ad -bc 2+)(a +当n =4时，过A 1、A 2、A 3、A 4作椭圆的切线l 1、l 2、l 3、l 4，且l 1、l 3交于点P ，l 2、l 4交于点Q ，则PF 、QF 的斜率乘积为定值-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知 3x +x a 2x -x17的展开式中各项系数的和为4，则实数a 的值为.14.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过点M (1,0)作直线l 交C 于A 、B 两点，且AM =2MB ，则B 点的横坐标为.15.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且每年年底卖出100头牛，设 ．牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c 1，c 2，c 3，⋯⋯，S n 为 c n 的前n 项和，则S 6=(结果保留成整数)(参考数据：1.15≈1.611，1.16≈1.771，1.17≈1.949)16.设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]=3，[-2]=-2．已知函数f (x )=1-a ,x ≤1x ≤1-[x ]x -a ,x >1 x ⋅e x-e 有且只有4个零点，则实数a 的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)记S n 为数列 a n 的前n 项和，已知a 1=1，且满足na n +1=(n +1)a n +1． (1)证明：数列 a n 为等差数列；(2)设b n =a n +S n +1ncos n π，求数列 b n 的前2n -1项和T 2n -1．c )(b +d )，其中n =a +b +c +d ．19.221.(12分)已知双曲线x 3 -y 2=1，F 1，F 2为其左右焦点，点P x 0,y 0为其右支上一点，在P 处作双曲线的切线l ．(1)若P 的坐标为(3，2)，求证：(2)过F 1，F 2分别作l 的平行线l 1，l 为∠F 1PF 2的角平分线；l 2，其中l 1交双曲线于A 、B 两点，l 2交双曲线于C 、D 两点，求△PAB 和△PCD 的面积之积S △PAB ⋅S △PCD 的最小值．22.(12分)已知函数f (x )=e ax ，a ∈R ．f (x )(1)令g (x )=x +1，讨论g (x )的单调性；(2)证明：412+613+⋯+21nn<1e (e -1)，n ∈N ∗；2f (2m )f (n )(12分)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c sin A =a cos C -π6，点M是线段AB 的中点，且CM =1．(1)求角C ；(2)求边c 的取值范围．20.(12分)如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1=4，AC =6，D 为线段AC 上靠近C 的三等分点．(1)线段BC 上是否存在点E ，使得A 1B ⎳平面C 1DE ，若不存在，请说明理由；若存在，请求BCBE的值；(2)若A 1A =AB =4，∠A 1AC =∠BAC =π3，点A 1到平面ABC 的距离为3，且点A 1在底面ABC 的投影落在△ABC 内部，求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．+bf (ln n )⋅f (m )+2≥0恒成立，求实数b 的取值范(3)若a =1，对于任意的m ，n ∈R ，不等式围．Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2023届高三第三次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．1 14．2115．754216．，⎣⎭⎝⎭⎢⎪ ⎪−−−−⎡⎫⎛⎫65e 3,5422（区间开闭都给分） 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17．解：（1）方法1：，=+++na n a n n (1)11++∴=++n n n n a a n n 1(1)11 ………………………… 2分 ∴≥n 2时，−−=+−n n n n a a n n 1(1)11，累加得=+−=−n n nn a a n 111211， ∴=−=a n n n 21,1时也成立，∴=a n −n 2 1. ………………………… 4分 −=−a a n n 2,1∴a n {}是等差数列………………………… 5分 方法2：，++=++∴=+++n n n n na n a a a n n n n 1(1)(1)1111， ∴+++=++n n n na a n n 11111 ………………………… 3分 ∴⎩⎭⎨⎬+⎧⎫n n an 1为常数数列∴+=+=n n a a n 11211，∴=a n −n 2 1.∴a n {}是等差数列………………………… 5分方法3：当≥n 2时，−=+−n a na n n (1)11 ，1(1)1n n na n a +=++ ②∴②-①可得：11(1)(1)n n n n na n a n a na +−−−=+−112n n n a a a −+∴=+ ………………………… 3分{}n a ∴是等差数列，因为11a =，23a =，2 1.n a n ∴=− ………………………… 5分（2）由（1）知2n S n =，所以()()12nn b n =−+，方法1：并项求和 当n 为偶数时，()()()()1112131nn n n b b n n +++=−++−+=−， ………………………… 7分∴()()()()2112322213112n n n T b b b b b n n −−−=+++++=−+−⨯−=−− ………… 10分方法2：错位相减求和()()21213456121n n T n −−=−+−+++−+① ()()()22113456121nn T n −−=−+−++−+② ………………………… 7分 ①−②：()()21231111112142n T n n−=−+−+−+++−−+=−−∴212n T n −=−− ………………………… 10分18．解：（1）零假设为0H ：学生患近视与长时间使用电子产品无关.()()()()()()22220045805520500014.245 6.63510010065135351n ad bc a b c d a c b d χ−⨯⨯−⨯===≈>++++⨯⨯⨯… 3分根据小概率0.1α=的2χ独立性检验，没有充分证据推断出0H 成立，所以0H 不成立，即有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关. …………………… 4分 （2）设A ＝“长时间使用电子产品的学生”，A ＝“非长时间使用电子产品的学生”，B ＝“任意调查一人，此人患近视”，则A A Ω=⋃，且A ，A 互斥，()0.3P A =，()0.7P A =，(|)0.6P B A =，()0.46P B =，………………………… 6分根据全概率公式有()=()(|)()(|)0.30.60.7(|)0.46P B P A P B A P A P B A P B A ⋅+⋅=⨯+⨯=，……………… 10分所以(|)0.4…………………………………… 12分 19．解： （1）=−=πA B c A a C a b6sin sin sin cos(),∴⋅=⋅−πC A A C 6sin sin sin cos()∴=−=+πC C C C 622sin cos()sin 1 ………………………… 2分（或者直接用诱导公式）∴=C C 22sin cos 1sin tan cos CC C∴== 3C π∴=………………………… 4分（2）AMC BMC π∠+∠=cos cos 0AMC BMC ∴∠+∠= 222222()1()1220c cb ac c+−+−∴+=22242()c a b ∴+=+ ………………………… 6分（或者直接用结论：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和）2222cos c a b ab C =+−222c a b ab ∴=+− 2222222114c a b ab a b c a b b a+−∴==−+++ ………………………… 8分 ABC 为锐角三角形 62A ππ∴<<tan A ∴> b t a =令1sin sin sin()1122,2sin sin sin 22tan 2A A bB AC t a A A A A ++∴=====+∈（） ……… 10分 2221131[,)425c a b c b a∴=−∈++37c ∴≤<………………………… 12分 20．解：（1）法1：取BC 的靠近点C 的三等分点E ，连接11,,C E DE DC ， 则//DE AB ，11//DC AA111DC EC C =，1ABAA A =则平面11//AA B B 平面1C DE ，则1A B //平面1C DE………………………… 3分 23BE BC =………………………… 4分 法2：取BC 的靠近点C 的三等分点E ，连接111,,,C E DE DC AC ， 111//2CD A C则113CM CA =则1//ME A B ，1A B ⊄平面1C DE ，ME ⊂平面1C DE ， 则1A B //平面1C DE………………………… 3分CB1BC123BE BC =………………………… 4分 （2）过1A 作1AO AC ⊥，连接BO ，由14A A AB ==，13A AC BAC ∠=∠=π得1AAO ABO ≅，则BO AC ⊥，因为13A ABC d −=，则13A OB ∠=π， ……………… 6分以OB 为x 轴，OC 为y 轴，在平面1A OB 中过Ｏ作OB 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O，1A ，(0,2,0)D ，(0,2,0)A −，B ，……………… 7分 112434,,0333A B AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 1111732,,333DB DA A B ⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎝⎭，………………… 9分1(3,0,3)OA =，(0,2,0)OD =，设平面平面11ACA C 的法向量(,,)n x y z =100n OA n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300z y +==⎪⎩， 令()3,0,1n =−,………………………… 11分则1B D 与平面11ACA C 所成角的正弦值为 1113cos ,5858DB n DB n DB n⋅==………………… 12分 法 2.111111B DC A D B C A V V −−=，111111111111133B DC A DC AD B C A B C A d S d S −−⋅⋅=⋅⋅，1111111111833,,433D BC A ABC B C A B C A DC A d d S S −−====，则1112B DC A d −=……6分取BO 的中点Q ，过Q 作AB 的平行线，交AC 于点P ，延长PQ ，使得QT =11A B ，连接DT ， 则11A B QT 为矩形，1B T⊥平面ABC ，且11==3B T AQ ，………………………… 8分 在PTD 中，814=PQ+QT=2+33PT =，123PD PO OD =+=+=，3TPD ∠=π，则DT ==， 则13B D ===，……………… 10分z ysin583d==θ………………………12分其它方法酌情给分21．解：（1）法1：由可得:1l x−=，（直接写出答案给1分，有证明过程给2分）…………………………………… 2分:1l x−=交x轴于点(1,0)Q，则112233,11QF PFQF PF===,即1122QF PFQF PF=，所以l为12F PF∠的角平分线；……………………………………4分法2：(1,0)Q到直线12:(2),:2)5PF y x PF y x=+=−的距离相等，所以得证.（2）过00(,)P x y的切线0:13xl x y y−⋅=，当y≠时，即P不为右顶点时，03xky=，…………………………………… 6分即222002220003311199333x yky y y+===+>…………………………………… 7分（或由直线与单支有两个交点，则k k>=渐近线也可）联立1222222:(2)(13)121230330l y k xk x k x kx y=+⎧⎪⇒−−−−=⎨−−=⎪⎩设1122(,),(,)A x yB x y，则2122212221213123,1312(1)kx xkkx xkk⎧+=⎪−⎪⎪−−⎪⋅=⎨−⎪⎪∆=+⎪⎪⎩…………………………………… 8分所以2122)31kAB x CDk+=−==−又，12121P l P l F l F ld d d d−−−−⋅=⋅==……………………10分所以12222222211112244(1)1133(1)1(31)333PAB PCD P l P l S S AB d CD d AB k k k ∆∆−−⋅=⋅⋅⋅=⋅+==+>−−当00y ≠，即点P 为右顶点时，13PAB PCDS S ∆∆⋅= 所以，PAB PCD S S ∆∆⋅的最小值为13. …………………………………… 12分22．解：（1）()g x =()1f x x +=1ax e x +（0x ≠），而[]'2(1)1()(1)ax e a x g x x +−=+，………………… 1分①当0a =时，()f x 在()1−∞−，上递减，()1−+∞，上递减； ………………… 2分 ②当0a >时，()f x 在()1−∞−，上递减，在111a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，上递减，在11a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上递增； ………………… 3分③当0a <时，()f x 在在11a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭，上递增，在111a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，上递减，在()1−+∞，上递减.………………… 4分（求导1分，单调性三条各1分，共4分）（2）由（1）得：当1a =时，当()1,11f x x x >−≥+， 此时1x e x ≥+，又当1,1x x e x ≤−>+，1x e x ∴≥+，令112x n=−，得到11212ne n−≥，112112n n e ⎛⎫− ⎪⎝⎭⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，12112n n n e −⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………… 6分123232111111111......14621n n n e n e e e e e−⎛⎫− ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴+++<+++=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦−< ………………… 8分（也可以用差分，两边取对数等方法完成，酌情给分.） （3）2(2)(ln )()20()f m bf n f m f n +⋅+≥⇒2220m n m e bne −++≥ ①0b <，当0n m →+∞→，，时，不等式显然0<，所以此时不成立； ②0b =，不等式显然成立. ………………… 9分 ③0b >，令2()22m n m g n e e be n −=⋅+⋅+，2()20m n m g n e e be −'=−⋅+=，则2m n b e e −=⋅⇒22ln m mne e e n b b=⇒=. 所以，min 2()(ln )ln 22m m m m e b g n g b e bm e b e b ==⋅+⋅−⋅+， 令0m e t t =>（），则()ln ln 22b h t bt bt t bt ⎛⎫=+−+ ⎪⎝⎭， ()1ln ln 02b h t b b t b ⎛⎫'=++−= ⎪⎝⎭（），即11ln ln 02b t ++−=， ………………… 11分 则22b t e =，则2222()(ln 2)ln 222222b b b b b h t b e e e ≥+−−⋅+=22202b e −+≥， 所以，2.b e ≤综上所述，02b e ≤≤. ………………………………… 12分7。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第三次联考 数学(含答案)
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二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11．大约在 2000 多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个 圆心，圆心到圆周的长长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早 100 年，
已知 O 为原点，|OP|=1，若 M( 1 , − 3 )，则线段 PM 长的最小值为 ▲ 44
15．由 1,2,3,4,5 构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过 2 的情 况有 ▲ 种(用数字作答)
16 ． 函 数 f(x) 在 区 间 A 上 的 最 大 值 记 为 max f (x) ， 最 小 值 记 为 min f (x) . 若 函 数
x∈A
x∈A
f ( x) = x2 − bx −1,则max min f (x) = ▲ b∈[1,3] x∈[1,2]
2 小 z 的虚部，则 z 的值为
1+ i
A． 1 B． 2 C． 1
2
2
D． 2
4．设 a，b>0，若 a + 4b = 1 则 log2 a + log2 b 的
A．最小值为 −2 C．最大值为 −2
B．最小值为 −4 D．最大值为 −4
x − 2 y + 2 ≤ 0, 5.若实数 x，y 满足约束条件 2x + y ≤ 0, 则 z = 2x − 3y + 3 的最大值为
切线 l1 ，交 x 轴于点 T，过点 T 作直线 l2 交 r 于点 B(x1, y1), C ( x2 , y2 ).
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值及数列{ an }的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 n，使得 Sn ∈Z.若存在，求所有满足条件的 n；若不存在，请说明理由. an