线性方程组直接解法
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第六章 线性方程组直接解法
一、考核知识点：
简单消元法，主元消元法（列主元消元法），紧凑格式法，矩阵的三角分解。
二、考核要求：
1．了解简单消元法、主元消元法、紧凑格式的基本思想和使用条件
2．掌握矩阵的三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）
3．熟练掌握用列主元消元法和紧凑格式求解线性方程组的方法。
三、重、难点分析
例1 用列主元消元法的方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+
+5
3368435
532321321321x x x x x x x x x
注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。
解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=++3
31
35
131
316
8433232321x x x x x x
x
第2列主35
，元为交换第2、3方程位置后消元得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧=-=+=++5
2
52
33
1
356
843332321x x x x x x
回代解得 2,2,1123==-=x x x
例2．将矩阵A 进行三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解,LDU 分解）
其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1332222224A 说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进
行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。
解： 9,2;1,12
1,21;
2,2,43322123132321321232312212222113131112121131312121111=-=-=-=-==-=-====
-======r r r l a l r l a r r l a r a a l a a l a r a r a r
则矩阵的Doolittle 分解为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----911224122112111332222224 因为对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=914D ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-111212111R D U 所以矩阵的LDU 分解为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11121211914122112111332222224
矩阵的Crout 分解为
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111
212
11
9221241332222224
例3 用紧凑格式求解方程组
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----548133222222432
1x x x
注意：消元过程是解方程组b LY =，和回代过程是解方程组Y RX =。 解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----9112241221
121
1
1332222224
（2）解方程组9,0,8,321====y y y b LY
（3）解方程组1,1,2,321====x x x Y RX
所以 T X )1,1,2(=