专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(北师大版)(原卷版)

专题1.1 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

【例1】（2019•黔东南州期中）下列运算正确的是（）A ．x 2+x 3＝x 5B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6C ．x 2•x 3＝x 6D ．x 6÷x 2＝x 3【变式1-1】（2019•蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）A．3x3•2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4yC．（2x2）3＝6x6D．x5÷x＝2x4【变式1-2】（2019•淄博期中）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2【变式1-3】（2019春•成安县期中）下列运算正确的是（）A．（﹣2ab）•（﹣3ab）3＝﹣54a4b4B．5x2•（3x3）2＝15x12C．（﹣0.16）•（﹣10b2）3＝﹣b7D．（2×10n）（×10n）＝102n【考点2 因式分解的概念】【方法点拨】因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。

【例2】（2019春•莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【变式2-1】（2019春•邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【变式2-2】（2019秋•西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣1＝x（x﹣）【变式2-3】（2019春•瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【考点3 幂的混合运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.【例3】（2019春•铜山区期中）计算：（1）（y2）3÷y6•y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2【变式3-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【变式3-2】（2019秋•资中县月考）计算：（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4（2）x6÷x3•x2+x3•（﹣x）2．【变式3-3】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2【考点4 幂的逆向运算】【例4】（2019春•茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．（1）求x2m的值；（2）求x m+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．【变式4-1】（2019春•天宁区校级期中）根据已知求值：（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．【变式4-2】（2019春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）【变式4-3】（2019春•盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【考点5 整式化简求值】【例5】（2018春•高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【变式5-1】（2018秋•南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【变式5-2】（2019春•成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【变式5-3】（2019春•青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【考点6 分解因式】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。

而且一定要把各因式分解到不能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.【例6】（2019秋•惠民县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2．【变式6-1】（2019春•娄底期中）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【变式6-2】（2018春•临清市期末）因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）【变式6-3】（2019秋•和平区期末）分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【考点7 利用因式分解求值】【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【变式7-1】（2019秋•崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【变式7-2】（2019秋•西城区校级期中）已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【变式7-3】利用分解因式求值．（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．【考点8 利用乘法公式求值】【例8】（2019春•新津县校级月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．【变式8-1】（2019春•杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【变式8-2】（2019春•邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【变式8-3】（2019春•杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【考点9 因式分解探究题】【例9】（2018秋•江汉区校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．【变式9-1】（2017春•靖江市校级期中）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3问题：（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？【变式9-2】（2019春•上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x2﹣4．解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x ﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．（1）求上述式子中m，n的值；（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．【变式9-3】（2018秋•雨花区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．【考点10 乘法公式探究题】【例10】（2019春•东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．【变式10-1】（2019春•牟定县校级期末）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．方法一：；方法二：；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式10-2】（2018春•怀远县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【变式10-3】（2019春•槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；方法1；方法2．（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．。

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专题整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)

专题整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。

整式的乘除测试题[3套]与答案解析

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除单元测试卷（一）班级姓名学号得分一、精心选一选(每小题3分，共21分)1.多项式892334+-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.下列计算正确的是 ( ) A. 8421262x x x =⋅ B. ()()m mm y y y =÷34C. ()222y x y x +=+ D. 3422=-a a3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 22a b - B. 22b a - C. 222b ab a +-- D. 222b ab a ++- 4. 1532+-a a 与4322---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382--a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( )A. 91312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B. 0590=⨯ C. ()17530=-. D. 8123-=-6. 若()682b a b a nm =，那么n m 22-的值是 ( )A. 10B. 52C. 20D. 32 7.要使式子22259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30±二、耐心填一填（第1~4题每空1分，第5、6题每空2分，共28分）1.在代数式23xy ， m ，362+-a a ， 12 ，22514xy yz x -， ab32中，单项式有个，多项式有个。

2.单项式z y x 425-的系数是，次数是。

3.多项式5134+-ab ab 有项，它们分别是。

4. ⑴ =⋅52x x 。

⑵ ()=43y 。

⑶ ()=322ba 。

⑷ ()=-425y x 。

⑸ =÷39a a 。

⑹=⨯⨯-024510 。

专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.1 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n=a m+n（m，n是正整数）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n b n（n是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）【例1】（2020春•雨花区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（﹣a3）2＝a6C．a9÷a3＝a3D．（﹣bc）4＝﹣b4c4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，原式计算错误，故此选项不合题意；B、（﹣a3）2＝a6，正确；C、a9÷a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；D、（﹣bc）4＝b4c4，原式计算错误，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-1】（2020秋•鹿城区校级月考）下列运算正确的是（）A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；B．结果是8a6，故本选项不符合题意；C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；D．结果是a，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．【变式1-2】（2020春•顺德区期末）下列计算正确的是（）A．（3×103）2＝6×105B．36×32＝38C．（−13）4×34＝﹣1D．36÷32＝33【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、（3×103）2＝9×106，故此选项错误；B、36×32＝38，正确；C、（−13）4×34＝1，故此选项错误；D、36÷32＝34，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-3】（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【考点2 幂的混合运算】【例2】（2019春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8a m+2【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【变式2-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•崇川区校级月考）计算（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案【解答】解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2•（y﹣x）7•（y﹣x）3＝（y﹣x）12．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【变式2-3】（2020春•安庆期中）计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，＝0．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．【考点3 巧用幂的运算进行简便运算】【例3】（2020春•宁远县期中）计算（−512）2019×（225）2020的结果是（）A．−512B．−125C．512D．﹣2020【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣（512）2019×（125）2020＝﹣（512×125）2019×125＝﹣1×12 5=−125，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．【变式3-1】（2020春•市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021＝0.1252020×82020×（﹣8）＝（0.125×8）2020×（﹣8）＝12020×（﹣8）＝1×（﹣8）＝﹣8．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019＝82×42×（4×﹣0.25）2019＝82×42×（﹣1）＝﹣1024．故答案为：﹣1024．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．【变式3-3】（2019春•城关区校级期中）计算：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014 【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．【解答】解：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014=(23×32)2012×49×1=49．【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．【考点4 幂的逆运算】【例4】（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x ＝a ，2y ＝b ，求2x +y 的值；（2）已知3m ＝5，3n ＝2，求33m +2n +1的值；（3）若3x +4y ﹣3＝0，求27x •81y 的值．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）∵2x ＝a ，2y ＝b ，∴2x +y ＝2x •2y ＝ab ；（2）∵3m ＝5，3n ＝2，∴33m +2n +1＝（3m ）3•（3n ）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，∴27x •81y＝33x •34y＝33x +4y＝33＝27．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-1】（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．【变式4-2】（2019春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-3】（2020•河北模拟）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【解答】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，∴1﹣3x+4x＝5，解得x＝4；（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．【考点5 巧用幂的运算进行大小比较】【例5】（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，∵8＜9，∴m＜n，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．【变式5-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（）A．255＜344＜433B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．【解答】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．【变式5-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．【解答】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．【变式5-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以解答本题；（3）根据题目中的例子可以解答本题；（4）根据题目中的例子可以解答本题．【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【考点6 幂的运算中新定义问题】【例6】（2020春•漳州期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ）＝n ．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝，（2，14）＝；（2）[说理]记（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ．试说明：a +b ＝c ；（3）[应用]若（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），求t 的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，2−2=14，（2，14）＝﹣2，故答案为：3；﹣2；（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；（3）设（m ，16）＝p ，（m ，5）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝16，m q ＝5，m r ＝t ，∵（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），∴p+q＝r，∴m p+q＝m r，∴m p•m r＝m t，即16×5＝t，∴t＝80．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式6-1】（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵26＝64，∴T（2，64）＝6；故答案为：6．（2）∵(13)−3=27，（﹣2）4＝16，∴T(13，27)+T(−2，16)=−3+4＝1．（3）相等．理由如下：设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×7＝21得：2m•2n＝2k，可得m+n＝k，即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式6-2】（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log n b（即log n b）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝a m，N＝a n，再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵loga a m =m，loga a n=n，loga a m+n=m+n，∴loga a m +loga a n=loga a m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【变式6-3】（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果a c＝b．那么【a，b】＝c例如因为23＝8．所以【2，8】＝3（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝，【7，1】＝【，81】＝4（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【，】（结果化成最简形式）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．【解答】解：（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．因为70＝1，所以【7，1】＝0．因为（±3）4＝81，∴【±3，18】＝4，故答案为：2；0；±3；（2）①证明：设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，∴5×9＝45＝6x•6y＝6x+y，∴【6，45】＝x+y，则：【6，45】＝【6，9】+【6，5】，∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；②∵【3n，4n】＝【3，4】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．故答案为：x+1，y2﹣3y+2．【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．【考点7 整式的乘法】【例7】（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）A．1B．﹣1C．3x D．﹣3x【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．故选：C．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【变式7-1】（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+（a+3）x2+x，因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，所以a+3＝0，所以a＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．【变式7-2】（2019春•蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】将（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，对比系数即可求解；【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，∴a﹣2b＝﹣a，ab+1＝5，b+3＝5，∴b＝2，a＝2，∴ab＝4；故选：C．【点评】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题．【变式7-3】（2019春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．【解答】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，（a2﹣ma+2n）（a+1）＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换．【考点8 整式乘法的应用】【例8】（2020春•建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（）①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）A．①②④B．①②③④C．①D．②④【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．【解答】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．【变式8-1】（2019秋•平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故选：A．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，故选：C．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式8-3】（2020春•漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．【解答】解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【考点9 利用乘法公式求值】【例9】（2020春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【变式9-1】（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式9-2】（2020春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．【变式9-3】（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，∴①+②得：2（x2+y2）＝34，∴x2+y2＝17，∴17+2xy＝25，∴xy＝4；（2）∵（a﹣b）2＝3，∴a2﹣2ab+b2＝3，∵a2+b2＝15，∴15﹣2ab＝3，∴﹣2ab＝﹣12，∴ab＝6，∵a2+b2＝15，∴a2+2ab+b2＝15+12，∴（a+b）2＝27．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．【考点10 乘法公式几何背景】【例10】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b 的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．【分析】（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），可得等式；（2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，可得等式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形．【解答】解：（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），因此有a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；（2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，因此可得a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形，拼图如图所示：【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．【变式10-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成平方差的形式）．（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式．（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m 2﹣n 2＝12，2m +n ＝4，则2m ﹣n ＝．②计算：20202﹣2018×2022．③计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)．【分析】（1）由面积公式可得到答案；（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，∴2m﹣n＝3，故答案为：3；②＝20202﹣（20202﹣4）＝20202﹣20202+4＝4；③．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．【变式10-2】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1，图2，图3．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．；【解答】解：（1）图1、S阴=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2=(a−b)(a−b)=a2−2ab+b2；图2、S阴=(a+b)(a−b)=a2−b2．图3、S阴（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，=(a+b)2−4ab则S阴＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，∴x﹣y＝±7．【点评】本题主要考查乘法公式的应用，（1）根据题目中正方形和长方形的边长，由面积计算公公式可得出乘法．（2）根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论．（3）根据（2）中结论可直接计算得出答案．【变式10-3】（2020春•东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b 的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2−n24=(m+n)(m−n)4=2x⋅2y4=xy；m2+n22=(m+n)2−2mn2=4x2−2(x2−y2)2=x2+y2；故答案为：A、B、C、D．【点评】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．【考点11 整式乘除的计算与化简】【例11】（2019春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．②[b （a ﹣3b ）﹣a （3a +2b ）+（3a ﹣b ）（2a ﹣3b ）]÷（﹣3a ），其中a ，b 满足2a ﹣8b ﹣6＝0．【分析】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值； ③原式利用完全平方公式计算即可求出值；④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值；②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）①原式＝﹣a 8+16a 8＝15a 8；②原式＝﹣4xy 3•（12xy ）÷x 2y 4 ＝﹣2x 2y 4÷x 2y 4＝﹣2；③原式＝16x 2+24xy +9y 2；④原式＝4a 2﹣b 2+a 2+4ab +4b 2＝5a 2+4ab +3b 2；（2）①原式＝x 2+2xy +y 2﹣y 2+x 2﹣x 2+12xy＝x 2+52xy ，当x ＝﹣1，y =15时，原式＝1−12=12；②原式＝（ab ﹣3b 2﹣3a 2﹣2ab +6a 2﹣9ab ﹣2ab +3b 2）÷（﹣3a ）＝（3a 2﹣12ab ）÷（﹣3a ）＝﹣a +4b＝﹣（a ﹣4b ），由2a ﹣8b ﹣6＝0，得到a ﹣4b ＝3，则原式＝﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【变式11-1】（2020春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−1 2．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（−13ab2）＝﹣36ab；（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，当x＝﹣2，y=−12时，原式＝4−12=312．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】（2020春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）＝0.125；。

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析试题(含答案及详细解析)

北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、计算02022的结果是（）A．1 B．0 C．2022 D．1 20222、下列计算正确的是（）A．a+3a＝4a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a73、三个数02，23-，()13--中，负数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4、已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么DEG∆的面积1S和正方形BEFG的面积的2S大小关系是（）A ．1212=S S B ．12S S C ．122S S = D ．1234S S = 5、计算(1)(2)m m m ++结果中，3m 项的系数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36、下列运算正确的是（）A ．（a 2）3＝a 6B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 7÷a ＝a 7D ．（﹣2a 2）3＝8a 6 7、()23a -的值是（） A ．5a - B ．6a C ．5a D ．6a -8、下列计算中，正确的是（）A ．3515a a a ⋅=B ．22a b ab +=C ．()2362a b a b =D ．()2224a a =++ 9、下列计算正确的是( )．A ．()33xy xy =B ．()222455xy x y -=- C ．()22439x x -=- D ．()323628xy x y -=- 10、下列计算中，结果正确的是（）A ．3515x x ⋅=B ．248x x x ⋅=C ．()236x x =D ．623x x x ÷=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、计算：|﹣2|﹣20210＋（12）﹣1＝______________．2、比较大小：4442____33333、若(x +x )(2x −4)的结果中不含x 的一次项，则a 的值为______．4、（﹣2021）0＝_____．5、计算：332a a ＋6a ÷2a ＝____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3（1）求（x ＋1）（y ＋1）的值；（2）求x 2＋y 2的值．2、化简：()()()2231x x x -+++．3、计算：20-211(3).93⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 4、计算（1）（3x ﹣2）（2x +y +1）．（2）62a （13ab ﹣2b ）﹣22a b （a ﹣b ）．5、计算：（1）53(9126)3x x x x +-÷（2）(-2x +1)(3x -2)-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据任何数（除了0以外）的零次幂都为1可直接进行求解．【详解】解：02022=1；故答案为1．【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键．2、A【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．【详解】解：A选项，原式＝4a，故该选项符合题意；B选项，原式＝b6，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a10，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了整式的计算：合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、幂的乘方法则，熟记各法则是解题的关键．3、B【分析】先计算各数，并与0比较大小，根据比0小的个数得出结论即可．【详解】解：021=＞0，2211339-==＞0，()111333--==--＜0，负数的个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，掌握有理数的幂运算，零指数幂，负指数幂，和比较大小是解题关键．4、A【分析】设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，利用面积和差求出面积即可判断．【详解】解：设正方形ABCD 和正方形BEFG 的边长分别为m 、n ，S 1＝S 正方形ABCD +S 正方形BEFG ﹣（S △ADE +S △CDG +S △GEF ）＝m 2+n 2﹣[12m （m +n ）+ 12m （m ﹣n ）+ 12n 2] ＝12n 2；∴S 1＝12S 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算．5、B【分析】根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，最后根据要求求解即可．【详解】解：∵(1)(2)m m m ++=232(32)32m m m m m m ++=++，∴3m 项的系数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．6、A【分析】根据同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A 、()326a a =，原选项正确，故符合题意； B 、235a a a ⋅=，原选项错误，故不符合题意；C 、76a a a ÷=，原选项错误，故不符合题意；D 、()32628a a -=-，原选项错误，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除运算、幂的乘方、积的乘方是解题的关键．【分析】根据幂的乘方法则计算即可．【详解】解：()23a-=6a，故选B．【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．8、C【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答．【详解】解：A. 3583+5=⋅=，故原选项计算错误，不符合题意；a a a aB. 2a与b不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. ()2362=，计算正确，符合题意；a b a bD. ()22+=++，故原选项计算错误，不符合题意．a a a244故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．【详解】解：A、()333xy x y=，故本选项不合题意；B、()2224-=，故本选项符合题意；xy x y525C、()224-=，故本选项不合题意；x x39D、(−2xy2)3=−8x3y6，故本选项正确故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．10、C【分析】根据整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则依次判断．【详解】解：A、3515x x⋅=x2，故该项不符合题意，B、246⋅=，故该项不符合题意，x x xC、()236=，故该项符合题意，x xD、624x x x÷=，故该项不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了整式的计算法则，正确掌握整式乘法的法则及幂的乘方法则、同底数幂除法法则是解题的关键．二、填空题1、3【分析】先化简绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可【详解】解：|﹣2|﹣20210＋(1)﹣12=2-1+2=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的意义，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．2、【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可．【详解】解：∵2444=（24）111=16111，3333=（33）111=27111，而16111<27111，∴2444<3333，故答案为：<．【点睛】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．3、2【分析】将原式化简后，将含有x 的项进行合并，然后令其系数为0即可求出答案．【详解】解：原式=2x 2−4x +2xx −4x=2x 2+(2x −4)x −4x令240a -=，2a ∴=，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的乘法法则，本题属于基础题型．4、1【分析】根据任何非0的数的零指数幂为1进行求解即可．【详解】解：()020211-=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握一个非0的数的零指数幂为1．5、47a【分析】由题意先计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后合并同类项即可得出答案.【详解】解：332a a ＋6a ÷2a ＝44467a a a +=.故答案为：47a .【点睛】本题考查整式的乘除，熟练掌握同底数幂的乘法和同底数幂的除法运算是解题的关键.三、解答题1、（1）112-（2）164【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．（1）（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1 =-3+12+1 =112- ；（2）（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy4=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．2、227x【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可.【详解】解：()()()2231x x x -+++224433x x x x x227x 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键.3、8.9【分析】先计算0次幂和负指数幂及绝对值和有理数的乘方运算，然后运用有理数的加减法法则计算即可．【详解】解：()20211393-⎛⎫--+--- ⎪⎝⎭ 1111999=-+-9【点睛】题目主要考查负指数幂、0指数幂、有理数的乘方，去绝对值，有理数的加减混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．4、（1）62x+3xy﹣x﹣2y﹣2（2）﹣42a2b【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可．（1）解：（1）（3x﹣2）（2x+y+1）＝62x+3xy+3x﹣4x﹣2y﹣2＝62x+3xy﹣x﹣2y﹣2．（2）解：原式＝62a×13ab﹣62a×2b﹣22a b×a+22a b×b＝23a b﹣62a2b﹣23a b+22a2b＝﹣42a2b．【点睛】本题考查了了整式的乘法，熟练掌握乘法运算的法则是解题的关键．5、（1）42342x x+-；（2）2672x x-+-【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可．【详解】（1）53x x x x+-÷(9126)3=53÷+÷+-÷x x x x x x(93)(123)(6)3=42+-；x x342（2）(-2x+1)(3x-2)=2x x x-++-6432=2-+-．x x672【点睛】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．。

北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除知识点总结及专题训练

第一章整式的乘除一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法则：mn nm a a =)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.2.),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==.3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。

6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n nb a ab =)(（n为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a,如1100=,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即ppa a 1=-( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.四. 整式的乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)

整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。

单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。

【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。

专题1.1 整式的乘除(精讲精练)(原卷版)【北师大版】

2019-2020学年七年级下学期期末考试高分直通车（北师大版）专题1.1整式的乘除（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】一．幂的运算 1.同底数幂的乘法：（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．m n m na a a +⋅=（m ，n 是正整数）（2）推广：m n p m n pa a a a ++⋅⋅=（m ，n ，p 都是正整数）2.幂的乘方与积的乘方：（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．()m nmna a=（m ，n 是正整数）（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．()nn n ab a b =（n 是正整数） 3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．m n m n a a a -÷=（a≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）4.零指数幂与负整数指数幂：零指数幂：a0=1（a≠0）负整数指数幂：1ppaa-=（a≠0，p为正整数）二．整式的乘法1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．三．整式的除法1.单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．四．乘法公式1.完全平方公式：（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．2.平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a-b）=a2-b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．【典例剖析】【例1】（2019秋•武汉期末）若a m•a2＝a7，则m的值为．【变式1-1】（2019秋•历下区期末）若a m＝3，a n＝﹣2，则a m+n＝．【变式1-2】（2019秋•历城区期末）若a4•a2m﹣1＝a11，则m＝．【变式1-3】（2019秋•耒阳市期末）已知a m＝2，a n＝5，则a m+n＝．【例2】（2019秋•浏阳市期末）已知a m＝2，a n＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝．【变式2-1】（2019秋•浦东新区期末）如果a m＝6，a n＝9，那么a2m+n＝．【变式2-2】（2019秋•南宁期末）已知2x＝a，32y＝b，y为正整数，则23x+10y＝．【例3】（2019秋•天心区校级期末）计算：（﹣4）2020×0.252019＝．【变式3-1】（2019秋•和平区期末）若a3m+n＝54，a m＝3，则a n＝．【变式3-2】（2019秋•福清市期末）若2x+3y+2＝0，则9x•27y的值是．【变式3-3】（2019秋•仁寿县期末）﹣12019+22020×（12）2021＝．【例4】（2019秋•安居区期末）若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y+1的值为．【变式4-1】（2019秋•南江县期末）已知x a＝2，x b＝9，则x3a﹣2b＝．【变式4-2】（2019秋•朝阳区期末）a x＝5，a y＝3，则a x﹣y＝．【变式4-3】（2019秋•遂宁期末）若3a＝2，3b＝5，则33a﹣2b＝．【例5】（2019秋•江汉区校级期末）满足等式（3x+2）x+5＝1的x的值为．【变式5-1】（2019秋•渝北区期末）若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件．【变式5-2】（2019秋•丰南区期末）若（x﹣2）x＝1，则x＝．【变式5-3】（2019秋•仁怀市期末）计算：(12)−2−(12)0=．【变式5-4】（2019秋•双清区期末）计算：（﹣2019）0+|﹣1|﹣（12）﹣1＝．【变式5-5】（2019秋•长白县期末）计算：（−13）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0【例6】（2019秋•九龙坡区期末）计算：3ab•2a2b＝．【变式6-1】（2019秋•潮州期末）计算：（2xy）2（﹣5x2y）＝．【变式6-2】（2019秋•海淀区期末）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝．【变式6-3】（2019秋•海淀区期末）计算2x5•x的结果等于．【例7】（2019春•澧县期末）计算：﹣3x2（x﹣6y）＝．【变式7-1】（2019秋•叙州区期末）若a2﹣3a﹣1＝0，则a（a﹣3）+2＝．【变式7-2】（2019秋•九龙坡区期末）已知my+z−x =nz+x−y=tx+y−z，则（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t的值为．【变式7-3】（2018秋•新建区期末）若（x2﹣a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，则a的值是．【例8】（2019秋•黄冈期末）已知（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣6y2，则m2n+mn2的值为．【变式8-1】（2019秋•青山区期末）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为．【变式8-2】（2019秋•江岸区期末）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+12，其中p，q为正整数，则m＝．【变式8-3】（2019秋•博白县期末）已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+2）（b+2）的值是．【例9】（2019秋•武汉期末）已知实数a，b满足a﹣b＝3，ab＝2，则a+b的值为．【变式9-1】（2019秋•宜城市期末）若（x+y）2＝19，（x﹣y）2＝5，则x2+y2＝．【变式9-2】（2019秋•仁怀市期末）若x+y＝﹣2，x2+y2＝10，则xy＝（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【变式9-3】（2020•浙江自主招生）已知x满足（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8，则（x﹣2015）2的值是．【例10】（2019秋•渝北区期末）已知x2﹣y2＝2019，且x＝673﹣y，则x﹣y＝．【变式10-1】（2019秋•大同期末）已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为．【变式10-2】（2019秋•仁怀市期末）若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值为．【例11】（2019秋•新乡期末）计算（1）﹣a6•a5÷a3+（﹣2a2）4﹣（a2）3•（﹣3a）2（2）（2x﹣y）2﹣4x（x﹣y）【变式11-1】（2019秋•息县期末）计算下列各题：（1）(−13)−2+(2019−π)0−(−3)2；（2）（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）．【变式11-2】（2019秋•新洲区期末）计算（1）（2x）3・（﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2（2）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）考点12整式的化简求值【例12】（2019秋•开福区校级期末）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a=1 2．【变式12-1】（2019秋•安居区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1．【变式12-2】（2019秋•攀枝花期末）先化简，再求值：[（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（x+2y）（3x﹣2y）]÷x，其中x＝2，y＝﹣1.6【变式12-3】（2019秋•博白县期末）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x=12，y＝﹣2．考点13完全平方公式的几何背景【例13】（2019秋•荆州区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．【变式13-1】（2019秋•东莞市期末）如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝35，ab＝23，求a+b的值；（3）已知（5+2x）2+（3﹣2x）2＝60，求（5+2x）（3﹣2x）的值．【变式13-2】（2019秋•内江期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．考点14平方差公式的几何背景【例14】（2019秋•德化县期末）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．【变式14-1】（2019秋•松滋市期末）观察下列各式发现规律，完成后面的问题：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1．（1）12×14＝，99×101＝；（2）n（n+2）＝（）2﹣1（n为整数）．（3）童威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米（长、宽均为整数），为了扩大菜园面积，童威用原来的篱笆围成一个正方形，童威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由．。

整式的乘除(北师版)(含答案) (1)

学生做题前请先回答以下问题问题1：单项式×单项式：_____乘以_____，______乘以_____．单项式÷单项式：_____除以_____，_____除以_____．问题2：单项式×多项式：根据________________，转化为_________．多项式×多项式：根据________________，转化为_________．问题3：多项式÷单项式：借用____________，转化为_________．整式的乘除（北师版）一、单选题(共16道，每道6分)1.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式2.下列运算错误的是( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式3.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：单项式乘多项式4.如果长方体长为，宽为，高为，则它的体积是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式乘单项式5.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式6.下列各式计算结果为的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式7.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：合并同类项8.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式9.已知，则m+n的值为( )A.1B.-1C.-2D.-3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式10.若，则括号里所填的代数式为( )A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：整式的除法11.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的除法12.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的乘除13.下列式子：①；②；③；④．其中计算不正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：积的乘方14.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的除法15.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的除法16.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式的乘除。

北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1）＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

北师大版七年级数学下册《整式的乘除》测试卷及答案

北师大版七年级数学下册第 1 章《整式的乘除》单元测试试卷及答案（1）一、选择题1．P M2.5 是指大气中直径小于或等于 0.000 002 5 m 的颗粒物，将 0.000 002 5 用科学记数法表示为( )．A ．0.25×10－5B ．0.25×10－6C ．2.5×10－5D ．2.5×10－62．李老师做了个长方形教具，其中一边长为 2a ＋b ，另一边长为 a －b ，则该长方形的面积为)．( A ．6a ＋b B ．2a －ab －b C ．3a D ．10a －b2 2 3．计算：3 的结果是( )．－2 1 9 1 9A ．－9B ．－6C ．－ D. 4．计算(－a －b) 等于( )．2 A ．a ＋b B ．a －b C ．a ＋2ab ＋b D ．a －2ab ＋b2 2 22 2 2 2 2 5．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是( A ．(1＋x)(x ＋1) B ．(2 a ＋b)(b －2 a) )． C ．(－a ＋b)(a －b) D ．(x －y)(y ＋x) －1 －12 2 6．一个长方体的长、宽、高分别为 3a －4,2a ，a ，则它的体积等于( A ．3a －4a B ．a C ．6a －8a D ．6a －8a)．3 2 2 3 2 3 7．计算 x －(x －5)(x ＋1)的结果，正确的是( )．2 A ．4x ＋5 B ．x －4x －5 C ．－4x －5 D ．x －4x ＋52 2 8．已知 x ＋y ＝7，xy ＝－8，下列各式计算结果正确的是( )．A ．(x －y) ＝91B ．x ＋y ＝65C ．x ＋y ＝511D ．(x －y) ＝5672 2 2 2 2 2 9．下列各式的计算中不正确的个数是( ①10 ÷10 ＝10 ②10 ×(2×7) ＝1 000 )．0 －1 －40 ③(－0.1) ÷(－2 ) ＝8 ④(－10) ÷(－10 ) ＝－1 0 －1 －3 －4 －1 －4 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题10．用小数表示 1.21×10 是________．－4 11．自编一个两个单项式相除的题目，使所得的结果为－ 6a ，你所编写的题目为 3 ________________________________________________________________________．12．已知(9 ) ＝3 ，则 n ＝__________.n 2 8 13．长为 3m ＋2n ，宽为 5m －n 的长方形的面积为__________．14．用小数表示 3.14×10 ＝__________. －415．要使(ax －3x)(x －2x －1)的展开式中不含 x 项，则 a ＝__________.2 23 16．100 ·1 000的计算结果是__________． m n 三、解答题17．计算：112 －113×111. 21 218．先化简，再求值：(a b －2ab －b )÷b －(a ＋b)(a －b)，其中 a ＝，b ＝－1. 2 2 3 19．先化简，再求值：(3x －y) －(2x ＋y) －5x(x －y)，其中 x ＝0.2，y ＝0.01.2 2 20．如图，一块半圆形钢板，从中挖去直径分别为x ，y 的两个半圆：(1)求剩下钢板的面积；(2)若当x＝4，y＝2时，剩下钢板的面积是多少？(π取3.14)21．在一次联欢会上，节目主持人让大家做一个猜数的游戏，游戏的规则是：主持人让观众每人在心里想好一个除0以外的数，然后按以下顺序计算：(1)把这个数加上2后平方；(2)然后再减去4；(3)再除以原来所想的那个数，得到一个商．最后把你所得到的商是多少告诉主持人，主持人便立即知道你原来所想的数是多少，你能解释其中的奥妙吗？22．八年级学生小明是一个喜欢思考问题而又乐于助人的好学生，一天邻居家读小学的小李，请他帮忙检查作业：7×9＝63；8×8＝64；11×13＝143；12×12＝144；24×26＝624；25×25＝625.小明仔细检查后，夸小李聪明，作业全对了！小明还从这几题中发现了一个规律，你知道小明发现了什么规律吗？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性．参考答案1．D 点拨：0.000 002 5＝2.5×10 ，故选 D. －62．B 点拨：根据长方形的面积＝长×宽可列出代数式为：长方形的面积＝(2a ＋b )· (a －b)，然后计算整理化为最简形式即可．1 1 3 92 3．D 点拨：3 ＝＝ . －2 4．C 点拨：本题主要考查我们对完全平方公式的理解能力，如何确定用哪一个公式，主要看两数的符号是相同还是相反．5．B 点拨：本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．6．C 点拨：本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．7．A 点拨：x －(x －5)(x ＋1)＝x －(x －4x －5)＝4x ＋5.2 2 2 8．B 点拨：(x －y) ＝(x ＋y) －4xy ＝7 －4×(－8)＝81；x ＋y ＝(x ＋y) －2xy ＝7 －2×(－8)2 2 2 2 2 2 2 ＝65.9．B 点拨：根据零指数幂、负指数幂和有理数的乘方等知识分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．10．0.000 121 点拨：根据负指数幂的意义把 10 的负指数幂转化为小数即可. 1.21×10 ＝－41.21×0.000 1＝0.000 121.11．答案不唯一，如－12a ÷2a5 2 12．2 点拨：先把 9化为 3 ，再根据幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘，即可得 n 2n 出 4n ＝8，从而求得 n 的值．13．15m ＋7mn －2n 点拨：本题考查了整式的乘法运算，涉及长方形的面积公式，正确列出 2 2 代数式是解答本题的关键．14．0.000 314 15．－3 点拨：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项2时，应让这一项的系数为 0，同时要注意各项符号的处理．16．102m ＋3n 点拨：100 ·1 000 ＝(10 ) · (10 ) ＝10 ·10 ＝102m ＋3n . m n 2 m 3 n 2m 3n 17．解：原式＝112 －(112＋1)(112－1)2 ＝112 －(112 －1)2 2 ＝112 －112 ＋12 2 ＝1.18．解：(a b －2ab －b )÷b －(a ＋b)(a －b)2 23 ＝a －2ab －b －(a －b )2 2 2 2 ＝a －2ab －b －a ＋b2 2 2 2 ＝－2ab .1 当 a ＝，b ＝－1 时， 21 2原式＝－2× ×(－1)＝1. 点拨：本题考查多项式除单项式，平方差公式，运算时要注意符号．19．解：原式＝9x －6xy ＋y －(4x ＋4xy ＋y )－5x ＋5xy ＝－5xy .2 2 2 2 2 当 x ＝0.2，y ＝0.01 时，原式＝－5×0.2×0.01＝－0.01.1 ＋＋ 1 x y2 x 2 y 2 20．解：(1)S ＝ ·π· 剩－＝ π . xy 2 4 4 4 π 4答：剩下钢板的面积为 xy . 1 4 (2)当 x ＝4，y ＝2 时，S ＝ ×3.14×4×2＝6.28. 剩点拨：本题考查了完全平方公式，(1)中注意大圆的半径需从图上得出，注意这里都是半圆．21．解：设这个数为 x ，据题意得，[(x ＋2) －4]÷x2＝(x＋4x＋4－4)÷x2＝x＋4.如果把这个商告诉主持人，主持人只需减去4就知道你所想的数是多少．点拨：本题考查了完全平方公式，多项式除单项式，读懂题目信息并列出算式是解题的关键．22．解：n(n＋2)＝(n＋1)－1.2点拨：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．参考答案1．D 点拨：0.000 002 5＝2.5×10 ，故选 D. －62．B 点拨：根据长方形的面积＝长×宽可列出代数式为：长方形的面积＝(2a ＋b )· (a －b)，然后计算整理化为最简形式即可．1 1 3 92 3．D 点拨：3 ＝＝ . －2 4．C 点拨：本题主要考查我们对完全平方公式的理解能力，如何确定用哪一个公式，主要看两数的符号是相同还是相反．5．B 点拨：本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．6．C 点拨：本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．7．A 点拨：x －(x －5)(x ＋1)＝x －(x －4x －5)＝4x ＋5.2 2 2 8．B 点拨：(x －y) ＝(x ＋y) －4xy ＝7 －4×(－8)＝81；x ＋y ＝(x ＋y) －2xy ＝7 －2×(－8)2 2 2 2 2 2 2 ＝65.9．B 点拨：根据零指数幂、负指数幂和有理数的乘方等知识分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．10．0.000 121 点拨：根据负指数幂的意义把 10 的负指数幂转化为小数即可. 1.21×10 ＝－41.21×0.000 1＝0.000 121.11．答案不唯一，如－12a ÷2a5 2 12．2 点拨：先把 9化为 3 ，再根据幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘，即可得 n 2n 出 4n ＝8，从而求得 n 的值．13．15m ＋7mn －2n 点拨：本题考查了整式的乘法运算，涉及长方形的面积公式，正确列出 2 2 代数式是解答本题的关键．14．0.000 314 15．－3 点拨：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项2时，应让这一项的系数为 0，同时要注意各项符号的处理．16．102m ＋3n 点拨：100 ·1 000 ＝(10 ) · (10 ) ＝10 ·10 ＝102m ＋3n . m n 2 m 3 n 2m 3n 17．解：原式＝112 －(112＋1)(112－1)2 ＝112 －(112 －1)2 2 ＝112 －112 ＋12 2 ＝1.18．解：(a b －2ab －b )÷b －(a ＋b)(a －b)2 23 ＝a －2ab －b －(a －b )2 2 2 2 ＝a －2ab －b －a ＋b2 2 2 2 ＝－2ab .1 当 a ＝，b ＝－1 时， 21 2原式＝－2× ×(－1)＝1. 点拨：本题考查多项式除单项式，平方差公式，运算时要注意符号．19．解：原式＝9x －6xy ＋y －(4x ＋4xy ＋y )－5x ＋5xy ＝－5xy .2 2 2 2 2 当 x ＝0.2，y ＝0.01 时，原式＝－5×0.2×0.01＝－0.01.1 ＋＋ 1 x y2 x 2 y 2 20．解：(1)S ＝ ·π· 剩－＝ π . xy 2 4 4 4 π 4答：剩下钢板的面积为 xy . 1 4 (2)当 x ＝4，y ＝2 时，S ＝ ×3.14×4×2＝6.28. 剩点拨：本题考查了完全平方公式，(1)中注意大圆的半径需从图上得出，注意这里都是半圆．21．解：设这个数为 x ，据题意得，[(x ＋2) －4]÷x2＝(x＋4x＋4－4)÷x2＝x＋4.如果把这个商告诉主持人，主持人只需减去4就知道你所想的数是多少．点拨：本题考查了完全平方公式，多项式除单项式，读懂题目信息并列出算式是解题的关键．22．解：n(n＋2)＝(n＋1)－1.2点拨：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．参考答案1．D 点拨：0.000 002 5＝2.5×10 ，故选 D. －62．B 点拨：根据长方形的面积＝长×宽可列出代数式为：长方形的面积＝(2a ＋b )· (a －b)，然后计算整理化为最简形式即可．1 1 3 92 3．D 点拨：3 ＝＝ . －2 4．C 点拨：本题主要考查我们对完全平方公式的理解能力，如何确定用哪一个公式，主要看两数的符号是相同还是相反．5．B 点拨：本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．6．C 点拨：本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．7．A 点拨：x －(x －5)(x ＋1)＝x －(x －4x －5)＝4x ＋5.2 2 2 8．B 点拨：(x －y) ＝(x ＋y) －4xy ＝7 －4×(－8)＝81；x ＋y ＝(x ＋y) －2xy ＝7 －2×(－8)2 2 2 2 2 2 2 ＝65.9．B 点拨：根据零指数幂、负指数幂和有理数的乘方等知识分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．10．0.000 121 点拨：根据负指数幂的意义把 10 的负指数幂转化为小数即可. 1.21×10 ＝－41.21×0.000 1＝0.000 121.11．答案不唯一，如－12a ÷2a5 2 12．2 点拨：先把 9化为 3 ，再根据幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘，即可得 n 2n 出 4n ＝8，从而求得 n 的值．13．15m ＋7mn －2n 点拨：本题考查了整式的乘法运算，涉及长方形的面积公式，正确列出 2 2 代数式是解答本题的关键．14．0.000 314 15．－3 点拨：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项2时，应让这一项的系数为 0，同时要注意各项符号的处理．16．102m ＋3n 点拨：100 ·1 000 ＝(10 ) · (10 ) ＝10 ·10 ＝102m ＋3n . m n 2 m 3 n 2m 3n 17．解：原式＝112 －(112＋1)(112－1)2 ＝112 －(112 －1)2 2 ＝112 －112 ＋12 2 ＝1.18．解：(a b －2ab －b )÷b －(a ＋b)(a －b)2 23 ＝a －2ab －b －(a －b )2 2 2 2 ＝a －2ab －b －a ＋b2 2 2 2 ＝－2ab .1 当 a ＝，b ＝－1 时， 21 2原式＝－2× ×(－1)＝1. 点拨：本题考查多项式除单项式，平方差公式，运算时要注意符号．19．解：原式＝9x －6xy ＋y －(4x ＋4xy ＋y )－5x ＋5xy ＝－5xy .2 2 2 2 2 当 x ＝0.2，y ＝0.01 时，原式＝－5×0.2×0.01＝－0.01.1 ＋＋ 1 x y2 x 2 y 2 20．解：(1)S ＝ ·π· 剩－＝ π . xy 2 4 4 4 π 4答：剩下钢板的面积为 xy . 1 4 (2)当 x ＝4，y ＝2 时，S ＝ ×3.14×4×2＝6.28. 剩点拨：本题考查了完全平方公式，(1)中注意大圆的半径需从图上得出，注意这里都是半圆．21．解：设这个数为 x ，据题意得，[(x ＋2) －4]÷x2＝(x＋4x＋4－4)÷x2＝x＋4.如果把这个商告诉主持人，主持人只需减去4就知道你所想的数是多少．点拨：本题考查了完全平方公式，多项式除单项式，读懂题目信息并列出算式是解题的关键．22．解：n(n＋2)＝(n＋1)－1.2点拨：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．。

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