专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(北师大版)(原卷版)
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型
【北师大版】
【考点1 幂的基本运算】
【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【例1】（2019?黔东南州期中）下列运算正确的是（ ）
A ．x 2+x 3＝x 5
B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6
C ．x 2?x 3＝x 6
D ．x 6÷x 2＝x 3
【变式1-1】（2019?蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）
A．3x3?2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4y
C．（2x2）3＝6x6D．x5÷x＝2x4
【变式1-2】（2019?淄博期中）下列运算正确的是（）
A．a2?a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【变式1-3】（2019春?成安县期中）下列运算正确的是（）
A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4
B．5x2?（3x3）2＝15x12
C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7
D．（2×10n）（×10n）＝102n
【考点2 因式分解的概念】
【方法点拨】因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。
【例2】（2019春?莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【变式2-1】（2019春?邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【变式2-2】（2019秋?西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣1＝x（x﹣）
【变式2-3】（2019春?瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1
【考点3 幂的混合运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.
【例3】（2019春?铜山区期中）计算：
（1）（y2）3÷y6?y
（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
【变式3-1】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【变式3-2】（2019秋?资中县月考）计算：
（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4
（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．
【变式3-3】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2
【考点4 幂的逆向运算】
【例4】（2019春?茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．
（1）求x2m的值；
（2）求x m+n的值；
（3）求x3m﹣2n的值．
【变式4-1】（2019春?天宁区校级期中）根据已知求值：
（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；
（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．
【变式4-2】（2019春?丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
【变式4-3】（2019春?盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【考点5 整式化简求值】
【例5】（2018春?高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．
【变式5-1】（2018秋?南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．
【变式5-2】（2019春?成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
【变式5-3】（2019春?青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．
【考点6 分解因式】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例6】（2019秋?惠民县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
（2）8ab﹣8b2﹣2a2．
【变式6-1】（2019春?娄底期中）因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
【变式6-2】（2018春?临清市期末）因式分解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
【变式6-3】（2019秋?和平区期末）分解因式：
（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【考点7 利用因式分解求值】
【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．
【变式7-1】（2019秋?崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
【变式7-2】（2019秋?西城区校级期中）已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【变式7-3】利用分解因式求值．
（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
【考点8 利用乘法公式求值】
【例8】（2019春?新津县校级月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：
（1）（m+n）2的值；
（2）m2﹣5mn+n2的值．
【变式8-1】（2019春?杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
【变式8-2】（2019春?邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；
（2）m2+n2﹣mn．
【变式8-3】（2019春?杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；
（2）6ab．
【考点9 因式分解探究题】
【例9】（2018秋?江汉区校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．
【变式9-1】（2017春?靖江市校级期中）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3
问题：
（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．
（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？
【变式9-2】（2019春?上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3+3x2﹣4．
解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x ﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．
【变式9-3】（2018秋?雨花区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x
﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【考点10 乘法公式探究题】
【例10】（2019春?东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x?y＝，则x﹣y＝；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．
【变式10-1】（2019春?牟定县校级期末）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
方法一：；方法二：；
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【变式10-2】（2018春?怀远县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图
2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．
（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
【变式10-3】（2019春?槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1；方法2．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．