圆锥曲线专题五轨迹问题
圆锥曲线的轨迹方程问题(教师版)
圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2， 可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。
圆锥曲线轨迹问题题型及解题方法
动点满足的条件简单明了时，直接列出条件、代入坐标求解
如已知动点P到两定点的距离之和为常数，求P的轨迹
定义法
利用圆锥曲线的定义建立关系式求解
如动点到两定点的距离之差为常数，求动点的轨迹（双曲线）
代入法（相关点法）
动点P随另一动点Q的运动而有规律运动，且Q的轨迹已知，代P的轨迹
圆锥曲线轨迹问题题型及解题方法
题型
解题方法
示例说明
数形结合确定
利用弦AB的垂直平分线L的方程，结合点差法或韦达定理求解
如求L在x轴y轴上的截距的取值范围，或L过某定点等
动弦过定点问题
分析动弦与定点的关系，利用方程联立求解
如动弦AB过定点C，求相关参数或轨迹
过已知曲线上定点的弦问题
利用已知点建立方程，结合曲线方程求解
参数法
动点坐标不易直接表示时，引入参数建立方程求解
如动点P的坐标与某参数t有关，通过消去t得到P的轨迹方程
交轨法
求两动曲线交点轨迹时，消去参数得到轨迹方程
如求两动直线的交点轨迹，通过联立方程消去参数求解
如过椭圆上一定点P作弦AB，求弦AB的性质
共线向量问题
利用向量共线条件建立方程，求解动点轨迹或参数
如求向量AP与BP共线时，动点P的轨迹
面积问题
利用面积公式，结合曲线方程求解
如求三角形ABC的面积，其中A、B为曲线上的动点
弦或弦长为定值、最值问题
利用弦长公式或距离公式，结合曲线方程求解
如求椭圆上弦AB的长度为定值或最值
圆锥曲线轨迹问题
圆锥曲线轨迹问题1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，12O O 2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。
求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF 求点T 的轨迹C 的方程；【解析】 解法一：（相关点法）设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：（几何法） 设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
圆锥曲线——轨迹方程
圆锥曲线技巧——轨迹方程一、直接翻译法题型：动点M 满足。
条件，可由M 坐标直接翻译为等式关系。
即设M （x ，y ），f(x,y)=01、已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M 满足直接AM 与 直线BM 的斜率之积为-21，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的轨迹方程。
（*：斜率要注意存在问题；本题答案：x 2/4+y 2/2=1（x ≠±2））2、已知点A （0，-1），点B 在直线y=-3上，动点M 满足MB ∥OA 且AB MA •=BA MB •，求动点M 轨迹方程。
（本题答案：0842=--y x ）3、已知圆O ：0222=-+y x ，圆O ':010822=+-+x y x ，由点P 向两圆引切线长相等，求点P 的轨迹方程。
二、四大定义法如果吻合曲线四大定义，则直接写出曲线方程即可。
例题1：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足421=+PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：线段例题2：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足221=-PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：双曲线的一支例题3：已知动点M 到点)1,2(F 的距离和到直线01043:=-+y x l 的距离相等，则M 点的轨迹为（）答案：直线1、已知动圆P 过定点A （-3,0），且与圆64)3(:22=+-y x B 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
2、已知圆25)1(:22=++y x C ，Q 为圆C 上任意一点，点A （1,0），线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连接线相交于点M ，求点M 的轨迹方程。
（提示：垂直平分线的性质定理，即垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）3、已知动圆P 与圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆1)3(:222=+-y x O 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
4、已知动圆P 与定圆1)2(:22=++y x C 外切，又与定直线1:=x l 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
聚焦圆锥曲线中的轨迹问题
＿＿
＿
＿＿＿
豳稳 回国 国翁 ０国恐 国 向豳
＿ 一 李 英 性
＿ ｌ
轨 迹 是 动 点 按 照 某 种 规 律 运 动 所 形 成 的 曲线 ，就 是 满 足 某 种 条 件 的 点 的 集 所 以点 Ⅳ 的轨 迹 方 程 为 ＝４ ． ｘ
二 、定 义 法
、
ｆ ＋ｂ ＝９ 。 ．
由题 意 得 Ｎ（ ，２ ） １ ｂ，
所 以（ —１ ２ ）＝２． １ ）＋（ｂ ２ 解 得 ｂ＝± ， １
轨迹 方 程 ，然后 整 理得 Ｐ的轨 迹 方程 ， 代人法也称相关点法． 例 ３ 在 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ中 ， 椭 圆 Ｏ ＝ｌａ＞ｂ＞０ 的 左 、右 焦 点 （ ）
含 ，Ｙ的等式 ，就得到 轨迹方程 ，这种 、 （一 ／
） ＋ ／ ＋ 、（＋
） ： ． ： ＋ ４
方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹 所 以 点 Ｐ（ ， 到 点 （ ／ ， ０ ， ，） ） 一、 ） 的方 程 一 般 有 建 系设 点 、列 式 、代 换 、化
＂
． ． ．
得Ｘ １ ２
，
Ｙ ・＝
ｆ（ ，Ｙ ：０轨迹问题实际上是 综合问题 ， 接写出轨迹方程 ，或从 曲线定义出发建立 ｘ ）
－
它可以与各重要数学知识相结合 ，考查综 关系式 ，从 而求 出轨迹方程．
合运 用知 识 的能 力 ．轨迹 就 是特 殊 的 曲 例 ２ 已知 ｉ Ｊ分别 是 轴 正方 向 、 ， 线 ，解析几何解决 的主要问题就是通 过曲 Ｙ轴正方 向上的单位向量 ，设 、Ｙ 都是实
参数） ，使 、Ｙ之间建立 （ ／ ，０ 为 焦 点 的 椭 圆 ， 且 ２ 借助 中间变量 （ 、３ ） ｎ＝ 起联系 ，然 后再从所求式 子 中消去参数 ， ４， ２ ＝ ２ｘ／３ ｃ
圆锥曲线之轨迹问题(有答案)
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
圆锥曲线中轨迹问题的解法透视
点评 ： 本题 解 法 ， 利 用题 目条件 设出 Ｐ、 Ｑ的 坐标 ， 根据 向量表 达式直 接将 向量 坐标 代入 求 出
轨迹 方 程 。
所 以虚半轴长 ｂ＝￣ ２ 从而 动圆 Ｐ ／ｃ 一。 ：√ ．
¨
ｆ
．
２
２
／
的圆心的轨迹方程为 一 ＝１ 々 （ ≤一 ２。 √）
求解轨迹 方程 有时 很难 直接 找 出动 点 的横 坐
标、 纵坐标之 间的关 系 ， 可借助 中问变 量 （ 则 参数 ） ，
建立起联系 ， 然后再从所求式子 中消去参数 ， 出动 得
点 的轨 迹 方 程 。
０点 Ｔ 一１１在 Ａ ， （ ，） Ｄ边所 在直线上 。
（ 作者单位 ： 湖南省汉寿县龙池 实验 中学）
、
＝ 要 … 二
． “ ， …
… … 又 为 ＇ １ ） 直 Ｄ 所以Ａ 边 因 点７一 ， 在 线Ａ 上， Ｄ 所在 （ １
，
为 、 … ， ，
”
：１ｘｙ ＝ ＋一 ） ＋＋ Ｏ ， ２ ｏ ３
的 式，而 到 迹 程 这 方 叫 接 等 从 得 轨 方 ，种 法 直 法
（ ＋ １ ０ （ ， ）・ ２，一Ｙ）
（ —Ｉｙ ・ 一２ ｙ ， ， ）（ ， ）化 简得 Ｃ： ｘ Ｙ ：４ 。
：
ｌ Ｎｌ ２ ２ Ｐ ＝ √ 。故点 Ｐ的轨迹是 以 Ｍ， Ⅳ为焦点 ， 实
ｐ ／
轴长 为 ２ ２ √ 的双 曲线 的左支 。因为实 半轴 长 ｎ＝
√ ， 焦距 ｃ 。 ２半 ＝２
缈 ， 。 恢 刚 。 。 。＾
对线交 为（ 角的点 ２ ，
＝ ２ 。
点过 作 线 的 线垂— ｉ — — ，Ｐ 直 ｚ垂 ， ＿－ ｒ — ｔ
高中数学复习专题讲解与练习-----轨迹问题
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【解析】：由题设
F
(
1 2
,0)
.设
l1
:
y
=
a,
l2
:
y
=
b
，则
ab
≠
0
，且
A(
a2
,
a),
b2 B(
, b),
P(−
1
,
a),
Q(−
1
, b),
R(−
1
,
a
+
b)
.
2
2
2
2
22
记过 A, B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x − (a + b) y + ab = 0 .
（Ⅰ） 由于 F 在线段 AB 上，故1+ ab = 0 .记 AR 的斜率为 k1 ， FQ 的斜率为 k2 ，则
标分别为 ( x1, y1 ) ，
(
x2
,
y2
)
，则联立
{
x2 y=
= 4y kx +1
，得 x2 − 4kx − 4 = 0 ①，易得抛物线 x2 = 4 y 在点 A 处
的切线方程为
y
−
1 4
x12
=
1 2
x1 ( x
−
x1 ) ，同理可得抛物线
x2
=
4y
在点
B
处的切线方程为
y
−
1 4
x22
∥ （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
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圆锥曲线专题五：轨迹问题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、 性质有着密切的关系。
在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和 具体方法。
探求曲线轨迹的基本方法主要有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法(代 入法)、参数法。
(1)已知A(2,3)且|PA|=7，则点P 的轨迹是 圆(2) 已知：ABC 的一边BC 的长为6,周长为16,则顶点A 的轨迹是什么？(椭圆，除去与 BC 边共线的两个顶点。
)若A( -1,0), B(5,0)且| MA | - | MB 4则点M 的轨迹是 双曲线右支(4) (5) 致是1 1b .0,因此--0,所以有：椭圆的焦点在 y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.a -a(6) 已知圆C ： x 2 +y 2 +6x-91 =0及圆内一点P (3, 0),求过点P 且与已知圆内切的圆 的圆心M 的轨迹方程。
分析：(1 )圆C 的半径与圆心坐标可定。
(2) 两圆内切可得：外圆半径=内圆半径+连心距。
(3) 动点M 满足的等量关系：| MC| + | MP | = 10> | PC |(4) 由定义可确定动点 M 的轨迹为以P 、C 为焦点的椭圆。
(7) 已知动圆与圆 C 1 : (x 5)2 y^ 49和圆C 2： (x - 5)2 y 2 = 1都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
分析：(1 )从已知条件可以确定圆C 、G 的圆心与半径。
(2) 两圆外切可得：两圆半径和=圆心距 (3) 动圆半径r,依题意有r 1 + r = | P C 1 | , r 2 + r = | P C 2 |两式相减得：| PC 1 | -- | PC 2 | = r 1 -r 2 < | C 1 C 2|(3) b答案：D过点(2，3)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？(抛物线) a(a . b . 0)的曲线大=1, y^ -- x .因为b1(4)由双曲线定义得：点P的轨迹是C1、G以为焦点的双曲线的右支。
(5)再根据题设条件求出参数a、b即可。
一、定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。
这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件.例1、已知△ ABC中，A,. B,. C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2, 求顶点C 的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为2 2x y ’14,焦距为2,短轴长为2 3, A椭圆方程为4 3 ,又a>b, A点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x^—2,2 2x +y =1 因此点C的轨迹方程是：43 (—2<x<0)评析：定义法的关键是条件的转化一一转化成某一基本轨迹的定义条件。
二、直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；常见的等量关系：已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式、几何量中的等量关系等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例2动点P (x,y )到两定点A (- 3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于2,求动点P的轨迹方程。
解：•.•|PA|=3)2一y2,|PB|「.(x 匚3)2一y2| PA | (x 3) y代入両「2得(X-3)2• y22 2化简得(X—5)y二16，轨迹是以(5, 0)为圆心，4为半径的圆PA2 PB2 = PC2二(x -h)2 (y」)2 (x - h)2 (y h )2 = x2 y2 J3 J3— . 2 2 2 2=2 - (x 3) y = 4(x -3) 4y例3动点P到一高为h的等边△ ABC两顶点A B的距离的平方和等于它到顶点C的距离平方，求点P的轨迹？解以C为原点，AB上的高线CD所在直线为x轴建立直角坐标系设动点P (x,y ),则h, '3),h,B (h3)列出等式224 2(x_2h)2 +y 2 =—h 2化简得 3评析：1、 用直接法求动点轨迹一般有建系 ，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明 可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2、 求轨迹方程一般只要求出方程即可， 求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
三、相关点代入法若轨迹点P ( x ,y )依赖于某一已知曲线上的动点Q( x o , y 0)，则可先列出关于 x 、y, x o 、y o 的方程组，利用x 、y 表示出x o 、y o ，把x 。
、y 。
代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程。
2 2例4已知P 是以"2为焦点的双曲线缶七"上的动点，求" F ^2P 的重心G 的轨迹方程。
解设重心 G( x, y )，点 P (x o , y o ),得所求轨迹方程 N —y 2/ (y 工o )16评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
练习1:如图所示，已知 P (4 , o)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上 两动点，且满足/ APB=9o °,求矩形 APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程， 属★★★★★级题目 .知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求 Q 的轨迹方程，应先求 R 的轨迹方程，若学生思考不 深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方解：设 AB 的中点为 R 坐标为(x ,y )，则在Rt △ ABP 中，| AR =| PR.22222又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR =| AO T OR =36— (x +y ) 又 |AR =| PR = ..(x-4)2 y 2所以有(x — 4) 2+y 2=36 — (x 2+y 2),即 x 2+y 2 — 4x — 1o=o 因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设Qx,y ), R ；X 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以因为 F i (-4 , o ), F 2 (4, o )则有_4 +4 十xox =3 y o oyo故严° =3x 代入yo =3yX 1=x 24,y1=o2 216 9代入方程x 2+y 2 — 4x — 10=0,得 （宁）2（尹_4 宁-10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 四、参数法求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
常用的参数：有点参数，角（0 ）参数,斜率（k ）参数,定比（入）参数,用此法要注意参数的实际意义 .2 2y x ’1例9、已知椭圆7525,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
例10如图，设点A 和B 为抛物线y 2= 4px （p>0）上原点0以外的两个动点， 且OAL OB,过O 作OM L AB 于M 求点 M 的轨迹方程.解 1 （常规设参）设 M （x,y ） , A （X 1,yJ, B （x 2,y 2）,贝U2y 1 =4pxi y2 =4px2里摆"二」解2 （变换方向）设OA 的方程为y=kx （k 丰0）则OB 的方程为y 二一丄xkf（ 1由 I得 A （空,空）， 由」^_k x 得 B （2pk 2,-2pk ）y=2px 以 ky 2=2px所以直线AB 的方程为 y=—k —（x —2p ）①1 _k 22 由A,M B 共线得y_y 〔 = 4p& _乩） y 〔 +y 2 4px1 x2C 1yi —y2 _y 1 --------- •— =T xi 一x2 x2y 1y2 - -16p4py ©） y2 二 x则y 也x.Q 〜y1卄2 y1卄2把（探）代入上式得 2x 丄4px 八—冃 y化简得 y yM 的轨迹方程为 2 2x +y -4px=0（x 丰0）BAOMA(x i,y i), B(x 2,y2)则 =—空(x0 +y0) x0又因为OAL OB 所以yiy2 =/6p2故一严代+y0)= _l6p2即x0+y0 _4px° =0 所以M点的轨迹方程为x2• y2」px =0(x =0)五、交轨法求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
1例11设ab = 0，则不论k取何值，直线bx ■ ay = —与直线bx - ay = k的交点一定在k( )A、一个圆上B、椭圆上C、双曲线上D、抛物线上2 2例12已知MN是椭圆- y 1中垂直于长轴的动弦,a2 b2A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。
解1:(利用点的坐标作参数)令Mg,y 1 )，则N(X1,-y 1)而A(-a,0),B(a,0). 设AM与NB的交点为P(x,y)因为A, M, P共线.所以yx ay1 X1 a因为N, B,P共线•所以y =_ y1x -a x〔— ay2-2两式相乘得- y-=——y1•①，而x2 -a2x/ —a2X12 y12 a21即y1b22a2x2 得一2 2x a b2a2，即交点P的轨迹方程为2 2—=1a2b2六、韦达定理法有些轨迹问题，其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是，根据题设构造出个一元二次方程，利用韦达定理来探究，则往往能消除一些参变量，迅速求得轨迹方程.例13过抛物线y=x2的顶点0,任作两条互相垂直的弦OA,OB,若分别以OA,OB为直径作圆，求两圆的另一交点C的轨迹方程.解：设A,B两点的坐标分别为("，年)，(t2,t|),则由OAL OB得t 1t 2=- 1因为以OA为直径的圆方程为y -t乙-y = -1= x2丫2-/-^^"①X _ t[ X 1同理以OB 为直径的圆方程为x 2 +y 2 _t 2x _t ；y =0②而点C(x,y)满足①②,由①②知t i ,t 2是关于t 的二次方程yt 2 + xt- x 2- y 2= 0的两根,根据 t i t 2=- 1及韦达定理得_1 二一疋 —y这就是C 点的轨迹方程• 巩固训练1 •若点P 至煩线X 1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为(D ) A •圆 B .椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案：0 v k v 1 则动点A 的轨迹方程为 5在抛物线y 2=16x 内，通过点(2 , 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 ________________解答：8 x — y —15=0 提示设所求直线与 y 2=16x 相交于点 A 、B,且A (X 1,y",B (X 2, y 2),代入抛物线方程得 y/=16x 1, y 22=16x 2,两式相减得，(屮+『2)(y 1 — y 2)=16( X 1— X 2) 即M ——=—I 6—— k AB=8 故所求直线方程为 y =8x — 15X 1 —X2y 1 y 26如图，弧ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 ODLAB Q 为线段OD 勺中点， 已知| AB =4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持| PA +I PB 的值不变。