初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题18 简单的不定方程、方程组
专题18 简单的不定方程、方程组
阅读与思考
如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．
对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；
2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．
解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．
例题与求解
【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．
A ．20张
B ．15张
C ．10张
D ．5张
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．
【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．
【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?
(重庆市竞赛试题)
解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每 人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?
(海峡两岸友谊赛试题)
解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．
【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．
问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
解题思路：设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解．
能力训练
A 级
1．若225
4404
a b a b +-++
=，则ab ＝__________． 2．已知4360x y z --=，270x y z +-= (xyz ≠0)，则222
222
23657x y z x y z
++++的值等于________． 3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．
(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知a ，b ，c 为整数，且2006a b +=，2005c a -=．若a ＜b ，则a b c ++的最大值为_____．
(全国初中数学竞赛试题) 5．x ，y 都是质数，则方程1999x y +=共有( )． A ．1组解 B ．2组解 C ．3组解 D ．4组解
(北京市竞赛试题)
6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔
4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开 始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在 19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )．
A ．32千米
B ．37千米
C ．55千米
D ．90千米 7．给出下列判断：
①不定方程230x y +=的整数解可表示为32x t
y t =-⎧⎨=⎩
(t 为整数)．
②不定方程245x y +=无整数解． ③不定方程231x y +=无整数解．
其中正确的判断是( )．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票． A ．17 B ．18 C ．19 D ．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?
10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)
11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题) 12．已知k 是满足19102010k
的整数，并且使二元一次方程组547
45x y x y k
-=⎧⎨
+=⎩有整数解．问：这样的整数k 有多少个？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
B 级
1．如果a ，b ，c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=，那么()2
a bc +＝__________．
(“祖冲之杯”邀请试题)
2．已知x ，y 为正偶数，且2
2
96x y xy +=，则2
2
x y +＝_________． 3．一个四位数与它的四个数字之和等于1 991．这个四位数是__________．
(重庆市竞赛试题)
4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．
5．若正整数x ，y 满足2
2
72x y -=，则这样的正整数对(x ，y )的个数是( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．
A ．6元
B ．8元
C ．9元
D ．10元
7．在方程组333
36x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩
中，x ，y ，z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )． A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于3
(“希望杯”邀请赛试题)
8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个． A ．1 B ．4 C ．10 D ．超过10
9．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。
他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11．已知四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，求这样的四位数．
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
12．求方程
1115
6
x y z ++=的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)。
初中数学培优专题学习专题18 简单的不定方程、方程组_答案
专题18 简单的不定方程、方程组例1 3 提示：(n -m )(n +m )=3995=1×5×17×47，(n -m )与(n +m )奇偶性相同，对3995的任一正整数分解均可得到一个 (m ，n ).例2 C 设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张.则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，②-①×15得5( z -x )=50，解得z -x =10.例3设此8位数为abcdefgh ，将abc 记为x ，d 记为y ，efgh 记为z . x ，y ，z 均为自然数.即电话号码是100 000 x +10 000 y +z ，且100≤x ≤999，0≤y ≤9，1000≤z ≤9999，则10144051000016970x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，得1111 y – x =285，由100≤x ≤999，y ≥0，得18266144y x z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 故电话号码是82616144.例4提示：设盒子里共有x (x ≤200)粒棋子， 则12a -1=11b =x (a 、b 为正整数)， 解得a =10，b =11，x =121.例5设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a +30b +31c =365. 因28（a +b +c ）＜28a +30b +31c =365.得a +b +c ＜36528＜13.04，所以a +b +c ≤13. 因31（a +b +c ）＞28a +30b +31c =365. 得a +b +c ＞36531＞11.7，所以a +b +c ≥12 因此a +b +c =12或13.当 a +b +c =13 时，得2b +3c =1，此方程无正整数解；当 a +b +c =12 时，符合题意. 例6设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，显然x ≥2，23≤k ≤32.依题意有：22x +1=k (x -1).则2212222232322111x x k x x x +-+===+---.因为k 为自然数，所以231x -必是自然数，但23是质数，因数只有1和23，且x ≥2，∴x -1=1或x -1=23.如果x -1=1，则x =2，k =45，不符合k ≤32的题设条件. 如果x -1=23，则x =24，k =23，符合题意.这时旅客人数等于k (x -1)=23×23=529人.A 级1. 14-. 2.1 3. 18 提示：设某人出生于19xy ，则19981910xy x y ⋅=++，即11x +2y =88，解得80x y =⎧⎨=⎩.4. 5013 提示：由题中条件得a +b +c =a +4011，又因为a +b =2006，a ＜b .故2a ＜2006，a ＜1003.又因为a 为正整数，故a 的最大值为1002，于是a +b +c 的最大值为5013. 5. B6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为3+4x ，10+9y （x 、y 为自然数），将问题转换为求不定方程3+4x =10+9y 的正整数解，则7932144y y x y ++==++，4｜（y+3），135x y =⎧⎨=⎩为所求的解.7. A 8.A 9.大小盒子分别为2个，15个.10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x 、y 、z .则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，消去z ，得7x +4y =100，显然（0，25）是方程的一个特解，所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为整数）.于是z =100-x -y =100+4t -25-7t =75-3t .由x 、y 、z ≥0且t 为整数得4025707530t t t -≥+≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得0,1,2,3t =---，将t 的值代入通解，得四组解为（x ，y ，z ）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）．（0，25，75）应舍去．11．设长方形的长宽高分别为x ，y ，则22xy x y =+，()224242222x x y x x x -+==+---=，()2|4x -，3x =或4或6，6y =或4或3，故长方形面积为18或16．12．由方程组得3544152841k x k y +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，当3544152841k m k n +=-=⎧⎨⎩①（其中m ，n 是整数）时，方程有整数解．消去上面方程的k ，得：547m n +=②，由②得：3425m tn t =+=--⎧⎨⎩（其中t 为整数）③将③代入①得354123164k t +=+，2241k t =+．解不等式191022412010t <+<，得：22046484141t <<，故有２个ｋ的值使原方程组有整数解．B 级1．144 提示：()()()22230a b b c c -+-+-=．2．10 提示：()96xy x y +=3．1972 设这个四位数为abcd ，则1000100101991a b c d a b c d +++++++=， 即10011011121991a b c d +++=，1a =，从而101112990b c d ++=，又112c d +最大为99+18=117．故101990117873b ≥-=，即9b =，得11281c d +=，进一步得7,2c d ==，故这个四位数为1972．4．12 14 24 提示：由题目中“通牌枚数是金牌枚数的2倍”得知金牌与铜牌数的和为3的倍数．因为银牌只有一盒，所以铜牌数和金牌数的和应为3，6，9，14，18中四个数的和．因此银牌数为14枚，金牌数为（3+6+9+18）13⨯=12枚，铜牌数为24枚．5．C 提示：()()17223641861289x y x y -+=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯． 6．A7．A 提示：有方程组得：12xyz =-．8．B 提示：设两位数为10a +b ，中间插入的一位数为m ，则9(10a +b )=100a +10m +b ，10(a +m )=8b9．原来支票的面额是14.32元，兑换员看错成了32.14元，应退回32.14-14.32=17.82元． 10．设第一次看到的两位数为xy ，则以后两次看到的数分别为yx ，0x y ，由题意得0x y yx yx xy -=-，即()()()()100101010x y y x y x x y +-+=+-+，正理解的：x =1，y =6，故三块里程碑上的数分别是16，61，106．11．当4c ≥，31610c c c d ≥>+，此时不存在满足条件的四位数．当3c =时，则32332a b c d d ++=++．于是1d ≤，若1d =，得：1a b ==，即1131满足条件；若0d =，得1a b ==，即1130满足条件．当2c =时，则323311a b c d d ++=++，于是2d ≤，若2d =，得335a b +=，无解；若1d =或0d =，得3311a b +=，无解．当1c =时，则3238a b d d ++=+，于是2d ≤，若2d =，得1a b ==，即1112满足条件；若1d =，得2,0a b ==，即2011满足条件；若0d =，得2,0a b ==，即2010满足条件．12．由题中条件易知x ，y ，z 都大于1．不妨设1x y z <≤≤，则111xyz≥≥，∵11113xxyz x <++≤，即1536xx<≤，由此得2x =或3，当2x =时，111511112623xxyyyy<+=-=≤+=，即1123yy<≤，由此得4y =或5或6．同理，当3x =时，3y =或4，由此得：1x y z <≤≤时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组．由于x ，y ，z 在原方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4，3，4)．。
(完整版)初一数学培优专题讲义
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
6 / 11
对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
1 / 11
【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
4 / 11
邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
人教版七年级数学下册培优辅导讲义资料(最新全18讲第5—13章)
第一讲 二元一次方程组（一）一、知识点1、二元一次方程的概念含有两个未知数，并且未知项（含有未知数的项）的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.它有三个必备条件：（1）含有两个未知数；（2）未知项的次数都是1；（3）方程须是整式方程.关于x 、y 的二元一次方程的一般形式是c by ax =+（a 、b 、c 均为常数且0≠ab ）.类似地，含有n 个未知数（整数1≥n ），并且未知项（含有未知数的项）的次数都是1的整式方程叫做n 元一次方程.2、二元一次方程组的解的概念使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程一般会有无数个解.3、二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的整式方程组叫做二元一次方程组. 它有三个必备条件：（1）含有两个未知数；（2）未知项的次数都是1；（3）方程组须是整式方程组.应注意的是，这些条件是对整个方程组而言的，而不是对其中的每一个方程而言.因此，一方面，两个二元一次方程不一定能组成一个二元一次方程组,比如⎩⎨⎧=-=+21z y y x 就不是二元一次方程组；另一方面，组成二元一次方程组的方程不一定是二元一次方程，比如⎩⎨⎧==21y x 就可以看作一个简单的二元一次方程组.类似地，含有n 个未知数（整数1≥n ），并且未知项的次数都是1的整式方程组叫做n 元一次方程.4、二元一次方程组的解的概念对于由两个二元一次方程组成的方程组而言，两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.一般地，满足一次方程组的所有方程的一组未知数的值，叫做这个一次方程组的解.5、二元一次方程组的解法求一次方程组解的过程称为解一次方程组.解一次方程组的基本思想是：消元.比如可以通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，可以把多元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组或一元一次方程来解.一次方程组的基本解法有：代入消元法、加减消元法.当然，对于一些特殊的一次方程组，我们还可以探索一些特殊的解法 二、例题讲解例1 解方程组例2 若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-例3 已知3252372a c c b b a -=-=+, 则c b a cb a 65223+--+的值等于 .三、巩固练习1．如果x ，y 满足2x +3y =15，6x +13y =41，则x +2y 的值是 ．A ．5B ．7C ．215D ． 9 2、二元一次方程组34,231x y x y +=⎧⎨-=-⎩．的解是（ ）A ．11.x y =⎧⎨=⎩，B ．11.x y =-⎧⎨=-⎩，C ．22.x y =-⎧⎨=⎩，D ．21.x y =-⎧⎨=-⎩，3、如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值为 ．4、如果关于x y 、的二元一次方程组316215x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解是71x y =⎧⎨=⎩，那么关于x y 、的二元一次方程组3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是 ．5 解下列三元一次方程组：（1） （2）6 读一读：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+1412723yxyx解：设n y m x ==1,1，则原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+142723n m n m ，解得⎩⎨⎧-==45n m ，∴41,51-==y x ，∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151y x ．试一试：请利用上述方法解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+13231125yxyx7 已知0332=--+c b a ，0443=--+c b a ，1-≠c 求13222---++-c b a c b a 的值．8.当m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？四、作业 1、若==++++++++=x acc xbc b x ab a x abc 则,2010111,12、若8,553==a a ，并且对所有正整数n ，有==++++200121,7a a a a n n n 则3、已知方程组⎩⎨⎧=+-=+-032032z y x z y x 则=z y x ::4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+15332k y x ky x 的解是非负整数，则k 的值是5、已知关于x 、y 的二元一次方程()()02521=-+++-a y a x a ，无论a 为何值，这个方程必定有一个固定的解，则此解为6、解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=+-74212523032z y x z y x z y x第二讲 二元一次方程组（二）一 知识点对于方程组（其中不同时为0，不同时为0）解的情况：如果时，方程组有唯一解；如果时，方程组无解； 如果时，方程组有无数解。
初一数学竞赛辅导讲义
初一数学竞赛辅导讲义一次方程(组)与二元一次不定方程本讲就解一次方程（组）与二元一次不定方程的基本方法和技巧作些简单介绍。
一、一次方程（组）解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数的系数。
任何一个一元一次方程最终都可以化为ax b =的形式。
解方程的根据是方程的同解原理。
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程。
1． 方程两边都加上（减去）同一个数（或同一个整式），所得的方程与原方程是同解方程。
2． 方程两边都乘以（除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
例1．解下列个方程（1）()()()()11323327322337x x x x ---=---（2）()14335190.50.125x x x +++=+ （3）3421424904532x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭例2．是否存在这样的a 值，使当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解？例3．关于x 的方程1x ax =+同时有一个正数解和一个负数解，求a 的值。
例4．关于x 、y 的两个方程组2227ax by x y -=⎧⎨-=⎩和359311ax by x y -=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求a 、b 的值。
例5．已知()()()()()()22219992000200101999200020012000x y y z x z x y y z z x -+---=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩求z y -的值。
二、二元一次不定方程如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程（组）叫做不定方程（组）。
例如，二元一次方程3215x y +=是不定方程；三元一次方程组11426x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩是不定方程。
不定方程（组）的解是不确定的。
一般不定方程总有无数穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解三种都有可能：有无穷组解，或有限组解，或无解。
七年级数学培优讲义word版
第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .32 x64。
初一数学培优之简单的不定方程、方程组
初一数学培优之简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
部编版2020七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 (新版)新人教版
18 简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对．(全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
七数培优竞赛讲座第27讲 不定方程、方程组
第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y btx x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ．(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。
通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，则zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？ （2002年重庆市竞赛题） 思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100zy x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题) 思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程?运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手． 注： 解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示； (2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解． 思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ．(2002年山东省竞赛题)2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为 ． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有 种不同的买法．、A 、A 、A 、A 的件数和用钱总数列成下表：则5种数学用品各买一件共需 元．(北京市竞赛题)5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有 个． (温州市中考题) 6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A ．1组B ．2组C ．4组D ．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A ．20001999个B ．19992000个C ．2001000个D ．2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则a+b+c+d+e+f=( )．A ．27B ．24C ．30D ．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题) 9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy ．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口? (广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”． 现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布” 得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．赢法一：赢法二：赢法三：12．满足1998十m ＝1997+n (0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有 对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则22y+z 的值为 ． 14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁． 15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需 元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 个． 18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)； (2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱?(北京市竞赛题)20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码． (武汉市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题) 22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)参考答案。